5 Resolución de algunos ejemplos del tema 5.

5 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE.
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Resolución de algunos ejemplos del tema 5.
5.1
Ejemplos.
Ejemplo 26 Lanzamos un dado.
a) Expresar en función de los puntos muestrales: el espacio muestral y los
sucesos A=“sale un número par”, B=“sale un número mayor que 4”,
C=“sale un 5”.
b) Calcular las probabilidades de los sucesos A, B, C.
Respuestas:
a) A = {2, 4, 6},
b) P (A) = 63 ,
B = {5, 6},
P (B) = 62 ,
C = {5}.
P (C) = 16 .
Ejemplo 27 Considerar el siguiente experimento: suma de puntos obtenidos
al lazar dos dados.
a) Determinar el espacio muestral y calcular las probabilidaddes de cada uno
de los puntos muestrales.
b) ¿Qué es preferible, apostar al “7” o al “3 y 4”?
Respuestas:
a) Si escribimos el espacio muestral como Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
los puntos muestrales no son equiprobables. Para que el espacio muestral
tenga los puntos equiprobables, es necesario escribirlo como:
Ω =
{(1, 1),
(1, 2), (2, 1),
(1, 3), (2, 2), (3, 1),
(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1),
(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1),
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1),
(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2),
(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3),
(4, 6), (5, 5), (6, 4),
(5, 6), (6, 5),
(6, 6)},
donde cada fila es la suma de una cantidad concreta.
b) Para saber qué apuesta es preferible si “7” o “3 y 4” hay que calcular las
probabilidades P (7) y P (3 ∪ 4):
P (3 ∪ 4) = P (3) + P (4) = 2/36 + 3/36 = 5/36 < P (7) = 6/36 = 1/6,
por tanto, es preferible apostar al “7”.
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Ejemplo 28 Si A y B son dos sucesos disjuntos con probabilidades P (A) =
0.37 y P (B) = 0.44, calculad:
a) P (A),
d) P (A ∩ B),
b) P (B),
e) P (A ∩ B),
c) P (A ∪ B)
f ) P (A ∩ B).
Respuestas: a) P (A) = 1 − P (A) = 1 − 0.37 = 0.63,
b) P (B) = 1 − P (B) = 1 − 0.44 = 0.56,
c) y d) Puesto que A y B son disjuntos, entonces, A ∩ B = ∅, y por tanto,
P (A ∩ B) = 0.
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0.37 + 0.44 = 0.81.
e) Al ser A y B disjuntos, A ∩ B = A, por tanto, P (A ∩ B) = P (A) = 0.37.
f ) Al ser A y B disjuntos, A ∩ B = B, por tanto, P (A ∩ B) = P (B) = 0.44.
Ejemplo 31 Jugamos a la ruleta los números 3, 13 y 22. Los resultados posibles son todos los números de la ruleta, que van del 0 al 36. Si la ruleta está
trucada de manera que siempre sale un número impar, ¿cuál es la probabilidad
de ganar?
Respuesta: El espacio muestral es el conjunto Ω = {0, 1, 2, . . . , 36}, nuestras
apuestas son A = {3, 13, 22} y los resultados posibles de la ruleta (cuando está
trucada) son todos los números impares, es decir, B = {1, 3, 5, . . . , 35}. Bajo
estas condiciones, la probabilidad que ganemos se calcula haciendo
P (A/B) = P (A ∩ B)/P (B) =
1
2/37
= .
18/37
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Ejemplo 33 Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 bolas negras. Tres jugadores
A, B y C extraen una bola, sin devolución, en este mismo ordren. Gana el
primero que saca una bola blanca. Calculad la probabilidad que gane C.
Respuesta: El jugador C gana si es el primero en sacar bola blanca, es decir,
si A y B han sacado bola negra cada uno. Se trata de calcular la probabilidad del
suceso N1 ∩ N2 ∩ B3 , donde N1 =“la primera bola es negra”, N2 =“la segunda
bola es negra”, B3 =“la tercera bola es blanca”.
P (N1 ∩ N2 ∩ B3 ) = P (N1 ) P (N2 /N1 ) P (B3 /N1 ∩ N2 ) =
5
3 2 5
=
.
8 7 6
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Ejemplo 34 Consideramos una baraja de póquer, que tiene 52 caras, 26 negras
y 26 rojas. Barajamos bien las cartas y sacamos dos, una después de otra. ¿Cuál
es la probabilidad que la segunda carta extraı́da sea negra?
Respuesta: Si llamamos Ni =“la i-ésima extracción es una carta negra” y
Ri =“la i-ésima extracción es una carta roja”, entonces,
P (N2 ) = P (N2 /N1 ) P (N1 ) + P (N2 /R1 ) P (R1 )
=
25 1 26 1
1
+
= .
51 2 51 2
2
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Ejemplo 35 Se instala un programa antivirus en un ordenador. La probabilidad que el ordenador tenga el virus detectable por el antivirus es 0.2. Si el
ordenador tiene el virus, la probabilidad que el antivirus lo detecte vale 0.9. Si
el ordenador no tiene el virus, la probabilidad que el antivirus dé un mensaje de
existencia de virus es 0.02. Se quiere saber:
a) la probabilidad que aparezca un mensaje de existencia de virus,
b) la probabilidad que, si ha aparecido un mensaje de existencia de virus, el
ordenador no tenga el virus.
Respuestas:
0.9
D|V
V
0.2
0.1
0.02
D|V
D|V
0.8
V
0.98
D|V
a) Los sucesos V =“el ordenador tiene el virus” y V =“el ordenador no tiene
el virus” forman una partición de Ω, es decir,
Ω=V ∪V,
con
P (V ) = 0.2
y
P (V ) = 1 − 0.2 = 0.8.
Si D =“el antivirus detecta el virus”, tendremos que
P (D/V ) = 0.9
y
P (D/V ) = 0.02.
Por tanto, a partir del teorema de las probabilidades totales podemos calcular
P (D) = P (D/V ) P (V ) + P (D/V ) P (V ) = 0.9 · 0.2 + 0.02 · 0.8 = 0.196.
b) Supongamos que ahora queremos saber la probabilidad que, si ha aparecido
un mensaje de existencia de virus, el ordenador no tenga el virus. Fijémonos
que tenemos las condiciones invertidas, es decir, el mensaje de virus ya ha
aparecido. Para calcular esta probabilidad hay que aplicar la fórmula de Bayes,
P (V /D) =
P (V ∩ D)
P (D/V ) P (V )
0.02 · 0.8
=
=
= 0.08.
P (D)
P (D)
0.196