Variante de la Fórmula de Euler para Polígonos Proyectados en el

Variante de la Fórmula de Euler para
Polígonos Proyectados en el Plano
José Acevedo Jiménez
Santiago, Rep. Dom.
En nuestro diario vivir nos encontramos con un sinnúmero de problemas
matemáticos que dejamos pasar por alto o que resolvemos sin siquiera pensar que
algo tienen que ver con las matemáticas.
Como solía decir un buen amigo, usamos las matemáticas hasta para cruzar la
calle, pero repetimos ese acto tantas veces que olvidamos que en esa simple acción
hay matemáticas involucradas.
Y es que para ser un matemático no basta ver el mundo con ojos biológicos, si bien
es cierto que Euler quedó completamente ciego, su ceguera no fue motivo para
diezmar su genio matemático. No hubo rama de las matemáticas que pudieran
escapar al genio creador de Leonhard Euler, sus trabajos van desde la matemática
más pura hasta la más aplicadas, tanto así que varias ramas de las matemáticas le
deben su existencia a tan portentoso genio suizo.
Breve Biografía:
Leonhard Euler: Uno de los más prolíferos matemáticos de la historia, nació en
Basilea Suiza en 1707, hijo mayor de un pastor campesino llamado Pablo Euler,
fue este último quien le ofreció sus primeras enseñanzas.
En 1720 ingresa a la universidad de Basilea, y también asiste a los cursos de
Nicolás II y Daniel Bernoulli.
En 1758 divulgó la demostración de la fórmula:
, para poliedros
simplemente conexos, donde es el número de vértices, el de aristas y
la
cantidad de caras.
Murió en San Petersburgo en 1783.
Poliedro:
Un poliedro es un cuerpo geométrico estereométrico, es decir que tiene tres
dimensiones, limitado por superficies planas conocidas como caras. Los lugares
donde se unen dos caras se denomina aristas y los puntos donde se cortan varias
aristas son llamados vértices. La palabra poliedro viene del griego (πολύεδρον),
poli-muchas y edron-caras.
Como ejemplo tenemos un cubo.
Fig. 1.
Se puede observar que un cubo tiene:
8 vértices (v) ,12 aristas
y 6 caras ( )
Usando la fórmula de Euler, tenemos:
Dado que:
vértice (V),
arista (A) y
fórmula original por:
Caras (C), cambiaremos las letras de la
, que se nos hará más fácil de recordar por estar en español.
Polígono:
Del griego (polí = muchos) y (goná = ángulo), es toda figura geométrica de
superficie cerrada y plana, cuyo perímetro está formado por segmentos rectos no
colineales, denominados lados.
Ejemplo de polígonos son:
El triángulo, el cuadrado, el pentágono, hexágono, etc.
Es importante saber que un poliedro, no es más que un polígono en tres
dimensiones.
Fig. 2. El hexágono en tres dimensiones
En un polígono podemos distinguir los siguientes elementos:
Vértice (V): que es el donde se unen dos lados consecutivos.
Lado (L): son los segmentos de recta no colineales que forman el polígono.
Ángulo: que no es más que el vértice que se forma al cortar dos segmentos de recta
en un punto.
En todo polígono se cumple:
El número de ángulos de un polígono es igual al número de lados del mismo.
Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos, un cuadrado tiene cuatro lados y cuatro
ángulos, y así para cada polígono.
Nota:
Existen otros elementos distintivos del polígono, como las diagonales, perímetro,
etc. que no serán tomados en cuenta por nosotros, ya que no son esenciales para
nuestro trabajo.
Proyección paralela o cilíndrica:
Se habla de proyección paralela, cuando las líneas proyectantes son paralelas,
como se muestra en la fig. 3.
Fig. 3. La proyección cilíndrica de un polígono en el plano, nos da la impresión de una figura
geométrica tridimensional, poliedro.
Una vez conocidos estos conceptos podemos sacar las siguientes conclusiones:
Los poliedros que resultan de la proyección de polígonos en el plano, como el
mostrado en la figura 3, tienen:
Dos veces el número de vértices del polígono que lo genera y tres veces el número
de lados del polígono generador.
Es decir que para un poliedro que se pueda representar por medio de un polígono
proyectado cilíndricamente en el plano la fórmula de Euler se puede escribir
como:
=2
Donde:
es el número total de caras (del poliedro), el número total de vértices o nodos
(del poliedro),
representa el número de lados del polígono proyectante.
Esta fórmula podrá ser usada siempre que se tenga un poliedro que sea el resultado
de un polígono proyectado cilíndricamente en el plano, o cualquier otra proyección
que no altere la forma original del polígono que se proyecta, como el mostrado en
la fig. 4.
Fig. 4.
Nota:
Dado que no podemos hablar de aristas en un polígono, y que las aristas en un
poliedro son equivalentes a sus lados, hablaremos de lados (L) y no de aristas.
Justificación de la fórmula:
=2
Sabemos que en un polígono el número de lados es igual al número de vértices o
nodos.
Nota:
Usamos el subíndice p, para distinguir los vértices y lados del polígono de los del
poliedro.
En un polígono tridimensional o proyectado,
deduce que:
y
, de lo que se
En fórmula original tenemos:
En la fórmula descendida tenemos:
Por lo que:
Sustituyendo el valor de , nos queda:
, de donde concluimos que la fórmula resultante es verdadera.
Ejemplo:
En un poliedro como el que se muestren la figura, se desea determinar el número
de caras si sabemos que el número total de vértices es 12.
Datos: