Estudio recreativo de los movimientos en el plano II: Frisos y mosaicos

Revista Digital:
Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula.
ISSN 1989-2152
DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº-13 – OCTUBRE DE 2009
“ESTUDIO RECREATIVO DE LOS MOVIMIENTOS EN
EL PLANO II: FRISOS Y MOSAICOS”
AUTORIA
ANDRÉS RODRÍGUEZ CARRILLO
TEMÁTICA
MATEMÁTICAS RECREATIVAS
ETAPA
EDUCACIÓN SECUNDARIA
Resumen
INTRODUCIR DE FORMA RECREATIVA LAS DISTINTAS APLICACIONES EN EL
PLANO DE LOS MOVIMIENTOS: FRISOS Y MOSAICOS.
Palabras clave: matemáticas recreativas, geometría, frisos y mosaicos
INTRODUCCIÓN
A lo largo de la historia hemos encontrado muestras de carácter geométrico utilizadas por el hombre:
hileras de dólmenes prehistóricos, decoraciones pintadas por los egipcios, bandas esculturales de los templos
griegos, decoración del legado artístico hispano musulmán…En todas ellas aparece algún motivo o figura
mínima que se repite con cierto orden o periodicidad una vez realizada sobre ella una traslación, un giro, una
simetría o cualquier composición de ellos.
Esto no sólo aparece en diseños ornamentales, sino que también se encuentra presente en la
naturaleza. Podemos observar la simetría del cuerpo animal, la piel de serpientes, los paneles de abeja…
Aunque ha sido fundamentalmente en el arte donde su utilización ha constituido un recurso decorativo
básico, llegando hasta el punto de constituir representaciones gráficas de creencias religiosas como en la
religión islámica, teniendo prueba de ello en la Mezquita de Córdoba y la Alhambra de Granada.
Estos diseños andaluces han inspirado a artistas destacando al holandés M.C. Escher que, sin
limitaciones religiosas, utilizó las mismas técnicas con figuras no geométricas de plantas, animales, personas,
para crear algunas de sus obras.
Prestaremos especial atención tal y como indica el título al estudio de los frisos y mosaicos.
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FRISOS
Un friso es una banda rectangular donde un elemento básico, obtenido por un movimiento o
composición de movimientos a una figura dada, geométrica u orgánica, se repite periódicamente, es decir, se le
aplican sucesivas traslaciones de igual vector al resultado obtenido. Dicho de otra forma: son bandas
construidas a partir de la repetición de figuras geométricas con un cierto ritmo. A estos elementos decorativos
también se les denomina cenefas.
Al conjunto de isometrías del motivo inicial y a la traslación ta lo llamaremos sistema generador del friso.
Los frisos o cenefas aparecen en pinturas egipcias, bandas esculturales de los templos griegos,
decoración textil romana, decoraciones de los márgenes de los libros medievales, cerámica nazarí,… Hoy los
encontramos en decoraciones diversas: telas, papeles pintados, marcos de cuadros, encajes, edificios de varias
plantas, la fabricación en serie, etc. La naturaleza utiliza frisos muy interesantes: la procesionaria del pino, las
moléculas del ADN.
ACTIVIDAD 1
Observa el diseño de las siguientes figuras. Continúalo hacia la derecha y hacia la izquierda. ¿Qué
movimiento se le ha aplicado al motivo original? ¿Qué obtienes?
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Observaciones:
Los alumnos deben familiarizarse con la creación de frisos, comenzando con los más sencillos.
Objetivos:
Reforzar la idea de traslación y la necesidad de que los alumnos sepan crear cenefas a partir de los
motivos mínimos.
Solución:
En cada uno de los apartados hemos aplicado una traslación de vector ta indicada en cada una de ellas:
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ACTIVIDAD 2
Dado el siguiente motivo construye a partir de él, de los movimientos y sus composiciones, todos los
posibles frisos, indicando la figura base y como obtenerla.
Observaciones:
Los alumnos deben familiarizarse con los distintos tipos de movimientos y la posibilidad de sus
composiciones.
Objetivos:
Reforzar los distintos tipos de movimientos así como sus posibles compasiones para determinar la
creación de un friso de todas las formas posibles a partir de una figura dada.
Solución:
1) Aplicaremos una traslación directamente al motivo mínimo respecto del vector señalado, obteniendo:
2) Aplicaremos una simetría horizontal al elemento generador obteniendo el elemento base siguiente:
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Y a este le aplicaremos la traslación, obteniendo:
3) Aplicaremos una simetría vertical al elemento generador obteniendo la figura base y a ésta la traslación
señalada.
4) Aplicaremos un deslizamiento a la figura base, que consiste en realizar una simetría de eje horizontal y
al elemento obtenido una traslación, obteniendo así la figura base y a ésta se le aplica la traslación de
vector señalado.
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5) Aplicaremos un giro de 180º a la figura base, obteniendo el elemento generador y a éste una traslación.
6) Al elemento base que será el inicial junto con un giro de 180º de él mismo, caso anterior, le aplicaremos
una simetría horizontal para así obtener el elemento generador del friso.
7) Para obtener el elemento generador del friso actuaremos de la siguiente forma: partimos del elemento
generador del caso 3º, y le aplicaremos un giro de 180º y sobre éste un deslizamiento, obteniendo con
todo esto el elemento generador del friso.
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Nota: aunque se pueda pensar que se pueden obtener frisos de innumerables formas, sólo es posible hacerlo
utilizando los 7 modelos vistos en la actividad anterior.
ACTIVIDAD 3
¿Qué movimientos o composición de movimientos se han realizado sobre la figura o motivo inicial para
formar los siguientes frisos?
Observaciones:
Para resolver esta propiedad será necesario el conocimiento de todas las posibles formas de realizar un
friso conociendo la figura mínima.
Objetivos:
Visto un friso, distinguir el motivo mínimo, la figura base obtenida a partir de él y los movimientos a partir
de los cuales se obtiene.
Solución:
Nota: la solución del ejercicio se realizará:
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1ª fila_de izquierda a derecha (1º,2º,3º)
2ª fila_ de izquierda a derecha (4º,5º,6º)
3ª fila(7º)
Elemento generador = motivo mínimo= trébol. Se le aplica una traslación.
Elemento generador = flecha, le aplicaremos una simetría vertical obteniendo la figura base y a ésta la
traslación.
Elemento generador= triángulo, le aplicamos un giro de 180º obteniendo la figura base y a ésta la traslación.
Elemento generador = semicírculo, giro de 180º creando el motivo mínimo y a este la traslación.
Elemento generador = semicírculo, le aplicamos una simetría vertical y a la figura obtenida un giro de 180º más
un deslizamiento, obteniendo la figura base y a ésta la traslación.
Elemento generador = triángulo, le aplicamos un deslizamiento (simetría horizontal + traslación) obteniendo la
figura base y a ésta la traslación.
Al elemento generador le aplicamos una simetría horizontal y a la obtenida la vertical obteniendo el elemento
generador.
ACTIVIDAD RECREATIVA
Se puede realizar una visita a la Alhambra de Granada o a la Mezquita de Córdoba y allí dibujar en un
cuaderno los frisos existentes para su posterior análisis.
Si no se pudiera realizar tal actividad, sería posible realizarla a partir de fotografías o diapositivas
expuestas en clase.
NOTA: todos los frisos anteriores son planos, sin embargo, también aparecen con frecuencia frisos
tridimensionales. Las hiladas de casas adosadas, la estructura del ascensor de un edificio de varias plantas,
una hilera de coches del mismo modelo y color, una escalera de caracol, son algunos ejemplos.
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MOSAICOS
Si combinamos formas geométricas en el plano, de modo que ajusten perfectamente para cubrir toda
una superficie, sin dejar huecos ni solaparse, obtenemos unos diseños llamados mosaicos o teselaciones.
(Teselación: del latín tessellae, nombre que se daba en la época romana a los pequeños azulejos utilizados en
los pavimentos y muros de la antigua Roma). Estos diseños desarrollados con el arte de la ornamentación, se
han desarrollado mucho en numerosas culturas: egipcia, griega, musulmana, japonesa, china. Hoy en día se
siguen utilizando con fines decorativos, constructivos, etc. También encontramos mosaicos en la Naturaleza: los
cristales, organismos vivos vistos al microscopio, paneles de abeja, pompas de jabón, etc.
Por tanto, un mosaico se construye repitiendo, de forma ordenada, una o varias figuras geométricas
hasta rellenar completamente el plano o el espacio nosotros nos dedicaremos en exclusiva a su estudio en el
plano. Pero cuidado, no todas las figuras geométricas permiten construir mosaicos.
Según las figuras que los formen los podemos clasificar en:
Mosaicos regulares
Son los construidos utilizando un mismo polígono regular.
Observemos que como el ángulo de un polígono regular de n lados es 180.(n-2)/n, entonces para rellenar el
plano sin dejar huecos ni producir solapamientos, el ángulo interior debe ser un divisor de 360º y claramente
para que tenga sentido, menor que 180º.
ACTIVIDAD 1
Busca los polígonos regulares con los cuales se pueda teselar el plano.
Observaciones:
Los alumnos deben familiarizarse con la creación de mosaicos, comenzando con los más sencillos.
Objetivos:
Buscar de forma razonada, a partir del razonamiento anterior, los posibles mosaicos regulares.
Solución:
Vayamos probando con los distintos polígonos regulares:
-
Triángulo equilátero: n = 3, sus ángulos interiores son de 60º, que es divisor de 360º; por tanto
puede teselar todo el plano.
Cuadrados: n = 4, sus ángulos interiores son de 90º, que es divisor de 360º, por tanto sirve para
cubrir todo el plano.
Pentágonos: n= 5, sus ángulos interiores son de 108º que no es divisor de 360º, por tanto no sirve.
Hexágono: n = 6, sus ángulos interiores son de 120º que es divisor de 360º, por tanto sí sirve.
Heptágono: n=7, sus ángulos interiores no son exactos; no sirve.
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Se siguen comprobando con los demás polígonos regulares y se observa que no sirven.
Como conclusión obtenemos que los únicos polígonos regulares que pueden teselar el plano son: los
triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos.
Mosaicos semirregulares:
Son las composiciones formadas por dos o más tipos de polígonos regulares en que la distribución de
éstos alrededor de cualquier vértice es siempre la misma.
Si para realizar un mosaico se utilizan k polígonos regulares de igual lado que concurran en un vértice,
se deduce fácilmente que el número mínimo y máximo de polígonos a utilizar serán 3 y 6 respectivamente.
Bajo estas condiciones y teniendo en cuenta que el ángulo interior de un polígono regular de n lados es:
180º. (n-2)/n se cumple:
ACTIVIDAD 1
Particularizando para los distintos valores de k, determina los posibles mosaicos semirregulares.
Observaciones:
Los alumnos deben seguir familiarizándose con la creación de mosaicos a partir de polígonos regulares,
se debe tener en cuenta que algunos de ellos tienen distinta forma de disponerlos, obteniendo así diferentes
mosaicos.
Objetivos:
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Se pretende buscar todos cada uno de los polígonos semirregulares posibles. Para ello, utilizaremos un
código especial que recibe el nombre de símbolo de Schläfi, que consiste en indicar qué polígonos concurren
en cada vértice, utilizando el número de lados como abreviatura del polígono regular correspondiente.
Solución:
Para k = 6
Que corresponde a un hexágono
Para k = 5
Para k = 4
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Para k = 3
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Como ni son números naturales, se encuentran 17 soluciones distintas que cumplen estas ecuaciones.
Por tanto, se han encontrado 17 modelos en los que concurren varios polígonos regulares en un vértice.
Algunas de estas soluciones admiten dos formas distintas de ordenarlos, por lo que al final se
consiguen 21 modelos de vértices posibles.
ACTIVIDAD RECREATIVA:
Mosaicos con todos los vértices iguales: Mosaicos Uniformes
Trata de conseguir todos los mosaicos con la condición de que todos sus vértices sean iguales.
Solución:
Se consiguen únicamente 11 tipos de mosaicos que son los siguientes:
36
3 ,42
3,122
3
44
3 ,4,3,4
4,6,12
2
63
3,4,6,4
4,82
34,6
3,6,3,6
ACTIVIDAD 2.
Utilizando los macros de los polígonos regulares y la herramienta polígono regular construye el
siguiente mosaico: 32, 4, 3, 4
¿Qué particularidad tiene?
Observación:
Deseamos que sepan distinguir las características de los distintos mosaicos.
Objetivos:
Pretendemos que los alumnos sepan interpretar la nomenclatura de los mosaicos así como dibujarlo.
Solución:
Todos sus vértices son iguales
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ACTIVIDAD RECREATIVA:
Mosaicos con dos tipos de vértices
¿Cuántos tipos distintos de este tipo de mosaicos se pueden construir?
Solución:
Se comprueba que se pueden construir 20 modelos distintos de mosaicos que tienen dos tipos de
vértices.
ACTIVIDAD 3
Reproduce este mosaico que utiliza dos vértices distintos 36 y 32, 4, 12
Solución:
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Otros mosaicos
Mediante deformaciones de un polígono inicial que sí forme un mosaico se originan mosaicos con
formas muy diversas. Este método está basado en el principio de conservación de las áreas entre el polígono y
la figura finalmente construida que hará de tesela base en la construcción del mosaico.
ACTIVIDAD 1
A partir de un cuadrado construye una tesela como muestra la figura. Observa que el área de la misma
coincide con el área del cuadrado inicial.
Solución:
RECREACIONES
Hay muchos artistas a lo largo de la historia que han utilizado de manera creativa las matemáticas,
entre los que podemos citar a Alberto Durero o a Leonardo da Vinci. Pero entre los más recientes hay un
nombre destacado, que además trabajó con enorme éxito en la creación de mosaicos conocidos en todo el
mundo.
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Nos referimos al holandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972) quien, a partir entre otras influencias,
de su visita a la Alhambra, desarrolló unos preciosos mosaicos. Aquí puedes ver tres de esos mosaicos. Aquí
puedes ver de estos mosaicos, y del primero de ellos (de sapos), el motivo base es un hexágono.
ACTIVIDAD RECREATIVA: Investigaciones
Muestra tu investigación haciendo algún mosaico sencillo pero similar a los anteriores.
ACTIVIDAD RECREATIVA
Diseña la pieza mínima que sirve de base para construir este mosaico
Intenta encontrar más de una solución
Solución:
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BIBLIOGRAFÍA
• C.B. Boyer. “Historia de la matemática”. Alianza Editorial
• M.F. Blanco. “Movimientos y simetrías”. Ed. Universidad de Valladolid
• M. Anzola. “Geometría afín y euclídea”. Ed. Autor
• D. Riddle. “Geometría analítica”. Ed. International Thomson Editores
• J.A. Mora. “Mosaicos”. Ed. Autor
• S. Ríos. “Álgebra lineal y geometría vectorial”. Ed. Ibérica.
PÁGINAS WEBS
•
•
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•
www.divulgamat.net
www.elparaisodelasmatematicas.com
www.mathworld.wolfram.com
www.rsme.es
www.aulademate.com
www.ematematicas.net
www.recursosmatematicos.com
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