ALGEBRA { 1o C 5. [0.5 ptos] Siendo A =

ALGEBRA
{ 1o C
1r. Parcial
5-Febrero-2005
1. [1 pto] Demuestra, ayudandote de una tabla de verdad, que
(p ! (q ^ r)) $ ((p ! q ) ^ (p ! r))
Niega
p
!( ^
q
r
) y da un ejemplo de proposiciones p; q; r que s satisfagan la implicacion.
2. [1.25 ptos] Considerando U=fresultados al tirar dos dadosg y sus subconjuntos A=fresultados
con suma de puntuaciones menor o igual que 6g, B=fresultados con dos puntuaciones que sean
numero parg, halla A; A4B; P (A \ B ).
3. [0.5 ptos] De un grupo de 50 personas, 3 no leen nunca la prensa, 30 leen el periodico P, 26
leen el periodico M, 20 leen P y tambien el periodico A, 15 leen P y M, 12 leen M y A, y 7 leen
todos. >Cuantas personas leen A?
4. [1 pto] Dada la aplicacion
f
:R
x
y la relacion
R
asociada a ella y dada por
xRy
,
! R
;
x
2
( ) = f (y ) para
f x
x; y
2R
;
demuestra que R es una relacion de equivalencia, di cual sera la clase de equivalencia de un
x real dado y la forma que tendr
a el conjunto cociente. Realiza asimismo la descomposicion
canonica de f .
5. [0.5 ptos] Siendo A = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g; B = f2; 3; 4; 5; 6g y la relacion de orden dada por el
siguiente diagrama de Hasse:
1
2
4
3
5
6
7
halla (si existen) cotas superiores/inferiores, supremo/nmo, maximo/mnimo de B , elementos
maximales/minimales de A, y extrae de A una cadena formada por cuatro elementos.
6. [1.5 ptos] Demuestra que la aplicacion entre grupos
f
: (R3 ; +)
(x; y; z )
!
;
(R2 ; +)
z; y
z)
(x
es homomorsmo, y halla su nucleo y su imagen. >Es
f
biyectiva?
7. [1.25 ptos] Demuestra que, al considerar la estructura algebraica (R2 ; +; ), donde las operaciones estan denidas de la siguiente forma:
(x; y ) + (x ; y ) = (x + x ; y + y )
0
0
0
0
(x; y ) (x ; y ) = (xx
0
0
0
0
yy ; xy
+ yx )
0
0
se verica la propiedad distributiva de respecto a +
8. [1 pto] Comprueba que
S
= f(x; y; z ) 2 R3 j 2x + 5y
4z = 0; x + 3y + z = 0g
(>que tipo de lugar geometrico representa?) es un subespacio de (R3 ; +), y da una base de S .
Si has de resolver algun sistema de ecuaciones lineales, hazlo mediante el metodo de Gauss.
9. [1 pto] Da un ejemplo de algebra de Boole (conjunto y tres operaciones) que conozcas. Especica los nombres y la forma de las seis propiedades que cumple para serlo.
10. Razona si las siguientes armaciones son ciertas o no:
i) [0.25 ptos] (A; ) totalmente ordenado ) (A; ) retculo
ii) [0.25 ptos] (G; ) grupo, S G. Se tiene que S subgrupo de G , a b 2 S
iii) [0.25 ptos] (R2 ; +; ) es cuerpo pero no es anillo
iv) [0.25 ptos] (Zr ; +; ) es cuerpo sobre R 8r 2 N
Razona todos los pasos y respuestas
8
a; b
2
S