Detección en presencia de ruido

EAL - #6 - 1
9.- Detección de señales moduladas en presencia de ruido
El análisis que sigue supone que:
a) La señal modulada es limitada en ancho de banda a W Hz+ y la frecuencia de portadora fo es mucho mayor
que W.
b) El ancho de banda de pre detección está limitado a W Hz+.
c) La señal moduladora (mensaje a recuperar) es limitada en ancho de banda a B Hz+.
d) El ancho de banda de post detección es B Hz+.
e) La densidad de potencia del ruido de entrada es uniforme, η0 Watt/Hz+.
9.1.- DSB
Entrada al detector de producto:
Señal de entrada (modulada):
Ruido (ancho de banda 2B Hz+) :
se(t) = A.x(t).cos(2πf0t)
ne(t)= a(t).cos(2πf0t) - b(t).sen(2πf0t)
A2 .⟨ x 2 ⟩
2
1
1
⟨ ne 2 ⟩ = .⟨ a 2 ⟩ + .⟨b 2 ⟩ = ηo .W =ηo .2.B
2
2
⟨ se 2 ⟩ =
Potencia de señal de entrada:
Potencia de ruido:
(η0 es la densidad espectral de ruido de entrada Watt/Hz+)
Relación señal-ruido de entrada:
A2 .⟨ x 2 ⟩
S
=
 
2
 N  E 2.⟨ ne ⟩
Salida del detector de producto, después del filtrado pasa bajos:
Señal detectada:
sd (t ) =
A.P
.x(t )
2
Ruido detectado suponiendo coherencia del OL c/señal:
nd (t ) =
P
.a(t )
2
A 2 .P 2 2
.⟨ x ⟩
4
P2 2
P2
2
.⟨ a ⟩ =
.⟨ ne 2 ⟩
Potencia de ruido detectado:
⟨ nd ⟩ =
4
4
2
2
⟨s ⟩
A .⟨ x 2 ⟩
S
S
Relación señal-ruido de salida:   = d 2 =
= 2.  
2
⟨ ne ⟩
 N  S ⟨ nd ⟩
 N E
⟨ sd 2 ⟩ =
Potencia de señal detectada:
|N(f)|2
DSB
W = 2B
Pre detec.
f0
P η0/2
2
Post detec.
0
B
η0
9.2.- SSB
Entrada al detector de producto:
Señal de entrada (modulada):
se (t ) = A.x(t ).cos(2π f 0 t ) + A.xˆ (t ).sin(2π f 0 t )
donde xˆ (t ) es la Transformada de Hilbert de x(t).

B 
B 
 

 t  − b(t ).sin  2π  f 0 ±  t 
2 
2 
 
 
B
B


El espectro de ruido de entrada está centrado en  f 0 +  si se transmite USB o en  f 0 −  si se transmite
2
2


Ruido (ancho de banda B Hz+) : ne (t ) = a (t ).cos  2π  f 0 ±
LSB.
Potencia de señal de entrada:
⟨ se 2 ⟩ =
A2 .⟨ x 2 ⟩ A2 .⟨ xˆ 2 ⟩
+
= A2 .⟨ x 2 ⟩
2
2
xˆ (t ) es generada a partir de x(t) preservando la amplitud de sus componentes armónicas y retrasándolas 90o ,
por lo tanto al ser X ( f ) = Xˆ ( f ) , resulta que ⟨ x2 ⟩ = ⟨ x̂ 2 ⟩
1
1
⟨ ne 2 ⟩ = .⟨ a 2 ⟩ + .⟨b 2 ⟩ = ηo .W =ηo .B
2
2
2
2
A .⟨ x ⟩
S
Relación señal-ruido de entrada:
  =
⟨ ne 2 ⟩
 N E
Potencia de ruido de entrada:
Salida del detector de producto, después del filtrado pasa bajos:
A. P
.x (t )
2
Ruido detectado suponiendo coherencia del OL c/señal:
Señal detectada:
s d (t ) =
P
 B P
 B
nd (t ) = .a(t ).cos 2π  ±  t − .b(t ).sin 2π  ±  t
2
 2 2
 2
A 2 .P 2 2
Potencia de señal detectada: ⟨ sd 2 ⟩ =
.⟨ x ⟩
4
P2 2 1 P2 2 1 P2
P2
.⟨ a ⟩. + .⟨b ⟩. =
. ( ⟨ a 2 ⟩ + ⟨b 2 ⟩ ) = .⟨ ne 2 ⟩
Potencia de ruido detectado: ⟨ nd 2 ⟩ =
4
2 4
2
8
4
2
2
2
⟨ sd ⟩
A .⟨ x ⟩  S 
 S 
Relación señal-ruido de salida: 
=
= 
 =
2
⟨ ne 2 ⟩
 N  S ⟨ nd ⟩
 N E
SSB
|N(f)|2
W=B
η0
f
f0
P2η0/4
0
B
f
EAL - #6 - 3
9.3.- FM
Entrada al detector de frecuencia modulada:
se(t) = A.cos(2πf0t+φ(t))
ne(t)= a(t).cos(2πf0t) - b(t).sen(2πf0t)
Señal de entrada (modulada):
Ruido (ancho de banda W Hz+) :
A2
2
1
1
⟨ ne 2 ⟩ = .⟨ a 2 ⟩ + .⟨b 2 ⟩ = ηo .W
2
2
⟨ se 2 ⟩ =
Potencia de señal de entrada:
Potencia de ruido:
Relación señal-ruido de entrada:
A2
A2
S
=
  =
2
 N  E 2.⟨ ne ⟩ 2.η0 .W
Salida del detector de frecuencia modulada, después del filtrado pasa bajos:
Señal detectada:
s d (t ) = K d .
d φ (t )
= K d .ω i = K dHz . f i
dt
(KdHz = 2π.Kd)
Potencia de señal detectada:
⟨sd2⟩ = KdHz2.⟨ fi2⟩= KdHz2. fef 2
donde fef es la desviación eficaz de frecuencia.
Para determinar el comportamiento del detector de FM en presencia de ruido, se analiza el efecto del ruido
presente a la entrada (densidad espectral uniforme y ancho de banda W) en una portadora sin modular a
frecuencia fo y el resultado obtenido se extrapola para el caso que la portadora sea modulada (o sea que es una
aproximación al problema real).
Se tiene a la entrada del detector de FM :
s e ( t ) = ( A + a ( t ) ) .cos(2π f 0 t ) − b ( t ).sin(2π f 0 t )
, Si A >> a(t), b(t) se puede simplificar a:
se (t ) ≈ A.cos(2π f 0t ) − b(t ).sin(2π f 0t ) = A.cos ( 2π f 0t + ϑ (t ) ) , donde:
 b(t )  b(t )
ϑ (t ) = tan −1 
≈
 A  A
El detector de FM responde a la modulación en ángulo que la banda de ruido impone a la portadora no
modulada, su salida será:
nd (t ) = K d .
dϑ (t ) K d db(t )
.
=
dt
A dt
∴
Nd ( f ) =
Kd
.2.π . f . B( f )
A
como la densidad espectral del ruido de entrada ne(t) es uniforme, también lo será la de a(t) y b(t) . Como
⟨ a 2 ⟩ = ⟨b 2 ⟩ = ⟨ ne 2 ⟩ = η0 .W , la densidad de potencia de a(t) y b(t) debe ser η0bb = 2.η0 para que se cumpla la
ec. anterior (recordar que el ancho de banda de a(t) y b(t) es W/2). Entonces:
Nd ( f ) =
Kd
K
.2.π . f . 2.η 0 = dHz . f . 2.η 0
A
A
,entre 0 y W/2 Hz+.
La potencia de ruido detectada en un ancho de banda B (B<W) es :
B
K dH z 2
K dH z 2 .2η 0 . B 3
2
f
df
.2.
.
.
η
⟨ nd ⟩ =
=
0 ∫
3. A 2
A2
0
2
La relación señal-ruido de salida será:
s d2
 S 
  = 2
nd
 N S
=
3. A 2 . f ef 2
2η 0 B 3
 S  3.W . f ef
=   .
B3
 N E
2
o como es común en la literatura:
2
 f ef  W
 S 
 S 

  =   .3 
 N S  N E  B  B
Esta ecuación vale cuando A>>a(t),b(t) , es decir cuando la relación
señal-ruido de entrada o pre detección es alta (mayor que 10...15 dB).
FM
|N(f)|2
W
Pre detec.
η0
f
f0
[Κη0`/A2].f2
Post detec.
0
B
f
9.4.- PM
Entrada al detector de fase:
Señal de entrada (modulada):
Ruido (ancho de banda W Hz+) :
Potencia de señal de entrada:
Potencia de ruido:
Relación señal-ruido de entrada:
se(t) = A.cos(2πf0t+φ(t))
ne(t)= a(t).cos(2πf0t) - b(t).sen(2πf0t)
A2
⟨ se ⟩ =
2
1
1
⟨ ne 2 ⟩ = .⟨ a 2 ⟩ + .⟨b 2 ⟩ = ηo .W
2
2
2
A2
A2
S
=
=
 
2
 N  E 2.⟨ ne ⟩ 2.η0 .W
Salida del detector de fase, después del filtrado pasa bajos:
Señal detectada:
s d ( t ) = K d .φ ( t )
EAL - #6 - 5
⟨sd 2 ⟩ = Kd 2.⟨φ 2 ⟩ = Kd 2.φef 2
Potencia de señal detectada:
Haciendo el mismo análisis que para FM, se tiene a la entrada del detector de PM :
se (t ) = ( A + a(t ) ) .cos(2π f 0t ) − b(t ).sin(2π f 0t ) , Si A>>a(t) se puede simplificar a:
se (t ) = A.cos(2π f 0t ) − b(t ).sin(2π f 0t ) ≈ A.cos ( 2π f 0t + ϑ (t ) ) , donde:
 b(t )  b(t )
ϑ (t ) = tan −1 
≈
 A  A
El detector de PM responde a la modulación en ángulo que la banda de ruido impone a la portadora no
modulada, su salida será:
nd (t ) = K d .ϑ (t ) =
Kd
.b(t )
A
∴
Nd ( f ) =
Kd
. B( f )
A
como la densidad espectral del ruido de entrada ne(t) es uniforme, también lo será la de a(t) y b(t) , como
⟨ a 2 ⟩ = ⟨b 2 ⟩ = ⟨ ne 2 ⟩ = η0 .W , la densidad de potencia de a(t) y b(t) debe ser
η0bb = 2.η0 para que se cumpla la ec. anterior (recordar que el ancho de banda de a(t) y b(t) es W/2). Entonces:
Nd ( f ) =
:
Kd
. 2.η 0
A
entre 0 y W/2 Hz+. La potencia de ruido detectada en un ancho de banda B (B<W) es
⟨ nd 2 ⟩ =
Kd2
.2η 0 . B
A2
A 2 .φ ef 2  S 
W
 S 
=   .φ ef 2 .
La relación señal-ruido de salida será: 
 =
2η 0 B
B
 N S
 N E
Igual que para FM, ésta ecuación vale cuando la relación señal-ruido de entrada o pre detección es alta (mayor
que 10...15 dB).
PM
|N(f)|2
W
η0
Pre detec.
f
f0
2
[Κ/Α ]η0
Post detec.
0
B
f
9.5.- Sistemas digitales
Normalmente, en sistemas digitales se vincula la probabilidad de error con la relación Energía (promedio en el
caso de QAM) por bit transmitido (Eb) vs. Densidad de potencia de ruido (η0).
Existe un vínculo entre (Eb/η0) y la relación señal ruido de entrada que, para el caso de sistemas de amplitud
constante (PSK, FSK, etc.), puede deducirse de lo siguiente: Como la energía por bit transmitido es
Eb = se 2 .Tbt , donde Tb es la duración de cada bit transmitido, <se2> es la potencia media transmitida durante
ése tiempo y η0 =
ne 2
W
se tiene que:
Eb
η0
se 2 .Tbt .W
=
ne 2
=
se 2
ne 2
se 2
W
, donde
.
Rbt
ne 2
es la relación señal
ruido de entrada y Rbt la velocidad de transmisión de la señal modulada. Notar que en los sistemas de
modulación digital lineales (N_PSK, N_QAM), siempre el mínimo ancho de banda necesario para transmisión
sin distorsión es W = Rbt , por consiguiente:
se 2
ne 2
=
Eb
η0
. El cálculo de la probabilidad de error en un sistema
digital modulado depende de una serie de factores difíciles de evaluar (filtros utilizados, forma de onda de la
señal modulada, demodulación, estrategia de muestreo y decisión, etc.). Bajo suposiciones ideales, pueden
lograrse resultados de relativa utilidad práctica y deben tomarse con prudencia como guía para comparar
sistemas o hacer estimaciones preliminares. Normalmente, en las especificaciones de los fabricantes de equipos
para transmisión digital, se incluye la información necesaria a los efectos del diseño.
Resultados teóricos para algunos métodos de modulación digital
a) Detección coherente
2PSK, QPSK, MSK:
(
 2.Eb
Pe = Q 
 η
0

N_QAM : Pe =1 − 1 − P N
)
2



 Eb 
Pe = Q 
 η 
 0 
FSK, ASK :
donde:
k = log 2 N = 2, 4,8,..., ( par ),... y
2.E

1  
3k
P N = 2.  1 −
. b
 .Q 
N   2.( N − 1) η0

b) Detección no coherente
FSK, ASK:
 E 
1
Pe = .exp  − b 
2
 2.η0 
1
2
 Eb 

 η0 
DPSK: Pe = .exp  −


