Capítulo4 Parte 3 (Aplicaciones Lineales)

CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
4.10
192
Matriz asociada a una aplicación lineal (bases cualesquiera)
Sea f : IR n 7−→ IR m una aplicación lineal.
B = {⃗b1 , ⃗b2 , . . . , ⃗bn } base de IR n
B ′ = {b⃗′ 1 , b⃗′ 2 , . . . , b⃗′ n } base de IR m
Entonces existe una única matriz F tal que F [⃗x]B = [⃗y ]B ′ . En efecto F es la matriz m × n cuya
columna j son las coordenadas del vector f (⃗bj ) respecto de la base B ′ .
F = [ [f (⃗b1 )]B ′ [f (⃗b2 )]B ′ . . . [f (⃗bn )]B ′ ]
Demostración:
⃗x = c1⃗b1 + c2⃗b2 + . . . + cn⃗bn
f (⃗x) = c′1 b⃗′ 1 + c′2 b⃗′ 2 + . . . + c′m b⃗′ m
f (⃗x) = f (c1⃗b1 + c2⃗b2 + . . . + cn⃗bn ) = c1 f (⃗b1 ) + c2 f (⃗b2 ) + . . . + cn f (⃗bn ) =
c1 (a11 b⃗′ 1 + a21 b⃗′ 2 + . . . + am1 b⃗′ m ) + c2 (a12 b⃗′ 1 + a22 b⃗′ 2 + . . . + am2 b⃗′ m ) + . . .
+cn (a1n b⃗′ 1 + a2n b⃗′ 2 + . . . + amn b⃗′ m ) =
(a11 c1 + a12 c2 + . . . + a1n cn )b⃗′ 1 + (a21 c1 + a22 c2 + . . . + a2n cn )b⃗′ 2 + . . . +
(am1 c1 + am2 c2 + . . . + amn cn )b⃗′ m = c′1 b⃗′ 1 + c′2 b⃗′ 2 + . . . + c′m b⃗′ m
Por tanto:


   ′ 

a11 c1 + a12 c2 + . . . + a1n cn = c′1
a11 a12 . . . a1n
c1
c1



 a21 a22 . . . a2n   c2   c′ 
a c + a c + . . . + a c = c′

   2
21 1
22 2
2n n
2
⇒ .
  ..  =  .. 
.


 .   . 
.
.
.
.



a c + a c + . . . + a c = c′
am1 am2 . . . amn
cn
c′m
m1 1
m2 2
mn n
m
   ′
c1
c1
 c2   c′ 
   2
[ [f (⃗b1 )]B ′ [f (⃗b2 )]B ′ . . . [f (⃗bn )]B ′ ]  .  =  .  ⇒ F [⃗x]B = [⃗y ]B ′
 ..   .. 
cn
c′m
Para el caso particular en que se tome como B la base canónica de IR n y como B ′ la base canónica
de IR m la expresión anterior quedarı́a:
   
x1
y1
 x2   y 2 
   
[ f (⃗e1 ) f (⃗e2 ) . . . f (⃗en ) ]  .  =  .  ⇒ A⃗x = ⃗y
 ..   .. 
xn
ym
Observaciones:
• Cuando no se indica la base a la que se refiere la matriz, o las ecuaciones de la transformación
lineal, se entiende que la base utilizada es la canónica.
• Cuando en los endomorfismos nos referimos a una única base debemos interpretar que la
matriz o las ecuaciones se refieren a esa base tanto en el espacio inicial como en el final.
CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
193
Ejemplo 4.13 Dadas las siguientes aplicaciones lineales de IR 3 en IR 3 en las que se hace referencia
a la base canónica { ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 } o a la base B = { ⃗u1 , ⃗u2 , ⃗u3 }, indica qué matriz asociada F se
infiere de forma inmediata (marcando el recuadro con una ×) y cual es esa matriz (rellena con
números los puntos suspensivos)




f (⃗e1 ) = ⃗e1 + ⃗e2
F ⃗x = ⃗y
...
...
...
a) f (⃗e2 ) = ⃗e1
F [⃗x]B = ⃗y

F =  ... ... ...

F [⃗x]B = [⃗y ]B
f (⃗e3 ) = −⃗e1 + ⃗e2
... ... ...
F ⃗x = [⃗y ]B


f (⃗u1 ) = 3⃗u2 + ⃗u3
b) f (⃗u2 ) = −5⃗u1 + 2⃗u3


f (⃗u3 ) = −⃗u1 + ⃗u2 − ⃗u3


f (⃗e1 ) = 3⃗u1 + ⃗u3
c) f (⃗e2 ) = ⃗u1 − 2⃗u2


f (⃗e3 ) = −⃗u3


f (⃗u1 ) = −2⃗e1 + ⃗e2 − ⃗e3
d) f (⃗u2 ) = ⃗e1 − 2⃗e2


f (⃗u3 ) = −⃗e2
F ⃗x = ⃗y
F [⃗x]B = ⃗y
F [⃗x]B = [⃗y ]B
F ⃗x = [⃗y ]B
F ⃗x = ⃗y
F [⃗x]B = ⃗y
F [⃗x]B = [⃗y ]B
F ⃗x = [⃗y ]B
F ⃗x = ⃗y
F [⃗x]B = ⃗y
F [⃗x]B = [⃗y ]B
F ⃗x = [⃗y ]B

...
F =  ...
...

...
F =  ...
...

...

F = ...
...
...
...
...

...
...
...
...
...
...

...
...
...
...
...
...

...
...
...
CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
Solución:


f (⃗e1 ) = ⃗e1 + ⃗e2
a) f (⃗e2 ) = ⃗e1


f (⃗e3 ) = −⃗e1 + ⃗e2


f (⃗u1 ) = 3⃗u2 + ⃗u3
b) f (⃗u2 ) = −5⃗u1 + 2⃗u3


f (⃗u3 ) = −⃗u1 + ⃗u2 − ⃗u3


f (⃗e1 ) = 3⃗u1 + ⃗u3
c) f (⃗e2 ) = ⃗u1 − 2⃗u2


f (⃗e3 ) = −⃗u3


f (⃗u1 ) = −2⃗e1 + ⃗e2 − ⃗e3
d) f (⃗u2 ) = ⃗e1 − 2⃗e2


f (⃗u3 ) = −⃗e2
x F ⃗x = ⃗y
F [⃗x]B = ⃗y
F [⃗x]B = [⃗y ]B
F ⃗x = [⃗y ]B
F ⃗x = ⃗y
F [⃗x]B = ⃗y
x F [⃗x]B = [⃗y ]B
F ⃗x = [⃗y ]B
F ⃗x = ⃗y
F [⃗x]B = ⃗y
F [⃗x]B = [⃗y ]B
x F ⃗x = [⃗y ]B
F ⃗x = ⃗y
x F [⃗x]B = ⃗y
F [⃗x]B = [⃗y ]B
F ⃗x = [⃗y ]B
194

1
F =1
0

1 −1
0
1
0
0


0 −5 −1
0
1
F =3
1
2 −1


3
1
0
0
F =  0 −2
1
0 −1


−2
1
0
F =  1 −2 −1
−1
0
0
CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
195
Esquema para una aplicación de IR 2 en IR 3 :
• A:
B = {⃗e1 , ⃗e2 } y B ′ = {⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 }
Tomamos las bases canónicas de IR 2 y de IR 3
⃗x = x1⃗e1 + x2⃗e2 ∈ IR 2
⃗y = y1⃗e1 + y2⃗e2 + y3⃗e3 ∈ IR 3
[
]
x1
⃗y = f (⃗x) = [ f (⃗e1 ) f (⃗e2 ) ]
x2
 
[ ]
y1
y2  = [ f (⃗e1 ) f (⃗e2 ) ] x1
x2
y3
⃗y = A⃗x
• F :
con A = [ f (⃗e1 ) f (⃗e2 ) ]
Tomamos otras bases para IR 2 y para IR 3
⃗x = c1 ⃗u1 + c2 ⃗u2 ∈ IR 2
B = {⃗u1 , ⃗u2 } y B ′ = {⃗v1 , ⃗v2 , ⃗v3 }
⃗y = c′1⃗v1 + c′2⃗v2 + c′3⃗v3 ∈ IR 3
[ ]
c
⃗y = f (⃗x) = [ f (⃗u1 ) f (⃗u2 ) ] 1
c2
 
[ ]
y1
y2  = [ f (⃗u1 ) f (⃗u2 ) ] c1
c2
y3
Pero como queremos las coordenadas de ⃗y en la base B ′ :
 ′
[ ]
c1
c′2  = [ [f (⃗u1 )]B ′ [f (⃗u2 )]B ′ ] c1
c2
c′3
[⃗y ]B ′ = F [⃗x]B
con F = [ [f (⃗u1 )]B ′ [f (⃗u2 )]B ′ ]
CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
196
4.11
Relación entre las matrices asociadas a una aplicación lineal,
respecto a bases distintas
4.11.1
Matriz A de canónica a canónica, matriz F de B a B’
Sea f : IR n 7−→ IR m
⃗x 7−→ f (⃗x) = ⃗y = A⃗x
[1]
⃗x son las coordenadas respecto a la base éstandar de IR n
f (⃗x) = ⃗y son las coordenadas respecto a la base éstandar de IR m
A es la matriz estándar de la aplicación lineal
Supongamos dos bases distintas de las estándar, B = {⃗b1 , ⃗b2 , . . . , ⃗bn } para IR n y B ′ = {b⃗′ 1 , b⃗′ 2 , . . . b⃗′ m }
para IR m .
⃗x = PB [⃗x]B
PB = [ ⃗b1 ⃗b2 . . . ⃗bn ]
PB ′ = [ b⃗′ 1 b⃗′ 2 . . . b⃗′ m ]
⃗y = PB ′ [⃗y ]B ′
La ec. [1] se transforma a:
PB ′ [⃗y ]B ′ = A PB [⃗x]B
[⃗y ]B ′ = PB−1
x]B
′ A PB [⃗
[⃗y ]B ′ = F [⃗x]B
y definiendo F = PB−1
′ A PB
[2]
Hemos obtenido una ecuación similar a [1]. La diferencia está en que:
[⃗x]B es el vector de coordenadas de ⃗x respecto a la base B de IR n
[⃗y ]B ′ es el vector de coordenadas de ⃗y respecto a la base B ′ de IR m
F es la matriz asociada a la aplicación lineal f , respecto a las bases B y B ′ .
Veámoslo en un esquema:
IR n
f:
− − −−−→ IR m
⃗x − − − − −−→ ⃗y
PB
↑
A
↑
PB ′
[⃗x]B − − −−−→ [⃗y ]B ′
F
PB tiene por columnas las coordenadas de los vectores de la base B respecto de la base canónica.
PB ′ tiene por columnas las coordenadas de los vectores de la base B ′ respecto de la base canónica.
A = PB ′ F PB−1
F = PB−1
′ A PB
CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
4.11.2
197
El caso más general: matriz F de B a B’ , matriz R de C a C’
A continuación veremos la relación entre las matrices F y R asociadas a dos pares de bases cualesquiera.
F [x]B = [y]B ′
R [x]C = [y]C ′
[x]C = P [x]B
P es la matriz de cambio de base de B a C en IR n . Sus columnas son las
coordenadas de los vectores de B respecto a la base C.
[y]C ′ = Q [y]B ′
Q es la matriz de cambio de base de B ′ a C ′ en IR m . Sus columnas son las
coordenadas de los vectores de B ′ respecto de la base C ′ .
R P [x]B = Q [y]B ′
Q−1 R P [x]B = [y]B ′ ⇒ F = Q−1 R P
Veámoslo en un esquema:
IR n
f:
P
− − −−−→ IR m
[⃗x]B − − −−−→ [⃗y ]B ′
F
↓
↓ Q
[⃗x]C − − −−−→ [⃗y ]C ′
R
↑ Q−1
F = Q−1 R P
CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
198
Ejemplo 4.14 Sea g [un endomorfismo
en IR 2 tal que su matriz asociada respecto a la base B =
]
4 −2
{(1, 3), (2, 5)} es R =
.
2 −1
a) Calcular la matriz asociada a g respecto de la base canónica.
b) Calcula la imagen del vector ⃗u = (6, 15), expresando el resultado respecto de la base canónica.
• a) Hay que calcular la matriz A tal que A⃗x = ⃗y
[
]
4 −2
Sabemos que R[⃗x]B = [⃗y ]B , con R =
2 −1
Partiendo de R[⃗x]B = [⃗y ]B , y expresando [⃗x]B e [⃗y ]B en función de ⃗x e ⃗y , obtenemos:
R[⃗x]B = [⃗y ]B ⇒ R(PB )−1 ⃗x = (PB )−1 ⃗y
Premultiplicando la última ecuación por PB se obtiene
PB RPB−1 ⃗x = ⃗y
[
]
1 2
PB =
3 5
Por tanto A = PB RPB−1
[
]
[
][
][
] [
−5 2
1 2 4 −2 −5 2
−52
−1
PB =
A=
=
3 −1
3 5 2 −1
3 −1
−143
20
55
]
A modo de ilustración, mostramos cómo actúan las dos matrices, asociadas al mismo endomorfismo:
[
]
[
]
4 −2
−52
20
[⃗x]B = [⃗y ]B
⃗x = ⃗y
2 −1
−143 55
[
−52
• b)
−143
20
55
A
][
] [
]
6
−12
=
15
−33
⃗u
f (⃗u)
Otro método: obtención de la imagen utilizando la matriz R
Primero tenemos que expresar (6,15) en la base B, resolviendo el siguiente sistema:
] [
]
[
1 2 | 6
1 2
| 6
∼
3 5 | 15
0 −1 | − 3
La solución es (0,3), por tanto las coordenadas de (6,15) respecto a la base B son [⃗u]B = (0, 3)
[ ] [ ]
0
−6
Tomando la matriz R: R
=
3
−3
R [⃗u]B = [f (⃗u)]B = [⃗y ]B
[ ]
−6
y ahora transformamos [⃗y ]B =
a coordenadas relativas a la base canónica:
−3
[ ]
[ ] [
]
1
2
−12
f (⃗u) = ⃗y = −6
−3
=
3
5
−33
CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
199
Ejemplo
4.15 Se considera
la aplicación lineal f de IR 4 en IR 3 cuya matriz estándar asociada es


2
0
1
3
0
2
1 . Determina la matriz asociada a la aplicación respecto a la base estándar
A = 3
2
1
0 −1
de IR 4 y la base B = {(1, 0, 2), (0, 1, 3), (1, 2, 2)} de IR 3 .
A⃗x = ⃗y

2
3
2
   
0 1
3
x1
y1




0 2
1
x2 = y2 
1 0 −1
x3
y3
  ′
y1
x1



Tenemos que calcular R tal que R⃗x = [⃗y ]B , es decir, R x2 = y2′ 
y3′
x3


1 0 1
[⃗y ]B = P −1 ⃗y , con P = 0 1 2
2 3 2


2/3 −1/2 1/6
0
1/3 
P −1 = −2/3
1/3
1/2 −1/6

R⃗x = [⃗y ]B = P −1 ⃗y = P −1 A⃗x, por tanto R = P −1 A


 

2/3 −1/2 1/6
2 0 1
3
1/6
1/6 −1/3 4/3
0
1/3  3 0 2
1  = −2/3 1/3 −2/3 −7/3
R = P −1 A = −2/3
1/3
1/2 −1/6 2 1 0 −1
11/6 −1/6 4/3
5/3
Esquema de como actúan ambas matrices:

   

   ′
2 0 1
3
x1
y1
1/6
1/6 −1/3 4/3
x1
y1
3 0 2
−2/3 1/3 −2/3 −7/3 x2  = y2′ 
1  x2  = y2 
2 1 0 −1
x3
y3
11/6 −1/6 4/3
5/3
x3
y3′
CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
200
Ejemplo 4.16 Se considera la aplicación lineal f de IR 3 en IR 3 , definida por:
(1, 1, 0) 7−→ (0, −3, −2)
(3, 0, −2) 7−→ (1, 4, −5)
(0, −2, 2) 7−→ (1, −4, 0)
Determina la matriz asociada a la aplicación lineal respecto a la base estándar de IR 3 .
Método 1
En primer lugar veremos que el conjunto B = {(1, 1, 0), (3, 0, −2), (0, −2, 2)} forma una base.
1 3
0
1 0 −2 = −10 por tanto los tres vectores forman una base. Denotamos esos vectores como
0 −2 2 ⃗u1 , ⃗u2 y ⃗u3 .
⃗x = c1 ⃗u1 + c2 ⃗u2 + c3 ⃗u3

 
   
1
y1
0
1







f (⃗x) = c1 f (⃗u1 ) + c2 f (⃗u2 ) + c3 f (⃗u3 ) = c1 3 + c2 4 + c3 −4 = y2 
y3
0
−2
−5


Expresando el sistema matricialmente obtenemos:
Llamando Q a la matriz de la izquierda tenemos
  
 
0
1
1
c1
y1
−3 4 −4 c2  = y2 
−2 −5 0
c3
y3
Q[⃗x]B = ⃗y
Para obtener la matriz A tal que A⃗x = ⃗y debemos escribir la ecuación que relaciona [⃗x]B y ⃗x


1 3
0
P [⃗x]B = ⃗x
con P = [ ⃗u1 ⃗u2 ⃗u3 ] = 1 0 −2
0 −2 2
⃗y = Q[⃗x]B = QP −1 ⃗x, por tanto la matriz asociada en la base estándar es A = QP −1


−1 

0
1
1
1 3
0
2/5 −2/5 1/10
A = QP −1 = −3 4 −4 1 0 −2 = −6/5 −9/5 −19/5
−2 −5 0
0 −2 2
−9/5 −1/5 −1/5
   
1
0
Podemos comprobar por ejemplo como A 1 = −3
0
−2
Método 2
Lo resolvemos tomando las imágenes de los vectores expresados explı́citamente como c.l. de la base,
en vez de utilizar sólo las coordenadas.
Ec.1 : f (e⃗1 ) + f (e⃗2 ) = −3e⃗2 − 2e⃗3
Ec.2 : 3f (e⃗1 ) − 2f (e⃗3 ) = e⃗1 + 4e⃗2 − 5e⃗3
Ec.3 : −2f (e⃗2 ) + 2f (e⃗3 ) = e⃗1 − 4e⃗2
Ec.2+Ec.3:
2 × Ec.1 :
3f (e⃗1 ) − 2f (e⃗2 ) = 2e⃗1 − 5e⃗3
2 f (e⃗1 ) + 2f (e⃗2 ) = −6e⃗2 − 4e⃗3
—————————————–
5 f (e⃗1 ) = 2e⃗1 − 6e⃗2 − 9e⃗3 ⇒ f (e⃗1 ) = 2/5e⃗1 − 6/5e⃗2 − 9/5e⃗3
f (e⃗2 ) = −f (e⃗1 ) − 3e⃗2 − 2e⃗3 = −2/5e⃗1 + 6/5e⃗2 + 9/5e⃗3 − 3e⃗2 − 2e⃗3
f (e⃗2 ) = −2/5e⃗1 − 9/5e⃗2 − 1/5e⃗3
f (e⃗3 ) = f (e⃗2 ) + 1/2e⃗1 − 2e⃗2 = −2/5e⃗1 − 9/5e⃗2 − 1/5e⃗3 + 1/2e⃗1 − 2e⃗2
f (e⃗3 ) = 1/10e⃗1 − 19/5e⃗2 − 1/5e⃗3
CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
201


2/5 −2/5 1/10
La matriz en base canónica es A = −6/5 −9/5 −19/5
−9/5 −1/5 −1/5
Ejemplo 4.17 Sea la aplicación lineal g : IR 3 7−→ IR 2 tal que:
g(1, 0, 0) = (3, −1)
g(0, 1, 0) = (0, 4)
g(0, 0, 1) = (−2, 5)
con todos los vectores referidos a la base canónica.
a) Determina la matriz A asociada a la aplicación lineal respecto de la bases canónicas.
b) Determina la matriz F asociada a la aplicación lineal respecto de las bases B = {(1, 3, 0), (1, 0, 2),
(0, 4, −2)} de IR 3 y B ′ = {(2, 1), (4, 3)} de IR 2 .
[
]
3 0 −2
a)
pues A = [ g(⃗e1 ) g(⃗e2 ) g(⃗e3 ) ]
−1 4 5
b)
g:
IR 3 − − − − −→ IR 2
⃗x − − − − −→ ⃗y
A
P ↑
↑ Q
↓ Q−1
− − − − −→ [⃗y ]B ′
R


[
1 1 0
2


P = 3 0 4
Q=
1
0 2 −2
[
]
−35/2 −39/2 −6
−1
Q AP =
19/2
19/2
4
R = Q−1 A P
[⃗x]B
4
3
]
[
Q−1
3/2 −2
=
−1/2 1
]
CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
4.12
202
Matrices equivalentes
Recordemos del Capı́tulo 1 que dos matrices Am×n y Gm×n son equivalentes, si existen dos
matrices invertibles Pn y Qm tales que A = P GQ.
Teorema 4.7 Dos matrices son equivalentes entre sı́ si y sólo si definen la misma aplicación lineal
respecto a bases distintas.
Demostración:
⇒
Sea A = P GQ, y supongamos A referido a bases B1 y B2 en espacio inicial y final respectivamente.
f:
IR n
− − −−−→ IR m
[⃗x]B1 − − −−−→ [⃗y ]B2
A
Q ↓
↑ P
[⃗x]B3 − − −−−→ [⃗y ]B4
G
Entonces G es la matriz asociada respecto de las bases B3 y B4 , tales que Q es la matriz de paso
de B1 a B3 y P −1 es la matriz de paso de B2 a B4 .
⇐
Sea A matriz asociada a un endomorfismo respecto de las bases B1 y B2 , y G la matriz asociada
al mismo endomorfismo respecto de las bases B3 y B4
f:
IR n
− − −−−→ IR m
[⃗x]B1 − − −−−→ [⃗y ]B2
A
Q ↓
↑ P
[⃗x]B3 − − −−−→ [⃗y ]B4
G
Entonces A = P G Q, siendo P la matriz de cambio de base de B4 a B2 y Q la matriz de cambio
de base de B1 a B3 . P y Q son invertibles, por tanto A y G son equivalentes.
CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
4.13
203
Endomorfismos y matrices semejantes
Definición 4.9 Se dice que dos matrices An y Gn son semejantes si ∃ P invertible tal que A se
puede factorizar de la forma A = P GP −1 . Si dos matrices son semejantes, es obvio que también
son equivalentes.
Teorema 4.8 Dos matrices An y Gn son semejantes si y sólo si correspondiendo la primera a un
endomorfismo referido a la misma base en espacio inicial y final, la segunda corresponde al mismo
endomorfismo en otra base, de nuevo la misma en el espacio inicial y final.
Demostración:
⇒
Sea A = P GP −1 , y supongamos A referido a base B en espacio inicial y final.
− − −−−→ IR n
f:
IR n
P −1
[⃗x]B − − −−−→ [⃗y ]B
A
↓
↑ P
A = P G P −1
[⃗x]C − − −−−→ [⃗y ]C
G
Entonces G es la matriz asociada respecto de la base C tal que P −1 es la matriz de paso de B a C.
⇐
Sea A matriz asociada a un endomorfismo respecto de la base B, y G la matriz asociada al mismo
endomorfismo respecto de la base C
f:
IR n
− − −−−→ IR m
[⃗x]B − − −−−→ [⃗y ]B
A
P −1 ↓
↑ P
[⃗x]C − − −−−→ [⃗y ]C
G
Entonces A = P G P −1 , siendo P −1 la matriz de cambio de base de B a C. La factorización
encontrada demuestra que A y G son semejantes.
Matriz diagonalizable
Definición 4.10 Se dice que una matriz An es diagonalizable si A es semejante a una matriz
diagonal, es decir, si existen una matriz invertible P y una matriz diagonal D tales que A =
P DP −1 .
Determinante y traza de matrices semejantes
Teorema 4.9 Si An y Gn son semejantes, entonces tienen el mismo determinante.
Demostración: |A| = | P G P −1 | = |P | |G| |P −1 | = |G|
Teorema 4.10 Si An y Gn son semejantes, entonces tienen la misma traza.