Ejercicio oligopolio Bertrand

8.- Considere un duopolio de Bertrand que produce un bien homogéneo. La función de
demanda es x ( p ) = Ap
−b
y las empresas tienen el mismo coste marginal constante,
c > 0 (no hay costes fijos).
(i) Caracterice el equilibrio de Bertrand-Nash (describa el juego en forma normal, la
demanda residual de cada empresa, defina la noción de equilibrio, muestre que la
solución propuesta es efectivamente un equilibrio de Nash y que es único), obtenga la
producción de la industria en equilibrio y el beneficio de cada empresa.
(i) Contexto
El modelo de Bertrand se caracteriza por los siguientes elementos:
1) Consideramos una industria en la que hay 2 empresas.
2) Las empresas venden un producto homogéneo.
3) Competencia en precios.
4) Elección simultánea.
5) Coste marginal constante y común para las dos empresas: c1 = c2 = c > 0.
(ii) Demanda residual
Las empresas venden un producto homogéneo y compiten en precios. Luego desde el
punto de vista de los consumidores lo único relevante es la relación que exista entre los
precios de las dos empresas; así los consumidores comprarán el bien a la empresa que
venda más barato. Es decir, si una empresa establece un precio inferior al de la otra, la
primera “se quedaría” con todo el mercado y la segunda no vendería nada. Si ambas
establecen el mismo precio entonces los consumidores estarían indiferentes entre
comprar a una empresa o comprar a la otra. Para simplificar haremos el supuesto de que
en caso de igualdad de precios cada empresa vendería a la mitad del mercado. La
demanda residual de la empresa i, i, j = 1, 2, j ≠ i, sería:
1
pi
pi < p j
 x( pi )
1

xi ( pi , p j ) =  x( pi ) pi = p j
2
pi > p j
0
xi ( pi , p j )
pj
x( p )
1
x( pi )
2
xi
(iii) Representación del juego en forma normal. Noción de equilibrio
El juego en forma normal es:
1) i = 1, 2. (Jugadores)
2) pi ≥ 0. Como estrategia para el jugador i nos valdría cualquier precio no negativo
(cualquier número real no negativo). De manera equivalente podemos representar las
estrategias del jugador i como pi ∈ [0, ∞), i = 1, 2.
3) Los beneficios correspondientes a la combinación de estrategias ( p1 , p2 ) son:
Π1 ( p1 , p2 ) = ( p1 − c) x1 ( p1 , p2 ) 

 ≡ Π i ( pi , p j ) = ( pi − c) xi ( pi , p j ), i, j = 1, 2, j ≠ i
Π 2 ( p1 , p2 ) = ( p2 − c) x2 ( p1 , p2 ) 
Donde la demanda residual de la empresa i, i, j = 1, 2, j ≠ i, es:
pi < p j
 x( pi )
1

xi ( pi , p j ) =  x( pi ) pi = p j .
2
pi > p j
0
En el juego de duopolio de Bertrand diremos que
“ ( p1* , p2* ) es un equilibrio de Bertrand-Nash si:
Π i ( pi* , p*j ) ≥ Π i ( pi , p*j ) ∀pi ≥ 0, i, j = 1, 2, j ≠ i ”.
2
(iv) Paradoja de Bertrand. Caracterización del equilibrio y unicidad
Vamos a demostrar que el único equilibrio de Nash del juego de Bertrand es:
p1* = p2* = c
Este resultado se conoce como la paradoja de Bertrand:
“Bastan dos empresas compitiendo en precios para que se alcance un resultado
competitivo”.
Demostración
Demostraremos que la combinación de estrategias p1* = p2* = c :
a) Es equilibrio de Nash.
b) Es el único equilibrio de Nash.
a) El beneficio de cada empresa en la combinación de estrategias (c, c) es:
1
Π i (c, c) = (c − c) x(c) = 0, i = 1, 2. Si la empresa i se desvía unilateralmente fijando un
2
precio pi > c su beneficio sería nulo ya que no vendería a nadie. Si baja el precio
pi < c vendería a todo el mercado pero obtendría beneficios negativos. Por tanto,
Π i (c, c) ≥ Π i ( pi , c) ∀pi ≥ 0, i, j = 1, 2, j ≠ i
b) Vamos a demostrar que ninguna otra combinación de estrategias puede ser equilibrio
de Nash. En el gráfico adjunto aparecen los diferentes tipos de combinaciones de
estrategias que se pueden dar. Seguiremos el siguiente procedimiento para comprobar
si una combinación de estrategias es equilibrio o no: calculamos el beneficio que
obtiene cada jugador en esa combinación de estrategias y nos preguntamos si alguno de
los jugadores tiene incentivos a desviarse de manera unilateral. Para descartar una
combinación de estrategias como equilibrio de Nash basta con comprobar que al menos
un jugador puede mejorar desviándose unilateralmente.
3
p2 = p1
p2
p2 > p1
pm
p2 < p1
c
c
pm
1) Precios iguales: pi = p j
p1
a) ¿ pi = p j > c EN? NO. En una combinación de estrategias como ésta la ganancia de
cada empresa sería: Π i ( pi , p j ) = ( pi − c) xi ( pi , p j ) = ( pi − c )
1
x( pi ). Cualquier
2
empresa tendría incentivos a desviarse unilateralmente. Por ejemplo, podemos elegir
pi' = pi − ε (donde ε es una cantidad arbitraria positiva y lo suficientemente
pequeña):
1
( pi' − c) x( pi' ) = ( pi' − c) xi ( pi' , p j ) = Π i ( pi' , p j ) > Π i ( pi , p j ) = ( pi − c) xi ( pi , p j ) = ( pi − c) x( pi ).
2
De hecho existirían múltiples (infinitas) desviaciones tales que la empresa i mejora con
una desviación unilateral.
b) ¿ pi = p j < c EN? NO. En una combinación de estrategias como ésta la ganancia
de cada empresa sería: Π i ( pi , p j ) = ( pi − c ) xi ( pi , p j ) = ( pi − c )
<0
1
x( pi ) < 0.
2
Cualquier empresa tendría incentivos a desviarse unilateralmente. Por ejemplo,
cualquier pi > pi :
'
1
0 = ( pi' − c) xi ( pi' , p j ) = Π i ( pi' , p j ) > Π i ( pi , p j ) = ( pi − c) xi ( pi , p j ) = ( pi − c) x( pi ).
2
=0
4
2) Precios diferentes: pi ≠ p j
c) ¿ pi > p j > c EN? NO. En una combinación de estrategias como ésta la ganancia de
la empresa i sería nula Π i ( pi , p j ) = ( pi − c) xi ( pi , p j ) = 0 y la de la empresa j sería
Π j ( pi , p j ) = ( p j − c) x j ( pi , p j ) = ( p j − c) x( p j ) > 0. Para la empresa i cualquier
desviación unilateral pi tal que c < pi ≤ p j eleva beneficios:
'
'
( pi' − c) x( pi' ) = ( pi' − c) xi ( pi' , p j ) = Π i ( pi' , p j ) > Π i ( pi , p j ) = ( pi − c) xi ( pi , p j ) = ( pi − c)0 = 0.
si pi' < p j
Aunque
hemos
demostrado
ya
que
la
combinación
de
estrategias
( pi , p j ), con pi > p j > c no puede ser equilibrio podemos comprobar que en muchos
casos la empresa
j también tendría incentivos a desviarse unilateralmente. (Por
ejemplo, si p ≥ pi > p j > c cualquier desviación unilateral pi > p j > p j eleva los
m
'
beneficios de la empresa j. Para los casos pi > p j > p > c y pi > p > p j > c es
m
m
también inmediato encontrar desviaciones que elevan el beneficio de la empresa j. La
única situación en la que la empresa j no tendría incentivos a desviarse sería aquélla en
la que pi > p = p j > c ).
m
d) Otros casos: ¿ pi > c ≥ p j EN? NO. ¿ c ≥ pi > p j EN? NO.
Bastaría con argumentar que no son equilibrio identificando la empresa que tiene
incentivos a desviarse.
(ii) ¿Cuáles serían el precio y la producción de monopolio en este mercado? ¿Qué
combinación de estrategias representaría el acuerdo de colusión? Muestre que el
acuerdo de colusión no se puede sostener como equilibrio.
5
El precio y la producción de monopolio los obtendríamos directamente del índice de
Lerner (habría que justificar cómo se obtiene) ya que el caso de demanda de elasticidad
constante facilita los cálculos. El Índice de Lerner para un monopolista es:
pm − c 1
= .
pm
b
Por tanto, el precio y la producción de monopolio son (siempre que b > 1 para que se
cumplan las C.2.O):
1
b
p m (1 − ) = c ⇒ p m =
c
b
b −1
y
x m = A( p m ) −b = A(
b −b − b
) c .
b −1
El acuerdo de colusión no es equilibrio a corto plazo
La combinación de estrategias que representa el acuerdo de colusión simétrico es
( p m , p m ) . La ganancia que obtendría cada empresa sería:
1
1
Π im = Π i ( p m , p m ) = ( p m − c) x( p m ) = Π m
2
2
Ya vimos cómo una combinación de estrategias del tipo pi = p j > c no era equilibrio
de Nash. Cualquier empresa tendría incentivos a desviarse unilateralmente. Por ej.,
podemos elegir pi = p − ε
'
m
(donde
ε es una cantidad arbitraria positiva lo
suficientemente pequeña). Hay infinidad de desviaciones tales que la empresa i mejora.
(iii) Compare la producción agregada del equilibrio de Bertrand con la producción
eficiente. Calcule la pérdida irrecuperable de eficiencia.
Seguimos el enfoque del consumidor representativo y supondremos que la curva de
demanda del mercado x(p) se genera maximizando la utilidad de un consumidor
representativo que tiene una Función de Utilidad Cuasi-lineal:
6
u ( x) + y
(u (0) = 0; u ' (.) > 0; u '' (.) < 0)
donde el bien x es el bien producido en el mercado (duopolístico) que nos interesa
mientras que el bien y recoge “todo lo demás” (renta que le queda al consumidor para
adquirir otros bienes después de gastar la cantidad óptima en el bien x).
La primera parte de la función de utilidad la interpretamos como la Disposición
Máxima a Pagar, R ( x) : lo máximo que estaría dispuesto a pagar el consumidor por x
unidades del bien. Pagará lo máximo si justo queda indiferente entre consumir x
unidades pagando R ( x) y no consumir el bien, dedicando su dotación de renta, m, al
consumo del resto de los bienes. Es decir: U ( x, m − R( x )) = U (0, m) . [Si se diera el
( x)) > U (0, m) entonces el consumidor estaría dispuesto a
caso de que U ( x, m − R
( x) y si U ( x, m − R
( x)) < U (0, m) entonces
pagar una cantidad mayor que R
( x) sería mayor que su disposición máxima a pagar.] Con utilidad cuasi-lineal:
R
u ( x) + m − R ( x) = u (0) + m → R ( x) = u ( x)
'
Por tanto, u ( x ) es la Disposición máxima a pagar y u ( x ) la Disposición marginal a
pagar. Con utilidad cuasilineal la demanda es independiente de la renta y la función
inversa de demanda coincide con la disposición marginal a pagar, p ( x ) = u ( x) .
'
max u ( x) + y
x, y
s.a y + px = m
L ( x , y ,λ )
≡ max u ( x) + y + λ [ m − y − px ]
x , y ,λ
→ p = u ' ( x) → Función inversa de demanda
Utilizar
W ( x ) = u ( x ) − C ( x)
como
función
de
bienestar
social
requiere
justificación. Planteamos el problema de obtener la asignación que maximiza la
utilidad del consumidor representativo, con una restricción de recursos: interpretamos
7
el coste de producción del bien x como la cantidad del bien y a la que habría que
renunciar para tener el bien x.
max u ( x) + y
x, y
s.a y = m − C ( x)
Sustituyendo y en la función objetivo:
max u ( x) + m
u ( x) − C ( x)
− C ( x) ≡ max
x
x
constante
Luego el problema de maximizar el bienestar social consiste en:
max W ( x) ≡ max u ( x) − C ( x)
x ≥0
x≥0
W ' (0) = u ' (0) − C ' (0) > 0
W ' ( x) = u ' ( x) − C ' ( x) = 0 ⇔ W ' ( x e ) = 0
W '' ( x) = u '' ( x) − C '' ( x) < 0
Por tanto, en el nivel de producción que maximiza el bienestar social o nivel de
producción eficiente se cumple W ( x ) = 0 ⇔ u ( x ) = c .
'
e
'
e
En el equilibrio de Bertrand p1* = p2* = c y la cantidad total producida es:
x* = x1* + x2* =
1
1
x (c ) + x (c ) = x (c )
2
2
La producción eficiente es tal que u ( x ) = c y como p ( x ) = u ( x ) deducimos que
'
e
e
'
e
la producción correspondiente al equilibrio de Bertrand es eficiente: x = x . Bastan
*
e
dos empresas compitiendo en precios para que se obtengan los resultados eficientes. Por
tanto, la pérdida irrecuperable de eficiencia es nula.
8