Resolver la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden lineal

Resolver la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden lineal con coe…cientes constantes no homogenea y + 2y + y = 2:
Solución:
Primero debemos resolver la ecuación homogenea asociada
dyh
d 2 yh
+2
+ yh = 0
dx2
dx
Para ello tenemos que encontrar las raices de la ecuación característica
2
+2 +1=0
Es fácil ver que
2
( + 1) = 0
así que tenemos una sola raiz, 1, de multiplicidad dos y las dos soluciones
linealmente independientes son
y1 = exp ( x)
y
y2 = x exp ( x)
y la solución general de la ecuación homogenea es
yh = c1 exp ( x) + c2 x exp ( x)
Necesitamos encontrar ahora una solución particular de la ecuación no homogenea. En este caso por inspección directa es fácil darse cuenta que una
solución particular de la ecuación homogenea es yp (x) = 2, así que la solución
general de la ecuación no homogenea es
y (x) = (c1 + c2 x) exp ( x) 2
Veri…cación que
yh = c1 exp ( x) + c2 x exp ( x)
es efectivamente solución de la ecuación homogenea:
d
(c1 exp ( x) + c2 x exp ( x)) = c2 e x c1 e x xc2 e x
dx
d
(c2 e x c1 e x xc2 e x ) = c1 e x 2c2 e x + xc2 e x
dx
c1 e x 2c2 e x +xc2 e x +2 (c2 e x c1 e x xc2 e x )+c1 exp ( x)+c2 x exp ( x) =
0 0
1