Ejercicio sobre nivel óptimo de contaminación

Ejercicio sobre nivel óptimo de contaminación
Dada una empresa que opera en libre competencia con la función de beneficio privado marginal neto
siguiente:
BPMN=3-Q/2,
si su función de coste marginal externo es:
CME=Q/3
Calcular:
a) La función de beneficio privado neto y la función de daños (o de coste externo) en el supuesto de que
los costes fijos de la empresa sean nulos y el daño ambiental se empiece a causar desde la primera
unidad de producción. Establecer previamente el precio bajo el que opera.
b) El nivel óptimo de contaminación. El impuesto pigouviano, que llevaría la producción hasta el
óptimo paretiano.
c) El beneficio social neto. De un lado, en el supuesto de que la empresa operase en el nivel óptimo
privado, de otro, en el supuesto de que operase en el óptimo social. ¿En que condiciones podrían ser
estos beneficios sociales netos negativos?
Solución:
a)
Si BPMN=3-Q/2,
La función de beneficio privado neto sería de la forma:
BPN=3Q-Q2/4+C, donde C es una constante.
Si suponemos que el beneficio privado neto para Q=0 es 0, se tiene
BPN=3Q-Q2/4
Al ser la empresa precio-aceptante, podemos descomponer el BPN de la siguiente forma:
BPN=P*Q-C(Q), donde, C(Q)= Q2/4 es la función de coste. Su gráfica y la de BPN son:
La empresa tendría costes marginales crecientes:
El precio debe ser, entonces, P=3um
De otro lado, si CME=Q/3, la función de daños ha de ser de la forma:
CE=(1/3)*(Q2/2)+C, donde C es una constante.
Pero, si suponemos que el daño para Q=0 es 0, se tiene
CE= Q2/6
b) El óptimo paretiano se optiene para el nivel de producción Q* que iguala el CME con el BPMN.
Esto es así porque en ese punto los costes marginales sociales coinciden con el precio. En efecto, en ese
caso:
CMS=CM+CME, o bien, CME=CMS-CM
Pero como BPMN=P-CM
Se tiene CMS-CM=P-CM, o bien, CMS=P
Entonces Q* vendrá dado por
3-Q/2=Q/3
18-3Q=2Q
Q*=18/5
Gráficamente,
BPMN
3
CME
Q*
Qπ=6
El impuesto pigouviano ‘t’ es un impuesto unitario constante (proporcional a Q) que lleva al productor a
optimizar en Q*. De otro modo: P-CM-t=0 en Q*, o bien BPMN-t=0 en Q*.
Como BPMN(Q*)=CME(Q*)=(18/5)/3=6/5
Se tiene que t*=6/5
Gráficamente, la nueva función de BPMN sería:
BPMN
3
CME
Q*
Qπ=6
Es decir, se han internalizado los costes externos.
c)
El nivel óptimo privado de producción es Qπ=6, porque BPMN(6)=0. De otro lado, ya hemos visto que
el nivel óptimo social de producción es Q*=18/5.
El beneficio social neto viene dado por BSN= BPN-CE. Por tanto, como conocemos las funciones BPN y
CE, podemos determinar directamente el beneficioo social neto en ambos casos:
BSN(Qπ)=BSN(6)= BPN(6)-CE(6)=3*6-36/4-36/6=3
BSN(Q)=BSN(18/5)= BPN(18/5)-CE(18/5)=54/5-(18/5)^2/4-(18/5)^2/6=270/25-9^2/2554/25=135/25=27/5
Pero se puede dar una interpretación gráfica de la resolución de esta cuestión.
BPN se puede calcular integrando la función BPMN desde 0 hasta el nivel de producción.
Es decir, en el primer caso:
Q⎞
⎛
BPN = ∫ ⎜ 3 − ⎟ dQ
2⎠
0⎝
6
Análogamnete
6
Q
dQ
3
0
CE = ∫
En definitiva el BSN, para el caso Q=Qπ viene dado por la diferencia de las áreas de los triángulos que
queda bajo las gráficas de BPMN y CME entre Q=0 y Q=6, lo que equivale a la diferencia de las áreas de
los triángulos A y D en el gráfico siguiente:
Es decir, para Q=Qπ, BSN=6*3/2-6*2/2=3um
BPMN
3
CME
2
A
D
Q*
Qπ=6
Análogamente, BSN(Q*), viene representado pro el área del triángulo A
BSN(Q*)=3*(18/5)/2=27/5= 5,4 um
A la vista del gráfico se deduce que, en el supuesto de funciones marginales lineales como las de este
caso, en Q* no puede ser BSN<0. En cambio BSN(Qπ) sería negativo si la pendiente de CME fuese
mayor que la de BPMN en valor absoluto.