−1(A) ∈ A ν(B) = µ(f (f g)dµ

TEORÍA DE LA MEDIDA
RECUPERACIÓN
Instrucciones: Responda todas las preguntas de los parciales aplazados que desee recuperar.
Las calificaciones obtenidas en esta prueba le serán agregadas a las que obtuvo anteriormente.
Parcial 1
f
/R
que no sea medible.
(1) Construya una función continua R
Ayuda: La continuidad (resp. medibilidad) depende de la topologı́a T (resp.
σ-álgebra A) que fijamos en R(4pt).
f
/Y;
(2) Dado un espacio de medida ( X, A, µ) y una función X
(a) B f = A ⊂ Y : f −1 ( A) ∈ A es la σ-álgebra más grande tal que f es
medible (4pt).
(b) Sea X/∼ el cociente de la equivalencia inducida por f . Hay un isomorfismo
f
medible X/∼
/ f ( X ) (2pt).
Parcial 2
(3) Para N con la medida de contar ν;
(a) Dé un ejemplo de una función simpleque no es integrable (3pt).
(b) Muestre que una función N
f
/ N es integrable
⇔ ∑ | f (n)| < ∞ (4pt).
n
(4) Enuncie y demuestre el Lema de Fatou (3pt).
Parcial 3
(5) Sean ( X, A, µ) un espacio de medida y (Y, B) un espacio medible. Dada una
función medible X
f
/ Y sea ν( B)
= µ( f −1 ( B)) la medida en Y inducida por
f y µ. Verifique la fórmula del cambio de variable para cada función Y
Z
Y
gdν =
Z
X
( f ◦ g)dµ
g
/R :
(5pt)
(6) Dados a < b en R, muestra que ( L2 ([ a, b]), k · k2 ) es separable (5pt).
Parcial 4
f
/ R continua no decreciente, tal que
(7) Dé un ejemplo de una función [0, 1]
f (0) = 0, f (1) = 1 y f 0 (t) = 0 en c.t.p. (5pt).
F
/ R se escribe como la suma F =
(8) Muestre que toda función de Stieljets R
C + S de una función continua C más una función de salto S (5pt).
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