REPRESENTACIÓN BINARIA - Departamento de Tecnología

REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
Tema 1: REPRESENTACIÓN BINARIA
Contenido
*
Representación posicional de magnitudes. Bases y dígitos. Cambios de base.
*
Códigos binarios.
*
Representación binaria de números con signo.
*
Representación de números racionales: Punto fijo y punto flotante.
Bibliografía básica:
-
A.J. Molina et al: Cap 1
M. Morris Mano y Charles R. Kime: Cap 1
V. P. Nelson et al: Cap 1
J. Wakerly: Cap 2
C. Baena et al: Cap 1
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Representación Binaria 1
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
REPRESENTACIÓN POSICIONAL DE MAGNITUDES EN BASE “r”
D Una magnitud entera Me se representa posicionalmente en base ‘r’ con n dígitos por:
Me = dn-1 dn-2 ... d1 d0 (r
debiendo cumplir:
n–1
Me = ∑ d j ⋅ r j
j=0
Los dígitos toman ‘r’ valores:
0, 1, ..., r-1
D Una magnitud fraccionaria Mf se representa
con dígitos a la derecha de un punto (que la
separa de la parte entera):
Mf = 0 . d-1 d-2 ... d-m (r
–1
Mf = ∑ d j ⋅ r j
Base 2 (binario): 0, 1 (bit)
Base 8 (octal): 0, 1, 2, 3, ... , 7
Base 16 (hexadecimal):
0, 1, 2, ..., 8, 9, A, B, C, D, E, F
j = –m
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Representación Binaria 2
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
REPRESENTACIÓN POSICIONAL DE MAGNITUDES EN BASE “r”
D Una magnitud M con parte entera Me y parte fraccionaria Mf es la suma:
M = Me + Mf
D Se representa separadas por el punto fraccionario (o decimal):
M = dn-1 dn-2 ... d1 d0 . d-1 d-2 ... d-m (r
D y su valor es:
n–1
M =
∑
dj ⋅ r j
j = –m
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Representación Binaria 3
REPRESENTACIÓN BINARIA
La representación con el menor número de dígitos de los 17 primeros números
FC
r = 10
r=2
r=3
r=4
r=8
r = 16
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
10
2
2
2
2
3
11
10
3
3
3
4
100
11
10
4
4
5
101
12
11
5
5
6
110
20
12
6
6
7
111
21
13
7
7
8
1000
22
20
10
8
9
1001
100
21
11
9
10
1010
101
22
12
A
11
1011
102
23
13
B
12
1100
110
30
14
C
13
1101
111
31
15
D
14
1110
112
32
16
E
15
1111
120
33
17
F
16
10000
121
100
20
10
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S i e m p r e:
r = 10(r
Representación Binaria 4
REPRESENTACIÓN BINARIA
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Cambios de base. Decimal a base “r”: M(10 = ?(r
∗
Ejemplo: Problema 3. Representar el nº decimal 23.75 en las bases 2, 5, 6, 8 y 16.
•
Procedimiento para la parte entera, Me: Divisiones sucesivas
Base r:
•
r
coc1
d1
r
coc2
d2
•••
r
coc(n-2)
dn-2
Me(10 = dn-1dn-2...d2d1d0(r
r
dn-1
0 < dn-1 < r
Procedimiento para la parte fraccionaria, Mf = 0.fracc: Multiplicaciones sucesivas
Base r:
∗
Me
d0
0.fracc * r = d-1.fracc1 →
parte entera: d-1
0.fracc1 * r = d-2.fracc2 →
parte entera: d-2
0.fracc2 * r = d-3.fracc3 →
parte entera: d-3
0.fracc3 * r = d-4.fracc4 →
etc.
parte entera: d-4
Mf(10 = 0.d-1d-2d-3d-4···(r
¿Por qué funciona esto?
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Representación Binaria 5
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
Cambios de base. Desde Base “r” a Decimal: M(r = ?(10
∗
Ejemplo: Problema 4. Convertir los siguientes números a base 10
a) 100.111010(2
b) 50(8
c) 101.1(2
d) 198F(16
c2) 101.1(5 ; c3) 101.1(100
•
Procedimiento: Se aplica directamente la expresión de la representación posicional
n–1
·
M = ∑ d j ⋅ r j = d n – 1 ⋅ r n – 1 + … + d 2 ⋅ r 2 + d 1 ⋅ r 1 + d 0 ⋅ r 0 + d –1 ⋅ r –1 + d –2 ⋅ r –2 + …
j = –m
•••
Conviene conocer las potencias de 2 {y de 16} para manejar números binarios
{y hexadecimales}
160 = 20 = 1
161 = 24
164 = 216
... 16k = 24·k
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162 = 28
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163 = 212
Representación Binaria 6
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
Potencias de 2
n
2n =
n
2n =
n
2n =
n
2n =
0
1
6
64
12
4,096
18
262,144
1
2
7
128
13
8,192
19
524,288
2
4
8
256
14
16,384
20
1,048,576
= 1 Mega
3
8
9
512
15
32,768
21
2,097,152
= 2 Mega
4
16
10 1,024 = 1 Kilo
16
65,536
24
16,777,216
5
32
11
17
131,072
30
2,048
= 16 Mega
1 Giga
y las potencias negativas:
n
2n =
n
2n =
n
2n =
n
2n =
-1
0.5
-4
0.0625
-7
0.0078125
-10
0.0009765625
-2
0.25
-5
0.03125
-8
0.00390625
-20
0,95367431640·10-6
-3
0.125
-6
0.015625
-9
0.001953125
-30
0,9313225746·10-9
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Representación Binaria 7
REPRESENTACIÓN BINARIA
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Cambios de base. Desde Base “r1” a Base “r2”
∗
En general, el procedimiento más sencillo consiste en pasar por decimal:
Sucesivamente:
M(r1 → M(10 → M(r2
∗
Excepciones: Cambio por agrupación/desagrupación de dígitos
•
Pasar de Base 2 (Binario) a Base 16 (Hexadecimal).
Ejemplo: Pasar 1010001.10101(2
•• Desde el punto fraccionario se agrupan los bits de 4 en 4 (añadiendo 0’s si hace
falta): 1010001.10101 = 101 0001 . 1010 1 = 0101 0001 . 1010 1000
•• Cada grupo de 4 bits se sustituye por el dígito Hexadecimal correspondiente:
0101 0001 . 1010 1000(2 → 5 1 . A 8(16
•
Pasar de Base 16 (Hexadecimal) a Base 2 (Binario). Ejemplo (Pr. 3): Pasar 198F(16
•• Cada dígito Hexadecimal se sustituye por los 4 bits correspondientes (y se eliminan los
0’s innecesarios si se desea):
198F(16 = 1 9 8 F(16 = 0001 1001 1000 1111(2 = 1 1001 1000 1111(2
∗ ¿Por qué funciona esto? Justifíquelo. Demuestre el procedimiento similar para convertir entre las bases 2 y 4, entre 2 y 8, y entre 4 y 16. ¿También entre 8 y 16?
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Representación Binaria 8
REPRESENTACIÓN BINARIA
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Aritméticas en bases no decimales: El caso binario
Las 4 operaciones básicas (+, -, x , /) son similares al caso decimal salvo el valor de la base:
SUMA
Carry:
Sumando A:
Sumando B:
Resultado:
1100
0111
0110+
1101
MULTIPLICACIÓN
Multiplicando A: 0 1 1 0
Multiplicador B: x 0 1 0 1
0110
0000
0110
0000
Resultado: 0 0 1 1 1 1 0
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RESTA
Borrow:
0100
Minuendo A: 0 1 0 1
Sustraendo B: 0 0 1 1 Resultado:
0010
DIVISIÓN
Dividendo: 1 0 1 1 1 0 0: Divisor
-100
10
0011
Cociente
Resto
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Representación Binaria 9
REPRESENTACIÓN BINARIA
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CODIFICACIÓN BINARIA
Dado un conjunto de ‘P’ elementos, la codificación binaria asigna valores
binarios a los elementos para representarlos usando sólo 0’s y 1’s.
∗
∗
Dos elementos distintos deben tener códigos binarios distintos
Un elemento puede tener más de un código binario
TIPOS
∗
NUMÉRICOS: Los elementos son números
•
•
Sistemas de numeración con base r = 2k (Bin, OCT, HEX)
Sistema decimal (BCD: Binary Coded Decimal): Representan los diez dígitos decimales
∗
ALFANUMÉRICOS: Los elementos son caracteres.
Veremos ASCII y UNICODE
∗
OTROS: Los elementos son variados.
Veremos: Gray (reflejado); Paridad; 7 segmentos; Imágenes en color;...
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Representación Binaria 10
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
Generalidades
D Con ‘n’ bits se representan:
*
2n elementos distintos (2n son todas las cadenas posibles con ‘n’ ceros y unos)
*
Números representables (magnitudes): desde 0 hasta 2n - 1.
D Dados P elementos, el número mínimo de bits para representarlos es:
n = ⎡Log2(P)⎤
( ⎡x⎤ es el entero por exceso de x )
pero si se quiere representar un número (magnitud) de valor P, el mínimo es:
n = ⎡Log2(P+1)⎤
D Conceptos de codificación:
* Distancia entre dos palabras de código: número de bits distintos
* Adyacencia entre dos palabras de código: distancia unidad
* Código continuo: sus elementos tienen distancia unidad
* Código cíclico: Si es continuo y el primer y el último elemento son adyacentes
* Código simétrico: Si elementos simétricos tiene códigos simétricos
* Código ponderado (pesado): Cada bit tiene un peso según su posición
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Representación Binaria 11
REPRESENTACIÓN BINARIA
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CÓDIGOS BINARIOS DECIMALES (BCD)
BCD
8421
Decimal
2421
Exceso 3
8 4 -2 -1
Biquinario
2 - de - 7
One hot
1 - de -10
0
0000
0000
0011
0000
0100001
0000000001
1
0001
0001
0100
0111
0100010
0000000010
2
0010
0010
0101
0110
0100100
0000000100
3
0011
0011
0110
0101
0101000
0000001000
4
0100
0100
0111
0100
0110000
0000010000
5
0101
1011
1000
1011
1000001
0000100000
6
0110
1100
1001
1010
1000010
0001000000
7
0111
1101
1010
1001
1000100
0010000000
8
1000
1110
1011
1000
1001000
0100000000
9
1001
1111
1100
1111
1010000
1000000000
Palabras
sin
emplear
10111- -
01-1
01110010-0
00000-0
11-1
111-
00-1
00111011-0
0000000
1100000
... ... ...
0000000000
Los que tienen
2 o más 1’s
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Representación Binaria 12
REPRESENTACIÓN BINARIA
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Código ASCII
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Representación Binaria 13
REPRESENTACIÓN BINARIA
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UNICODE ISO/IEC 10646 [Ver Morris&Kime]
* Código de 16 bits: %b15b14b13b12 b11b10b9b8 b7b7b5b4 b3b2b1b0b = $ H3H2H1H0
H3H2H1
H0
* Según $H3: 0-3: alfabetos, símbolos; 4-(9): Ideogramas); (9)-(D): Vacía; (D)-F: Restringida
* Contempla notaciones big-endian y little-endian
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Representación Binaria 14
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
Código de Gray o reflejado
* Es un código simétrico, con distancia unidad y cíclico para 2n elementos
* Su construcción es:
Paso 1) Reflejar el de “n-1” bits;
Paso 2) Añadir el bit “n” como MSB, poniendo 0 en la parte superior y 1 en la inferior
n=1
Paso 1
0
1
n=3
n=2
{
Paso 1
Paso 2
0
1
1
0
00
01
11
10
Paso 2
00
01
11
10
10
11
01
00
000
001
011
010
110
111
101
100
* El código Gray de 4 bits es:
0000, 0001, 0011, 0010, 0110, 0111, 0101, 0100, 1100, 1101, 1111, 1110, 1010, 1011, 1001 y 1000
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Representación Binaria 15
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
Códigos de paridad
*
Para ganar en seguridad en la transmisión de la información se usan códigos
DETECTORES o CORRECTORES de fallos
*
Los códigos de PARIDAD son detectores de fallo en 1 bit
*
Formación del código: Sea P[n] = bb...b una palabra binaria de ‘n’ bits. Se genera un
bit de paridad, bp, de forma que la nueva palabra es de ‘n+1’ bits
Nueva palabra,
NP[n+1] = bpbb...b
** Paridad par: Se pone bp de forma que el número total de 1s en NP sea par. Así:
bp = 1 sii número_de_1s_en_P es impar
bp = 0 sii número_de_1s_en_P es par
** Paridad impar: Se pone bp de forma que el número total de 1s en NP sea impar:
bp = 0 sii número_de_1s_en_P es impar
bp = 1 sii número_de_1s_en_P es par
≠
Puede convenirse medir la paridad sobre los 0s de la palabra o poner bp en LSB. Pero son convenios distintos.
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Representación Binaria 16
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
Código 7 segmentos
A
F
G
E
7 segmentos con encendido de LED activo en baja
B
C
D
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Q3 Q2 Q1 Q0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
Fundamentos de Computadores
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
A B C D E F G
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
Representación Binaria 17
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
Imágenes digitales en color
*
Cada imagen digital (monitor, impresora, etc.) se compone de muchos pixeles
*
Cada pixel logra el color combinando colores básicos según algunos formatos:
** CMYK: Cyan Magenta Yellow BlacK
** HLS: Hue (color, matiz), Saturation, Lightness
** RGB: Red Green Blue
*
Un ejemplo: los monitores y pantallas utilizan RGB. Para alta resolución (color
verdadero) usan 8 bits para intensidad de R, 8 para G y 8 para B
lo que da 224 ≈ 16 millones de colores distintos
Negro: $00 00 00; Blanco: $FF FF FF
Rojo al 100%: $FF 00 00; este mostaza: $FF 9E 00
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Representación Binaria 18
REPRESENTACIÓN BINARIA
Espectro de la señal audible:
entre 20 Hz y 20KHz
RESOLUCIÓN:
Número ‘n’ de bits para cada valor.
Mayor ‘n’, da más calidad,
pero más volumen de información
Calidad CD: 16 bits/muestra
FRECUENCIA DE MUESTREO:
Mayor frecuencia da más calidad,
pero más volumen de información
Calidad CD: 44,1 KHz
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Señal
digital
codificada
Archivo
digital
Señal digital
Codificación
y Compresión
Señal tiempo
discreto
Conversión A/D
(cuantificador)
Señal
Analógica
Muestreo
Acondicionamiento de señal
Ondas
sonoras
Transductor
(micrófono)
FC
Sonido: Codificación digital de señal analógica
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CODIFICACIÓN PCM:
Formatos WAV, AIFF, SU, AU, RAW,...
Tienen mucho volumen de información
COMPRESIÓN:
Formatos mp3, AAC, Ogg, FLAC,...
Tienen menor volumen de información
pero introducen pérdidas de calidad
Representación Binaria 19
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
NÚMEROS CON SIGNO
∗
La representación Decimal es signo-Magnitud (s-M), donde el signo es un carácter:
Ejemplo: Positivos: 41.625 o + 41.625; Negativos: - 41.625
∗
Caso Binario:el signo es un nuevo bit (MSB) llamado bit de signo (bs)
Convenio binario para s-M: Positivos: bs = 0; Negativos: bs = 1
Ejemplo:
1º Magnitud → Binario: 41.625(10 = 10 1001 . 101(2
2º Bit como bs MSB: + 41.625(10 = 010 1001 . 101(2
- 41.625(10 = 110 1001 . 101(2
∗
Propiedades: Hay dos ceros (+0 y -0) y con “n” bits representa [-(2n-1-1), 2n-1-1]
∗
El convenio binario s-M es muy poco eficiente. Hay que acudir a otros, como son:
∗ Convenio del Ca1: Está basado en la operación complemento a 1 (Ca1)
∗ Convenio del Ca2: Está basado en la operación complemento a 2 (Ca2)
∗ Exceso-K o sesgado (biased): Basado en añadir una cantidad K
frecuentemente K = 2n-1 , ,o K = 2n-1 - 1
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Representación Binaria 20
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
Complemento a “r” y a “r-1”
Para “n” dígitos y base “r”, dada una palabra de magnitud M ( M= dn-1 dn-2 ... d1 d0(r), se
definen las siguientes operaciones unarias:
Definición 1. Operación complemento a “r” de M
n
Car ( M ) = r – M
n
mod r
Definición 2. Operación complemento a “r-1” de M1
n
Ca ( r – 1 ) ( M ) = ( r – 1 ) – M
n
mod r
Propiedades: Particularizamos a r = 2, complemento a 2 (Ca2) y complemento a 1 (Ca1)
∗
Ca2(M) = Ca1(M) + 1
∗
Ca2 [Ca2(M)] = M; también, Ca1 [Ca1(M)] = M
∗
Ca2(0) = 0; pero Ca1(0) = 1...11 = 2n-1
∗
Ca2(2n-1) = 2n-1
1.Para M con parte fraccionaria de “m” bits, esto cuyo LSB es b-m, en vez de restar 1 a rn debe restarse el peso del LSB. Esto es, Ca(r-1) (M) = rn -r-m-M|mód r**n
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Representación Binaria 21
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
Ejemplos y Reglas de construcción de Ca1 y de Ca2
Para r = 2 y n = 8, obtener el Ca2 de M1= 0011 1010 y de M2= 1100 1010
Ejemplo 1. Obtener el Ca1 de M1= 0011 1010 y de M2= 1100 1010
Sol: Ca1(0011 1010) = 1100 0101
Ca1(1100 1010) = 0011 0101
Regla: Cada bit de M se complementa para dar el correspondiente bit de Ca1(M)
Ejemplo 2. Obtener el Ca2 de M1= 0011 1010 y de M2= 1100 1010
Sol: Ca1(0011 1010) = 1100 0110
Ca1(1100 1010) = 0011 0110
Regla 1: Aplicar la definición operando con aritmética binaria
Regla 2: Obtener Ca1 y sumarle 1
Regla 3: Comenzando por la derecha (LSBs) dejar igual todos los 0s y el primer 1.
Después, complementar los restantes bits (yendo hacia MSB)
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Representación Binaria 22
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
Convenio de representación de números con signo
Sea N un número binario con signo, cuya magnitud es M (M = |N| = bn-2···b1b0).
Ca1
El convenio de representación en Ca1 añade un bit de signo como MSB, asignando:
* Si N > 0, N → 0bn-2···b1b0
* Si N < 0, N → Ca1(0bn-2···b1b0) = 1bn-2···b1b0
Propiedad: Hay dos ceros (+0 y -0) y con “n” bits representa [-(2n-1-1), 2n-1-1]
Ca2
El convenio de representación en Ca2 es similar:
* Si N > 0, N → 0bn-2···b1b0
* Si N < 0, N → Ca2(0bn-2···b1b0)
{ → 1b...bb }
Propiedades: A diferencia de s-M y Ca1, en Ca2 sólo hay un cero (0), pero no hay simetría
en la representación ya que con “n” bits representa: [- 2n-1, 2n-1-1]
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Representación Binaria 23
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
Exceso-K o sesgado (biased)
* Se suma la cantidad K al número con signo, N: N → (N+K)(2
El valor de K es frecuentemente 2n-1
{o, como sucede en el estándar IEEE-754, [2n-1 - 1]}.
*
Diferencias entre ambos valores de K: 1/el rango; y 2/si el 0 es positivo o negativo
Ejemplo para 3 bits: K es 23-1 = 4 {o K es 3}
Decimal
K=4
Decimal
K=3
4
111
3
111
3
110
2
110
2
101
1
101
1
100
0
100
0
011
-1
011
-1
010
-2
010
-2
001
-3
001
-3
000
-4
000
-4
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Este 0 es positivo
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Este 0 es negativo
Representación Binaria 24
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
Notaciones para números con signo de 4 bits
Decimal a Binaria
Binario a decimal
Decimal
s-M
Ca1
Ca2
Exceso 2m-1
Binario
Si s-M
Si Ca1
7
0111
1111
0000
0
6
0110
1110
0001
1
5
0101
1101
0010
2
4
0100
1100
0011
3
3
0011
1011
0100
4
2
0010
1010
0101
5
1
0001
1001
0110
6
7
+ 0 (- 0)
Si Ca2
0000 (1000)
0000 (1111)
0000
1000
0111
-1
1001
1110
1111
0111
1000
-0
-7
-8
-2
1010
1101
1110
0110
1001
-1
-6
-7
-3
1011
1100
1101
0101
1010
-2
-5
-6
-4
1100
1011
1100
0100
1011
-3
-4
-5
-5
1101
1010
1011
0011
1100
-4
-3
-4
-6
1110
1001
1010
0010
1101
-5
-2
-3
-7
1111
1000
1001
0001
1110
-6
-1
-2
-8
---------
---------
1000
0000
1111
-7
-0
-1
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Representación Binaria 25
FC
REPRESENTACIÓN BINARIA
PROBLEMA 10. Represente con el mínimo nº de bits posibles los siguientes números decimales en notación binaria, signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2:
a) ± 122;
b) ± 64;
c) ± 15;
d) ± 37
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Representación Binaria 26
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
•
PUNTO FIJO: Basada en la notación posicional
Punto en posición fija
N(B = dn-1 dn-2 ... d1 d0 . d-1 d-2 ... d-m
dn-1 dn-2 ... d1 d0 d-1 d-2 ... d-m
parte entera . fraccionaria
•
PUNTO FLOTANTE: Basada en la notación exponencial o científica
N = man • B
ex
man
mantisa (con signo)
Base
exponente (con signo)
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ex
La Base no se almacena, se acuerda cuál es
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Representación Binaria 27
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
NOTACIÓN EN PUNTO FIJO
•
Cuantización:
•
•
•
Rango:
•
•
•
Es la diferencia de valor de un número representable al siguiente
En este caso es fija y coincide con el peso del LSB, B-m
Es el intervalo entre el menor y el mayor número representable
Suponiendo base B = 2 y que para los números con signo se usa la notación Ca2,
vale
[- 2n-1, +(2n-1 - 2-m)]
Aproximaciones por TRUNCACIÓN o REDONDEO:
•
Al limitar el nº de bits fraccionarios (p.ej., 8) el valor representado es una aproximación de N
N = b ... bbb,0110 0111 bbb...
TRUNCACIÓN
N1 = b ... bbb,0110 0111 0bb...
b ... bbb 0110 0111
b ... bbb 0110 0111
REDONDEO
N2 = b ... bbb,0110 0111 1bb....
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b ... bbb 0110 1000
Representación Binaria 28
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
NOTACIÓN EN PUNTO FLOTANTE
•
Como la notación científica, sirve para representar rangos muy amplios de números:
Ejemplos en decimal:
•• -77,26171875 = - 0,7726171875 · 102 = - 7726171875 · 10-8
••
qe- = -1,602 · 10-19 = - 0,000 000 000 000 000 000 160 2 · 100
•• 3 · 1011 = 300 000 000 000 · 100
•
La cuantización es variable y se adapta al valor del número representado
•
Base: Podría ser cualquiera, pero aquí utilizaremos B = 2 (binario) [B = 10 si decimal]
•
Representación binaria: “man” y “ex” se representarán con bits, en binario o en BCD
•
Normalización: Es necesaria para que cada número tenga una sola representación
•• Entera: La mantisa es man = dn-1 dn-2 ... d0. con dn-1 ≠ 0
•• Fraccionaria pura: La mantisa es man = 0. d-1 d-2 ... con d-1 ≠ 0
•• Fraccionaria IEEE-754: La mantisa es man = 1. b-1 b-2 ...
→ Las normalizaciones entera y fraccionaria pura se usan en FC; usan bases 2 y 10 (BCD)
→ La normalización Fraccionaria IEEE-754 es un estándar y sólo vale para base 2
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Representación Binaria 29
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
NOTACIÓN EN PUNTO FLOTANTE fraccionaria pura (FC)
•
Convenios:
•• “man” y “ex” se representan en signo-Magnitud
•• El tamaño de la palabra (nº de bits para “man” y para “ex”) y el orden (si se escribe
[sman man sex ex] o [sex ex sman man] o otras formas) no están preestablecidos
(hay que ver/explicar cada caso)
•• El cero es especial: 00...00; el infinito, también, + 11...11
•
Ejemplo: Con 32 bits (24 smanman y 8 sex ex), representar N = 53.2874(10
•• En BCD: N = 53.2874(10 =normalizado= 0.532874 · 102
Representación [sman man sex ex]:
0 0101 0011 0010 1000 0111 010 0 000 0010
•• En binario: N = 53.2874(10 =binario= 11 0101 . 0100 1001 1001 0011 0000 1011 1110...(2 =
=normalizado= 0 . 110 1010 1001 0011 0010 0110 0001 0111 110... · 26 =
=(24-1)bits = 0 . 110 1010 1001 0011 0010 0110 · 26
Representación [sman man sex ex]:
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0 110 1010 1001 0011 0010 0110 0 000 0110
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Representación Binaria 30
REPRESENTACIÓN BINARIA
NOTACIÓN EN PUNTO FLOTANTE estándar IEEE-754 simple precisión
FC
El “1,” está oculto
Exponente con signo EXCESO 127
N = ± ( 1, manf ) ( 2 ) • 2
signo + (0) o - (1)
ex
Mantisa: signo-Magnitud (manf)
s
1
ex + 127
8
[8]
manf [23]
23
Valores representados:
s
Números normales:
ex +127
0/1 [1,254]
manf
cualquiera
+0 y -0
0/1
0000 0000
0000 0000 0000 0000 0000 000
+∞ y -∞
0/1
1111 1111
0000 0000 0000 0000 0000 000
Desnormalizados
0/1
0000 0000
≠0
0/1
1111 1111
≠0
NaN
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Orden: signo exponente manf
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Representación Binaria 31
REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
ENLACES SOBRE IEEE-7541
* Para pasar de decimal a estándar:
http://babbage.cs.qc.edu/IEEE-754/Decimal.html
* Para pasar del estándar a decimal:
http://babbage.cs.qc.edu/IEEE-754/32bit.html
*Aquéllo que siempre quisiste saber y nunca te atreviste a preguntar sobre el estándar.
http://babbage.cs.qc.edu/courses/cs341/IEEE-754references.html
1.Al menos a mi, me llegaron mediante Pilar Parra.
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REPRESENTACIÓN BINARIA
FC
EJEMPLOS IEEE-754
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Representación Binaria 33
FC
REPRESENTACIÓN BINARIA
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