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CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS Guía de Estudio para examen de Admisión de Matemáticas CONTENIDO PRESENTACIÓN ................................................................................................................. 3 I. ARITMÉTICA ................................................................................................................ 4 1. OPERACIONES CON FRACCIONES ................................................................................ 4 Regla 1. Suma y resta de fracciones con igual denominador.......................................................... 4 Regla 2. Suma y resta de fracciones con distinto denominador. ..................................................... 4 Regla 3. Multiplicación y división de fracciones ............................................................................. 5 2. RAZONES Y PROPORCIONES ....................................................................................... 7 Razón ....................................................................................................................................... 7 Proporción................................................................................................................................. 8 Regla de Tres .......................................................................................................................... 11 3. NOTACIÓN CIENTÍFICA .............................................................................................. 16 II. ÁLGEBRA .................................................................................................................. 19 1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA .......................................................................................... 19 Clasificación de expresiones algebraicas ................................................................................... 19 Reducción de Términos Semejantes: Son semejantes cuando tienen el mismo literal .................... 19 Valor numérico de una expresión algebraica .............................................................................. 20 2. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS ........................ 23 Suma de términos algebraicos .................................................................................................. 23 Resta de términos algebraicos .................................................................................................. 24 Multiplicación de términos algebraicos ....................................................................................... 25 División de términos algebraicos ............................................................................................... 27 3. POTENCIACIÓN ...................................................................................................... 31 4. PRODUCTOS NOTABLES ............................................................................................ 33 5. FACTORIZACIÓN ....................................................................................................... 38 Factor común monomio ............................................................................................................ 38 Factor común polinomio............................................................................................................ 38 Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión algebraica. ............. 38 Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c .................................................................. 39 Factorización de un trinomio de la forma ax2+ bx + c .................................................................. 40 Factorización de la diferencia de dos cuadrados: a2 - b2 .............................................................. 40 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto: x2 + bx + c ......................................................... 41 1 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria 6.- OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS ....................................................... 42 Suma con fracciones algebraicas .............................................................................................. 42 Para sumar fracciones algebraicas se siguen los siguientes pasos. ........................ 42 Resta con fracciones algebraicas .............................................................................................. 43 Multiplicación con fracciones algebraicas ................................................................................... 43 División con fracciones algebraicas ........................................................................................... 44 7. ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS CON UNA VARIABLE ..................................... 46 Ecuación ................................................................................................................................. 46 Ecuaciones lineales.................................................................................................................. 46 Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado .............................................................................. 48 8. SISTEMAS DE ECUACIONES ....................................................................................... 49 Sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas. ............................ 49 REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA ....................................................................................... 52 2 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria PRESENTACIÓN Jóvenes postulantes, en la presente guía encontrarás los contenidos que se evaluarán en la prueba de admisión de Matemáticas. Esta se ha elaborado para que puedan prepararse mejor y logren su meta de ingresar a Fundación Victoria y al Instituto Tecnológico Victoria, a estudiar una de las diferentes carreras que ofrecen. La guía de estudio contiene tres temas de aritmética y ocho de algebra, cada uno con los conceptos elementales, ejemplos y ejercicios para guiarte en el repaso de los principales contenidos estudiados en la secundaria. De igual manera, se presenta bibliografía para que logres ampliar el estudio de los temas propuestos en esta guía y alcances el éxito en la prueba. Recuerden que las matemáticas requieren de mucha práctica y repaso y esta herramienta les permitirá hacerlo. 3 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria I. ARITMÉTICA 1. OPERACIONES CON FRACCIONES Número fraccionario o fracción es el que expresa una o varias partes iguales de la unidad principal. Consta de dos términos llamados numerador y denominador. El denominador indica en cuántas partes iguales, se ha dividido la unidad principal, y el numerador, cuántas de esas partes se toman. Así en la fracción dos tercios, 𝟐 el denominador 3 indica que la unidad se ha dividido 𝟑 en tres partes iguales, y el numerador 2 muestra que se han tomado dos de esas partes iguales. Para efectuar operaciones con fracciones, o con números enteros y fracciones, no podemos actuar como cuando todos los números que intervienen son enteros. Para esto debemos tener en cuenta a los denominadores y seguir las siguientes reglas: Regla 1. Suma y resta de fracciones con igual denominador En este caso, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Ejemplo 𝟑 𝟏𝟎 + Suma 𝟓 𝟑+𝟓 = 𝟏𝟎 𝟏𝟎 = 𝟖 𝟔 𝟏𝟎 𝟖 - Resta 𝟔−𝟏 = 𝟖 𝟖 𝟏 = 𝟓 𝟖 Regla 2. Suma y resta de fracciones con distinto denominador. En este caso, primero hemos de reducir a común denominador, y después sumar o restar las fracciones. TOME EN CUENTA QUE Para reducir dos fracciones a común de nominador, el método más utilizado es el del mínimo común múltiplo. 4 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Por el método del mínimo común múltiplo, seguimos estos dos pasos: Primer paso Se halla el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores, que es el menor de sus múltiplos comunes; en nuestro caso: 5 7 y 2 3 7 - 3 7 1 - 3 1 3 7 x 3 = 21 Segundo Paso Se divide ese mínimo común múltiplo entre cada denominador y el cociente se multiplica por cada numerador 21 ÷ 7 = 3 → 5 x 3 = 15 → 𝟓 𝟕 𝟏𝟓 21: 3 = 7 → 2 x 7 = 14 → = 𝟐𝟏 𝟐 𝟑 𝟏𝟒 = 𝟐𝟏 Tercer Paso Una vez que las dos fracciones tienen el mismo denominador, podemos sumarlas o restarlas: 𝟏𝟓 𝟐𝟏 + 𝟏𝟒 𝟐𝟏 = 𝟏𝟓+𝟏𝟒 𝟐𝟏 = 𝟐𝟗 𝟐𝟏 5 2 𝟐𝟗 7 3 𝟐𝟏 → + = Regla 3. Multiplicación y división de fracciones El producto de dos o más fracciones es otra fracción, que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores. TOME EN CUENTA QUE En este tipo de operación si se puede, debe simplificarse en el planteamiento y el resultado final. 5 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejemplo 1 a) 3 5 1x5 6 3𝑥6 𝑥 = 5 = b) 18 𝟒 𝟗 𝟐 𝟏 𝟑 𝟓 x x 𝟒𝒙𝟐𝒙𝟏 = 𝟗𝒙𝟑𝒙𝟓 𝟖 = 𝟏𝟑𝟓 El cociente de dos fracciones es otra fracción que se obtiene multiplicando en cruz los términos de las dos fracciones. Ejemplo 𝟏 a) 𝟒 ÷ 𝟐 𝟕 𝟏𝒙𝟕 = 𝟐𝒙𝟒 = 𝟕 𝟕 b) 𝟖 𝟗 ÷ 𝟑 𝟓 = 𝟕𝒙𝟓 𝟗𝒙𝟑 𝟑𝟓 = 𝟐𝟕 Ejercicios Resuelve las siguientes sumas y restas combinadas de fracciones 1) 4) 𝟑 𝟒 𝟏𝟑 7) 10) 𝟓 𝟕 𝟖 𝟏𝟐 - + 𝟐 𝟕 𝟖 𝟕 𝟖 - 𝟏 𝟑𝟐 x ÷ - 𝟏𝟔 𝟐𝟏 𝟏𝟒 𝟗 ; 𝟏 𝟔𝟒 2) - 𝟏 𝟏𝟐𝟖 5) 8) 11) 𝟏𝟏 𝟏𝟓 𝟑 𝟖 𝟑 - x 𝟒 𝟓 𝟏𝟐 ÷ 𝟕 𝟑𝟎 𝟏 𝟔 𝟒 𝟓 + 𝟑 𝟏𝟎 + x ; 3) 𝟏 6) 𝟏𝟐 𝟓 9) 𝟔 𝟑 𝟒 𝟏 𝟔 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟕 𝟏𝟐 - + x x - 𝟏 𝟏𝟒 𝟑 𝟐 𝟔 𝟓 𝟏 x 𝟏𝟎 𝟗 𝟑 x 𝟖 𝟏 𝟖 𝟏 𝟐 (𝟒 + 𝟓 + 𝟔)(𝟏𝟎 − 𝟑 − 𝟏𝟐) 12) 𝟕 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 (𝟖 ÷ 𝟐)(𝟐 + 𝟑 + 𝟒) RECUERDA Te hemos presentado tres reglas simples para resolver operaciones con fracciones. 6 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria 2. RAZONES Y PROPORCIONES Razón Razón, es el resultado de comparar dos cantidades. Esta comparación puede ser: a) Razón aritmética Si la comparación es cuantas veces excede una a la otra, o la diferencia indicada entre ambas, se pueden escribir de dos formas: separando las dos cantidades con el signo “-“, o con un punto (.) a–b o a.b Ejemplo La razón Aritmética de 30 y 6 se determina así 30 - 6 = 24 b) Razón geométrica De dos cantidades es el cociente de dichas cantidades es decir cuántas veces contiene una a la otra, se pueden escribir de dos modos en forma de fracción o separadas las dos cantidades por el signo de división. 𝒂 𝒃 a÷b Ejemplo La razón Geométrica de 30 y 6 se determina así 30 ÷ 6 = 5 7 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Determine la razón aritmética y geométrica de los siguientes números 1) 30 y 15 3) 16 y 2 2) 66 y 22 4) 40 y 5 Proporción Es la comparación entre dos razones y puede ser: a) Proporción aritmética Es la igualdad entre dos razones aritméticas y se escribe: a-b=c-d A los términos a y d se les llama extremos y a los términos b y c se les llama medios. En las proporciones aritméticas se cumplen las siguientes propiedades: 1. Un extremo es igual a la suma de los medios menos el otro extremo 12 - 6 = 8 - 2 → 12 = 6 + 8 - 2 y 2 = 6 + 8 - 12 Ejemplo Encuentre el término desconocido: 10 - 4 = 9 - x x = 4 + 9 - 10 x=3 2. Un medio es igual a la suma de los extremos menos el otro medio 12 - 6 = 8 - 2 → 6 = 12 + 2 - 8 y 8 = 12 + 2 - 6 8 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejemplo Encuentre el término desconocido: 10 - x = 9 - 3 x = 10 + 3 - 9 x=4 Ejercicios Hallar el término desconocido en: 1) 50 - 42 = 25 - x 2) 20 - x = 36 - 24 3) 11 - 5 = x - 16 4) x - 75 = 81 - 34 b) Proporción Geométrica Es la igualdad entre dos razones Geométricas y se escribe: 𝒂 𝒄 = 𝒃 𝒅 Propiedad fundamental de las proporciones Geométricas: En las proporciones geométricas el producto de los extremos es igual al producto de los medios es decir: En la proporción 𝟐 𝟑 = 𝟖 𝟏𝟐 Tenemos que 2 x 12 = 3 x 8 o sea 24 = 24. De esto se deriva. a) En toda proporción geométrica un extremo es igual al producto de los medios dividido por el otro extremo 𝟐 𝟑 = 𝟖 𝟏𝟐 Entonces 2 = 𝟑𝒙𝟖 𝟏𝟐 = 𝟐𝟒 𝟏𝟐 = 𝟐 → 12 = 𝟑𝒙𝟖 𝟐 = 𝟐𝟒 𝟐 = 12 9 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejemplo Encuentre el término desconocido 𝒙 𝟓 𝟕 𝟑 = = 𝟖 x= 𝟏𝟎 𝟐𝟖 x= 𝒙 𝟓𝒙𝟖 𝟏𝟎 𝟑 𝒙 𝟐𝟖 𝟕 𝟒𝟎 = 𝟏𝟎 = = 𝟖𝟒 𝟕 4 = 12 b) En toda proporción geométrica un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio 𝟐 𝟑 = 𝟖 𝟏𝟐 Entonces 3 = 𝟐 𝒙 𝟏𝟐 𝟖 = 𝟐𝟒 𝟖 = →8= 3 𝟐 𝒙 𝟏𝟐 𝟑 = 𝟐𝟒 𝟑 = 8 Ejercicios Hallar el término desconocido en: 1) 3) 𝟓 𝟔 𝟏 𝒙 = = 𝟐𝟎 2) 𝒙 𝟓 4) 𝟏𝟓 𝟗 𝟏𝟎 𝒙 𝟖 = = 𝒙 𝟐𝟎 𝟑𝟓 𝟒𝟎 RECUERDA La proporción Geométrica se utiliza en la solución de problemas de la regla de tres. 10 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Regla de Tres La regla de tres es un instrumento muy sencillo y útil al mismo tiempo. Consiste en una sencilla operación que nos va a permitir encontrar el cuarto término de una proporción, de la que sólo conocemos tres términos. Además, la regla de tres nos va a permitir operar al mismo tiempo con elementos tan distintos como horas, kilómetros, número de trabajadores o dinero invertido. Puede ser simple si está formada por dos magnitudes y compuesta si tiene más de dos magnitudes, a su vez la regla de tres simple puede ser directa o inversa. Regla de tres Simple Directa Es cuando si una magnitud aumenta la otra también aumenta y si una disminuye la otra también disminuye. Ejemplo Si 4 artículos cuestan C$ 25 cuánto costarán 40 artículos. a b Supuesto → 4 artículos C$ 25 Pregunta → 40 artículos x c Magnitud . d Artículos Los dos Los dos aumentan disminuyen Mayor cantidad Menor Cantidad Córdobas Mas Córdobas Menos Córdobas Es Directa porque las magnitudes artículos y Córdobas aumentan y disminuyen proporcionalmente y se resuelve multiplicando: Aplicamos lo aprendido en proporciones geométricas → 𝒙= 𝒄𝒙𝒃 𝒂 = 𝒙= 𝟒𝟎 𝒙 𝟐𝟓 𝟒 = 250 11 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Resuelve los siguientes problemas: 1. Una torre de 8 mts de altura, proyecta una sombra de 2.5 mts de longitud. 2. Un vehículo recorre 180 Km. con 4 galones de combustible cuántos kilómetros recorrerá a la misma velocidad y en iguales circunstancias con 16 galones. 3. De un grifo de agua fluyen 75 galones en 80 minutos ¿Cuántos galones fluirán en 2 horas? a) Regla de tres Simple Inversa Son inversamente proporcionales si una de las magnitudes aumenta y la otra como consecuencia disminuye. Entonces se dice que es regla de tres simple Inversa. Ejemplo Doce personas hacen una obra en 10 días. ¿Cuántos hombres realizarán la misma obra en 22 días? Magnitud Días Personas Uno + y el otro Uno - y el otro + Mas días Menos días Menos Más personas personas a b Supuesto 10 días 12 personas Pregunta 22 días x_____ c d Es Inversa porque cuando la magnitud personas aumenta la magnitud días disminuye y viceversa, en este caso se resuelve multiplicando. 𝒙= 𝒂𝒙𝒃 𝒄 = 𝒙= 𝟏𝟎 𝒙 𝟏𝟐 𝟐𝟐 = 5.5 12 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Resuelve los siguientes problemas: 1. Diez personas tienen comida para 20 días, cuántos días le durará la comida si llegan diez personas de visita. 2. Cuatro personas realizan seis metros de una obra, cuántas personas realizarán 50 metros de la misma obra en el mismo tiempo. 3. Una familia tiene víveres para 60 días a 3 raciones diarias ¿Cuánto le durará la misma cantidad de comida a 2 raciones diarias? b) Tanto por ciento Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número. El signo de tanto por ciento es %. Es decir que el 8% de 250 es 20 que indica que 200 se dividió en cien partes iguales y de ellas se tomó 8 partes. El tanto por ciento es importante por el valor expresable que tienen sus datos Ejemplo Para calcular el tanto por ciento aplicamos la regla de tres: Calcule el 45% de 700 100% 700 45% x . 𝑥= 𝟒𝟓 𝒙 𝟕𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 = 315 13 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Calcule 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. El 55% de 120 El 12% de 850 El 5% de 600 El 75% de 1,850 El 80% de 450 El 22% de 2,550 El 90% de 10,450 a. Cálculo de un número cuando se conoce un tanto por ciento de él. Ejemplo De qué número es 50 el 80% 80% 50 100% x . 𝑥= 𝟏𝟎𝟎 𝒙 𝟓𝟎 𝟖𝟎 = 62.5 Ejercicios Calcule 1. De qué número es 45 el 70% 2. De qué número es 125 el 30% 3.- De que número es 500 el 15% 4.- De que número es 1,300 el 54% 14 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria b. Calculo de qué tanto por ciento es un número de otro: Ejemplo Qué tanto por ciento es 160 de 500. Establecemos 500 es el 100%, entonces Supuesto 500 Pregunta 160 100% x . 𝑥= 𝟏𝟔𝟎 𝒙 𝟏𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎 = 32% Ejercicios Qué tanto porciento 1. 2. 3. 4. 5. Es 15 de 400 Es 900 de 5,000 Es 75 de 800 Es 154 de 567 Es 1,322 de 8,751 Qué tanto porciento 1. 2. 3. 4. 5. De 200 es 45 De 80 es 50 De 1,500 es 300 De 3,824 es 126 De 11,850 es 1,930 RECUERDA La Magnitud parámetro comparación. es un de 15 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria 3. NOTACIÓN CIENTÍFICA En matemáticas y ciencias, a menudo se suelen manejar números muy grandes o muy pequeños. Una forma de evitar manejar demasiados dígitos (normalmente tendríamos problemas con las calculadoras para introducirlos) es utilizar la notación científica. Todo número en notación científica siempre viene expresado de la misma forma. Una parte entera que consta de un número distinto de cero, seguido de una coma y de cifras decimales, multiplicado todo ello por una potencia de diez, con exponente positivo o negativo. Las aplicaciones más comunes de la notación científica son las siguientes: a) Pasar un número muy grande a notación científica Primer paso Segundo paso Se pone como parte entera el primer dígito de la izquierda. Seguidamente se pone una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos. Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras no decimales que tiene el número menos una (la primera). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la izquierda. Es un exponente positivo. Ejemplo Poner en notación científica el número 3897000000000000 Primer paso Segundo paso Parte entera: 3,897 Exponente de la potencia de diez: +15 (hay 16 dígitos no decimales, menos uno da quince) El número en notación científica sería = 3,897x1015 16 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Convierta a notación científica los siguientes números: 1. 125320000000 2. 1400000000000 3. 125890000 b) Pasar un número muy pequeño a notación científica Primer paso Segundo paso Se pone como parte entera el primer dígito distinto de cero de la izquierda. Seguidamente se pone una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos. Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras decimales que tiene el número hasta la primera que sea distinta de cero (incluida). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la derecha. Es un exponente negativo. Ejemplo Poner en notación científica el número 0,000000000003897 Parte entera: 3,897 Primer paso Segundo paso Exponente de la potencia de diez: -12 (hay 12 dígitos decimales, incluyendo el 3) El número en notación científica sería = 3,897x10-12 17 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Convierta a notación científica los siguientes números: 1. 0,00000011775 2. 0,0000000064 3. 0,000000000000102 RECUERDA La notación científica agiliza los procedimientos matemáticos. 18 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria II. ÁLGEBRA 1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. Ejemplo 2x, 4(x + y), 5a + 3b + 4. Término: Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Ejemplo: 3x, -8a, 9ab Elementos de un término algebraico: Clasificación de expresiones algebraicas Monomio Un solo termino 2x3 Polinomios Más de un término 4a + b - 3c Reducción de Términos Semejantes: Son semejantes cuando tienen el mismo literal a. Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplo 8x + 5x = 13x 19 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Reduzcan los siguientes términos 1) 5x + 12x + 17x + 9x 2) 15mn – 4mn - mn – 7mn - 2mn 3) 4a3b - 8 a3b - 25 a3b - 11a3b - 3 a3b 4) - 1/2 xy6 - 2 xy6 - 1/4 xy6 b. Reducción de dos términos semejantes de distintos signos Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor a continuación se escribe la parte literal Ejemplo 2x2y2 – 7x2y2 + 8x2y2 - 5x2y2 = - 2x2y2 Ejercicios Reduzca los siguientes términos 1) 8b – 13b 2) 21z + 3z 3) 6a + 4a – 2a 4) 3x – 7x + 5x Valor numérico de una expresión algebraica Es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas. 20 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Valor numérico de expresiones simples Ejemplo Hallar el valor numérico de 3m2n2p3 con valores m = 3, n = 2, p = 3 2m3n2 3 m2 n2p3 = 3 x (3)2 x (2)2 x (3)3 = 3 x 9 x 4 x 9 2 m3 n2 2 x (3)3 x (2)2 2x9x4 = 2,916 = 216 13.5 Ejercicios Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones para a = 2, b = 1, c = 4, x = 2, y = 3, z = ½ 1) 4 abc3 2) 2 x3y2 3) 5 x3y2z4 2 xyz2 4) x6 y4z x y3z2 Valor numérico de expresiones complejas Ejemplo Hallar el valor numérico de 2ab + ab – 3abc con los valores a = 2, b = 4, c = 1 Valor numérico = 2(2)(4) + (2)(4) – 3(2)(4)(1) = 16 + 8 - 24 = 0 21 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones para m = 1, n = 3, p = 2, x = ½, y = 4, z = 2 1) mnp2 – m3n2p + m2np3 2) 2x3y2z – 3x2yz + 4xy2z3 + xyz 3) 2xy + 4y3z2 – 5x3z2 4) 3m2n3p4 + 2mn2p3 - 5m3n2p + mnp 5) ½ m2n2p + ¼ mnp – 2m3n2p + 3mnp – 4mn4p3 22 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria 2. OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES CON EXPRESIONES Suma de términos algebraicos Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). Para sumar polinomios se colocan los polinomios uno debajo de los otros de modo que los términos semejantes queden en columna; se hace la reducción de éstos, separándolos uno de otros con sus propios signos. Ejemplo a) Sumar: (5m4 - 4m2 + 7m + 8) + (- 5m3 + 6m2 - 8m) + (m4 - 8m3 - 9m2 - 3) + (2m3 - 5m) 5m4 - 4m2 + 7m + 8 - 5m + 6m2 - 8m m4 - 8m3 - 9m2 -3 + 2m3 + 5m . 6m4 - 11m3 - 7m2 + 4m + 5 3 b) Sumar: (2a - 7b + 9d) +(- 4a - 3b - 10c + 5d) + (6a - 8c + 13d) - (- 5a + b + 3c + 4d) 2a - 7b - 4a - 3b 6a - 5a + b - a - 9b + 9d -10c + 5d - 8c + 13d + 3c + 4d -15c +31d Ejercicios Sumar 1) (3a + a2) + (4a3 + 5a2 + 7a) + (5a - a2 + 3a3) 2) (4x2 - x + 2x3 + 5) + (- x4 + 3x3 +11x2 + 6x - 3) + (7x3 + 4x2 - 2x + 5) 3) (12 m3 + 2m4 - 5m) + (8m4 - 3m3 + 16m2 - 4m) + (19m4 - 5m) 23 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria 4) (xy + x2) + (-7y2 + 4xy - y2) + (5y2 - x2 + 6xy) + (- 6x2 - 4xy + y2) 5) (-8a2m + 6am2 - m3) + (a3 - 5am2 + m3) + (4a3 + 4a2m - 3am2) + (7a2m - 4am2 - 6) Resta de términos algebraicos Es una operación que tiene por objeto dada una suma de dos sumandos, uno de ellos llamado minuendo y el otro sustraendo hallar la el tercer término que sería la diferencia. Para restar polinomios hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo, escribiremos el sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos. Ejemplo a) De (3x + 4y – 5z) Restar (x – 2y + 4z) 3x + 4y – 5z → 3x + 4y - 5z - ( x – 2y + 4z) → - x + 2y - 4z 2x + 6y - 9z b) De (8a4b2 + a6 - 4a2b4 + 6ab5) Restar (- 4a5b - ab5 + 6a3b3 - a2b4 - 3b4) a6 + 8a4b2 - 4a2b4 + 6ab5 + 4a5b - 6a3b3 + a2b4 + ab5 + 3b4 6 5 4 2 a + 4a b + 8a b - 6a3b3 - 3a2b4 + 7ab5 + 3b4 Ejercicios 1) De (5m3 -9n3 + 6m2n - 8mn2) Restar (14mn2 - 21m2n + 5m3 - 18) 2) De (4x2 - x + 2x3 + 5) Restar (7x3 + 4x2 - 2x + 5) 3) De (12 m3 + 2m4 - 5m) Restar (8m4 - 3m3 + 16m2 - 4m) 4) De (-7y2 + 4xy - y2) Restar (5y2 - x2 + 6xy) 5) De (-8a2m + 6am2 - m3) Restar (7a2m - 4am2 - 6) 24 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Multiplicación de términos algebraicos Es una operación que tiene por objeto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva. Para realizar multiplicación de términos algebraicos se deben tomar en cuenta las siguientes leyes: a) Ley de los signos: “Signos iguales dan más y signos diferentes dan menos” b) Ley de los exponentes: “Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores” Casos de la Multiplicación de polinomios a) Multiplicación de monomios Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. Ejemplo 4x2y por 2xy3 → (4 por 2 = 8) (x2 por x = x2+1 = x3) (y por y3 = y1+3 = y4) = 8x3y4 Ejercicios Multiplicar 1) a2b3c por a4b3c5 2) -4a2b por - a2b 3) m3n4 por m2n5p 4) x5y2z por x4y3z2 25 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria 5) xyz por x3y2z8 b) Multiplicación de polinomios por monomios Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos. Ejemplo Multiplicar 5m3 + m2 - 4m por - 3m 5m3 + m2 - 4m - 3m . 4 3 - 15m - 3m + 12m2 Ejercicios Multiplicar 1) x2- 4x + 3 por - 2x 2) 3ab + 2a2b3 - b por 4ab 3) 5mn2 - 2mn + n3 por 3mn c) Multiplicación de dos polinomios: Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos y se reducen los términos semejantes. Ejemplo Multiplicar: 4x - 3y por - 2y + 5x 4x - 3y 5x - 2y 20x2 - 15xy + 8xy + 6y2 20x2 - 7xy + 6y2 26 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios 1) a2+ b2 + 2ab por a + b 2) x2 - 2x + 5 por x3 + 2x 3) 3m3 - m2 + 10mn por m2 - mn2 División de términos algebraicos Es una operación que tiene por objeto dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor) hallar el otro factor (Cociente). a) División de monomios Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a las letras un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo lo da la ley de los signos. Ejemplo Dividir 6x3y2 entre 3xy = 6x3y2= - 2x2y - 3xy Ejercicios Dividir 1) 16a3b2 entre 4ab 2) 81m4n3 entre 9m2n 3) - 8x5y3 entre - 2x3y2 27 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria b) División de polinomios por monomios Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos Ejemplo Dividir 2x3 - 4x2y + 6xy2 entre 2x 2x3 - 4x2y + 6xy2 = 2x3 - 4x2y + 6xy2 = x2 - 2xy + 3xy2 2x 2x 2x 2x Ejercicios Dividir 1) 3m2n3 - 5m2n4 entre 3m2 2) 16x9y2 - 20x7y4 - 40x5y6 + 24x3y8 entre 4x2 3) 4a8 - 10a6 - 5a4 entre a 4) 2m3 - 8x2 + 2x entre 2x 5) 12x8y8 - 6x6y6 - 2x2y3 entre 6x2y3 c) División de polinomios por polinomios Se ordena el dividendo y el divisor en relación a una sola letra. Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer término del cociente. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan los operaciones anteriores y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. 28 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejemplo a) Dividir 12x2 - 22xy + 10y2 entre x - y 12x2 - 22xy + 10y2x - y x-y 2 -12x +12xy 12x - 10y - 10xy + 10y2 +10xy - 10y2 b) Dividir m3 - 3m2n + 3mn2 - n3 entre m - n m3 - 3m2n + 3mn2 - n3 -m3 + m2n - 2m2n + 3mn2 + 2m2n - 2mn2 + mn2 - n3 - mn2 + n3 m-n m2 - 2mn + n2 c) Dividir 2a4 - a3 + 7a - 3 entre 2a + 3 2a4 - a3 + 7a - 3 2a + 3 - 2a4 - 3a3 a3 - 2a2 + 3a - 1 3 - 4a + 4a3 + 6a2 + 6a2 + 7a - 6a2 - 9a - 2a - 3 + 2a - 3 Prueba de la División: Se multiplica el divisor por el cociente debiendo darnos el dividendo. Ejemplo Tomando los datos del ejemplo anterior: a3 - 2a2 + 3a - 1 2a + 3 _____ . 2a4 - 4a3 + 6a2 - 2a + 3a3 - 6a2 + 9a - 3 2a4 - a3 + 7a – 3 29 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Realice las siguientes divisiones y compruébelas 1) a5b - 5a4b2 + 22a2b4 - 40ab5 2) xy4 - xy - 2x entre xy + x 3) x2 + x - 20 entre x + 5 Realice los siguientes ejercicios de operaciones algebraicas combinadas 1) (4x3 + 10x2 - 3x + 10) + (-2x + x3 + 5x2+ 15) (x + 5) Respuesta. 5x2 - 2x + 5 30 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria 3. POTENCIACIÓN Se llama potencia a una expresión de la forma a n, donde a es la base y n es el exponente. Ejemplo (- 2x)2 = (- 2x) por (- 2x) = 4x2 (- 2x)3 = (- 2x) por (- 2x) por (- 2x) = - 8x3 (- 2x)4 = (- 2x) por (- 2x) por (- 2x) por (- 2x) = 16x4 Propiedades de los exponentes: a) Propiedad del exponente cero: “Todo número elevado a la potencia cero es igual 1” Ejemplo 40 = 1. b) Propiedad del exponente negativo: “Toda cantidad elevada a un exponente negativo equivale a una fracción cuyo numerador es 1, y su denominador la misma cantidad con el exponente 𝟏 -n positivo. a = 𝒏 ” 𝒂 Ejemplo a) Desarrolle x-2 = 1 . x2 b) Desarrolle la siguiente potencia: (4x2y3)2 = 42 por x2+2 por y3+2 = 16x4y5 31 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Desarrolle 1) (3m4n3p2)5 2) (10x7y4z8)3 3) (5a12b16c8)6 4) (4x6y7z3)4 RECUERDA a) Cualquier potencia de cantidad positiva es positiva. una b) Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva. c) Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa. 32 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria 4. PRODUCTOS NOTABLES Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación. a) Cuadrado de la suma de dos cantidades: (a + b)2 “El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad”. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Ejemplo 1. Desarrollar (m + 2)2 = (m)2 = Cuadrado del 1ro. Duplo del 1ro. x el 2do. 2 * m * 2 = (2)2 = Cuadrado del Segundo Entonces (m + 2)2 = m2 4m 4 m2 + 4m + 4 2. Desarrollar (6x2 + 10y3)2 Cuadrado del 1ro. (6x2)2 = Duplo del 1ro. x el 2do. 2 * 6x2 * 10y3 = Cuadrado del Segundo (10y3)2 = Entonces (6x2 + 10y3)2 = 364 120x2y3 100y5 36x4 + 120x2y3 + 100y5 33 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Escribir por simple inspección 1) (2x + 3)2 2) (4a + b)2 3) (5m5 + n3)2 4) (2xy2 + (3ab2)2 5) (6x10 + 3y4)2 b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades: (a - b)2 “El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad” (a + b)2 = a2 - 2ab + b2” (a + b)2 = a2 - 2ab + b2 Ejemplo Desarrollar (m + 2)2 = (m)2 = m2 Duplo del 1ro. x el 2do. 2 * m * 2 = 4m Cuadrado del 1ro. Cuadrado del Segundo Entonces (m + 2)2 = (2)2 = 4 m2 - 4m +4 34 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Escribir por simple inspección 1) (4m - 2n)2 2) (2x3 - y2)2 3) (7a2 - 3b5)2 4) (x2 - y2)2 5) (m3 - n3)2 c) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (a + b) (a - b) “La suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia, es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo” (a + b) (a - b) = a2 - b2 Ejemplo Desarrollar (2m + 3n) (2m - 3n) = (2m)2 - (3n)2 = 4m2 - 9n2 Ejercicios 1) (2a + 1) (2a - 1) 2) (m2 + n2) (m2 - n2) 3) (x + 1) (x -1) 35 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria d) Cubo de un binomio: (x + y)3 ó (x - y)3 “El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda”. (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 Ejemplo Desarrollar (m + 2)3 (m)3 = Cubo del 1ro. m3 Más el Triplo del 1ro. al cuadrado x el 2do. = 3 * m2 * 2 = 6m2 Más el Triplo del 1ro. x el 2do. al cuadrado = 3 * m * 22 = 12m (2)3 = Más el Cubo del 2do. Entonces 8 m3 + 6m2 + 12m + 8 (m + 2)3 = “El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda”. (x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 Ejemplo Desarrollar (m - 2)3 = Cubo del 1ro. (m)3 = m3 Menos el Triplo del 1ro. al cuadrado x el 2do. = 3 * m2 * - 2 = - 6m2 = 3 * m * - 22 = 12m MAS el Triplo del 1ro. x el 2do. al cuadrado Menos el Cubo del 2d Entonces (m + 2)3 = “Un mejor futuro para los jóvenes” (2)3 = -8 m3 - 6m2 + 12m - 8 36 CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Desarrolle: 1) (a + 2b)3 2) (3x - 4y)3 3) (m + 2n)3 4) (a2 - 3b)3 5) (2x - 3y2)3 37 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria 5. FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto. Factor común monomio Es el factor que está presente en cada término del polinomio. Ejemplo Factorice 12x + 18y - 24z Expresión algebraica 12x + 18y - 24z Factor común 6 Producto 6(2x + 3y - 4z) Ejercicios Utilizando la siguiente tabla resuelva los siguientes ejercicios encontrando el factor común de: No. Expresión algebraica 1 6x - 12 2 24a - 12ab 3 14m2n + 7mn Factor común Producto Factor común polinomio Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión algebraica. 38 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejemplo Expresión algebraica Factor común Producto x(a + b) + y( a + b) (a + b ) x(a + b ) + y( a + b ) = (a + b )( x + y) Ejercicios Resuelva los siguientes ejercicios encontrando el factor común utilizando la siguiente tabla: No. Expresión algebraica 1 a(x + 1) + b ( x + 1 ) 2 3 Factor común Producto (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) a( a + b ) - b ( a + b ) Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c Ejemplo Expresión algebraica X2 - x - 6 X2 + 4xy - 12y2 ab (-3)(2)= -6 (6y)(-2y) a-b -3 + 2 = -1 6y - 2y Producto (x - 3) (x + 2) (x + 6y) (x 2y) 39 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios: Expresión algebraica x2 + 4x + 3 b2 + 8b + 15 r2 - 12r + 27 ab a-b Producto Factorización de un trinomio de la forma ax2+ bx + c Ejemplo (𝐚𝐱 )(𝐚𝐱 ) 𝐚 Expresión algebraica a(ax2+bx+c) 𝐚𝐱 𝟐 + 𝐛(𝐚𝐱) + 𝐚𝐜 𝐚 (ax 2a2 + 3a - 2 2(2a2 + 3a - 2) 𝟒𝒂𝟐 + 𝟑(𝟐𝒂) − 𝟏𝟓 𝟐 (2a + 4) (2a - 1) (2𝑎 + 4)(2𝑎 − 1)(a + 2) (2a - 1) 2 )(ax ) Producto Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios: Expresión algebraica a(ax2+bx+c) 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃(𝒂𝒙) + 𝒂𝒄 (ax 𝒂 )(ax ) (𝒂𝒙 )(𝒂𝒙 ) 𝒂 Producto 5x2 + 11x + 2 4x2 + 7x + 3 5 + 7b + 2b2 Factorización de la diferencia de dos cuadrados: a2 - b2 Ejemplo Expresión algebraica: a2 - b2 9x2 - 16y2 a b 9x2 = 3x * 16y2= 4y * - 4y 3x Producto (3x + 4y) (3x 4y) 40 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios: Expresión algebraica: a2 - b2 9a2 - 25b2 4x2 - 1 36m2n2 - 25 a b Producto Factorización de un trinomio cuadrado perfecto: x2 + bx + c Ejemplo Expresión algebraica: x2 + bx + c 9x2 - 30x + 25 √x2 3x √c2 (x - c) (x - c) -5 (x - 5) (x - 5) Producto (3x - 5)2 Ejercicios Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos: Expresión algebraica: x2 + bx + c b2 - 12b + 36 m2 - 2m + 1 16m2 - 40mn + 25n2 √x2 √c2 (x - c) (x - c) Producto RECUERDA “El resultado de la factorización es un producto y si efectuamos ese producto el resultado debe ser la expresión algebraica original.” 41 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria 6.- OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas 𝒂 𝒃 Suma con fracciones algebraicas Para sumar fracciones algebraicas se siguen los siguientes pasos. a) Se simplifican las fracciones dadas de ser posible b) Se reducen las fracciones al mínimo común denominador, si son de distinto denominador. c) Se efectúan las multiplicaciones indicadas d) Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta suma por el denominador común. e) Se reducen términos semejantes en el numerador f) Se simplifica la fracción que resulte, si es posible. Ejemplo a−2 4 + 3a+2 6 = 3(a−2)+2(3a+2) 12 = 3a−6+6a+4 12 = 9a−2 12 Ejercicios Sumar 1) a - 2b + b - a 15a 20b 2) a + 3b + a2b - 4ab2 3ab 5a2b 3) a - 1 + 2a + 3a + 4 3 6 12 42 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Resta con fracciones algebraicas Para restar fracciones algebraicas se siguen los mismos pasos que en la suma con la diferencia que Se restan los numeradores de las fracciones que resulten y la diferencia se parte por el denominador común. Ejemplo De 𝒂+ 𝟐𝒃 Restar 𝟑𝒂 𝟐𝒂𝟐 𝒃+𝟒𝒂𝒃𝟐 𝟔𝒂𝟐 𝒃 - 𝟒𝒂𝒃𝟐 − 𝟑 𝟔𝒂𝟐 𝒃 𝟒𝒂𝒃𝟐 − 𝟑 𝟔𝒂𝟐 𝒃 = ; 𝒂+ 𝟐𝒃 𝟑𝒂 - 𝟒𝒂𝒃𝟐 − 𝟑 𝟔𝒂𝟐 𝒃 = 𝟐𝒂𝒃(𝒂+𝟐𝒃) 𝟔𝒂𝟐 𝒃 - 𝟒𝒂𝒃𝟐 − 𝟑 𝟔𝒂𝟐 𝒃 𝟐𝒂𝟐 𝒃+𝟒𝒂𝒃𝟐 − (𝟒𝒂𝒃𝟐 − 𝟑) 𝟐𝒂𝟐 𝒃+𝟒𝒂𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒃𝟐 − 𝟑 𝟔𝒂𝟐 𝒃 𝟔𝒂𝟐 𝒃 ; = 𝟐𝒂𝟐 𝒃+𝟑 𝟔𝒂𝟐 𝒃 Ejercicios Restar 1) 𝑚−3 4 - 𝑚+2 8 ; 2) 2𝑥 + 3 4𝑥 - 𝑥−2 8𝑥 3) − 2𝑥 + 𝑦 20𝑥 - 𝑥− 3𝑦 24𝑦 Multiplicación con fracciones algebraicas Para multiplicar fracciones algebraicas se siguen los siguientes pasos. Primer paso Segundo paso Tercer paso Se descomponen en factores Se simplifica Se multiplican entre si los numeradores y este producto se parte por el producto de las expresiones que queden en los denominadores. 43 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejemplo Multiplicar 𝟐𝒂 𝟑𝒃𝟐 x 𝟑𝒃𝟑 𝟒𝒙 x 𝒙𝟐 𝟐𝒂𝟐 = 𝟐 𝐗 𝟑 𝐗 𝐚 𝐗 𝒃𝟐 𝐗 𝒙𝟐 𝟑 𝐗 𝟒 𝐗 𝟐 𝐗 𝒂𝟐 𝐗 𝒃𝟑 𝐗 𝒙 = 𝒙 𝟒𝒂𝒃 Ejercicios Multiplicar 1) 2) 3) 4) 𝟐𝒎𝟐 𝟔𝒏𝟐 x 𝟑𝒏 𝟓 𝒙 x 𝟒𝒎 𝟐𝒙 𝒚𝟐 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 𝟔 𝒂+𝒃 𝒂𝒃 − 𝒃𝟐 x x x 𝟑𝒚 𝟏𝟎 𝟖 𝟒𝒙+𝟐 𝒃𝟐 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 División con fracciones algebraicas Para dividir fracciones algebraicas se multiplica el dividendo por el divisor invertido. Ejemplo Dividir 𝒎𝟐 𝟑𝒏𝟐 ÷ 𝟐𝒎 𝒏𝟑 = 𝒎𝟐 𝟑𝒏𝟐 x 𝒏𝟑 𝟐𝒎 = 𝒎𝒏 𝟔 44 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Dividir 1) 2) 3) 𝟓𝒎𝟐 𝟕𝒏𝟑 ÷ 𝟏𝟓𝒂𝟐 𝟏𝟗𝒙𝒂𝟑 𝒙−𝟏 𝟑 ÷ 𝟏𝟎𝒎𝟒 𝟏𝟒𝒂𝒏𝟒 ÷ 𝟐𝟎𝒃𝟐 𝟑𝟖𝒙𝟑 𝒂𝟒 𝟐𝒙−𝟐 𝟔 45 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria 7. ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS CON UNA VARIABLE Ecuación Es la igualdad de dos expresiones algebraicas en la que hay una o varias variables, y que es verdadera para algunos valores del conjunto de los números reales. Son ejemplos de ecuaciones las siguientes: 3x – 1 = 2x -3; x + y + z = 2x – 5y +2z Ecuaciones lineales Es una ecuación de la forma ax + b = 0, con a no es 0 donde a y b son números Reales, se llama Ecuación Lineal de Primer Grado en una Variable. Para resolver una ecuación de primer grado se procede del modo siguiente: Ejemplo a) Resolver la ecuación 5 + 4a = 3a + 7 Primer paso Segundo paso Tercer paso Cuarto paso Trasponemos el termino 3a al primer miembro. 5 + 4a - 3a = 7 Trasponemos el término 5 al segundo miembro 4a - 3a = 7 - 5 Reducimos los dos términos Comprobamos a=2 5 + 4(2) = 3(2) + 7 entonces 13 = 13 46 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria b) Resolver la ecuación 2(m +1) + 3(m - 2) = m + 4 Primer paso Segundo paso Tercer paso Cuarto paso Suprimen los paréntesis 2m + 2 + 3m - 6 = m + 4 Agrupamos términos semejantes 5m - 4 = m + 4 Trasponemos el término m al primer miembro. 5m - 4 - m = 4 Trasponemos el término - 4 al segundo miembro. 5m - m = 4 + 4 Quinto paso Reducimos los dos términos 4m = 8 → m = 8/4 = 2 Sexto paso Comprobamos 2 (2 + 1) + 3(2 - 2) = 2 + 4 entonces 6 = 6 Ejercicios 1) 3x - 5 = x + 3 2) 5m +6 = 10m + 5 3) 21 - 6a = 27 - 8a 4) y - 5 = 3y - 25 5) 7 + (2x + 1) = 2x + 9 47 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado Es toda ecuación que una vez simplificada el mayor exponente de la incógnita es 2. La ecuación cuadrática se resuelve: a) Mediante la aplicación de la formula general o cuadrática. 𝒙 = −𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 Ejemplo Resolver la ecuación 3a2 - 7a + 2 = 0 → a = 3; b = - 7 y c = 2, Primer paso Segundo paso Sustituyendo los valores en la ecuación 𝒙 = Realizamos las operaciones en la raíz 𝒙= 𝑋= −(−𝟕)±√𝟕𝟐 −𝟒(𝟑)(𝟐) 𝟐(𝟑) 𝟕 ±√𝟒𝟗−𝟐𝟒 𝟔 = 𝟕 ±√𝟐𝟓 𝟔 𝟕±𝟓 Tercer paso Despejamos la raíz Cuarto paso Encontramos las raíces 𝒙𝟏 = 𝟔 𝟕+𝟓 𝟔 = 𝟐; 𝒙𝟐 = 𝟕−𝟓 𝟔 = 𝟏/𝟑 Ejercicios 1) m2+ 15m + 56 = 0 2) x2 + 2x - 8 = 0 3) x2 + 11x + 24 = 0 48 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria 8. SISTEMAS DE ECUACIONES Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas. Ejemplo RECUERDA Resuelva utilizando el método de eliminación. “Aquí aplicamos lo estudiado en el tema 6 de esta guía, llamado Operaciones con expresiones algebraicas” x − 3y + 2z = 6 x + y − z = −1 2x + 3y + z = 0 1er. Paso Para eliminar la x de la segunda ecuación se multiplica la primera ecuación por −1 y se suma a la segunda ecuación, lo que equivale a restar la primera ecuación de la segunda. −1 [ x − 3y + 2z = 6 ]→ + [ x + y − z = −1 ]→ x + 3y - 2z = - 6 x + y − z = −1 4y −3z = −7 Para eliminar 2x de la tercera ecuación se multiplica la primera ecuación por −2 y se suma con la tercera, lo que equivale a restar de la tercera dos veces la primera. −2 [ x − 3y + 2z = 6 ] → -2x +6y – 4z =-12 + [ 2x + 3y + z = 0 ] → 2x +3y + z = 0 9y − 3z = −12 Las dos ecuaciones resultantes forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y, z. 49 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria 2do. Paso Ahora hay que eliminar una de las incógnitas, y o z, en la segunda de las ecuaciones anteriores. Observamos que es más sencillo eliminar la z, ya que para ello basta multiplicarla primera por −1 y sumar con la segunda, o lo que es lo mismo, hay que restar la primera de la segunda. 4y − 3z = −7 9y − 3z = −12 −1 [ 4y − 3z = −7 ]→ -4y + 3z = 7 + [ 9y − 3z = −12 ]→ 9y − 3z = −12 5y =− 5 y=-5 y = -1 5 3er. Paso El valor y = −1 se sustituye en la primera de las ecuaciones en y y z obtenidas en el Paso 1 y se resuelve la ecuación resultante en z. 4 * (−1) − 3z = −7 −3z = −7 + 4 = −3 z = −3 -3 z =1 4to. Paso El valor y = −1 y el valor z = 1 se sustituyen en la primera de las ecuaciones del sistema y se resuelve la ecuación resultante en x. x − 3 * (−1) + 2 * 1 = 6 x=6−3−2=1 Concluimos que la solución del sistema de ecuaciones es: x = 1, y = −1, z = 1 50 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria Ejercicios Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de eliminación 1) 2x + y - 3z = - 1 x - 3y - 2z = - 12 3x - 2y - z = - 5 2) x+ y+ z= 6 2x - y + 3z = 4 4x + 5y - 10z = 13 3) 2a + b + 3c = 12 a + 2b + 5c = 10 6a - 3b - 9c = 24 RECUERDA Toda ecuación está formada por dos miembros. Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que queda a la izquierda del signo de la igualdad, y segundo miembro a la expresión que queda a la derecha del signo de igualdad. 51 “Un mejor futuro para los jóvenes” CONVOCATORIA 2016 – Instituto Tecnológico Victoria - Fundación Victoria REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. A., Baldor. Álgebra. (2005). Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V. México. 2. Parajón Guevara, Antonio. (2009). El Álgebra y su Tratamiento Metodológico y sus Aplicaciones. Módulo III. Managua, Nicaragua. 3. Escobar Morales, Ramón Sebastián. Fundamentos de Matemática 8° Grado. Librería y Ediciones San Miguel. Managua 2011 4. SWOKOWSKI, e., Cole, J.A. (1991). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Tercera Edición. México: Grupo editorial Iberoamérica. 52 “Un mejor futuro para los jóvenes”
