Diseño de elementos estructurales de acero sometidos a flexo

UNIVERSIDAD DE NAVARRA
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS
SAN SEBASTIÁN
Diseño de elementos estructurales de acero
sometidos a flexo-compresión: Desarrollo teórico y
estudio comparativo
MEMORIA
que para optar al Grado de Doctor
presenta
DANNY JIM YONG AYÓN
bajo la dirección de
Dr. Miguel Ángel Serna Oliveira
Dra. Aitziber López de Arancibia
San Sebastián, abril de 2007
A Dios, que ilumina y guía mi camino;
a mi madre, que está en el cielo; a mi
padre; y a mis hermanos.
AGRADECIMIENTOS
Son muchas las personas que han contribuido directa e indirectamente a la
realización de esta tesis, y a las que quisiera expresar mi gratitud de manera
muy especial.
En primer lugar, quisiera agradecer a mi director de tesis, Miguel Ángel
Serna, por su confianza, paciencia y disposición en todo momento. Mi más
sincero agradecimiento también a Aitziber López, co-directora de tesis, por todo
este tiempo de intensa colaboración. A la Universidad de Navarra y,
especialmente, a TECNUN, por darme la oportunidad de realizar mi tesis
doctoral en un entorno estimulante.
Agradezco también su ayuda al resto del personal del Instituto de
Ingeniería Civil, a Iñigo Puente y Paz Morer, por su cordialidad y su continuo
ánimo; a Mikel Azkune, Aimar Insausti y Jaume Albertí, por su amistad, por
permitirme compartir su cultura y aprecio, y por los buenos momentos
compartidos de risas.
Agradezco también a la Cátedra Arcelor Mittal de la Universidad de
Navarra, que con su ayuda ha hecho posible llevar a cabo este trabajo.
Al profesor Eduardo Bayo y a su equipo de trabajo del Departamento de
Estructuras, por compartir sus investigaciones en los seminarios anuales de la
Cátedra Arcelor Mittal.
A Franklin Díaz, Paul Bustamante, Miguel Castro, Don Juan José De
Miguel y sus familias, quienes siempre estuvieron muy atentos conmigo.
A Mikel Arizmendi, por su amistad y por los valiosos comentarios y
sugerencias en todo el proceso de redacción de la tesis.
A Juan Villarón, Asier López, Enrique Diez, Antonio Martín, Isaías Cerrillo
y al resto del personal de la Escuela y el CEIT, por su amistad y afecto.
i
ii
Agradecimientos
Quisiera agradecer también a la Universidad de Piura por la confianza
puesta en mí. A los Dres. Eliodoro Carrera, Sergio Balarezo, César Chinguel,
Antonio Mabres y al Mgtr. Jorge Ortiz, quienes se encargaron de todas las
gestiones para realizar mis estudios de doctorado en la Escuela. Al Dr. Antonio
Abruña, por su aliento constante en la culminación de la tesis y por su grata
visita anual a Pamplona. A la Mgtr. Susana Vegas y al Dr. Jorge Reyes, quienes
siempre estaban pendientes del avance de mi tesis, y transmitían con mucha
alegría mis publicaciones y logros.
A Don Patxi De La Hija, por ser mi guía espiritual durante mi estancia en
Donosti; a Joseba Campos, José Ramón Arruebarrena, Justino Fernández,
Tomás Gómez-Acebo y toda la gente de la residencia de Ibaeta, por sus
enriquecedoras charlas.
A Marisella por sus valiosos y emotivos correos durante todos estos años,
y por sus palabras de aliento en los momentos más difíciles.
A mis amigos de Paita: Eneptaly, Martín, Rubén, Tim, Antonio, Alberto y
Félix, quienes me escribían y llamaban constantemente, haciéndome sentir que
no estaba lejos de casa.
Y finalmente, a mi familia por ser uno de los artífices en el empuje para la
culminación de este trabajo.
Gracias a todos, de todo corazón.
Danny, abril de 2007
RESUMEN
Esta memoria presenta, en primer lugar, la teoría y los principios de la
estabilidad estructural de los elementos flexo-comprimidos. Incluye tanto los
nuevos métodos utilizados para el análisis y diseño de los “beam-columns”
como su proceso de desarrollo e incorporación al Eurocódigo 3 (EC3 2005) y a la
norma americana (AISC LRFD 1994).
En segundo lugar, se realiza un estudio exhaustivo del factor de momento
uniforme equivalente de pandeo lateral (FMUE). Este factor se emplea para
determinar el momento crítico elástico, y éste a su vez se emplea para verificar
el estado límite último de un elemento sometido a flexión pura y a flexocompresión. De la revisión bibliográfica se desprende que las normas pueden
proporcionar valores de FMUE muy conservadores en vigas simplemente
apoyadas, y no conservadores en vigas con apoyos diseñados para prevenir la
flexión lateral y el alabeo. Con el propósito de aclarar las situaciones en donde
los FMUE de las normas aparecen contradictorios con los resultados
computacionales recientes, se brinda en esta memoria un conjunto de valores de
FMUE, que han sido obtenidos usando el Método de Elementos Finitos y la
técnica de Diferencias Finitas. Una atención muy especial se ha puesto en los
casos donde la flexión lateral y el alabeo son impedidos en los apoyos del
elemento puesto que son pocos los resultados que existen para estos casos. Una
de las grandes ventajas de la norma americana (AISC LRFD 1994) y de la norma
británica (BS 5950-1 2000) es que proporcionan expresiones sencillas para
determinar el FMUE para cualquier distribución de momentos; sin embargo,
estas expresiones no toman en cuentan las restricciones de los apoyos extremos
del elemento. En esta memoria, se plantea una nueva expresión general para
calcular el FMUE, que es aplicable a cualquier distribución de momentos y
condiciones de enlaces, y que proporciona mejores resultados que las
expresiones dadas por el AISC LRFD (1994) y BS 5950-1 (2000).
iii
iv
Resumen
Por último, con el propósito de identificar similitudes y diferencias en las
filosofías de diseño del AISC LRFD (1994) y EC3 (2005), se realiza en este
trabajo un estudio comparativo de los estados límites últimos de los elementos
sometidos a compresión pura, flexión pura y flexo-compresión. Para cuantificar
la diferencia en resistencia, se trabajó con perfiles laminados de secciones H e I,
los cuales fueron analizados con diferentes valores de esbeltez y con los casos
más frecuentes de distribuciones lineales y parabólicas de momentos. Los
resultados son presentados gráficamente en diagramas de interacción para
facilitar su interpretación. Este estudio comparativo muestra que las
capacidades resistentes dadas por el AISC LRFD (1994) y los dos métodos del
EC3 (2005) pueden diferir apreciablemente cuando el valor de la esbeltez es alto
y el elemento flexo-comprimido está sometido a una distribución lineal de
momento bi-triangular.
ABSTRACT
This thesis presents the concepts and principles of structural stability of beamcolumns, and includes not only new methods in the analysis and design but
also the background about how these procedures were derived and
incorporated to the Eurocode 3 (EC3 2005) and the American standard code
(AISC LRFD 1994).
Furthermore, this thesis focuses on the equivalent uniform moment factor
(EUMF), which is used to compute the elastic critical moment of lateraltorsional buckling. A review of EUMF values given by modern steelwork
standards and their comparison with recent results presented in the literature
shows that whilst codes may lead to very conservative values for simply
supported beams, non- conservative values are obtained in the case of support
types designed to restrict lateral bending and warping. In order to clarify
situations where EUMF values proposed by modern codes appear contradictory
with recent computational results, the thesis presents a significant set of EUMF
values obtained using both finite differences and finite elements techniques.
Particular attention has been given to instances where lateral bending and
warping are prevented at beam supports since very few results from these cases
have been published. A major advantage of codes, such as the American AISC
LRFD (1994) and the British BS 5950-1 (2000), is that they provide closed-form
expressions to compute the EUMF for any moment distribution. Unfortunately,
these closed-form expressions do not take into account changes in the EUMF
due to end support restrictions. This thesis proposes a general closed-form
expression that not only delivers similar advantages but also improves the
results given by those codes.
Finally, in order to identify similarities and differences in the design
philosophies of AISC LRFD (1994) and EC3 (2005), the thesis presents a
comparative study of the ultimate limit states in members under pure
compression, pure bending and combined axial compression force and bending.
v
vi
Abstract
This comparative study is performed for a rolled I-section with different
slenderness. Most frequent cases of linear and parabolic moment distributions
are considered. The results are presented graphically by means of interaction
diagrams to facilitate their interpretation and to detect differences in resistance.
The comparative study shows that the resistance capacities given by LRFD and
the two methods of EC3 can differ appreciably when slenderness is high and
the member is subjected to linear moment distribution with opposite endmoments.
ÍNDICE DE CONTENIDOS
AGRADECIMIENTOS ______________________________________________ I
RESUMEN _________________________________________________________III
ABSTRACT _________________________________________________________V
ÍNDICE DE CONTENIDOS________________________________________ VII
LISTA DE FIGURAS _______________________________________________ XI
LISTA DE TABLAS _____________________________________________ XVII
1
INTRODUCCIÓN _______________________________________________ 1
1.1
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ______________________________ 1
1.2
OBJETIVOS_________________________________________________ 3
1.3
ESQUEMA DE LA MEMORIA ___________________________________ 4
2
COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL DE LOS “BEAMCOLUMNS” _____________________________________________________ 5
2.1
RESISTENCIA DE LOS “BEAM-COLUMNS”_________________________ 6
2.1.1
“Beam-columns” con flexión uni-axial: Resistencia “in-plane” ____ 6
2.1.2
“Beam-columns” con flexión respecto al eje fuerte: Pandeo lateral __ 8
2.1.3
“Beam-columns” con flexión bi-axial ________________________ 9
2.1.3.1
2.1.3.2
Resistencia de los “beam-columns” cortos ____________________ 10
Resistencia de los “beam-columns” esbeltos y de longitud
intermedia ______________________________________________ 11
2.2
FACTOR DE MOMENTO UNIFORME EQUIVALENTE _________________ 12
2.3
FILOSOFÍA DE DISEÑO DEL AISC LRFD ________________________ 14
2.3.1
Resistencia a compresión pura _____________________________ 15
vii
viii Índice de Contenidos
2.3.2
Factor de longitud efectiva ________________________________ 16
2.3.3
Resistencia a flexión pura_________________________________ 19
2.3.4
Método simplificado para considerar los efectos de segundo orden _ 23
2.3.5
Factor Cm _____________________________________________ 26
2.3.6
Resistencia de los “beam-columns” _________________________ 26
2.3.7
Resistencia a esfuerzo cortante _____________________________ 28
2.4
FILOSOFÍA DE DISEÑO DEL EC3 _______________________________ 30
2.4.1
Análisis de la estabilidad estructural de pórticos _______________ 30
2.4.2
Imperfecciones para el análisis global de los pórticos ____________ 31
2.4.3
Fundamentos teóricos de las fórmulas de diseño para la resistencia
a compresión pura ______________________________________ 33
2.4.4
Resistencia a compresión pura _____________________________ 35
2.4.5
Fundamentos teóricos de las fórmulas de diseño para la resistencia
a flexión pura __________________________________________ 39
2.4.5.1
2.4.5.2
2.4.6
2.4.7
2.4.7.1
2.4.8
2.4.8.1
2.4.8.2
2.4.8.3
2.4.8.4
2.4.9
2.4.9.1
2.4.9.2
2.4.9.3
2.4.9.4
2.4.10
3
Coeficientes del pandeo lateral _____________________________ 40
Efecto de un diagrama de momentos variable ________________ 42
Resistencia a flexión pura_________________________________ 43
Resistencia de la sección de un “beam-column”________________ 44
Reducción de la resistencia de la sección de un “beam-column”
por la presencia de esfuerzo cortante ________________________ 46
Fundamentos teóricos de las fórmulas de diseño para la resistencia
a pandeo de los “beam-columns”: Método 1 del EC3 ____________ 46
Formato general de las fórmulas de interacción del Método 1 ___
Comportamiento elástico-plástico de los “beam-columns” sin
desarrollar pandeo lateral: Método 1 ________________________
Comportamiento elástico-plástico de los “beam-columns” con
pandeo lateral: Método 1 __________________________________
Factor de momento equivalente del Método 1 ________________
47
49
51
55
Fundamentos teóricos de las fórmulas de diseño para la resistencia
a pandeo de los “beam-columns”: Método 2 del EC3 ____________ 59
Formato general de las fórmulas de interacción del Método 2 ___
Comportamiento elástico-plástico de los “beam-columns” sin
desarrollar pandeo lateral: Método 2 ________________________
Comportamiento elástico-plástico de los “beam-columns” con
pandeo lateral: Método 2 __________________________________
Factor de momento uniforme equivalente del Método 2 ________
60
61
66
71
Diferencias entre el Método 1 y el Método 2 __________________ 73
FACTOR DE MOMENTO UNIFORME EQUIVALENTE DE
PANDEO LATERAL ___________________________________________ 75
3.1
VALORES PROPUESTOS POR LAS NORMAS DE DISEÑO ______________ 77
3.1.1
Eurocódigo 3___________________________________________ 77
3.1.1.1
3.1.1.2
3.1.2
Distribución lineal de momentos____________________________ 78
Distribución no lineal de momentos _________________________ 79
AISC LRFD ___________________________________________ 80
Índice de Contenidos
ix
3.1.3
BS 5950 ______________________________________________ 82
3.2
VALORES PROPUESTOS POR DIVERSOS INVESTIGADORES ___________ 82
3.2.1
J.W. Clark y H.N. Hill ___________________________________ 82
3.2.1.1
3.2.1.2
3.2.2
3.2.2.1
3.2.2.2
3.2.3
3.2.4
3.2.4.1
3.2.4.2
Distribución lineal de momentos____________________________ 83
Distribución no lineal de momentos _________________________ 83
D.A. Nethercot y K.C. Rockey _____________________________ 84
Distribución lineal de momentos____________________________ 84
Distribución no lineal de momentos _________________________ 85
R. Greiner, R. Ofner y G. Salzgeber ________________________ 86
B. Suryoatmono y D. Ho _________________________________ 88
Distribución lineal de momentos____________________________ 88
Distribución no lineal de momentos _________________________ 88
3.2.5
N.H. Lim, N.H. Park, Y.J. Kang y I.H. Sung _________________ 90
3.3
COMPARACIÓN DE LOS VALORES PROPUESTOS DE C1 ______________ 90
3.3.1
Distribución lineal de momentos ___________________________ 90
3.3.1.1
3.3.1.2
3.3.2
3.3.2.1
3.3.2.2
3.3.2.3
Flexión lateral libre y alabeo libre en los apoyos _______________ 90
Flexión lateral impedida y alabeo impedido en los apoyos ______ 91
Distribución no lineal de momentos ________________________ 92
Casos básicos ____________________________________________ 92
Carga uniformemente distribuida con momentos en los
extremos ________________________________________________ 93
Carga puntual con momentos en los extremos ________________ 95
3.4
RESULTADOS NUMÉRICOS OBTENIDOS _________________________ 96
3.4.1
Resultados usando el Método de Elementos Finitos_____________ 97
3.4.2
Resultados usando Diferencias Finitas _____________________ 101
3.5
FORMULACIÓN PROPUESTA PARA EL FACTOR DE MOMENTO
UNIFORME EQUIVALENTE __________________________________ 114
3.5.1
Primera aproximación para los coeficientes A1 y A2 ___________ 115
3.5.1.1
3.5.1.2
3.5.2
3.5.2.1
4
Resultados obtenidos usando la primera aproximación _______ 115
Limitaciones de la primera aproximación ___________________ 121
Segunda aproximación para los coeficientes A1 y A2 ___________ 122
Resultados obtenidos usando la segunda aproximación _______ 123
ESTUDIO COMPARATIVO DEL ESTADO LIMITE
ÚLTIMO ENTRE AISC LRFD Y EC3__________________________ 135
4.1
ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN PURA __________________ 135
4.1.1
Análisis comparativo de las formulas de diseño para compresión
pura ________________________________________________ 136
4.1.2
Resultados comparativos para compresión pura ______________ 136
4.2
ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN PURA ______________________ 138
4.2.1
Resultados comparativos para flexión pura __________________ 138
4.3
ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXO-COMPRESIÓN _________________ 144
4.3.1
Resultados comparativos para flexo-compresión ______________ 145
x
Índice de Contenidos
5
CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE
INVESTIGACIÓN_____________________________________________ 161
5.1
CONCLUSIONES GENERALES ________________________________ 161
5.2
APORTACIONES MÁS SIGNIFICATIVAS _________________________ 165
5.3
FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN__________________________ 166
A
ARTÍCULOS Y COMUNICACIONES GENERADOS___________ 169
B
FORMULACIÓN DEL COMPORTAMIENTO ELÁSTICO DE
UN ELEMENTO ______________________________________________ 177
B.1
DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES GENERALES _____ 177
B.2
ECUACIONES DIFERENCIALES GENERALES SEGÚN EJES GLOBALES ___ 188
B.3
PARTICULARIZACIÓN AL CASO DEL PANDEO LATERAL ____________ 189
C
PANLAT ______________________________________________________ 191
C.1
TÉCNICA DE INTEGRACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS ___________ 191
C.2
DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA PANLAT _____________________ 193
D
EJEMPLO DE CÁLCULO _____________________________________ 199
D.1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA ________________________________ 199
D.2 VERIFICACIÓN ESTRUCTURAL ACORDE CON EL EC3 (2005) ________ 200
D.2.1 Verificación de la resistencia al pandeo usando el Método 1 _____ 204
D.2.2 Verificación de la resistencia al pandeo usando el Método 2 _____ 207
D.3 VERIFICACIÓN ESTRUCTURAL ACORDE CON EL AISC LRFD (1994) _ 208
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ______________________________ 213
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 Representación esquemática del concepto del momento uniforme
equivalente........................................................................................................13
Figura 2.2 Curva de pandeo para elementos sometidos a compresión pura
(AISC LRFD 1994). ..........................................................................................16
Figura 2.3 Longitud efectiva en columnas. ....................................................................17
Figura 2.4 Nomogramas para determinar el factor de longitud efectiva en
columnas de pórticos arriostrados y no arriostrados lateralmente
(AISC LRFD 1994). ..........................................................................................18
Figura 2.5 Esquema gráfico de la variación del momento nominal Mn en
función de la longitud lateral no arriostrada Lb (AISC LRFD 1994)...............23
Figura 2.6 Ilustración de los efectos P-δ y P-∆ de segundo orden. ...............................24
Figura 2.7 Modelos de pórtico para determinar los momentos Mnt y Mlt. .....................25
Figura 2.8 Interacción entre la fuerza axial compresiva y el momento flector
(AISC LRFD 1994). ..........................................................................................28
Figura 2.9 Imperfección de pórtico (EC3 2005). ...........................................................32
Figura 2.10 Elemento bi-articulado con imperfección inicial. ......................................33
Figura 2.11 Curvas de pandeo (EC3 2005). ..................................................................36
Figura 2.12 Diagrama de momento real de segundo orden y diagrama de
momento equivalente sinusoidal.......................................................................56
Figura 2.13 Factores de amplificación. .........................................................................57
Figura 2.14 Factor Cm para distribuciones lineales de momentos.
Comparación entre la expresión teórica [Ec. (2.140)] y la expresión
del Método 1 [Ec. (2.143)]. ..............................................................................59
Figura 2.15 Factor ky para momento uniforme: (a) GMNIA (Greiner y Lindner
2006), (b) EC3 [Ec. (2.150)]. ...........................................................................62
Figura 2.16 Comparación de la resistencia al pandeo “in-plane” de un IPE
200 sometido a N+My (Greiner y Lindner 2006): (a) momento
uniforme, (b) momento triangular, (c) momento bi-triangular. .......................64
Figura 2.17 Factor kz para momento uniforme: (a) GMNIA – HEB 300
(Greiner y Lindner 2006), (b) EC3 [Ec. (2.151)].............................................65
xi
xii
Lista de Figuras
Figura 2.18 Factores kLT obtenidos del GMNIA (Greiner y Lindner 2006): (a)
momento uniforme, (b) momento triangular, (c) momento bitriangular. ........................................................................................................ 68
Figura 2.19 Factores kLT del Método 2 [Ec. (2.159)]: (a) momento uniforme,
(b) momento triangular, (c) momento bi-triangular. ....................................... 69
Figura 2.20 Diagrama de interacción para un IPE 200 con L=2.14 m, λ z = 1
y sometido a N+My+Mz (Greiner y Lindner 2006). ......................................... 70
Figura 2.21 Definición de los factores Cm (Greiner y Lindner 2006)............................ 73
Figura 3.1 Distribución lineal de momentos.................................................................. 78
Figura 3.2 Valores de momentos usados en la Ecuación (3.6). ..................................... 81
Figura 3.3 Diagramas de momentos flectores analizados por Suryoatmono y
Ho (2002). ........................................................................................................ 89
Figura 3.4 Comparación del factor C1 para distribuciones lineales de
momentos con flexión lateral libre y alabeo libre en las condiciones
de enlaces......................................................................................................... 91
Figura 3.5 Comparación del factor C1 para distribuciones lineales de
momentos con flexión lateral impedida y alabeo impedido en las
condiciones de enlaces..................................................................................... 92
Figura 3.6 Comparación del factor C1 para una viga con carga uniformemente
distribuida y momentos iguales aplicados en los extremos.............................. 94
Figura 3.7 Comparación del factor C1 para una viga con carga uniformemente
distribuida y un momento aplicado en un extremo. ......................................... 94
Figura 3.8 Comparación del factor C1 para una viga con carga puntual en la
mitad de la longitud y momentos iguales aplicados en los extremos. .............. 95
Figura 3.9 Comparación del factor C1 para una viga con carga puntual en la
mitad de la longitud y un momento aplicado en un extremo............................ 96
Figura 3.10 Resultados para vigas con distribución lineal de momentos (Tabla
3.17). .............................................................................................................. 104
Figura 3.11 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (Tabla 3.18)............................................ 106
Figura 3.12 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y un
momento aplicado en uno extremo (Tabla 3.19)............................................ 106
Figura 3.13 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (Tabla 3.20)........................... 109
Figura 3.14 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento aplicado en un extremo (Tabla 3.21)........................ 109
Figura 3.15 Valores de momentos usados en las Ecuaciones (3.25) y (3.26).............. 115
Figura 3.16 Resultados para la distribución lineal de momentos (k=1).
Ecuación (3.27).............................................................................................. 116
Figura 3.17 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (k=1). Ecuación (3.27). .......................... 117
Figura 3.18 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y un
momento aplicado en un extremo (k=1). Ecuación (3.27)............................. 117
Figura 3.19 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (k=1). Ecuación (3.27). ......... 118
Lista de Figuras xiii
Figura 3.20 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento aplicado en un extremo (k=1). Ecuación
(3.27). .............................................................................................................118
Figura 3.21 Resultados para la distribución lineal de momentos (k=0.5).
Ecuación (3.23). .............................................................................................119
Figura 3.22 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (k=0.5). Ecuación (3.23).........................119
Figura 3.23 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y un
momento aplicado en un extremo (k=0.5). Ecuación (3.23). .........................120
Figura 3.24 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (k=0.5). Ecuación
(3.23). .............................................................................................................120
Figura 3.25 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento aplicado en un extremo (k=0.5). Ecuación
(3.23). .............................................................................................................121
Figura 3.26 Diagramas de momentos que originan incoherencia en el cálculo
del factor C1 (primera aproximación propuesta). ..........................................122
Figura 3.27 Ilustración sobre la falta de convergencia en el cálculo del factor
C1 (primera aproximación propuesta)............................................................122
Figura 3.28 Resultados para la distribución lineal de momentos (k1=k2=1).
Ecuación (3.31). .............................................................................................124
Figura 3.29 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (k1=k2=1). Ecuación (3.31).....................125
Figura 3.30 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y un
momento aplicado en un extremo (k1=k2=1). Ecuación (3.31). .....................125
Figura 3.31 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (k1=k2=1). Ecuación
(3.31). .............................................................................................................126
Figura 3.32 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento aplicado en un extremo (k1=k2=1). Ecuación
(3.31). .............................................................................................................126
Figura 3.33 Resultados para la distribución lineal de momentos (k1=k2=0.5).
Ecuación (3.23). .............................................................................................127
Figura 3.34 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (k1=k2=0.5). Ecuación (3.23)..................127
Figura 3.35 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y un
momento aplicado en un extremo (k1=k2=0.5). Ecuación (3.23). ..................128
Figura 3.36 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (k1=k2=0.5). Ecuación
(3.23). .............................................................................................................128
Figura 3.37 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento aplicado en un extremo (k1=k2=0.5). Ecuación
(3.23). .............................................................................................................129
Figura 3.38 Resultados para la distribución lineal de momentos (k1=1 y
k2=0.5). Ecuación (3.23). ...............................................................................129
xiv Lista de Figuras
Figura 3.39 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (k1=1 y k2=0.5). Ecuación (3.23). .......... 130
Figura 3.40 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y un
momento aplicado en un extremo (k1=1 y k2=0.5). Ecuación (3.23). ............ 130
Figura 3.41 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (k1=1 y k2=0.5).
Ecuación (3.23).............................................................................................. 131
Figura 3.42 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento aplicado en un extremo (k1=1 y k2=0.5).
Ecuación (3.23).............................................................................................. 131
Figura 3.43 Resultados para la distribución lineal de momentos (k1=0.5 y
k2=1). Ecuación (3.23)................................................................................... 132
Figura 3.44 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (k1=0.5 y k2=1). Ecuación (3.23). .......... 132
Figura 3.45 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y un
momento aplicado en un extremo (k1=0.5 y k2=1). Ecuación (3.23). ............ 133
Figura 3.46 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (k1=0.5 y k2=1).
Ecuación (3.23).............................................................................................. 133
Figura 3.47 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento aplicado en un extremo (k1=0.5 y k2=1).
Ecuación (3.23).............................................................................................. 134
Figura 4.1 Comparación de las curvas de pandeo en elementos sometidos a
compresión pura. ........................................................................................... 137
Figura 4.2 Resistencia a compresión pura. ................................................................. 138
Figura 4.3 Curva de pandeo lateral para IPE 400 con distribución uniforme de
momentos. ...................................................................................................... 140
Figura 4.4 Curva de pandeo lateral para IPE 400 con distribución bitriangular de momentos. ................................................................................ 140
Figura 4.5 Curva de pandeo lateral para HEB 300 con distribución uniforme
de momentos................................................................................................... 141
Figura 4.6 Curva de pandeo lateral para HEB 300 con distribución bitriangular de momentos. ................................................................................ 141
Figura 4.7 Resistencia a flexión pura - IPE 400 con distribución uniforme de
momentos. ...................................................................................................... 142
Figura 4.8 Resistencia a flexión pura - IPE 400 con distribución bi-triangular
de momentos................................................................................................... 143
Figura 4.9 Resistencia a flexión pura - HEB 300 con distribución uniforme de
momentos. ...................................................................................................... 143
Figura 4.10 Resistencia a flexión pura - HEB 300 con distribución bitriangular de momentos. ................................................................................ 144
Figura 4.11 “Beam-columns” con momentos concentrados en los extremos y
cargas transversales. ..................................................................................... 146
Figura 4.12 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300, λ z =0.50, caso 1). ............... 148
Figura 4.13 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300, λ z =1.50, caso 1). ............... 148
Lista de Figuras
xv
Figura 4.14 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300, λ z =0.50, caso 2).................149
Figura 4.15 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300, λ z =1.50, caso 2).................150
Figura 4.16 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300, λ z =0.50, caso 3).................151
Figura 4.17 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300, λ z =1.50, caso 3).................151
Figura 4.18 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400, λ z =0.50, caso 1). .................152
Figura 4.19 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400, λ z =1.50, caso 1). .................153
Figura 4.20 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400, λ z =0.50, caso 2). .................153
Figura 4.21 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400, λ z =1.50, caso 2). .................154
Figura 4.22 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400, λ z =0.50, caso 3). .................154
Figura 4.23 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400, λ z =1.50, caso 3). .................155
Figura 4.24 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300, λ z =0.50, caso 4).................156
Figura 4.25 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300, λ z =1.50, caso 4).................157
Figura 4.26 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300, λ z =0.50, caso 5).................158
Figura 4.27 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300, λ z =1.50, caso 5).................158
Figura 4.28 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400, λ z =0.50, caso 4). .................159
Figura 4.29 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400, λ z =1.50, caso 4). .................159
Figura 4.30 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400, λ z =0.50, caso 5). .................160
Figura 4.31 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400, λ z =1.50, caso 5). .................160
Figura B.1 Sistema de cargas distribuidas...................................................................178
Figura B.2 Desplazamientos y rotaciones en un elemento diferencial.........................178
Figura B.3 Fuerzas internas en un elemento diferencial..............................................178
Figura B.4 Nomenclatura para las coordenadas de los puntos de aplicación de
las fuerzas.......................................................................................................179
Figura B.5 Punto de aplicación de la fuerza en la configuración sin deformar
del elemento diferencial..................................................................................182
Figura C.1 Puntos igualmente espaciados para la aproximación por
Diferencias Finitas. ........................................................................................192
Figura C.2 Discretización para la aproximación por Diferencias Finitas. .................192
Figura C.3 Presentación del programa PANLAT. .......................................................193
Figura C.4 Entrada de datos del elemento...................................................................194
Figura C.5 Selección de un perfil laminado.................................................................195
Figura C.6 Creación de un perfil armado....................................................................195
Figura C.7 Selección de las condiciones de contorno..................................................196
Figura C.8 Ingreso de las cargas aplicadas.................................................................197
Figura C.9 Visualización de las cargas ingresadas. ....................................................197
xvi Lista de Figuras
Figura C.10 Visualización del diagrama de momentos. .............................................. 198
Figura C.11 Resultados. .............................................................................................. 198
Figura D.1 HEB 240 sometido a esfuerzos combinados.............................................. 199
LISTA DE TABLAS
Tabla 2.1 Cm teórico para “beam-columns” con cargas transversales. Chen y
Lui (1987). ........................................................................................................14
Tabla 2.2 Imperfecciones de los elementos (EC3 2005).................................................32
Tabla 2.3 Factores de imperfección para las curvas de pandeo. ...................................36
Tabla 2.4 Determinación de la curva de pandeo para una sección recta. .....................38
Tabla 2.5 Factores de imperfección para las curvas de pandeo LT...............................41
Tabla 2.6 Selección de la curva de pandeo [Ec. (2.77)]. ...............................................41
Tabla 2.7 Selección de la curva de pandeo [Ec. (2.79)]. ...............................................42
Tabla 2.8 Valores de kc (EC3 2005). ..............................................................................43
Tabla 2.9 Factores Cm del Método 2 (EC3 2005)...........................................................72
Tabla 3.1 Factor C1 para distribuciones lineales de momentos. EC3 (1992). ...............79
Tabla 3.2 Factor C1 para distribuciones no lineales de momentos. EC3 (1992). ..........79
Tabla 3.3 Coeficientes kc y C1 del ECCS Technical Committee 8 – Stability
(2006). ..............................................................................................................80
Tabla 3.4 Valores de C1 para distribuciones lineales de momentos. Clark y Hill
(1960). ..............................................................................................................83
Tabla 3.5 Valores de C1 para distribuciones no lineales de momentos. Clark y
Hill (1960). .......................................................................................................84
Tabla 3.6 Nethercot y Rockey (1972). C1 para distribuciones no lineales de
momentos..........................................................................................................86
Tabla 3.7 Valores de C1 para diagramas de momentos parabólicos. Greiner et
al. (1999). .........................................................................................................87
Tabla 3.8 Valores de C1 para diagramas de momentos triangulares. Greiner et
al. (1999). .........................................................................................................87
Tabla 3.9 Valores de S1 y S2. Lim et al. (2003)...............................................................90
Tabla 3.10 Comparación de los valores de C1 para los casos básicos de carga
y condiciones de enlaces...................................................................................93
Tabla 3.11 Diagramas de momentos para el análisis por el Método de
Elementos Finitos y Diferencias Finitas...........................................................97
Tabla 3.12 Valores de C1 para vigas con distribución lineal de momentos
(Método de Elementos Finitos).........................................................................98
xvii
xviii Lista de Tablas
Tabla 3.13 Valores de C1 para vigas con carga uniformente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (Método de Elementos Finitos). ............... 99
Tabla 3.14 Valores de C1 para vigas con carga uniformente distribuida y un
momento en uno extremo (Método de Elementos Finitos). .............................. 99
Tabla 3.15 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (Método de Elementos
Finitos)........................................................................................................... 100
Tabla 3.16 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento en uno extremo (Método de Elementos
Finitos)........................................................................................................... 100
Tabla 3.17 Valores de C1 para vigas con distribución lineal de momentos
(Diferencias Finitas). ..................................................................................... 103
Tabla 3.18 Valores de C1 para vigas con carga uniformemente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (Diferencias Finitas). ............................. 105
Tabla 3.19 Valores de C1 para vigas con carga uniformemente distribuida y un
momento aplicado en un extremo (Diferencias Finitas). ............................... 105
Tabla 3.20 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (Diferencias Finitas). ............ 108
Tabla 3.21 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento aplicado en un extremo (Diferencias Finitas). ......... 108
Tabla 3.22 Valores de C1 para vigas con distribución lineal momentos con
diferentes condiciones de enlaces en los apoyos (caso 1).............................. 111
Tabla 3.23 Valores de C1 para vigas con carga uniformemente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (caso 2)................................................... 112
Tabla 3.24 Valores de C1 para vigas con carga uniformemente distribuida y un
momento aplicado en un extremo (caso 3)..................................................... 112
Tabla 3.25 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (caso 4). ................................. 113
Tabla 3.26 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento aplicado en un extremo (caso 5)............................... 113
Capítulo
1
1 INTRODUCCIÓN
1.1
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Los elementos flexo-comprimidos, conocidos también como “beam-columns”,
son definidos como elementos estructurales sometidos a una combinación de
esfuerzo axial de compresión y momento flector. Los pilares de un pórtico son
un claro ejemplo de estos elementos porque aparte de soportar carga axial de
compresión, soportan también los siguientes momentos flectores: (1) los
producidos por las cargas de viento y fuerzas laterales de sismo; (2) los
generados por la acción continua de los elementos adyacentes conectados al
pilar en cuestión; y (3) los inducidos por los efectos de segundo orden.
El análisis de un elemento flexo-comprimido es más complicado que el de
un elemento sometido a compresión pura o a flexión pura porque involucra los
problemas de estabilidad de una columna como el pandeo de flexión, el pandeo
torsional o el pandeo flexo-torsional; y los problemas de flecha y de estabilidad
de una viga como el pandeo lateral.
Una solución ideal para calcular un “beam-column” es basarse en la
interacción de toda la estructura. Existe una tendencia a desarrollar tal
procedimiento pero por ahora prevalece el método tradicional de aislar cada
elemento individual como base para el cálculo.
Las normas de diseño siguen aún el método tradicional, y proponen el uso
de las denominadas fórmulas de interacción, las cuales toman en cuenta los
efectos de segundo orden, y brindan una aproximación bastante aceptable a los
resultados teóricos.
Las fórmulas de interacción correspondientes a la primera versión del
Eurocódigo 3 (EC3 1992) fueron desarrolladas en Alemania. Estas fórmulas
proporcionan, en la mayoría de los casos, estimaciones excesivamente
conservadoras, que conducen a un diseño moderadamente no económico,
1
2
Capítulo 1: Introducción
especialmente en los elementos sometidos a esfuerzos combinados de
compresión axial y flexión bi-axial (Lindner 2003; Gonçalves y Camotim 2004).
Desde entonces, con el propósito de corregir este problema indeseable, el
Comité Técnico 8 de la European Convention for Constructional Steelwork
(ECCS Technical Committee 8 - Stability 2006), liderado por el prof. Lindner de
la TU Berlín, presentó una metodología de diseño basada en dos niveles de
fórmulas de interacción, los cuales fueron denominados “Level 1” y “Level 2”.
Las fórmulas de interacción del “Level 1” fueron desarrolladas por un
equipo de investigadores austriacos-alemanes (Greiner et al. 1998; Greiner y
Lindner 1999; Greiner y Ofner 1999; Greiner et al. 1999; Greiner y Lindner 2000;
Greiner 2001; Greiner y Ofner 2001; Greiner 2002; Greiner y Lechner 2002;
Greiner y Lindner 2006), y están basadas en aproximaciones semi empíricas.
Estas aproximaciones fueron ajustadas en base a los resultados obtenidos
usando el Método de Elementos Finitos (Ofner 1997; Ofner 1999; Ofner et al.
1999; Ofner 2003), en donde se consideró el comportamiento elástico-plástico de
los elementos estructurales individuales, incluyendo la no linealidad
geométrica, las imperfecciones iniciales, las tensiones residuales y las zonas
plásticas a lo largo de la longitud de elemento. Todos los efectos físicos de la
inestabilidad son tomados en cuenta, en las fórmulas del “Level 1”, por medio
de un coeficiente compacto.
Por otro lado, las fórmulas de interacción del “Level 2”, las cuales están
basadas en la teoría de elasticidad de segundo orden, y analizadas inicialmente
en el plano de flexión, fueron desarrolladas por un equipo de investigadores
franceses-belgas (Boissonnade et al. 2002; Boissonnade et al. 2004). Estas
fórmulas fueron posteriormente mejoradas al incorporarse el comportamiento
espacial y el comportamiento elástico-plástico. Cada efecto físico que produce la
inestabilidad estructural de los “beam-columns”, está normalmente asociado a
un determinado coeficiente, dando lugar a que las fórmulas del “Level 2”
tengan una clara transparencia física (Boissonnade et al. 2004).
En los Anexos A y B del Eurocódigo 3 (EC3 2005), las fórmulas de
interacción del “Level 1” y “Level 2” están incluidas con el nombre de Método 2
y Método 1 respectivamente. Cabe indicar que estos dos métodos sólo evalúan
la estabilidad estructural “in-plane” y “out-of-plane” de los elementos flexocomprimido. La evaluación de la resistencia de la sección es tratada de manera
independiente usando una fórmula de interacción distinta a las de los dos
métodos.
Cabe indicar que el EC3 (2005) está sirviendo como documento base para
actualizar las normas de diseño de los países de La Unión Europea. Aquí en
España, se empleó el EC3 (2005) para elaborar el nuevo Código Técnico de la
Edificación, que entrará en vigor en pocos meses, y reemplazará a la Norma
Básica de la Edificación EA-95.
1.2 Objetivos
3
En términos generales, el EC3 (2005) plantea procedimientos de cálculo
muy complicados en comparación con los procedimientos propuestos por otras
normas de diseño. Como ejemplo, se tiene a la norma americana (AISC LRFD
1994), que sólo emplea una simple fórmula de interacción para evaluar todos
los posibles modos de fallo (White y Clarke 1997a; White y Clarke 1997b), ya
sea por agotamiento de la sección o por problemas de estabilidad.
En vista que el EC3 (2005) requiere de un mayor coste computacional para
calcular un “beam-column”, se pueden plantear algunos interrogantes en torno
a este tema: ¿es necesario tanta complejidad en los cálculos?, ¿realmente los
Método 1 y el Método 2 proporcionan resultados cercanos a los reales?,
¿pueden ser considerados los Método 1 y Método 2 como métodos generales de
aplicación?, ¿es posible realizar un pre-diseño rápido de una estructura con el
EC3 (2005)?, etc.
Otra problemática que se presenta en el diseño de vigas y elementos flexocomprimidos, es la falta de valores disponibles del factor de momento uniforme
equivalente de pandeo lateral (FMUE), especialmente en los casos cuando el
alabeo y la flexión lateral son impedidos en los enlaces del elemento. Cabe
resaltar que de los pocos valores disponibles, existe una gran discrepancia entre
ellos. Esta tesis permitirá aclarar esta discrepancia y propondrá nuevos valores
de FMUE; además planteará una formulación de cálculo que permita hacer
posible la elaboración de un algoritmo de programa.
1.2
OBJETIVOS
Los objetivos que se propone la presente tesis son:
-
Estudio del comportamiento estructural de un elemento flexocomprimido.
-
Obtención de nuevos valores del factor de momento uniforme
equivalente de pandeo lateral a partir de la teoría elástica de
segundo orden.
-
Propuesta de una fórmula general aproximada para calcular el
factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral en vigas
con diferentes condiciones de enlaces y diferentes formas de
diagrama de momentos flectores.
-
Estudio comparativo de las aproximaciones del EC3 (2005) y AISC
LRFD (1994) en el cálculo de la capacidad resistente de los
elementos sometidos a compresión pura, flexión pura y una
combinación de esfuerzo axial de compresión y momento flector.
4
1.3
Capítulo 1: Introducción
ESQUEMA DE LA MEMORIA
El contenido de la presente tesis está organizado en cinco capítulos. Con el
propósito de brindar una visión general de la tesis, una breve descripción de los
capítulos restantes es mostrada a continuación.
En el Capítulo 2, se presenta un resumen de la teoría desarrollada por
diversos investigadores para determinar la capacidad resistente de los
elementos flexo-comprimidos. Posteriormente, se muestran las filosofías de
diseño del AISC LRFD (1994) y EC3 (2005). Con este capítulo, se logra entender
cómo han sido planteadas la mayoría de las fórmulas de las normas de diseño.
Se ha puesto una mayor atención a las fórmulas propuestas por los Método 1 y
Método 2.
El Capítulo 3 se centra en la obtención de nuevos valores del FMUE, y en la
propuesta de una formulación simplificada que tome en cuenta la forma del
diagrama de momentos flectores y las condiciones de enlaces del elemento. Los
nuevos valores de FMUE serán obtenidos al integrar por Diferencias Finitas las
ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento elástico del pandeo
lateral.
En el Capítulo 4 se realiza un estudio comparativo de la capacidad
resistente de los elementos estructurales sometidos a compresión pura, flexión
pura y flexo-compresión. El propósito de este estudio es detectar, para los casos
más frecuentes de solicitaciones de cargas, diferencias significativas entre las
filosofías de diseño del AISC LRFD (1994) y EC3 (2005).
Finalmente, el Capítulo 5 recoge las conclusiones obtenidas del presente
trabajo y plantea posibles futuras líneas de investigación.
Capítulo
2
2 COMPORTAMIENTO
ESTRUCTURAL DE LOS
“BEAM-COLUMNS”
El comportamiento al colapso de un “beam-column” ha sido intensamente
estudiado en los últimos 50 años, y es aún el centro de atención de muchos
investigadores por su importancia en el cálculo estructural de pórticos.
Los primeros estudios fueron realizados por Timoshenko y Gere (1961),
quienes trabajaron en el dominio puramente elástico y plantearon una serie de
soluciones para los casos básicos de cargado. Sin embargo, la suposición de un
comportamiento totalmente elástico sólo es justificada en elementos cuyas
cargas aplicadas no originan esfuerzos que superen el límite de fluencia del
material; y no sería válida cuando se analiza el comportamiento de colapso del
“beam-column” puesto que en esta situación, el elemento se comporta
inelásticamente, dando lugar a que las ecuaciones diferenciales se conviertan en
no lineales y no puedan ser tratadas con el uso de las matemáticas formales
salvo que se utilicen métodos numéricos para obtener soluciones.
Un estudio exhaustivo sobre el comportamiento inelástico de los “beamcolumns” fue realizado por Chen (1970; 1981); Chen y Atsuta (1976; 1977); y
Massonnet (1976). Estos investigadores plantearon aproximaciones para los
casos con flexión uni-axial y bi-axial. Estas aproximaciones, las cuales se les
conocen como fórmulas de interacción, son ahora usadas en muchas normas de
diseño en donde toman en cuenta los efectos de segundo orden y los problemas
de estabilidad que se producen en el elemento. Estas fórmulas de interacción
constituyen una manera práctica de calcular la capacidad de carga sin
necesidad de recurrir a simulaciones numéricas basadas en el Método de
Elementos Finitos.
5
6
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
A pesar de los estudios realizados por diversos investigadores, no existe
aún una solución satisfactoria en el cálculo de los “beam-columns”; además,
con la tendencia general de usar elementos más esbeltos en los pórticos de
edificación, futuras investigaciones deben ser llevadas a cabo para incluir en las
normas, procedimientos que conduzcan a un diseño seguro y económico.
El presente capítulo realiza un estudio de la teoría desarrollada para los
elementos flexo-comprimidos, y presenta las filosofías de diseño del EC3 (2005)
y AISC LRFD (1994).
2.1
RESISTENCIA DE LOS “BEAM-COLUMNS”
La capacidad de carga de un “beam-column” depende de muchos factores, los
cuales pueden ser agrupados en tres grupos: el primero de ellos está
relacionado con las cargas aplicadas, las cuales pueden originar cualquier
combinación de esfuerzo axial de compresión, momento flector en el eje mayor
y momento flector en el eje menor. El segundo grupo está relacionado con
propiedades del elemento tales como las proporciones geométricas, la
resistencia del material, la longitud no arriostrada del elemento y las
condiciones de enlaces. Y el último grupo está relacionado con imperfecciones
tales como la falta de rectitud del elemento, las tensiones residuales y la
variación de la resistencia del material en toda la sección recta.
Tradicionalmente, los métodos de cálculo de los “beam-columns” estaban
basados en el uso de tablas y fórmulas de interacción, que proporcionaban una
buena aproximación a los resultados teóricos. Estos métodos estaban basados
en estudios realizados a elementos de secciones I de alas anchas.
Recientemente, con la disponibilidad de los programas de ordenadores es
posible analizar los “beam-columns” con secciones inusuales; además se
pueden obtener nuevos resultados numéricos, tomando en cuenta el
comportamiento inelástico asociado con la obtención de la máxima resistencia,
para mejorar los métodos de cálculo existentes.
A continuación, se presenta una breve síntesis de las formulaciones básicas
para determinar la capacidad de carga de los “beam-columns” sometidos a
distintas condiciones de cargado.
2.1.1 “Beam-columns” con flexión uni-axial: Resistencia “inplane”
La resistencia “in-plane” hace referencia al colapso del elemento por excesiva
deformación en el plano de flexión. Esta situación de fallo ocurrirá cuando el
elemento flecta, por las cargas aplicadas, con respecto a su eje débil; o cuando el
2.1 Resistencia de los “beam-columns”
7
elemento, con suficiente arriostramiento lateral que impide el pandeo lateral,
flecta con respecto a su eje fuerte.
Para determinar la resistencia en el plano de flexión (“in-plane”), la
siguiente expresión lineal y sencilla, citada por Chen y Lui (1987) y Galambos
(1988), puede ser usada como punto de partida:
P
Pu
+
M
Mu
≤1
(2.1)
donde P y M son el esfuerzo axial de compresión y el máximo momento flector
al fallo, respectivamente; Pu es la carga última a compresión para el pandeo en
el plano en donde se aplica el momento flector; y Mu es el momento último en
ausencia de la carga axial de compresión.
Si el cálculo estructural es realizado de tal forma que sólo se alcance la
primera fluencia y sin tener en cuenta las tensiones iniciales del elemento, Pu y
Mu deben ser iguales a la resistencia del elemento sometido a compresión axial
pura y al momento plástico de la sección, respectivamente.
Mientras que el valor de P es simplemente el valor del esfuerzo axial
aplicado, el valor de M es difícil de ser obtenido puesto que los momentos
flectores actuando en el elemento (momentos de primer orden) serán
amplificados por la presencia de la carga P, que actúa conjuntamente con la
deformación producida por las cargas aplicadas, dando lugar a los
denominados momentos de segundo orden. El máximo valor de los momentos
de segundo orden sería el valor de momento M a introducir en la expresión
(2.1).
Para el caso de un “beam-column” sometido a una combinación de
esfuerzo axial de compresión P y momento uniforme M0, Johnston (1976)
propuso la siguiente expresión para determinar el máximo momento actuando
en la mitad del elemento:
1



M max = M 0 
1
−
P
/
P
e 

(2.2)
siendo Pe la carga crítica elástica para el pandeo en el plano de los momentos
aplicados. El término entre paréntesis de la expresión (2.2) es considerado como
un factor de amplificación que multiplica al momento de primer orden M0 para
obtener el momento de segundo orden Mmax.
Aunque la expresión (2.2) fue deducida en base a la suposición de un
comportamiento elástico, su aplicación en el contexto de carga última de diseño
está muy extendida. Sustituyendo la expresión del Mmax en la expresión (2.1) se
obtiene la siguiente formula de interacción, la cual ha sido incluida en muchas
normas de diseño:
8
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
P
+
(
M0
)
M u 1 − P / Pe
Pu
≤1
(2.3)
Para “beam-columns” sometidos a momentos flectores que varían a lo
largo del elemento, la expresión (2.3) puede ser usada si se sustituye el
momento M0 por un momento CmM0, donde Cm es un factor de reducción
conocido como factor de momento uniforme equivalente, que será tratado más
adelante; y M0 es el máximo momento de primer orden. Por consiguiente, la
fórmula general de interacción quedaría expresada de la siguiente forma:
P
Pu
Cm M0
+
(
M u 1 − P / Pe
)
≤1
(2.4)
Esta expresión evalúa las condiciones de colapso provocado por la
inestabilidad estructural. Sin embargo cuando el “beam-column” es flectado
por momentos que producen rótulas plásticas en uno o en ambos extremos del
elemento, Chen y Atsuta (1972; 1974) proponen como fórmulas para evaluar la
resistencia de la sección las siguientes:
para “beam-columns” flectando en el eje fuerte:
M 
+ 0.85 0  ≤ 1
M 
Py
 p
P
con M 0 ≤ M p
(2.5)
para “beam-columns” flectando en el eje débil:
 P

P
 y
2

M
 + 0.84 0

M

 p

≤1


con M 0 ≤ M p
(2.6)
donde Py y Mp de las expresiones (2.5) y (2.6) corresponden a la carga de
fluencia y al momento plástico de la sección, respectivamente.
2.1.2 “Beam-columns” con flexión respecto al eje fuerte:
Pandeo lateral
Cuando un elemento, no arriostrado lateralmente, es flectado con respecto a su
eje fuerte, existe la tendencia de que éste falle por pandeo lateral, dando lugar a
desplazamiento lateral del ala comprimida y giro de la sección por torsión. La
presencia de una carga axial de compresión acentuará más esta tendencia
puesto que un elemento sometido a compresión axial pura pandearía con
respecto a su eje débil. En consecuencia, los “beam-columns” con flexión
respecto al eje fuerte presentarán una interacción entre el pandeo de una
columna y el pandeo de una viga.
2.1 Resistencia de los “beam-columns”
9
Para este caso, la expresión (2.4) es modificada para incorporar los efectos
del pandeo lateral y del pandeo de flexión respecto del eje débil, es decir:
P
Pu ,z
+
C m M 0 ,y
(
M u 1 − P / Pe ,y
)
≤1
(2.7)
donde Pu,z es la carga resistente a compresión axial sin tomar en cuenta la
presencia del momento flector, y es calculada para el pandeo respecto al eje
débil; Pe,y es la carga crítica elástica a compresión correspondiente al eje fuerte;
M0,y es momento máximo de primer orden actuando en el eje fuerte; y Mu es el
momento resistente al pandeo lateral sin considerar la presencia de la carga
axial de compresión. La expresión (2.7) es aplicable a cualquier distribución de
momentos. Adicionalmente a esta expresión, se debe utilizar la expresión (2.5)
para verificar la resistencia de la sección.
Cabe indicar que cuando un elemento flecta, por cargas aplicadas, con
respecto al eje menor de inercia, este elemento no pandeará lateralmente y su
capacidad resistente será determinada usando las formulaciones que fueron
indicadas en el Apartado 2.1.1.
2.1.3 “Beam-columns” con flexión bi-axial
Las aportaciones sobre la capacidad de carga de los “beam-columns” con
flexión bi-axial, han sido dadas por Chen y Atsuta (1977); Johnston (1976);
Massonnet (1976); y Chen (1977; 1981). Estos investigadores han obtenido una
serie de resultados experimentales y han propuesto un conjunto de soluciones
analíticas que han servido para crear procedimientos de cálculo más
aproximados y fiables. Una síntesis de todas las formulaciones planteadas por
aquellos años fue realizada por Galambos (1988), quien clasificó a los “beamcolumns” en dos grupos acordes a su modo de fallo: “beam-columns” cortos y
“beam-columns” esbeltos. En los “beam-columns” cortos, el colapso estaría
gobernado por la resistencia de la sección; es decir el elemento colapsaría en su
sección más solicitada, siempre que no se produzca pandeo local en las alas y el
alma del perfil. En cambio, el modo de colapso de los “beam-columns” esbeltos
es producido por la interacción entre el pandeo de una columna y el pandeo de
una viga cargada en sus dos planos.
A continuación se presentan los procedimientos de cálculo, sintetizados
por Galambos (1988) para determinar la resistencia de los “beam-columns”
cortos y esbeltos.
10
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
2.1.3.1
Resistencia de los “beam-columns” cortos
Tal como se comentó anteriormente, la resistencia de los “beam-columns” con
bajos valores de esbeltez, estaría gobernada por el desarrollo de la plastificación
total de su sección recta, siempre que se trabaje con secciones compactas para
evitar que se produzca el pandeo local.
Una expresión lineal y sencilla, sugerida por Johnston (1976), que engloba
las diferentes formas de interacción de los “beam-columns” con flexión uniaxial, es la siguiente:
 M0 ,y
+ 0.85
 M py
Py

P


 + 0.84 M 0 , z
 M pz




≤1


(2.8)
Si en el elemento sólo interactúan los esfuerzos P y M0,y, esta expresión
quedaría reducida a la expresión (2.5). Sin embargo, para la interacción entre P
y M0,z, Johnston (1976) aclara que al usar P/Py en lugar de (P/Py)2, la expresión
(2.8) sería más conservadora que la expresión (2.6).
Una mejor aproximación se puede conseguir al emplear las siguientes
expresiones propuestas por Tebedge y Chen (1974); y Chen y Atsuta (1977):
 M0 ,y

 M pcy

α


 +  M0 ,z
 M pcz



α

 ≤1


(2.9)
con
α = 1 .6 −
P / Py
[ (
2 ln P / Py
)]
(2.10)
siendo Mpcy y Mpcz los momentos resistentes con respecto a sus respectivos ejes,
reducidos por la presencia de la carga axial de compresión. Estos momentos
pueden ser obtenidos al despejar el momento M0 de las expresiones (2.5) y (2.6).
M pcy =
M pcz
M py 
P 
1 −
 ≤ M py

0.85 
P
y


M pz
=
0.84
  P
1 − 
  Py





2

 ≤ M pz


(2.11)
(2.12)
En todas las formulaciones antes mencionadas, se ha asumido que la
fluencia ocurre como un resultado de las tensiones producidas por compresión
y flexión. Sin embargo, la presencia de cualquier tensión cortante reducirá la
capacidad resistente de la sección transversal (Galambos 1988). En
2.1 Resistencia de los “beam-columns”
11
consecuencia, Galambos (1988) sugiere que la tensión de fluencia fy del material
debe ser reducida a:
τ
1−
τ
 y
fy




2
(2.13)
donde τ y τy son, respectivamente, la tensión aplicada y la tensión admisible de
cortadura.
2.1.3.2
Resistencia de los “beam-columns” esbeltos y de longitud
intermedia
En los “beam-columns” que no son considerados como elementos cortos, el
control de la estabilidad estructural gobernará el estado límite último.
La resistencia de los “beam-columns” esbeltos, sometidos a flexión bi-axial,
puede ser determinada usando la siguiente fórmula de interacción, la cual
combina empíricamente las expresiones (2.4) y (2.7):
P
Pu
+
C m ,y M 0 ,y
(
M u ,y 1 − P / Pe ,y
)
C m ,z M 0 ,z
+
(
M u ,z 1 − P / Pe ,z
)
≤1
(2.14)
El formato de esta expresión es el formato básico de las aproximaciones de
diseño de la norma americana AISC y de la norma canadiense CSA (Galambos
1988).
Sin embargo, los dos términos de momentos de la expresión (2.14) brindan
una interacción lineal, que difiere con la interacción no lineal obtenida de los
resultados experimentales y de las soluciones teóricas.
Una expresión no lineal, cuyos resultados se ajustan a las soluciones
teóricas del comportamiento elástico-plástico de los “beam-columns”, fue
propuesta por Tebedge y Chen (1974):
 C m ,y M
0 ,y


 M ucy
η

 C m ,z M 0 ,z


+


 M ucz

η

 ≤1


(2.15)
donde
[ (
)][1 − (P / P )]
[1 − (P / P )][1 − (P / P )]
M ucy = M u ,y 1 − P / Pu
e ,y
(2.16)
M ucz = M u ,z
e ,z
(2.17)
u
12
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
Para el cálculo del exponente η, Chen recomienda las siguientes
expresiones en función de la relación ancho del ala del perfil entre canto de la
sección (bf/d):
η = 0 .4 +
P
+
Py
bf
d
≥1
para
bf
d
≥ 0.3
(2.18)
η =1
para
bf
d
< 0.3
Estas expresiones de η fueron planteadas en base a estudios numéricos
realizados a secciones I con bf/d=0.3 (Ross y Chen 1976) y a secciones H con
bf/d=1 (Tebedge y Chen 1974).
2.2
FACTOR
EQUIVALENTE
DE
MOMENTO
UNIFORME
Cuando un “beam-column” es cargado en sus extremos por momentos
distintos, M0 y ψM0, con ψ comprendido entre -1 y 1, puede ser muy
conservador usar directamente el valor de M0 en las expresiones (2.4), (2.7),
(2.14) y (2.15), especialmente cuando el elemento flecta en curvaturas opuestas
(ψ negativo), puesto que estas expresiones fueron deducidas en base a una
distribución uniforme de momentos (ψ=1). Sin embargo, los estudios realizados
para los casos “in-plane”(Austin 1961) y para los casos con pandeo lateral
(Massonnet 1959), han demostrado que resulta una aproximación bastante
razonable si M0 es reemplazado por un momento reducido CmM0; siendo Cm el
factor de momento uniforme equivalente.
El concepto de momento uniforme equivalente (Meq=CmM0) es explicado,
de manera esquemática, en la Figura 2.1. En esta figura se muestra que los
momentos M0 y ψM0 son reemplazados por un momento Meq, que al actuar
conjuntamente con la carga P, produce un momento máximo que será igual al
momento máximo producido por los esfuerzos M0, ψM0 y P.
2.2 Factor de momento uniforme equivalente
ψM 0
M0
M eq
M eq
P
P
13
P
P
−1 ≤ ψ ≤ 1
M0
ψM 0
+
M eq
M max
M eq
+
M max
Figura 2.1 Representación esquemática del concepto del momento
uniforme equivalente.
La formulación exacta para calcular el factor Cm
matemáticamente usando la teoría elástica (Chen y Lui 1987):
Cm =
ψ 2 − 2ψ cos kL + 1
(
2 1 − cos kL
)
es
deducida
(2.19)
con
k=
P
EI
(2.20)
Como se puede apreciar en estas expresiones, el factor de momento
uniforme equivalente depende de la carga axial de compresión, P; de la rigidez
a la flexión, EI; de la longitud del elemento, L; y del parámetro ψ, que es la
relación entre el menor y el mayor momento aplicado en los extremos del
elemento. El signo de ψ será positivo si el elemento flecta en simple curvatura;
y, negativo si el elemento flecta en curvaturas opuestas. La expresión (2.19) sólo
tiene validez cuando el máximo momento de segundo orden no se produce en
un extremo del elemento.
Existen expresiones simplificadas para calcular el factor Cm las cuales dan
una buena aproximación a la expresión teórica (2.19). Estas expresiones fueron
propuestas por Massonnet (1959) y Austin (1961), y dependen solamente del
parámetro ψ. La expresión de Massonnet es:
C m = 0.3ψ 2 + 0.4ψ + 0.3
(2.21)
y, la expresión de Austin es:
C m = 0.6 + 0.4ψ ≥ 0.4
(2.22)
14
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
Debido a su sencillez, la expresión (2.22) ha sido incorporada en las
especificaciones de diseño de la norma americana (AISC LRFD).
Para “beam-columns” sometidos a cargas transversales, Chen y Lui (1987)
dedujeron alguna formulaciones usando la teoría elástica. Estas formulaciones
son recogidas en la Tabla 2.1.
Caso
P
C m teórico
 
kL

− 1 
 2 sec
sin 2 kL
2



  kL  2
 2(1 − cos kL )
  

  2 

P
P
P
P
P
L/2
P
P
L/2
  kL kL  
− 
 3 tg
sin 2 kL
2 
  2
2
  kL 
kL  2(1 − cos kL )
   tg

2 
  2 
 kL
 tg
2

 kL

 2


sin 2 kL

 2(1 − cos kL )


 
kL  
 2 1 − cos 2  
sin 2 kL



  kL sen kL  2(1 − cos kL )
  2 
2 
Tabla 2.1 Cm teórico para “beam-columns” con cargas transversales.
Chen y Lui (1987).
2.3
FILOSOFÍA DE DISEÑO DEL AISC LRFD
Las fórmulas de interacción del AISC LRFD (1994) usadas para calcular la
capacidad de carga de los elementos flexo-comprimidos, tienen un formato
muy parecido al de la expresión (2.14). Estas fórmulas están en función de la
resistencia a compresión pura, de la resistencia a flexión pura y de los
momentos de segundo orden.
Es preciso indicar que existe una nueva versión de la norma americana
(ANSI/AISC 360-05 2005) cuyo estudio no ha sido tratado en este trabajo
debido a que esta norma entró en vigor cuando las investigaciones de esta tesis
se encontraban en una etapa muy avanzada. El ANSI/AISC 360-05 (2005)
introduce ligeros cambios en algunas formulaciones del AISC LRFD (1994) pero
sin afectar significativamente los resultados.
2.3 Filosofía de diseño del AISC LRFD
15
2.3.1 Resistencia a compresión pura
En el Capítulo E de las Especificaciones del AISC LRFD (1994), se proponen las
siguientes expresiones para calcular la resistencia de los elementos sometidos a
compresión axial pura, las cuales están basadas en el estado límite del pandeo
elástico e ineslástico de flexión, y del pandeo local del alma y del ala:
para λ c ≤ 1.5 :
2
φc Pn = φc  0.658λc  A f y


(2.23)
para λ c > 1.5 :
 0.877 
A f y
 λc2 
φc Pn = φc 
(2.24)
donde φc es el factor de resistencia a compresión, cuyo valor es igual a 0.85; Pn
es la resistencia nominal a compresión; A es el área de la sección recta del
elemento; fy es la tensión de fluencia del material; y, λc es la esbeltez del
elemento, cuya expresión de cálculo es la siguiente:
λc =
KL
rπ
fy
E
(2.25)
siendo K el factor de longitud efectiva; L la longitud lateral no arriostrada del
elemento; r el radio de giro con respecto al eje de pandeo; y, E el módulo de
elasticidad del material.
La expresión (2.23) hace referencia a columnas que fallan por pandeo
inelástico; mientras que la expresión (2.24), a columnas que fallan por pandeo
elástico.
En la Figura 2.2 se muestra la curva que relaciona la resistencia nominal
dividida entre la resistencia de fluencia, con la esbeltez λc. A esta curva se le
conoce como curva de pandeo.
16
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
1.00
Pn / (Afy)
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
Esbeltez λc
Figura 2.2 Curva de pandeo para elementos sometidos a compresión
pura (AISC LRFD 1994).
Puesto que el factor de longitud efectiva, K, es un parámetro que interviene
en el cálculo de la resistencia nominal, Pn, se ha creído conveniente realizar a
continuación, una síntesis del procedimiento sugerido por el AISC LRFD (1994)
para determinar su valor.
2.3.2 Factor de longitud efectiva
El factor de longitud efectiva K tiene su importancia en el cálculo de la longitud
efectiva KL, el cual es empleado para estimar, en cualquier elemento
comprimido, los efectos de interacción que se producen en todo el pórtico. De
esta forma, la resistencia a compresión de un elemento de longitud L,
perteneciente a un pórtico, sería equivalente a la resistencia a compresión de un
elemento bi-articulado de longitud KL.
2.3 Filosofía de diseño del AISC LRFD
17
Figura 2.3 Longitud efectiva en columnas.
El AISC LRFD (1994) en el Capítulo C de sus Comentarios, proporciona un
par de nomogramas para calcular el factor de longitud efectiva en columnas de
pórtico intraslacional y traslacional. Estos nomogramas son mostrados en la
Figura 2.4. Los subíndices A y B hacen referencia a las uniones en ambos
extremos del elemento. La definición de G viene dada por:
G=
(
)
∑ (I g / L g )
∑ I c / Lc
(2.26)
donde Σ indica la suma de todos los elementos rígidamente conectados a la
unión y situados en el plano en donde se está considerando el pandeo de la
columna; I es el momento de inercia de cada elemento y es calculado con
respecto al eje perpendicular al plano de pandeo; y L es la longitud de cada
elemento medido desde la unión A a la unión B. Los subíndices c y g son usados
para hacer referencia a columna y viga, respectivamente. Asimismo el AISC
LRFD (1994) manifiesta que si la base de una columna no está conectada
rígidamente a la zapata, G tendería teóricamente al infinito, pero un valor de 10
podría ser considerado en el diseño práctico. Si por el contrario, la base de la
columna está rígidamente conectada a la zapata, el valor teórico de G tendería a
cero; en este caso, se podría considerar un valor de G igual a 1.
18
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
Figura 2.4 Nomogramas para determinar el factor de longitud efectiva en columnas
de pórticos arriostrados y no arriostrados lateralmente (AISC LRFD 1994).
Otra forma de determinar el factor de longitud efectiva sin recurrir a estos
nomogramas, es emplear las siguientes soluciones iterativas propuestas por
ASCE (1997):
para pórticos arriostrados (“sidesway inhibited”):
G AGB  π 
 
 
4 K
2
 G + GB
+ A

2


 π 
π 


 2 tan





2
K
K
 1−
+
−1 = 0


π 
  tan π  
 
 
 

 K 
K
(2.27)
para pórticos no arriostrados (“sidesway uninhibited”):
G A G B (π / K ) 2 − 36
(
6 G A + GB
)
−
(π / K )
tan(π / K )
=0
(2.28)
Para el caso de los pórticos no arriostrados lateralmente, la expresión (2.26)
fue deducida con la suposición de que las vigas tienen, en sus extremos, iguales
momentos girando en el mismo sentido a las agujas del reloj, produciendo las
mismas rotaciones en sus extremos y flexión con curvaturas opuestas; estos
momentos son calculados por un análisis de primer orden considerando
2.3 Filosofía de diseño del AISC LRFD
19
solamente las cargas laterales. Si esta suposición no se cumple, la longitud Lg
debe ser sustituida por:

M 
L g ' = L g 2 − F 

MN 


(2.29)
donde MF y MN son los momentos de los extremos más lejano y más cercano,
respectivamente, de la viga considerada, y son obtenidos por medio de un
análisis de primer orden al tomar solamente en cuenta las cargas laterales
actuando en el pórtico. Si la relación MF/MN es mayor a 2, Lg’ se convierte en
negativo, dando lugar, en algunos casos, que G sea también negativo. Cuando
esta situación se presenta, el nomograma mostrado en la Figura 2.4, para
pórticos no arriostrados lateralmente, no sería útil para determinar el valor de K
salvo que se emplee la solución iterativa (2.28) de ASCE (1997).
2.3.3 Resistencia a flexión pura
El AISC LRFD (1994) en el Capítulo F de sus Especificaciones, define la
resistencia nominal de un elemento sometido a flexión pura, Mn, como el menor
valor obtenido acorde con los estados límites de: a) fluencia; b) pandeo lateral;
c) pandeo local del ala; y d) pandeo local del alma.
Los estados límites de fluencia y de pandeo lateral sólo serán considerados
en este apartado puesto que, en la práctica, el fenómeno del pandeo local puede
ser evitado fácilmente por el calculista al limitar la relación ancho y espesor de
cada uno de los componentes que conforman la sección I:
para el ala:
bf
≤
2t f
65
fy
(2.30)
para el alma:
d
tw
≤
640
fy
(2.31)
donde bf es el ancho del ala; tf es el espesor del ala; d es el canto del alma
descontando los radios de los acuerdos; tw es el espesor del alma; y, fy es la
tensión de fluencia del material en klb/pulg2.
Las expresiones (2.30) y (2.31), aparte de garantizar que el pandeo local no
se produzca, garantizan también que la sección sea compacta; por lo cual, un
20
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
diseño por análisis plástico es permitido siempre que la tensión de fluencia del
acero no supere a 65 klb/pulg2 (≈450 MPa).
Para identificar qué estado límite predomina en una viga, el AISC LRFD
(1994) propone calcular las siguientes longitudes, usando el sistema inglés de
unidades:
Lp =
300 rz
(2.32)
f yf
Lr =
rz X 1
1 + 1 + X 2 f L2
fL
(2.33)
con
X1 =
π
W el ,y
EG It A
2
I w  Wel , y
X2 = 4
I z  G I t




(
(2.34)
2
 f yf − f r
fL es el menor valor de 
 f yw
(2.35)
)
(2.36)
donde Lp es la máxima longitud lateral no arriostrada que, para el caso de una
distribución uniforme de momentos, limita la zona en donde se dará la
resistencia plástica de toda la sección; Lr es la máxima longitud lateral no
arriostrada que limita la zona en donde se dará el pandeo lateral inelástico; rz es
el radio de giro del eje menor; Wel,y es el módulo resistente con respecto al eje
mayor; A es el área de la sección recta; Iz es la inercia con respecto al eje menor;
It es la inercia torsional; Iw es la inercia al alabeo; fyf y fyw son las tensiones de
fluencia de los aceros del ala y del alma, respectivamente; fr es la tensión
residual de compresión en el ala, y es igual a 10 klb/pulg2 para perfiles
laminados y 16.5 klb/pulg2 para perfiles soldados; y E y G son los módulos de
elasticidad y de cortadura del acero, respectivamente, (E= 29000 klb/pulg2 y
G=11200 klb/pulg2).
Aparte de las longitudes Lp y Lr, el AISC LRFD (1994) emplea la longitud
Lb que es la distancia entre puntos arriostrados contra el desplazamiento lateral
del ala comprimida o entre puntos arriostrados para prevenir el giro por torsión
de la sección recta; esta longitud es obtenida directamente conociendo las
condiciones de contorno de la viga.
2.3 Filosofía de diseño del AISC LRFD
21
Para vigas compactas arriostradas lateralmente con Lb≤Lp, solamente se
aplica el estado límite de fluencia. Para vigas compactas no arriostradas
lateralmente con Lb>Lp, se aplican los estados límites de fluencia y de pandeo
lateral. Puesto que el pandeo lateral ocurre en elementos que flectan con
respecto al eje mayor de inercia, no se debe aplicar el estado límite de pandeo
lateral a elementos sometidos a flexión en el eje menor ni a elementos cuyas
secciones son circulares o cuadradas; siendo, para estos casos, aplicable
solamente el estado límite de fluencia. Para Lp<Lb≤Lr, el pandeo lateral inelástico
podría ocurrir en el elemento; mientras que para Lb>Lr, podría ocurrir el pandeo
lateral elástico.
Acorde con el estado límite de fluencia, la resistencia de un elemento
sometido a flexión pura queda determinada al multiplicar el momento plástico
Mp por el factor de resistencia a flexión φb cuyo valor es igual a 0.90:
φb M n = φb M p
con
M p ≤ 1.5 Wel f y
(2.37)
La limitación del momento plástico es empleada para controlar la
deformación inelástica que se produce en secciones con factores de forma
mayores a 1.5. El factor de forma es definido como la relación entre el momento
plástico y el momento correspondiente a la aparición de la primera fluencia en
la fibra extrema.
Para el caso del estado límite de pandeo lateral, se emplean las siguientes
expresiones, las cuales son válidas para secciones doblemente simétricas y
secciones canales:
para Lb≤Lr:

 Lb − L p  
  ≤ φb M p

 Lr − L p 
φb M n = φb C b  M p − (M p − M r )

(2.38)
para Lb>Lr:
φb M n = φb Mcr ≤ φb M p
(2.39)
M r = f L Wel , y
(2.40)
con
M cr = C b
o
π
Lb
2
 πE 
EI y GI t +   I y I w
L 
 b
(2.41)
22
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
M cr =
C b W el ,y X 1 2
L b / rz
1+
X 12 X 2
2 L b / rz 


2
y
Cb =
12.5 M max
2.5 M max + 3 M A + 4 M B + 3 M C
(2.42)
donde Mr es un momento de pandeo que toma en cuenta la presencia de la
tensión residual en la sección; Mcr es el momento crítico elástico; Cb es el factor
de momento uniforme equivalente o conocido también como gradiente de
momento; Mmax, es el valor absoluto del máximo momento flector; MA, MB y MC
son los correspondientes valores absolutos de los momentos producidos a un
cuarto, a un medio y a tres cuartos de la longitud del elemento.
La expresión (2.41), que se emplea para calcular el momento crítico elástico
Mcr, asume que la carga está aplicada en el eje centroidal de la viga. Si la carga
se aplica en el ala superior no arriostrado (ala comprimida por flexión), se
producirá un efecto desestabilizador en el elemento ocasionando un Mcr menor;
por el contrario, si la carga actúa en el ala inferior no arriostrado (ala
traccionada por flexión), se producirá un efecto estabilizador dando lugar a un
Mcr mayor (Galambos 1988). Para la carga aplicada en el ala superior no
arriostrado, el AISC LRFD (1994) recomienda, en el Capítulo F de sus
Comentarios, usar un valor de X2 igual a cero para estimar, conservadoramente,
el valor reducido del momento crítico elástico.
La expresión (2.42) del AISC LRFD (1994), empleada para calcular el factor
Cb, fue propuesta por Kirby y Nethercot (1979), y es aplicable a cualquier
distribución de momentos.
La Figura 2.5 muestra un esquema gráfico de la variación del momento
nominal Mn frente a la longitud Lb, en donde se pueden apreciar, para el caso de
una distribución de momento uniforme (Cb=1), las tres zonas principales
definidas por las longitudes Lp y Lr. La primera zona corresponde a la
plastificación de la sección [expresión (2.37)], y se encuentra demarcada por la
longitud Lp; la segunda zona corresponde al pandeo lateral inelástico, en donde
la variación del Mn está representada por una línea recta trazada entre los
límites establecidos por Lp y Lr [expresión (2.38)]; y, la tercera zona corresponde
al pandeo lateral elástico, en donde Mn varía siguiendo la curva del momento
crítico elástico [expresión (2.39)]. Para otras distribuciones de momento, Mn es
obtenido multiplicando el momento nominal correspondiente a la distribución
de momento uniforme, por el factor Cb; pero con la salvedad de que Mn no debe
superar al momento plástico Mp. De esta manera, se permite a Mn llegar al
2.3 Filosofía de diseño del AISC LRFD
23
momento Mp cuando se tienen longitudes Lb mayores a Lp, tal como se indica en
la curva trazada con líneas discontinuas para Cb>1.
Mn para Cb =1
Cb Mp
Mn para Cb >1
Mp
Mcr para Cb =1
Cb Mr
Mcr para Cb >1
Mr
Plástico
Inelástico
Elástico
Lr
Lp
Lb
Figura 2.5 Esquema gráfico de la variación del momento nominal Mn en
función de la longitud lateral no arriostrada Lb (AISC LRFD 1994).
2.3.4 Método simplificado para considerar los efectos de
segundo orden
El AISC LRFD (1994) en el Capítulo C de sus Especificaciones, indica que los
momentos deben ser determinados usando un análisis elástico de segundo
orden o siguiendo el siguiente procedimiento aproximado:
M II = B1 M nt + B2 M lt
(2.43)
donde MII es el momento de segundo orden; Mnt es el momento en el elemento,
calculado mediante un análisis elástico de primer orden asumiendo que el
pórtico es intraslacional; Mlt es el momento en el elemento, calculado por un
análisis elástico de primer orden asumiendo que el pórtico es traslacional; y, B1
y B2 son los factores de amplificación de momentos que toman en cuenta los
efectos P-δ y P-∆ de segundo orden, respectivamente.
La Figura 2.6 muestra una ilustración de la amplificación de los momentos
de primer orden en elementos que forman parte de un pórtico intraslacional y
de un pórtico traslacional.
24
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
P
P
H
M lt = HL
M 1 = M nt + Pδ
M 2 = M lt + P∆
L
M 1 = B1 M nt
M 2 = B2 M lt
Beam-column de pórtico
intraslacional
Beam-column de pórtico
traslacional
Figura 2.6 Ilustración de los efectos P-δ y P-∆ de segundo orden.
El factor B1 es calculado usando la siguiente expresión:
B1 =
Cm
1 − P / P 

e1 


≥1
(2.44)
siendo Pe1 la carga crítica de Euler correspondiente al plano de flexión, y es
calculada asumiendo que el elemento forma parte de un pórtico arriostrado
lateralmente (pórtico intraslacional). Con esta suposición, el AISC LRFD (1994)
recomienda que el factor de longitud efectiva de pandeo debe ser igual a la
unidad (K=1), salvo que el análisis estructural demuestre que un menor valor
pueda ser usado.
Por otro lado, el factor B2 puede ser calculado con la siguiente expresión:
1
B2 =
1−
ΣP  ∆0 h 


ΣH  L 


(2.45)
o alternativamente se puede usar:
B2 =
1
1−
ΣP
(2.46)
ΣPe 2
donde ΣP es la suma de la fuerza axial de todas las columnas de la planta
considerada; ∆0h es el desplazamiento lateral relativo entre el nivel superior e
inferior de la planta considerada, y es determinado por medio de un análisis de
primer orden; ΣH es la suma de todas las fuerzas horizontales que producen el
2.3 Filosofía de diseño del AISC LRFD
25
desplazamiento ∆0h, y es calculada en el nivel inferior de la planta considerada;
L es la altura de la planta considerada; Pe2 es la carga crítica de Euler
correspondiente al plano de flexión, y es calculada asumiendo que el elemento
forma parte de un pórtico no arriostrado lateralmente (pórtico traslacional); y,
ΣPe2 es la suma de los Pe2 de todas las columnas de la planta considerada.
En la Figura 2.7 se muestra el procedimiento para determinar los
momentos Mnt y Mlt. Las cargas verticales (P1, P2 y P3) y las cargas horizontales
(V1, V2 y V3) actuando en un pórtico traslacional, son aplicadas, por separadas, a
los dos modelos de pórtico indicados en dicha figura. En el primer modelo se
aplican las cargas verticales del pórtico original, y unas reacciones horizontales
ficticias (R1, R2 y R3) aplicadas a cada planta para arriostrar lateralmente al
pórtico original; luego, se realiza un análisis de primer orden para determinar
las reacciones horizontales ficticias y los momentos Mnt de cada elemento del
pórtico. Posteriormente, en el segundo modelo, correspondiente al pórtico no
arriostrado lateralmente, se aplican las cargas horizontales del pórtico original
y, en sentido contrario, las reacciones horizontales ficticias. Los momentos Mlt
de cada elemento también son obtenidos al realizar un análisis de primer orden.
Para el caso de un elemento que forma parte de un pórtico intraslacional, el
valor del momento Mlt sería igual a cero; mientras que, el valor del momento
Mnt sería obtenido por un análisis de primer orden realizado en el pórtico
intraslacional (pórtico original).
Figura 2.7 Modelos de pórtico para determinar los momentos Mnt y Mlt.
Una vez obtenidos los valores de B1, B2, Mnt y Mlt, se emplea la expresión
(2.43) para determinar el momento máximo de segundo orden, MII, que se
produce en el elemento.
Cabe señalar que este procedimiento simplificado y aproximado del AISC
LRFD (1994) es sólo válido para pórticos con conexiones rígidas. Para otros
tipos de conexiones, se puede emplear cualquier programa de análisis
26
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
estructural que incluya los efectos de segundo orden en el cálculo de los
momentos flectores.
2.3.5 Factor Cm
Para calcular el factor de amplificación B1, es necesario determinar previamente
el factor de momento uniforme equivalente Cm, el cual es calculado asumiendo
que el pórtico es intraslacional.
La expresión propuesta por el AISC LRFD (1994) para calcular el factor Cm,
es la siguiente, la cual es válida para “beam-columns” que no están sometidos a
cargas transversales entre sus apoyos en el plano en donde se produce la
flexión:
C m = 0.6 + 0.4ψ
(2.47)
Esta expresión es similar a la expresión de Austin (1961), pero sin tomar en
cuenta la condición Cm ≥ 0.4 puesto que, para valores de ψ comprendidos entre 0.5 y -1, esta condición conduce a resultados muy conservadores con respecto a
los resultados numéricos exactos basados del análisis elástico-plástico (Chen y
Zhou 1987).
Para “beam-columns” sometidos a cargas transversales entre sus apoyos,
el AISC LRFD (1994) recomienda realizar un análisis racional para determinar
los valores de Cm. Por otra parte, si este análisis no es llevado a cabo, el AISC
LRFD (1994) plantea usar los siguientes valores: Cm=0.85, para elementos cuyos
extremos están restringidos (empotrados); y Cm=1.00, para elementos cuyos
extremos no están restringidos (articulados).
2.3.6 Resistencia de los “beam-columns”
Las fórmulas de interacción de la norma americana (AISC LRFD 1986; AISC
LRFD 1994) fueron desarrolladas en base a resultados numéricos obtenidos del
comportamiento inelástico de 82 “beam-columns” (Kanchanalai 1977). Estas
fórmulas, que se muestran a continuación, son aplicables tanto a secciones con
un eje de simetría como a secciones con dos ejes de simetría:
para
P
φc Pn
≥ 0.2 :
P
φc Pn
+
8  M yII
M zII 

≤1
+
9  φ Mn ,y φ Mn ,z 
 b

b
(2.48)
2.3 Filosofía de diseño del AISC LRFD
para
P
φc Pn
27
< 0.2 :
 M yII
M zII
+
+
2φc Pn  φb M n , y φb M n , z
P

≤1


(2.49)
donde P es la resistencia requerida a compresión; M yII y M zII son las
resistencias requeridas a flexión, incluyendo los efectos de segundo orden
(Apartado 2.3.4); φc es el factor de resistencia a compresión, y es igual a 0.85; φb
es el factor de resistencia a flexión, y es igual a 0.90; y Pn y Mn son las
resistencias nominales a compresión (Apartado 2.3.1) y a flexión (Apartado
2.3.3), respectivamente.
Estas fórmulas de interacción describen una curva bi-lineal de resistencia
(Figura 2.8), y toman en cuenta todos los estados límites últimos de un elemento
flexo-comprimido, tales como: la resistencia “in-plane” de los elementos que
flectan con respecto a su eje fuerte o a su eje débil; la resistencia “out-of-plane”
de los elementos que flectan con respecto a su eje fuerte; y la resistencia espacial
de los elementos sometidos a una combinación de esfuerzo axial de compresión
y flexión bi-axial.
Al mantener el valor del efecto de segundo orden, B1, por encima de la
unidad [expresión (2.44)], se evita, en las fórmulas de interacción del AISC
LRFD, la necesidad de evaluar por separado los estados límites últimos,
especialmente en los casos en donde el factor Cm es menor a la unidad (CheongSiat-Moy y Downs 1980). Otra ventaja de estas fórmulas de interacción es que
son aplicables a “beam-columns” de pórticos intraslacional y traslacional (Chen
y Lui 1987).
28
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
φb M n
0.9 φ b M n
Pu
Mu
+
=1
2φc Pn φb Mn
Pu
φ c Pn
+
8 Mu
=1
9 φb Mn
0.2 φ c Pn
φ c Pn
Pu
Figura 2.8 Interacción entre la fuerza axial compresiva y el momento
flector (AISC LRFD 1994).
Alternativamente a las fórmulas de interacción (2.48) y (2.49), el AISC
LRFD (1994) en su Apéndice H de sus Especificaciones plantea usar dos
fórmulas no lineales, que son sólo válidas para elementos de pórticos
arriostrados; estas fórmulas fueron indicadas en los Apartados 2.1.3.1 y 2.1.3.2,
y son las siguientes: expresión (2.9), empleada para controlar el estado límite de
fluencia; y expresión (2.15), empleada para controlar la estabilidad estructural
del elemento. Estas expresiones son menos conservadoras que las fórmulas de
interacción bi-lineal, especialmente en los casos en donde los “beam-columns”
son cargados espacialmente (ASCE 1997).
2.3.7 Resistencia a esfuerzo cortante
Para completar el proceso de diseño de un “beam-column”, se debe comprobar
que los esfuerzos cortantes producidos por una distribución de momentos, no
superen la resistencia cortante de la sección. Ocasionalmente, esta
comprobación estructural es más importante en elementos de tramos cortos y
en aquellos que soportan cargas concentradas.
El AISC LRFD (1994) en el Apéndice F de sus Especificaciones, propone
unas expresiones para determinar la resistencia a cortante, las cuales son
válidas para almas con o sin rigidizadores transversales:
para h / t w ≤ 187 k v / f yw :
φvVn = 0.6 φ v f yw Aw
(2.50)
2.3 Filosofía de diseño del AISC LRFD
29
para 187 k v / f yw < h / t w ≤ 234 k v / f yw :
φvVn = 0.6 φv f yw Aw  187 k v / f yw  / (h / t w )


(2.51)
para h / t w > 234 k v / f yw :
φvVn = φv Aw (26400 k v ) / (h / t w )
2
(2.52)
donde Vn es la resistencia nominal a cortante; φv es el factor de resistencia a
cortante, y es igual a 0.90; h es, para perfiles laminados, la distancia entre alas
menos los radios del acuerdo entre ala y alma, y es, para secciones soldadas, la
distancia entre alas; tw es el espesor del alma; Aw es el área del alma en pulg2,
que debe ser calculada multiplicando todo el canto del perfil por el espesor del
alma; fyw es la tensión de fluencia del alma en klb/pulg2; y kv es el coeficiente de
pandeo del alma, que se determina de esta manera:
k v = 5 + 5 / ( a / h )2
[
(
pero usar k v = 5 cuando a / h > 3 ó a / h > 260 / h / t w
)]2
(2.53)
siendo a la distancia entre rigidizadores transversales. Para perfiles con almas
no rigidizadas se debe tomar kv=5.
La expresión (2.50) indica que para las almas con una relación h/tw menor
a 187 k v / f yw , la resistencia nominal a cortante, Vn, sería igual al esfuerzo
cortante de fluencia del alma, cuyo valor es 0.6 A w f yw . Cuando la relación h/tw
es mayor a 187 k v / f yw , la resistencia Vn sería calculada en base al esfuerzo
cortante que produce el pandeo del alma. Basler (1961) sugirió tomar el límite
234 k v / f yw para definir las zonas en donde se producen el pandeo inelástico
y el pandeo elástico del alma. Así, cuando h/tw es mayor a 234 k v / f yw , la
resistencia Vn [expresión (2.52)] quedaría determinada al multiplicar la tensión
crítica de pandeo elástico por el área del alma. La expresión de la tensión crítica
de pandeo elástico, fcr, fue propuesta por Cooper et al. (1978), y tiene la
siguiente forma:
30
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
f cr =
π 2E kv
12  1 −ν 2   h / t w 



2
(2.54)
Para una relación h/tw comprendida entre 187 k v / f yw y 234 k v / f yw
(zona en donde se produce el pandeo inelástico del alma), el AISC LRFD
emplea como aproximación una línea recta de transición para determinar la
resistencia Vn [expresión (2.51)].
2.4
FILOSOFÍA DE DISEÑO DEL EC3
El Eurocódigo 3 (EC3 2005) emplea dos grupos de fórmulas de interacción para
determinar la resistencia de los elementos flexo-comprimidos: el primer grupo
evalúa el estado límite último de resistencia de la sección; y el segundo grupo,
el estado límite último de resistencia al pandeo.
Las fórmulas de interacción del EC3 (2005) empleadas para evaluar la
resistencia de la sección, siguen un formato muy similar al de la expresión (2.9).
En cambio, el formato de las fórmulas de interacción que evalúan la resistencia
al pandeo, es parecido al de la expresión (2.14), pero con la peculiaridad de que
los efectos de segundo orden son tomados en cuenta por medio de unos
factores, denominados factores de interacción. Para calcular estos factores, el
EC3 (2005) propone dos métodos, los cuales aparecen en los Anexos A y B de
dicha normativa. Estos anexos son catalogados como “informativos”, lo cual
deja al criterio del calculista usar uno u otro método, o no usar ninguno de los
dos si se dispone de algún otro procedimiento de cálculo.
El esquema a seguir en este apartado es el siguiente: primero se
presentarán los procedimientos propuestos por el EC3 para analizar la
estabilidad estructural de los pórticos; luego, se tratará el tema de las
imperfecciones; posteriormente se presentarán, con mayores detalles, los
fundamentos teóricos para evaluar el estado límite último de los elementos
sometidos a compresión pura, a flexión pura y a flexo-compresión; y
finalmente, se presentarán las diferencias existentes entre las filosofías de
diseño del Método 1 y Método 2.
2.4.1 Análisis de la estabilidad estructural de pórticos
Acorde con el EC3 (2005) en su Apartado 5.2.2, la verificación de la estabilidad
de los pórticos o de los elementos individuales debe ser llevada a cabo,
considerando las imperfecciones y los efectos de segundo orden.
2.4 Filosofía de diseño del EC3
31
Para la verificación de la estabilidad estructural, el calculista debe optar
por uno de los tres procedimientos descrito en el Apartado 5.2.2(3) del EC3.
El primer procedimiento consiste en realizar un análisis global de todo el
pórtico, considerando los efectos de segundo orden (P-∆ y P-δ), las
imperfecciones del pórtico traslacional y las imperfecciones de cada elemento.
Con este procedimiento sólo se requerirá verificar la resistencia de la sección
más solicitada.
El segundo procedimiento permite realizar un análisis global de todo el
pórtico, considerando parcialmente los efectos de segundo orden y las
imperfecciones. Si los efectos de segundo orden P-δ y las imperfecciones de los
elementos no son tomados en cuenta en el análisis global, la estabilidad de cada
elemento deberá ser verificada. Para llevar a cabo esta verificación, el EC3
(2005) permite emplear una longitud de pandeo igual a la longitud del
elemento, siempre que los esfuerzos de los extremos del elemento, los cuales
son obtenidos de un análisis global de la estructura, incluyan los efectos
globales de segundo orden (P-∆) y la imperfección global del pórtico.
Adicionalmente a esta verificación de la estabilidad, es necesario verificar
también la resistencia de la sección en los extremos del elemento.
Por último, el tercer procedimiento propone emplear el método de la
columna equivalente para evaluar la estabilidad del pórtico y de los elementos
estructurales. Este método implica que el valor de la longitud de pandeo,
correspondiente a cada elemento, debe ser calculado acorde con el modo de
pandeo global del pórtico, en donde se consideran el comportamiento rígido de
los elementos y de las uniones, la presencia de las rótulas plásticas y la
distribución de las fuerzas de compresión producidas por las cargas de diseño.
Con este procedimiento, los esfuerzos internos que deben ser usados tanto en la
verificación de la resistencia de la sección como en la verificación de la
estabilidad de los elementos, son calculados acorde con la teoría de primer
orden sin considerar las imperfecciones.
2.4.2 Imperfecciones para el análisis global de los pórticos
En el análisis de la estabilidad, se deben tener en cuenta los efectos de las
imperfecciones, los cuales incluyen las tensiones residuales y las imperfecciones
geométricas tales como la falta de verticalidad de los pórticos y la falta de
rectitud en los elementos. Los valores de estas imperfecciones son presentados
en el Apartado 5.3.2 del EC3 (2005).
La imperfección a nivel de pórtico (Figura 2.9), denominada “equivalent
sway imperfection” en el EC3 (2005), puede ser determinada por medio de la
siguiente expresión:
32
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
φ=
α hα m
(2.55)
200
con
2
αh =
h
2
pero
3
α m = 0.5 1 +

≤ α h ≤ 1 .0
(2.56)
1
m 
(2.57)
donde h es la altura en metros de toda la estructura; y m es el número de pilares
por piso, incluyendo solamente los pilares que llevan una carga NEd superior al
50% de la media.
h
h
φ
φ
Figura 2.9 Imperfección de pórtico (EC3 2005).
Por otro lado, la imperfección a nivel de elemento tiene una forma
sinusoidal, y su amplitud e0 depende de las curvas de pandeo, del tipo de
análisis estructural a realizar y de la longitud del elemento (Tabla 2.2).
Curva de pandeo acorde
con Tabla 2.3
Análisis elástico
Análisis plástico
e0/L
e0/L
a0
1/350
1/300
a
1/300
1/250
b
1/250
1/200
c
1/200
1/150
d
1/150
1/100
Tabla 2.2 Imperfecciones de los elementos (EC3 2005).
Cuando se analizan los pandeos “in-plane” y “out-of-plane”, todas estas
imperfecciones deben ser consideradas en la dirección más desfavorable.
2.4 Filosofía de diseño del EC3
33
Otra forma de tomar en cuenta los efectos de las imperfecciones, es
emplear un sistema de fuerzas horizontales equivalentes acorde a lo indicado
en el Apartado 5.3.2(7) del EC3 (2005).
2.4.3 Fundamentos teóricos de las fórmulas de diseño para
la resistencia a compresión pura
Las fórmulas de diseño para calcular la resistencia de los elementos sometidos a
compresión pura fueron deducidas considerando un análisis de segundo orden
elástico en un elemento con una imperfección geométrica inicial νo(x). Esta
imperfección es asumida como una función sinusoidal con un máximo valor de
eo,d en la mitad de la luz:
ν o ( x ) = e o ,d sin
Esta forma
imperfecciones.
sinusoidal
es
la
πx
(2.58)
L
más
común
para
representar
las
Figura 2.10 Elemento bi-articulado con imperfección inicial.
Cuando se aplica una fuerza axial NEd en el elemento, aparecerá una flecha
adicional ν(x) (Figura 2.10), la cual está asociada con la inestabilidad estructural.
Para el elemento bi-articulado mostrado en la Figura 2.10, la flecha adicional
puede ser expresada como:
ν ( x ) = A sin
πx
L
(2.59)
siendo A un coeficiente que representa el máximo valor de la flecha adicional
que se produce en la mitad de la luz.
Al plantear la ecuación de equilibrio y al aplicar la ecuación constitutiva de
la flexión, se obtiene la siguiente ecuación diferencial:
ν ′′ +
(
)
N Ed
ν o +ν = 0
EI
(2.60)
Al reemplazar las expresiones (2.58) y (2.59) en (2.60), se lograr determinar
una expresión para el coeficiente A:
34
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
A=
N Ed
N cr − N Ed
eo ,d
(2.61)
siendo Ncr la carga crítica del pandeo de flexión (pandeo de Euler). Por
consiguiente, la flecha total en la mitad de la luz puede ser expresada como:
ν max =
1
1 − N Ed / N cr
eo ,d
(2.62)
Tal como se puede apreciar en esta expresión, la flecha máxima νmax
depende del valor de la carga axial de compresión. El término que multiplica a
la imperfección inicial, eo,d, es el factor de amplificación de segundo orden.
De esta forma, la fórmula de interacción empleada para verificar
estructuralmente la sección más solicitada (sección ubicada en la mitad de la
luz), se convertiría en:
N Ed
A fy
+
N Ed e o , d
1
1 − N Ed / N cr Wel , y f y
≤1
(2.63)
Usando la definición de la esbeltez adimensional:
λ =
A fy
(2.64)
N cr
y tomando el máximo valor de NEd que puede soportar el elemento,
N Ed
max
= χ A fy
(2.65)
se puede escribir la fórmula (2.63) como:
(1 − χ ) (1 − χλ 2 ) = eo ,d
A
Wel , y
χ = ηχ
(2.66)
donde χ es el factor de reducción a pandeo de flexión; y η representa la
imperfección inicial generalizada, la cual incluye las tensiones residuales, la
falta de rectitud inicial en el elemento y la excentricidad de las cargas aplicadas.
Puesto que algunas de estas imperfecciones están en función de la longitud del
elemento, el Comité Técnico 8 que evalúa las formulaciones del EC3 (ECCS
Technical Committee 8 - Stability 2006) sugirió que η debe ser expresada como:
η = α (λ − 0.2 )
(2.67)
2.4 Filosofía de diseño del EC3
35
siendo α el factor de imperfección que depende de la forma de la sección recta,
del proceso de fabricación (laminado o soldado), del plano de pandeo y del tipo
de acero.
Despejando el factor χ de la expresión (2.66), se obtiene que:
χ=
1
Φ + Φ 2 −λ2
pero χ ≤ 1
(2.68)
con
)
(
Φ = 0 .5 1 + α λ − 0 .2 + λ 2 


(2.69)
Una vez que se conoce el valor del factor de reducción χ, se puede
determinar el máximo valor del esfuerzo axial NEd usando la expresión (2.65).
2.4.4 Resistencia a compresión pura
Acorde con el EC3 (2005) en sus Apartados 6.2.4 y 6.3.1, la resistencia de un
elemento sometido a compresión axial pura es determinada con las siguientes
expresiones, las cuales son válidas para secciones de Clases 1, 2 y 3:
para la resistencia de la sección:
N c , Rd =
A fy
γ M0
(2.70)
para la resistencia al pandeo:
N b , Rd =
χ A fy
γ M1
(2.71)
donde γM0 y γM1 son los factores de seguridad parcial tanto para la resistencia de
la sección como para la resistencia al pandeo, respectivamente, y son mayores o
iguales a la unidad. Para edificaciones, el EC3 (2005) recomienda usar γM0=1 y
γM1=1.
El factor χ de la expresión (2.71) tiene la función de reducir la resistencia
plástica A fy debido a la aparición del pandeo de flexión, y es siempre menor o
igual a la unidad. Este factor depende de la esbeltez adimensional λ y del
factor de imperfección α, que a su vez depende de las curvas de pandeo.
36
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
a0
0.13
Curva de pandeo
Factor de imperfección α
a
0.21
b
0.34
c
0.49
d
0.76
Tabla 2.3 Factores de imperfección para las curvas de pandeo.
La Figura 2.11 presenta las cinco curvas de pandeo del EC3 (2005): a0, a, b, c
y d. La curva a0 sólo se emplea en algunas secciones conformadas con acero de
alta resistencia; la curva d se emplea en perfiles H laminados cuando el espesor
del ala es mayor a 100 mm, o en perfiles I soldados cuando el espesor del ala es
mayor a 40 mm.
Para una esbeltez adimensional λ menor o igual a 0.2, no habrá reducción
de la resistencia plástica de la sección puesto que las curvas de pandeo del EC3
dan un factor χ igual a 1; en este caso, el pandeo no se produciría en el
elemento, y por lo tanto la resistencia de este elemento quedaría determinada al
calcular la resistencia de la sección [expresión (2.70)].
1.10
Curva a
Curva a
Curva b
Curva c
Curva d
1.00
0.90
Factor de reducción χ
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
3.00
Esbeltez adimensional λ
Figura 2.11 Curvas de pandeo (EC3 2005).
Para calcular la resistencia al pandeo de un elemento comprimido, primero
se determina, usando la Tabla 2.4, la curva de pandeo que le corresponde a la
sección recta; luego, se determina el factor de imperfección α con la Tabla 2.3;
posteriormente, se calculan la esbeltez adimensional [expresión (2.64)] y el
factor χ [expresión (2.68) o Figura 2.11]; y por último, se calcula la resistencia
Nb,Rd con la expresión (2.71). La resistencia del elemento sería igual a la menor
2.4 Filosofía de diseño del EC3
37
de las resistencias Nc,Rd y Nb,Rd. Este procedimiento de diseño es también válido
cuando el pandeo torsional o pandeo flexo-torsional predomina en el elemento;
en este caso, la carga Ncr de la expresión (2.64) será reemplazada por la carga
crítica del pandeo predominante; y el factor de imperfección α será
determinado de las Tabla 2.3 y Tabla 2.4, usando la curva de pandeo del eje z-z.
38
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
Tabla 2.4 Determinación de la curva de pandeo para una sección recta.
2.4 Filosofía de diseño del EC3
39
2.4.5 Fundamentos teóricos de las fórmulas de diseño para
la resistencia a flexión pura
Usando la teoría elástica de segundo orden en un elemento horquillado en sus
extremos, sometido a flexión pura con momento uniforme My,Ed y con una
imperfección lateral inicial eo,d de la forma dada por la expresión (2.58), se logra
definir, por el criterio de la primera fluencia de la tensión longitudinal, el estado
límite de pandeo para una sección I doblemente simétrica (Kaim 2004):
M y ,Ed
W el ,y f y
+
1

M2
 1 − y ,Ed

M cr2

h

2
M y ,Ed
 N cr ,z M y2 ,Ed N cr ,z
2
e o ,d 
+
2
2

W el ,z f y M cr
 W el ,z f y M cr






≤1


(2.72)
donde h es la distancia entre los centroides de las alas del perfil I; y Mcr es el
momento crítico elástico de pandeo lateral para una viga sometida a momento
uniforme.
El segundo sumando de la expresión (2.72) hace referencia a los momentos
de segundo orden desarrollados en el plano lateral; mientras que el tercer
sumando hace referencia a los momentos de segundo orden producidos por el
alabeo de la sección. Cabe indicar que el factor de amplificación depende del
cuadrado de la relación My,Ed/Mcr, lo cual hace que este factor sea diferente al
factor de amplificación del pandeo de flexión.
Siguiendo el mismo procedimiento indicado en el apartado 2.4.3 para la
compresión pura, se puede plantear la siguiente expresión para determinar el
máximo valor que puede alcanzar el momento aplicado My,Ed antes de que se
produzca el pandeo lateral:
M y ,Ed max = χ LT W el ,y f y
(2.73)
Con esta expresión, se puede escribir la siguiente formulación sencilla para
evaluar el estado límite de pandeo:
M y ,Ed
χ LT W el ,y f y
≤1
(2.74)
Usando la definición de la esbeltez adimensional:
λ LT =
W el ,y f y
M cr
(2.75)
40
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
e igualando las expresiones (2.72) y (2.74), se obtiene que la imperfección lateral
inicial eo,d es igual a:
eo , d =
Wz
A
 1

1
λz2
2
4

(1 − χ LT
)
−
1
λ
LT
4
χ

λLT χ + A h 1
 LT

LT
2
W y 2 λz
(2.76)
Como se puede apreciar, esta expresión es más compleja que la que se
presenta para el pandeo de flexión. Esta forma compleja hace que la calibración
de los coeficientes de pandeo lateral, que se utilizan para determinar el factor
χLT, sea más difícil de realizar.
2.4.5.1
Coeficientes del pandeo lateral
Amplios estudios paramétricos, basados en un análisis no lineal que considera
las imperfecciones geométricas y la no linealidad del material (GMNIA), fueron
realizados por Greiner et al. (1998) y Salzgeber (2000a) para obtener las curvas
de pandeo lateral de diferentes secciones I. Posteriormente, Greiner y Kaim
(2001; 2003) calibraron estas curvas con los resultados de los ensayos obtenidos
en el pasado. A pesar de que en este proceso de calibración se presentaron
muchas dificultades, especialmente en la identificación de todos los parámetros
significativos de los ensayos (determinación de la esbeltez, condiciones de
enlace, imperfecciones, etc), Greiner y Kaim (2001; 2003) propusieron las
siguientes expresiones, válidas para secciones-I laminadas y secciones-I
soldadas equivalentes:
χ LT =
1
2
2
Φ LT + Φ LT
− 0.75λ LT
χ ≤ 1
 LT
1
pero 
χ ≤
 LT λ 2
LT

(2.77)
con


2
Φ LT = 0.51 + α LT  λ LT − 0.4  + 0.75λ LT





(2.78)
Con estas expresiones, se reduce la resistencia plástica a flexión cuando los
valores de esbeltez adimensional λ LT son mayores a 0.4. Cabe indicar que en
los resultados numéricos conseguidos por Greiner et al. (1998) y Salzgeber
(2000a) para una distribución de momento uniforme, la reducción de la
resistencia plástica se origina en valores de λ LT mayores a 0.25. Sin embargo
Greiner y Kaim dan dos razones principales para justificar el uso de la
expresión (2.77). Primero, las simulaciones numéricas han proporcionado una
capacidad del momento plástico correspondiente a la tensión de fluencia
2.4 Filosofía de diseño del EC3
41
constante en ambas alas del perfil, sin aprovechar el desarrollo de la capacidad
plástica del alma, por lo cual la resistencia teórica al pandeo sería mayor.
Segundo, el caso de una viga con apoyos horquillados en los extremos y con
distribución de momento uniforme, es un caso académico que no se da en la
práctica puesto que en la realidad, los apoyos tienen un cierto grado de
restricción, que no es tomado en cuenta en el diseño práctico (cuando se evalúa
el Mcr o la λ LT ); por consiguiente, la resistencia teórica al pandeo también sería
mayor.
Para determinar el factor de imperfección αLT (Tabla 2.5), Greiner y Kaim
proponen el uso de tres curvas de pandeo (Tabla 2.6), las cuales son
seleccionadas dependiendo de la relación canto-base de la sección I.
a
0.21
Curva de pandeo
Factor de imperfección α LT
b
0.34
c
0.49
d
0.76
Tabla 2.5 Factores de imperfección para las curvas de pandeo LT.
Sección
Secciones-I laminadas
Secciones-I soldadas
Límites
Curva de pandeo
h/b≤2
b
h/b>2
c
h/b≤2
c
h/b>2
d
Tabla 2.6 Selección de la curva de pandeo [Ec. (2.77)].
Existe otra formulación en el EC3 (2005) que es más conservadora que la de
Greiner y Kaim, pero tiene la ventaja de ser aplicada a todo tipo de secciones.
Esta formulación emplea cuatro curvas de pandeo [Tabla 2.7], las cuales
reducen la resistencia plástica a flexión cuando los valores de λ LT son mayores
a 0.2:
χ LT =
1
≤1
2
2
Φ LT + Φ LT
− λ LT
(2.79)
con


2
Φ LT = 0.51 + α LT  λ LT − 0.2  + λ LT





Los valores de αLT son recogidos de la Tabla 2.5.
(2.80)
42
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
Sección
Límites
Curva de pandeo
h/b≤2
a
h/b>2
b
h/b≤2
c
h/b>2
d
-
d
Secciones-I laminadas
Secciones-I soldadas
Otras secciones
Tabla 2.7 Selección de la curva de pandeo [Ec. (2.79)].
2.4.5.2
Efecto de un diagrama de momentos variable
Las curvas de pandeo presentadas en el apartado anterior fueron calibradas en
base a un diagrama de momento uniforme actuando a lo largo de la viga. Para
otros tipos de diagramas, los valores de χLT son muchos más altos debido a que
se reducen las zonas de plastificación del elemento, lo cual origina una mayor
capacidad de carga.
Con los resultados del GMNIA (Lindner 2000; Salzgeber 2000b), obtenidos
en varios elementos sometidos a distribuciones de momentos variables, el
Comité Técnico 8 de la ECCS (ECCS Technical Committee 8 - Stability 2006)
propone una fórmula para determinar un nuevo factor de reducción, el cual es
denominado factor de reducción modificado χLT,mod:
χ LT ,mod =
χ LT
f
≤1
(2.81)
con
(
)
(
)
2
f = 1 − 0.5 1 − k c 1 − 2 λ LT − 0.8  ≤ 1


(2.82)
siendo kc un factor de corrección que toma en cuenta la variación de los
momentos flectores a lo largo de la viga. Los valores de kc son recogidos en la
Tabla 2.8. Cabe mencionar que los factores χLT y f, usados para determinar el
factor χLT,mod, deben ser calculados con la esbeltez λ LT correspondiente a la
forma del diagrama de momentos de la viga.
2.4 Filosofía de diseño del EC3
43
1.00
M
ψM
1
1.33 − 0.33ψ
0.94
0.90
0.91
0.86
0.77
0.82
Tabla 2.8 Valores de kc (EC3 2005).
2.4.6 Resistencia a flexión pura
Acorde con el EC3 (2005) en sus Apartados 6.2.5 y 6.3.2, la resistencia de un
elemento sometido a flexión pura es determinada con las siguientes
expresiones:
para la resistencia de la sección:
M c ,Rd =
Wy f y
γ M0
(2.83)
para la resistencia al pandeo:
M b ,Rd =
χ LT W y f y
γ M1
(2.84)
siendo Wy el módulo resistente de la sección, y será plástico, si la sección es de
Clase 1 ó 2; o elástico si la sección es de Clase 3.
44
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
Para determinar el factor de reducción χLT, el EC3 (2005) propone dos
procedimientos: el primero emplea la expresión (2.79), y se aplica a casos
generales; y el segundo utiliza la expresión (2.77), y sólo se aplica a secciones-I.
Las curvas de pandeo LT del primer procedimiento (para casos generales),
cuya formulación es equivalente a la de las curvas de pandeo de una columna,
pueden ser usadas en vigas con canto muy grande que están fuera del rango de
las formas de las secciones laminadas, y además pueden ser usadas en los casos
donde los efectos de las restricciones en los enlaces son tomados en cuenta en la
determinación del Mcr. En cambio, las curvas de pandeo LT del segundo
procedimiento (para las secciones-I laminadas y secciones-I soldadas
equivalentes) no son aplicables a secciones-I con canto muy grande porque el
comportamiento estructural será dominado por el desplazamiento lateral del
ala comprimida.
Para considerar los efectos de los diagramas de momentos no uniformes, el
EC3 (2005) permite el uso del factor de reducción modificado χLT,mod en el
segundo procedimiento; en el primer procedimiento, correspondiente a los
casos generales, no se indica el uso de este factor a pesar que el Comité Técnico
8 de la ECCS (ECCS Technical Committee 8 - Stability 2006) lo recomienda.
Para la determinación de la resistencia al pandeo de un elemento sometido
a flexión pura, primero se selecciona, usando la Tabla 2.6 ó la Tabla 2.7
(dependiendo del procedimiento elegido), la curva de pandeo que le
corresponde a la sección recta; luego, se determina el factor de imperfección αLT
con la Tabla 2.5; posteriormente, se calculan la esbeltez adimensional
[expresión(2.75)] y el factor χLT [expresión (2.79) para el primer procedimiento,
o expresión (2.77) para el segundo procedimiento]; a continuación, se determina
el factor χLT,mod [expresión (2.81)] si se está trabajando con el segundo
procedimiento; y por último, se calcula la resistencia Mb,Rd [expresión (2.84)]. La
resistencia del elemento será igual a la menor de las resistencias Mc,Rd y Mb,Rd.
2.4.7 Resistencia de la sección de un “beam-column”
Acorde con el Apartado 6.2.9.1(2) del EC3 (2005), la resistencia de la sección de
un elemento sometido a una combinación de esfuerzo axial de compresión y
momento flector uni-axial debe ser verificada con el siguiente criterio, válido
para las secciones de Clases 1 y 2:
M Ed ≤ M N ,Rd
(2.85)
donde MN,Rd es la resistencia del momento plástico de diseño reducida por la
presencia del esfuerzo axial NEd.
2.4 Filosofía de diseño del EC3
45
Asimismo, el EC3 (2005) en su Apartado 6.2.9.1(4) proporciona unos
criterios para determinar si el efecto del esfuerzo axial NEd es despreciable, de
tal forma que si estos criterios se cumplen, la resistencia MN,Rd será considerada
igual a la resistencia plástica Mpl,Rd :
para el eje y-y:
N Ed ≤ 0.25N pl ,Rd y N Ed ≤
N Ed ≤
para el eje z-z:
0 .5 h w t w f y
γ M0
hwt w f y
(2.86)
(2.87)
γ M0
Para determinar el momento MN,Rd se emplean las siguientes expresiones,
las cuales son válidas para las secciones I o H doblemente simétricas:
M N ,y ,Rd = M pl ,y ,Rd
para n ≤ a :
para n > a :
(1 − n)
(1 − 0.5a)
≤ M pl ,y ,Rd
M N ,z ,Rd = M pl ,z ,Rd
(2.88)
(2.89)
2

n − a 
M N , z , Rd = M pl , z , Rd 1 − 
 
1−a 

(2.90)
con
n=
a=
N Ed
N pl ,Rd
(A − 2bt f )
A
(2.91)
pero a ≤ 0.5
Cuando el elemento está sometido a una combinación de esfuerzo axial de
compresión y momentos flectores bi-axial, el EC3 (2005) en su Apartado
6.2.9.1(6) sugiere verificar la resistencia de la sección con la siguiente fórmula de
interacción:
 M y ,Ed

 M N ,y ,Rd

α

 M z ,Ed
 +

 M N ,z ,Rd




β
≤1
(2.92)
con
α =2
y
β = 5n ≥ 1
(2.93)
46
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
Finalmente, para verificar la resistencia de la sección en los elementos con
secciones de Clase 3, el EC3 (2005) propone, en su Apartado 6.2.9.2, usar la
siguiente fórmula:
σ x ,Ed ≤
fy
(2.94)
γ M0
siendo σx,Ed la tensión longitudinal máxima.
2.4.7.1
Reducción de la resistencia de la sección de un “beamcolumn” por la presencia de esfuerzo cortante
El EC3 (2005) en el Apartado 6.2.10, recomienda reducir la tensión de fluencia
en el área de cortante para verificar la resistencia de la sección de un “beamcolumn” cuando el esfuerzo cortante VEd supera al 50% de la resistencia plástica
a cortante Vpl,Rd. Esta reducción es calculada con la siguiente expresión:
(1 − ρ ) f y
(2.95)
con
 2V

ρ =  Ed − 1 
 V pl ,Rd

2
(2.96)
La resistencia plástica a cortante se determina usando la expresión
indicada en el Apartado 6.2.6(2) del EC3 (2005):
Vpl ,Rd =
(
Av f y / 3
)
(2.97)
γ M0
siendo Av el área de cortante que es calculada con la siguiente expresión, válida
para secciones laminadas I y H con carga paralela al alma:
(
)
A v = A − 2b t f + t w + 2r t f
(2.98)
2.4.8 Fundamentos teóricos de las fórmulas de diseño para
la resistencia a pandeo de los “beam-columns”: Método 1 del
EC3
Las formulaciones del Método 1 del EC3 (2005), conocidas como “Level 2
formulae”, fueron desarrolladas por un grupo de trabajo del ECCS-TC8
conformado por franceses y belgas. Estas formulaciones tienen la peculiaridad
2.4 Filosofía de diseño del EC3
47
de poseer coeficientes específicos que toman en cuenta cada fenómeno de
inestabilidad que se produce en el elemento estructural.
Las fórmulas de interacción del Método 1 fueron deducidas, inicialmente,
considerando la teoría elástica de segundo orden, y analizando el
comportamiento “in-plane” de colapso. Posteriormente, estas fórmulas fueron
implementadas con el objetivo de evaluar el comportamiento espacial de
colapso y el comportamiento elástico-plástico del elemento, considerando
además la ocurrencia del pandeo lateral.
2.4.8.1
Formato general de las fórmulas de interacción del
Método 1
Con la teoría elástica de segundo orden y con la consideración de que en el
elemento estructural actúa una combinación de esfuerzo axial de compresión y
flexión uni-axial, se puede deducir la siguiente expresión, la cual ha sido
empleada por muchas normas de estructuras metálicas:
N Ed
+
A fy
N Ed e o ,d
1
1 − N Ed / N cr W el ,y f y
γ M1
+
1
C m M Ed
1 − N Ed / N cr W el ,y f y
γ M1
≤1
(2.99)
γ M1
siendo eo,d la imperfección inicial, despejada de la expresión (2.66).
Simplificando la expresión (2.99), se obtiene:
N Ed
N Rd
+
1
1 − N Ed / N cr
N Ed  1
C m M Ed
1

2
≤1
 χ − 1 (1 − χλ ) +


N Rd
1 − N Ed / N cr M el , Rd

N
N
N
 1 − Ed λ 2  Ed + Ed


N Rd

 N Rd N Rd
N Ed
N Rd
−
2
N Ed
2
N Rd
λ2 +
N Ed
χN Rd
−

N Ed 2  C m M Ed
1

2
λ  −
 χ − 1 (1 − χλ ) ≤  1 −


N

 M el , Rd
Rd
N Ed
N Rd
λ2 −
+
−
2
N Ed
2
N Rd
λ2 +
N Ed
χN Rd
+
N Ed
N Rd
N Ed
N Rd
N Ed
N Rd
(2.100)
+
λ 2χ − 1 +
λ2χ −1 ≤ −
N Ed
N Rd
λ2 ≤ −
C m M Ed
M el ,Rd
C m M Ed
M el , Rd
48
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”

 − 1 + N Ed

χN Rd



 1 − N Ed λ 2 χ  ≤ − C m M Ed


N Rd
M el ,Rd


(2.101)
Ordenando los términos de esta expresión, se obtiene el formato de las
fórmulas de interacción propuesto por el Método 1 del Eurocódigo 3 (Bureau et
al. 1999):
N Ed
χN Rd
+µ
Cm
M Ed
1 − N Ed / N cr M el ,Rd
≤1
(2.102)
con
µ=
1 − N Ed / N cr
(2.103)
1 − χN Ed / N cr
Para la combinación de esfuerzo axial de compresión y flexión bi-axial, la
expresión (2.102) se convertiría en:
N Ed
χ y N pl ,Rd
N Ed
χ z N pl ,Rd

M y ,Ed
M z ,Ed
C my
C mz
+ µy 
+
 1 − N Ed / N cr ,y M el ,y ,Rd 1 − N Ed / N cr ,z M el ,z ,Rd


≤1


(2.104)

M y ,Ed
M z ,Ed
C my
C mz
+ µz 
+
 1 − N Ed / N cr ,y M el ,y ,Rd 1 − N Ed / N cr ,z M el ,z ,Rd


≤1


(2.105)
con
µy =
µz =
1 − N Ed / N cr ,y
1 − χ y N Ed / N cr ,y
1 − N Ed / N cr ,z
1 − χ z N Ed / N cr ,z
(2.106)
(2.107)
Desde un punto de vista físico, las expresiones (2.104) y (2.105) evalúan la
resistencia al pandeo con respecto a los eje y-y y z-z, respectivamente. Los
factores Cmy y Cmz son los factores de momento equivalente del Método 1, los
cuales son determinados al considerar un diagrama sinusoidal de momentos;
estos factores serán tratados más adelante en el Apartado 2.4.8.4.
2.4 Filosofía de diseño del EC3
49
2.4.8.2
Comportamiento elástico-plástico de los “beam-columns”
sin desarrollar pandeo lateral: Método 1
El formato general del Método 1, usado en el pandeo elástico de flexión, ha sido
extendido al comportamiento elástico-plástico. Esto ha implicado que muchos
conceptos empleados en la teoría elástica como el factor de amplificación,
momento equivalente o longitud de pandeo sean aún aplicables en el rango
inelástico. El formato que sigue el Método 1 es muy parecido al formato de la
expresión (2.102), en donde el término Mel,Rd es reemplazado por CMpl,Rd:
N Ed
χN pl ,Rd
+µ
Cm
M Ed
1 − N Ed / N cr C M pl ,Rd
≤1
(2.108)
El factor C es conocido como el factor de plasticidad y toma en cuenta la
interacción elástico-plástico “in-plane” entre el momento mono-axial aplicado y
la fuerza axial de compresión. Este factor tenderá a la unidad cuando la fuerza
axial es muy pequeña o cuando la resistencia del elemento está gobernada por
el comportamiento a flexión pura. Cuando la longitud del elemento tiende a
cero, el factor de amplificación y los factores χ y µ son iguales a uno; en
consecuencia, la expresión (2.108) tenderá a:
N Ed
N pl ,Rd
+
M Ed
C M pl ,Rd
≤1
(2.109)
Por otra parte, el factor C deberá tender a la inversa del factor de forma
cuando la esbeltez del elemento es muy importante. Por consiguiente, el
formato general del factor C deberá ser una función de los siguientes
parámetros:
W

 pl
 W
C = f
, N Ed , C m , λ ,...  ≥ el
 W el
 W pl


(2.110)
Cuando el elemento es sometido a una combinación de esfuerzo axial de
compresión y flexión bi-axial, el formato general dado en el Apartado 2.4.8.1
[expresiones (2.104) y (2.105)] sólo sería válido para secciones de Clase 3. Para
secciones de Clases 1 ó 2, se emplean las siguientes expresiones que toman en
cuenta los efectos inelásticos en el elemento (Boissonnade et al. 2004):
50
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
N Ed
χ y N pl ,Rd

M y ,Ed
C my
+ µy 
+
 1 − N Ed / N cr ,y C yy M pl ,y ,Rd

+α
N Ed
χ z N pl ,Rd
M z ,Ed
C mz
*
1 − N Ed / N cr ,z C yz M pl ,z ,Rd

≤1



M y ,Ed
C my
+ µ z β *
+

1 − N Ed / N cr ,y C zy M pl ,y ,Rd

+
M z ,Ed
C mz
1 − N Ed / N cr ,z C zz M pl ,z ,Rd

≤1


(2.111)
(2.112)
Los subíndices indicados en los factores C sirven para indicar los planos en
donde se producen la flexión y el pandeo. De esta forma, los factores Cyy y Czz
tratan los efectos de plasticidad en la interacción N-M cuando el plano de
flexión coincide con el plano de pandeo; mientras que los factores Cyz y Czy
tratan los efectos de plasticidad cuando el plano de flexión es perpendicular al
plano de pandeo. El Método 1 propone las siguientes expresiones para definir
los factores de plasticidad:

1.6 2
2
C ii = 1 + w i − 1 2 −
C mi λ max + λ max
wi

(
)
(

W el ,i

W pl ,i
)n pl ≥
2
2
w j W el , j


C mj
λ max
≥
C ij = 1 + w j − 1 2 − 14
n
0
.
6

pl
W j5 
w i W pl , j

(
)
(2.113)
(2.114)
con
n pl =
N Ed
N pl ,Rd
(2.115)
donde los subíndices i y j hacen referencia a los planos principales del elemento.
λ max es la mayor esbeltez adimensional escogida entre λ y y λ z . La relación
NEd/Npl,Rd ha sido introducida en estas expresiones porque la interacción
elástica-plástica de N-M es diferente en elementos esbeltos sometidos a valores
elevados de carga axial de compresión que en elementos cortos sometidos a
valores bajos de carga axial de compresión. Cuando se tienen diferentes
solicitaciones de cargas transversales, los elementos no pueden desarrollar la
misma resistencia elástica-plástica, por esta razón los factores de plasticidad
dependen también de la distribución de momentos flectores, la cual es
2.4 Filosofía de diseño del EC3
51
considerada por medio de los factores de momento equivalente Cm (Apartado
2.4.8.4). La condición impuesta a los factores de Cii y Cij de las expresiones
(2.113) y (2.114) fue realizada con el objetivo de limitar el momento resistente
CMpl,Rd, de tal forma que éste no llegue a ser menor al momento elástico de
diseño Mel,Rd. w es el factor de forma, que es definido como la relación entre el
momento plástico y el momento correspondiente a la aparición de la primera
fluencia en la fibra extrema, y cuyo valor no debe superar a 1.5:
w=
W pl
W el
≤ 1.5
(2.116)
El factor (w-1) de las expresiones (2.113) y (2.114) representa el máximo
potencial disponible de resistencia a flexión medido desde la elasticidad pura
hasta la plasticidad total. Los otros coeficientes que aparecen en estas
expresiones han sido obtenidos por calibración.
Finalmente, para tomar en cuenta la no linealidad existente en la
interacción entre los momentos My,Ed y Mz,Ed, se han introducido los coeficientes
α* y β * en las expresiones (2.111) y (2.112):
α * = 0.6
β * = 0.6
wz
wy
wy
(2.117)
(2.118)
wz
2.4.8.3
Comportamiento elástico-plástico de los “beam-columns”
con pandeo lateral: Método 1
La fórmula de pandeo de un elemento flexo-comprimido con extremos
horquillados, y sometido a compresión axial y momento uniforme My,Ed puede
ser deducida de las ecuaciones diferenciales obtenidas por la teoría de segundo
orden. Asumiendo una imperfección lateral de la forma sinusoidal dada por la
expresión (2.58), el estado límite de pandeo puede ser definido, para secciones I
de doble simetría, por el criterio de la primera fluencia de tensión axial:
52
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
N Ed
+
N pl ,Rd
M y ,Ed

N Ed

 1 −
N cr ,y



 M y ,Rd

+
1
2

 1 − M y ,Ed

M cr2

+
N cr ,z
M z ,Rd



N Ed
e o ,d 
+



N

  1 − Ed  M

 z ,Rd

N cr ,z 


h
N cr2 ,z
2
M y ,Ed
M y ,Ed
2
+
M cr2 ,0 ,N
M z ,Rd M cr2 ,0 ,N
(2.119)


≤1



donde My,Rd y Mz,Rd son las resistencias elásticas de diseño a momentos flectores;
h es la distancia entre los centroides de las alas de la sección I; y Mcr,0,N es el
momento crítico elástico incluyendo el efecto adicional de la compresión axial y
cuya expresión es la siguiente:

N
M cr ,0 ,N = M cr ,0  1 − Ed

N cr ,z


N
 1 − Ed

N cr ,T





(2.120)
siendo Mcr,0 el momento crítico elástico correspondiente a un diagrama de
momento uniforme; y Ncr,T es la carga crítica a pandeo torsional, cuyo valor es:
N cr ,T =

π 2 EI w
 GI +
t
L2
I y + I z 
A




(2.121)
Para el desarrollo de las fórmulas de diseño del Método 1, se simplificó la
ecuación teórica, haciendo uso de coeficientes que tomen en cuenta los
diferentes efectos del comportamiento al pandeo lateral. Estos coeficientes
fueron ajustados en base a los resultados numéricos y a los resultados
experimentales disponibles (ECCS Technical Committee 8 - Stability 2006).
El formato propuesto por el Método 1 para “beam-columns” con secciones
de Clases 1 y 2, es el siguiente:
N Ed
χ y N pl ,Rd
C
M y ,Ed
C *my
+ µ y  mLT
+
 χ LT 1 − N Ed / N cr ,y C yy ,mod M pl ,y ,Rd

+α
*
C mz
M z ,Ed
1 − N Ed / N cr ,z C yz ,mod M pl ,z ,Rd

≤1


(2.122)
2.4 Filosofía de diseño del EC3
N Ed
χ z N pl ,Rd
 C
M y ,Ed
C *my
+ µ z  β * mLT
+

χ
N
/
N
C
M
1
−
cr
,
y
LT
Ed
zy ,mod
pl ,y ,Rd

+
M z ,Ed
C mz
1 − N Ed / N cr ,z C zz ,mod M pl ,z ,Rd

≤1


53
(2.123)
Este formato general supone, implícitamente, que los conceptos de
longitud de pandeo, factor de amplificación y factor de momento equivalente
pueden ser aún aplicables cuando el pandeo lateral es posible.
Una expresión modificada del factor de momento equivalente ( C *my ) ha
sido introducida en las expresiones (2.122) y (2.123), de tal forma que los valores
de C *my tenderán a la unidad cuando el efecto de la carga axial de compresión
es despreciable frente al efecto del momento flector aplicado en el eje mayor; y
tenderán a los valores de Cmy, cuando el efecto del momento flector aplicado en
el eje mayor es despreciable frente al efecto de la carga axial de compresión:
(
C *my = C my + 1 − C my
)
aLT ε y
(2.124)
1 + aLT ε y
con
εy =
M y ,Ed
A
(2.125)
N Ed Wel , y
y
aLT = 1 −
It
Iy
≥0
(2.126)
El coeficiente aLT permite una suave transición entre el comportamiento de
una sección abierta y el de una sección hueca.
El factor CmLT de las expresiones (2.122) y (2.123) toma en cuenta la
influencia de la fuerza axial de compresión en el fenómeno del pandeo lateral, y
es definido como:
*2
C mLT =
C my a LT
1 − N / N



cr , z  1 − N Ed / N cr ,T 
Ed



≥1
(2.127)
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
54
Debido a que el fenómeno del pandeo lateral influye también en la
obtención de la fluencia a lo largo del elemento, los factores de plasticidad
deben ser modificados a:
 
1.6 * 2
2
C yy ,mod = 1 + w y − 1  2 −
C my λ max + λ max
 
wy
(
)
(


W el ,y


W pl ,y
)n pl − b LT  ≥
(2.128)
2
2

λ max
C mz
C yz ,mod = 1 + w z − 1  2 − 14
w z5



w z W el ,z
n pl − c LT  ≥ 0.6

w y W pl ,z


(2.129)
*2
2

C my λ max
C zy ,mod = 1 + w y − 1  2 − 14

W y5



w y W el ,y
n − d  ≥ 0.6
LT
pl

w z W pl ,y


(2.130)
(
)
(
)
W el ,z


1.6 2
2
C zz ,mod = 1 + w z − 1 2 −
C mz λ max + λ max
− e LT  n pl ≥
wz
W pl ,z


(
)
(
)
(2.131)
con
b LT = 0.5 a LT λ 02
c LT = 10 a LT
d LT = 2 a LT
M y ,Ed
M z ,Ed
χ LT M pl ,y ,Rd M pl ,z ,Rd
λ 02
M y ,Ed
5 + λ z4
C *my χ LT M pl ,y ,Rd
λ0
M y ,Ed
M z ,Ed
*
0.1 + λ z4 C my
χ LT M pl ,y ,Rd C mz M pl ,z ,Rd
e LT = 1.7 a LT
λ0
M y ,Ed
*
0.1 + λ z4 C my
χ LT M pl ,y ,Rd
(2.132)
(2.133)
(2.134)
(2.135)
donde λ 0 es la esbeltez reducida de pandeo lateral correspondiente al caso
particular de una viga sometida a momento flector uniforme.
Para las secciones de Clase 3, se emplea el mismo formato de las
expresiones (2.122) y (2.123), sólo que en lugar de utilizar el momento plástico
resistente, se utiliza el momento elástico resistente:
2.4 Filosofía de diseño del EC3
N Ed
χ y N pl ,Rd
C
M y ,Ed
C *my
+ µ y  mLT
+
 χ LT 1 − N Ed / N cr ,y M el ,y ,Rd

+
N Ed
χ z N pl ,Rd
C mz
1 − N Ed / N cr ,z
M z ,Ed 
≤1
M el ,z ,Rd 
C
M y ,Ed
C *my
+ µ z  mLT
+
 χ LT 1 − N Ed / N cr ,y M el ,y ,Rd

+
C mz
1 − N Ed / N cr ,z
M z ,Ed 
≤1
M el ,z ,Rd 
55
(2.136)
(2.137)
Los factores de plasticidad y los coeficientes α* y β * son iguales a 1 en estas
expresiones puesto que las secciones de Clase 3 se comportan elásticamente.
2.4.8.4
Factor de momento equivalente del Método 1
En las expresiones del Método 1 del Eurocódigo 3, tratadas en los Apartados
2.4.8.1, 2.4.8.2 y 2.4.8.3, aparecen los factores Cmy y Cmz, que son denominados
factores de momento equivalente. Estos factores multiplican al momento
máximo de primer orden, obtenido del diagrama real de momentos flectores,
para obtener el máximo momento de segundo orden.
Estos factores de momento equivalente del Método 1 y los factores Cm de
los Apartados 2.2 y 2.3.5 tienen la misma función, pero no son iguales en
magnitud porque los factores de momento equivalente son deducidos
utilizando un diagrama sinusoidal de momentos, mientras que los factores Cm
de los Apartados 2.2 y 2.3.5 son deducidos a partir de un diagrama de momento
uniforme.
La Figura 2.12 ilustra el procedimiento empleado por el Método 1 para
obtener el factor de momento equivalente. El máximo momento amplificado
resultante de la aplicación de la carga de compresión axial en el “beam-column”
real, es igual al máximo momento amplificado de una columna similar,
sometida a una distribución sinusoidal de momentos.
56
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
N Ed
N Ed
N Ed
M Ed
ψ M Ed
M max
M max
Figura 2.12 Diagrama de momento real de segundo orden y diagrama
de momento equivalente sinusoidal.
El uso de la distribución sinusoidal de momentos en la determinación del
factor de momento equivalente del Método 1 es justificado por Boissonnade et
al. (2002) puesto que el factor de amplificación, que aparece en las formulas de
interacción de muchas normas (incluyendo el Eurocódigo 3), corresponde al
caso de un elemento sometido a una distribución sinusoidal de momentos. Este
factor de amplificación es:
1
1 − N Ed / N cr
(2.138)
En cambio, cuando se tiene una columna sometida a una distribución de
momento constante, el valor exacto del factor de amplificación es calculado con
la siguiente expresión (Maquoi y Rondal 1982):
1
cos
π
2
N Ed / N cr
(2.139)
Las expresiones (2.138) y (2.139) dan resultados muy similares cuando la
fuerza axial NEd es muy pequeña. Sin embargo, la diferencia entre los resultados
de ambas expresiones es significativa cuando NEd se acerca al valor crítico Ncr
(Figura 2.13). Esta diferencia puede ser minimizada al adoptar valores
apropiados de Cm, deducidos de un diagrama sinusoidal de momentos
(Boissonnade et al. 2002).
2.4 Filosofía de diseño del EC3
57
20.00
1
Factor de amplificación
1 − N Ed / N cr
15.00
cos
π
2
1
N Ed / Ncr
10.00
5.00
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Ncr
Figura 2.13 Factores de amplificación.
Las expresiones teóricas (DIN 18800 1988) para determinar el factor de
momento sinusoidal equivalente, válidas para una distribución lineal de
momentos actuando en el elemento, son:
para N Ed ≥ N lim :

N

C m =  1 − Ed

N cr



1 − 2ψ cos π N Ed N cr  + ψ 2







sin π N Ed N cr 



(2.140)
para N Ed < N lim :
 arccosψ 
Cm = 1 − 

π


2
(2.141)
con
 arccosψ 
N lim = N cr 

π


2
(2.142)
58
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
donde Nlim corresponde al valor de carga axial de compresión con el cual, el
colapso se produciría por falta de resistencia en la sección extrema del
elemento, y no por fenómeno de inestabilidad.
Cuando NEd es menor a Nlim [expresión (2.141)], el momento máximo de
segundo orden se producirá en el extremo del elemento. Esto se debe a la fuerza
axial NEd que no es lo suficientemente grande para que dicho momento máximo
aparezca localizado en un punto intermedio de la longitud del elemento.
A los efectos prácticos, el Método 1 propone usar la siguiente expresión
aproximada cuando se tiene una distribución lineal de momentos (Villette et al.
2000; Villette 2004):
C m = 0.79 + 0.21ψ + 0.36(ψ − 0.33 )
N Ed
N cr
(2.143)
Como se puede apreciar, esta expresión no sólo depende de la distribución
de momentos flectores sino también de la relación NEd/Ncr. Cabe resaltar que
esta relación de esfuerzo axial no aparece en las expresiones dadas por el AISC
LRFD (Apartado 2.3.5) ni en las dadas por el Método 2 del Eurocódigo 3.
La Figura 2.14 presenta una comparación entre los resultados dados por las
expresiones (2.143) y (2.140) en donde se aprecia que los valores de Cm del
Método 1 se ajustan bastante bien a los valores teóricos. Los valores
representados por líneas punteadas no deben ser considerados porque éstos
están relacionados con los casos en donde el máximo momento flector aparece
en la sección extrema del elemento (NEd<Nlim).
2.4 Filosofía de diseño del EC3
59
1.40
ψ=1
1.20
1.00
ψ = 0.5
Cm
0.80
ψ=0
0.60
0.40
ψ = -0.5
0.20
ψ = -1
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Ncr
Figura 2.14 Factor Cm para distribuciones lineales de momentos.
Comparación entre la expresión teórica [Ec. (2.140)] y la
expresión del Método 1 [Ec. (2.143)].
Para “beam-columns” sometidos a cargas transversales o a una
combinación de cargas transversales y momentos aplicados en los extremos del
elemento, el Método 1 recomienda usar la siguiente expresión, propuesta por
Maquoi y Rondal (1982):
Cm
 π 2 EIδ


N
0
= 1+
− 1  Ed
2
 L M0
 N cr


(2.144)
donde M0 es el máximo momento flector de primer orden; y δ0 es la máxima
flecha que se produce en el elemento por la aplicación de los momentos de
primer orden.
2.4.9 Fundamentos teóricos de las fórmulas de diseño para
la resistencia a pandeo de los “beam-columns”: Método 2 del
EC3
Las formulaciones del Método 2 del EC3, conocidas como “Level 1 formulae”,
fueron desarrolladas por un grupo de trabajo del ECCS-TC8 conformado por
austriacos y alemanes. Estas formulaciones se caracterizan por poseer un
60
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
número reducido de coeficientes compactos, lo cual simplifica el procedimiento
de cálculo para predecir la capacidad al pandeo de los elementos.
La fórmula de interacción y sus factores de interacción fueron inicialmente
deducidos del comportamiento elástico de un “beam-column” en pandeo de
flexión, y posteriormente han sido modificados para considerar el pandeo
lateral y permitir el comportamiento elástico-plástico del elemento.
2.4.9.1
Formato general de las fórmulas de interacción del
Método 2
Las fórmulas de interacción del Método 2 fueron deducidas en base a una
expresión muy parecida a la expresión (2.99), sólo que en lugar de usar el
módulo resistente elástico se emplea el módulo resistente plástico:
N Ed
A fy
+
1
N Ed e o ,d
1 − N Ed / N cr W pl ,y f y
γ M1
+
1
C m M Ed
1 − N Ed / N cr W pl ,y f y
γ M1
≤1
(2.145)
γ M1
Reemplazando la expresión de la imperfección inicial, eo,d, despejada de
(2.66) y siguiendo el procedimiento descrito en (2.100), se puede llegar a
deducir la siguiente formula de interacción (Greiner 2001):
N Ed
χN pl ,Rd
+k
C m M Ed
M pl ,Rd
≤1
(2.146)
con
1
k=
1−
N Ed
χλ 2
(2.147)
N pl ,Rd
siendo Cm el factor de momento uniforme equivalente. El factor de interacción
del Método 2 es determinado al multiplicar los factores Cm y k.
Cabe indicar que la expresión (2.147) no es muy apropiada para considerar
el comportamiento plástico del elemento porque ésta ha sido deducida usando
la teoría elástica de segundo orden y la interacción lineal de resistencia de la
sección. Por lo cual, la expresión del factor k ha tenido que ser determinada en
base a simulaciones numéricas del comportamiento elástico-plástico del
elemento, pero sin perder la dependencia de los parámetros físicos indicados en
(2.147).
2.4 Filosofía de diseño del EC3
61
2.4.9.2
Comportamiento elástico-plástico de los “beam-columns”
sin desarrollar pandeo lateral: Método 2
En principio, el desarrollo de las fórmulas del Método 2 sigue la deducción
básica explicada en el Apartado 2.4.9.1. Sin embargo, con el propósito de hacer
menos laboriosa la aplicación de estas fórmulas, varios coeficientes que toman
en cuenta los efectos de inestabilidad han sido reducidos a tan pocos factores
como fue posible, sin perder de vista en las fórmulas los aspectos de
continuidad entre la capacidad de pandeo y la capacidad de la sección recta.
El Método 2 plantea sus propias fórmulas de interacción (Greiner y
Lindner 2006) para elementos que no son susceptibles a deformaciones
torsionales. Estas fórmulas evalúan la resistencia al pandeo respecto a los ejes yy y z-z, y son válidas para las secciones I y H de Clase 1 y 2:
N Ed
χ y N pl ,Rd
N Ed
χ z N pl ,Rd
+ ky
C my M y ,Ed
M pl ,y ,Rd
+ 0 .6 k z
C my M y ,Ed
+ 0.6 k y
M pl ,y ,Rd
+ kz
C mz M z ,Ed
M pl ,z ,Rd
C mz M z ,Ed
M pl ,z ,Rd
≤1
(2.148)
≤1
(2.149)
con
(
)
(
)
k y = 1 + λy − 0.2 ny ≤ 1 + 0.8n y
k z = 1 + 2λz − 0.6 nz ≤ 1 + 1.4n z
(2.150)
(2.151)
siendo
ny =
N Ed
χ y N pl ,Rd
y
nz =
N Ed
χ z N pl ,Rd
(2.152)
Los factores Cmy y Cmz son los factores de momento uniforme equivalente
que serán tratados más adelante en el Apartado 2.4.9.4.
Los resultados de estas fórmulas de interacción han sido comparados y
evaluados estadísticamente con los resultados numéricos del GMNIA y con los
resultados experimentales disponibles (Ofner 1997; Lindner 2001).
El factor 0.6 que aparece en las expresiones (2.148) y (2.149), mejora la
aproximación del Método 2, especialmente para el caso de la interacción bi-axial
de momentos (cuando NEd tiende a cero) en donde se explota mejor la
capacidad plástica de la sección (Greiner y Lindner 2006).
62
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
Por otra parte, los factores ky y kz, han sido determinados en base a los
resultados del GMNIA, obtenidos para los diferentes diagramas de momentos y
diferentes secciones I y RHS, y considerando diferentes valores de λ y n. Los
cálculos fueron basados en estudios paramétricos hasta alcanzar el estado límite
último de carga (Ofner 1997; Lindner 2001).
Los factores ky, que fueron obtenidos usando GMNIA y la expresión
(2.150), son presentados en la Figura 2.15 para una distribución uniforme de
momentos. Para la obtención de estos factores, se consideró que en el elemento
sólo actúan los esfuerzos NEd y My,Ed.
2.0
My
EC3
ny =0.8
1.5
ky
ny =0.1
1.0
0.5
0
(a)
1
λy
2
3
(b)
Figura 2.15 Factor ky para momento uniforme: (a) GMNIA (Greiner y
Lindner 2006), (b) EC3 [Ec. (2.150)].
La forma de las curvas de ky del GMNIA (Figura 2.15a) ilustra el
comportamiento físico de los elementos capaces de desarrollar su resistencia
plástica. Cuando la esbeltez λ y es igual a cero, el valor de ky que corresponde a
cada parámetro ny es menor a 1. Sin embargo, a medida que se incrementan los
valores de λ y , los efectos de segundo orden causan una amplificación en la
magnitud de los momentos flectores, la cual queda reflejada con el incremento
de los valores de ky. Este incremento se detendrá cuando λ y alcanza un valor
aproximado a la unidad. Para valores de λ y mayores a la unidad, los valores de
ky decrecen gradualmente hasta permanecer a un valor casi constante. Este
comportamiento se debe a que el pandeo del elemento tiende a comportarse
elásticamente; y como consecuencia de esto, el factor ky debe compensar la
diferencia entre los valores de los momentos Mel,y y Mpl,y. Cabe recordar aquí,
que el momento Mpl,y es usado en las fórmulas de interacción para cualquier
valor de esbeltez.
2.4 Filosofía de diseño del EC3
63
Acorde con las simulaciones numéricas realizadas por Ofner (1997), se
encontró que la variación del factor ky frente a la esbeltez adimensional λ y
también se ve influenciada por la forma de la sección (I, RHS, etc) pero en un
menor grado, dando lugar a que ésta no sea considerada como un parámetro de
diseño (Greiner y Lindner 2006).
Con los resultados del GMNIA se planteó la expresión (2.150) para calcular
el factor ky. Esta expresión considera, para cada valor de ny, una plataforma de
valores constantes de ky cuando se tienen valores de λ y mayores a 1 (Figura
2.15b).
Para el pandeo “in-plane” producido por los esfuerzos NEd + My,Ed, Greiner
y Lindner compararon los resultados de la fórmula de interacción del Método 2
[expresión (2.148)] con los resultados del GMNIA y los dados por la
aproximación del antiguo Eurocódigo 3 (EC3 1992). Esta comparación fue
realizada para las diferentes distribuciones lineales de momentos (Figura 2.16).
Los resultados de la fórmula de interacción del Método 2 son presentados
gráficamente en la Figura 2.16 por medio de la curva “EC3”; los resultados de la
aproximación del EC3 (1992) por medio de la curva discontinua “EC 3 (ENV)”.
De la comparación, se puede concluir que para las distribuciones uniforme
(Figura 2.16a) y triangular de momentos (Figura 2.16b), la aproximación del
Método 2 brinda mejores resultados con respecto a los dados por la
aproximación del EC3 (1992). En cambio, para la distribución bi-triangular de
momentos (Figura 2.16c), la aproximación del Método 2 es más conservadora
que la aproximación del EC3 (1992); esto se debe a que la expresión (2.22) de
Austin, la cual es empleada por el Método 2 para determinar factor Cmy, es
conservadora para los diagramas bi-triangulares de momentos (Greiner y
Lindner 2006).
64
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
(a)
(b)
(c)
Figura 2.16 Comparación de la resistencia al pandeo “in-plane” de un
IPE 200 sometido a N+My (Greiner y Lindner 2006): (a) momento
uniforme, (b) momento triangular, (c) momento bi-triangular.
Cabe indicar que el factor 0.6ky de la expresión (2.149) conduce a resultados
conservadores cuando el pandeo “out-of-plane” ocurre por los esfuerzos NEd +
My,Ed. Sin embargo, como se comentó antes, este factor ha sido escogido para
reflejar mejor el comportamiento bi-axial de momentos (My,Ed + Mz,Ed).
Por otra parte, la expresión del factor kz también ha sido determinada en
base a los resultados del GMNIA obtenidos para secciones IPE y HEB. Con
2.4 Filosofía de diseño del EC3
65
estos resultados del GMNIA, Greiner y Lindner concluyeron que no existen
diferencias significativas entre los valores de kz de las diferentes secciones I y H,
por lo cual plantearon una única expresión para estos tipos de secciones. Un
modelo del comportamiento del factor kz obtenido con GMNIA es mostrado en
la Figura 2.17a, la cual muestra que las curvas kz tienen la misma forma típica de
las curvas ky de la Figura 2.15a, pero con magnitudes totalmente diferentes. Por
otro lado, la Figura 2.17b recoge los factores kz del Método 2 [expresión (2.151)],
en la cual se muestran, para cada valor de nz, una aproximación lineal cuando
los valores de λ z son menores a 1 y una plataforma de valores constantes
cuando los valores de λ z son mayores a 1. Al contrastar la Figura 2.17b con la
Figura 2.17a se puede afirmar que los resultados de la expresión (2.151) del
Método 2 para calcular el factor kz se ajustan bastante bien a los del GMNIA.
(a)
(b)
Figura 2.17 Factor kz para momento uniforme: (a) GMNIA – HEB 300
(Greiner y Lindner 2006), (b) EC3 [Ec. (2.151)].
Por lo que respecta a las formulas de interacción del Método 2 para las
secciones de Clase 3, se puede decir que éstas tienen el mismo formato de las
fórmulas de interacción presentadas para las secciones de Clases 1 y 2 pero
cambiando el Mpl por el Mel y usando distintas expresiones de ky y kz a las que se
han visto hasta el momento (Greiner y Lindner 2006):
N Ed
χ y N pl ,Rd
+ ky
C my M y ,Ed
M el ,y ,Rd
+ kz
C mz M z ,Ed
M el ,z ,Rd
≤1
(2.153)
66
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
N Ed
χ z N pl ,Rd
+ 0.8 k y
C my M y ,Ed
M el ,y ,Rd
+ kz
C mz M z ,Ed
M el ,z ,Rd
≤1
(2.154)
con
k y = 1 + 0.6λ y n y ≤ 1 + 0.6n y
(2.155)
k z = 1 + 0.6λ z n z ≤ 1 + 0.6n z
(2.156)
El comportamiento de las secciones de Clase 3, las cuales son definidas
formalmente como secciones elásticas en el Eurocódigo 3, ha sido intensamente
discutido en el Comité Técnico 8 de la ECCS (ECCS Technical Committee 8 Stability 2006), en donde se aclaró que el comportamiento puramente elástico
no existe por naturaleza puesto que siempre ocurrirá una cierta cantidad de
plastificación aun para cubrir los efectos de las tensiones residuales. En base a
las simulaciones numéricas realizadas por Lechner (2005) en elementos con
secciones de Clase 3, se logró confirmar la existencia de la resistencia plástica
parcial en estas secciones a pesar de estar relacionada con la resistencia Mel,Rd.
Este efecto de plastificación parcial ha sido considerado, moderadamente, en las
formulas de interacción (2.153) y (2.154) para explotar mejor la capacidad
resistente del elemento, y por consiguiente conseguir una norma que conduzca
a un diseño más económico.
Los factores ky y kz de las expresiones (2.155) y (2.156) han sido deducidos
usando la teoría elástica de segundo orden. El factor que aparece en el segundo
término de la expresión (2.154), correspondiente al pandeo “out-of-plane” bajo
My,Ed, ha sido definido como 0.8 ky. El coeficiente 0.8 responde al hecho de tomar
en cuenta el efecto de la plastificación parcial.
2.4.9.3
Comportamiento elástico-plástico de los “beam-columns”
con pandeo lateral: Método 2
El Método 2 plantea sus propias fórmulas de interacción (Greiner y Lindner
2006) para elementos que son susceptibles a deformaciones torsionales. Estas
fórmulas evalúan la resistencia al pandeo respecto a los ejes y-y y z-z, y son
válidas para las secciones I y H de Clase 1 y 2:
N Ed
χ y N pl ,Rd
N Ed
χ z N pl ,Rd
+ ky
C my M y ,Ed
χ LT M pl ,y ,Rd
+ k LT
+ 0.6 k z
M y ,Ed
χ LT M pl ,y ,Rd
+ kz
C mz M z ,Ed
M pl ,z ,Rd
C mz M z ,Ed
M pl ,z ,Rd
≤1
≤1
(2.157)
(2.158)
2.4 Filosofía de diseño del EC3
67
con
k LT = 1 −
0.1λ z n z
C mLT − 0.25
≥ 1−
0.1n z
C mLT − 0.25
(2.159)
pero cuando λ z < 0.4 , entonces se debe usar:
k LT = 0.6 + λ z
(2.160)
Los factores ky y kz son determinados con las expresiones (2.150) y (2.151)
respectivamente. El factor CmLT es el factor de momento uniforme equivalente
correspondiente al pandeo lateral y será tratado más adelante, conjuntamente
con los factores Cmy y Cmz, en el Apartado 2.4.9.4.
Estas fórmulas de interacción se diferencian de las fórmulas (2.148) y
(2.149) por la aparición del factor de reducción χLT que afecta al momento
plástico resistente del eje fuerte, y por la aparición del factor kLT que sustituye
al factor 0.6kyCmy de la fórmula (2.149).
Como ya es sabido, el factor de reducción χLT toma en cuenta el efecto del
pandeo lateral. Si la esbeltez λ LT decrece, el factor χLT se aproximaría a 1, y por
consiguiente, para el modo de pandeo respecto al eje y-y con NEd+My,Ed, la
fórmula de interacción (2.157) sería idéntica a la fórmula (2.148). Esto significa
que, a pesar de que el elemento es susceptible a deformaciones torsionales, éste
fallaría por pandeo de flexión “in-plane”.
En la fórmula de interacción correspondiente al modo de pandeo respecto
al eje z-z [expresión (2.158)] se incluye el factor kLT, cuya expresión fue también
determinada en base a los resultados del GMNIA.
En la Figura 2.18 se recogen los resultados del GMNIA obtenidos para un
perfil IPE 500 sometido a diferentes distribuciones lineales de momento. Tal
como se aprecia en esta figura, la no uniformidad del diagrama de momentos
produce una reducción significativa en el factor kLT para valores altos de nz.
68
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
(a)
(b)
(c)
Figura 2.18 Factores kLT obtenidos del GMNIA (Greiner y Lindner 2006):
(a) momento uniforme, (b) momento triangular, (c) momento bitriangular.
La fórmula del Método 2 [expresión (2.159)], usada para calcular el factor
kLT, ha sido definida en un formato similar al empleado en las expresiones de ky
y kz. Esta fórmula, cuya aproximación es una representación simplificada de las
curvas obtenidas en GMNIA (Figura 2.18), asume una variación lineal para
λ z < 1 y una plataforma de valores constantes de kLT para λ z > 1 (Figura 2.19).
El factor CmLT ha sido definido de manera distinta al factor Cmy con el fin de
considerar la parte dominante del diagrama de momentos en los elementos con
restricciones laterales intermedias. Dado que la forma del diagrama de
momentos es también considerada cuando se determina el factor χLT, su efecto
2.4 Filosofía de diseño del EC3
69
real aparece amortiguado en el factor kLT; es por esta razón que la formulación
de kLT [expresión (2.159)] es afectada por el factor CmLT. Por otra parte, puesto
que para λ z = 0 , la expresión (2.159) no representa la moderada caída de las
curvas reales del GMNIA, se ha añadido una formulación adicional [expresión
(2.160)] que permitir explotar la resistencia total de la sección para valores de
λ z menores a 0.4.
(a)
(b)
(c)
Figura 2.19 Factores kLT del Método 2 [Ec. (2.159)]: (a) momento
uniforme, (b) momento triangular, (c) momento bi-triangular.
Las fórmula de interacción (2.157) y (2.158) fueron inicialmente ajustadas
considerando que los esfuerzos NEd+My,Ed sólo actúan en el elemento.
Posteriormente, para evaluar el comportamiento espacial, se incorporaron los
términos correspondientes al momento Mz,Ed, los cuales son los mismos que se
70
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
emplean en las fórmulas de interacción (2.148) y (2.149); de esta forma, cuando
My,Ed es igual a cero, el comportamiento del pandeo de flexión bajo los esfuerzos
NEd+Mz,Ed queda reflejado en las fórmulas de interacción (2.157) y (2.158).
La Figura 2.20 recoge los resultados de las fórmulas (2.157) y (2.158) del
Método 2 (“EC3” en la figura) para un comportamiento bi-axial con
distribuciones triangulares de momentos. Estos resultados son comparados con
los resultados del GMNIA y los resultados de la aproximación dada por la
versión ENV del Eurocódigo 3 (EC3 1992). De esta comparación se puede decir
que las fórmulas de interacción del Método 2 proporcionan mejores resultados
con respecto a las formulas dadas por el EC3 (1992).
Figura 2.20 Diagrama de interacción para un IPE 200 con L=2.14 m,
λz = 1
y sometido a N+My+Mz (Greiner y Lindner 2006).
Para los elementos con secciones de Clase 3, el Método 2 propone las
siguientes fórmulas de interacción para evaluar la resistencia al pandeo
respecto a los ejes y-y y z-z (Greiner y Lindner 2006):
N Ed
χ y N pl ,Rd
N Ed
χ z N pl ,Rd
+ ky
+ k LT
C my M y ,Ed
χ LT M el ,y ,Rd
M y ,Ed
χ LT M el ,y ,Rd
+ kz
+ kz
C mz M z ,Ed
M el ,z ,Rd
C mz M z ,Ed
M el ,z ,Rd
≤1
(2.161)
≤1
(2.162)
2.4 Filosofía de diseño del EC3
71
pero con
k LT = 1 −
0.05λ z n z
C mLT − 0.25
≥ 1−
0.05n z
C mLT − 0.25
(2.163)
Los factores ky y kz son determinados con las expresiones (2.155) y (2.156)
respectivamente. El factor kLT tiene el mismo formato del factor kLT de las Clases
1 y 2, pero con un menor efecto de reducción para tomar en cuenta,
moderadamente, el comportamiento plástico de las secciones de Clase 3.
La validez de las fórmulas de interacción (2.161) y (2.162) fue efectuada por
Kaim (2004).
2.4.9.4
Factor de momento uniforme equivalente del Método 2
Los factores Cm (Cmy, Cmz y CmLT), mencionados en los Apartados 2.4.9.2 y 2.4.9.3,
son determinados usando las expresiones indicadas en la (Tabla 2.9), las cuales
fueron planteadas en base a los resultados obtenidos con el programa GMNIA.
El Método 2 emplea el procedimiento ilustrado en la Figura 2.1 para definir
el factor Cm; es decir, este método asume un momento uniforme ficticio CmM, de
tal forma que su efecto sobre el comportamiento al pandeo sea el mismo al de la
distribución real de momentos.
Estos factores Cm pueden ser usados si ambos extremos del elemento son
considerados como apoyos simples. Cuando el modo de pandeo traslacional
ocurre, debido al simple hecho de que en uno de los extremo del elemento no
está restringido, las expresiones indicadas en la (Tabla 2.9) no serían válidas.
Para esta situación, se debe usar un valor de Cmy o Cmz (dependiendo del plano
en donde se produce el pandeo traslacional) igual a 0.9.
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
72
C my , C mz
M
ψM
Mh
Ms
ψM h
−1 ≤ ψ ≤ 1
0 ≤ αs ≤ 1
− 1 ≤ αs < 0
αs = Ms / Mh
Mh
Ms
α h = Mh / Ms
ψM h
0 ≤ αh ≤ 1
− 1 ≤ αh < 0
C mLT
0.6 + 0.4ψ ≥ 0.4
−1 ≤ ψ ≤ 1
0.2 + 0.8α s ≥ 0.4
0.2 + 0.8α s ≥ 0.4
0 ≤ψ ≤ 1
0.1 − 0.8α s ≥ 0.4
− 0.8α s ≥ 0.4
−1 ≤ ψ < 0
0.1(1 − ψ ) − 0.8α s ≥ 0.4
0.2 ( − ψ ) − 0.8α s ≥ 0.4
−1 ≤ ψ ≤ 1
0.95 + 0.05α h
0.90 + 0.10α h
0 ≤ψ ≤ 1
0.95 + 0.05α h
0.90 + 0.10α h
0.95 + 0.05α h ( 1 + 2ψ )
0.90 + 0.10α h ( 1 + 2ψ )
−1 ≤ ψ < 0
Tabla 2.9 Factores Cm del Método 2 (EC3 2005).
En la Figura 2.21 se ilustra la manera de considerar los diagramas de
momentos flectores para determinar los diferentes factores Cm del Método 2.
Mientras que Cmy está siempre relacionado con el diagrama de momentos
flectores producido en toda la longitud del elemento, CmLT y Cmz son
determinados por el diagrama relevante de momentos producido entre
restricciones intermedias.
2.4 Filosofía de diseño del EC3
My
My
Mz
73
C my
C mLT
C mz
Figura 2.21 Definición de los factores Cm (Greiner y Lindner 2006).
Para elementos con una distribución lineal de momentos, el factor Cm es
calculado con la fórmula de Austin [expresión (2.22)], la cual ha sido
ampliamente usada en muchas normas de diseño. La validez de esta fórmula
fue evaluada por Kaim (2004) para un amplio rango de casos. De esta
evaluación, se concluyó que el truncamiento de los valores de Cm a 0.4 para
ψ ≤ −0.5 conduce a resultados muy conservadores, puesto que valores de Cm
cercanos a 0.2 pueden ser conseguidos por medio de simulaciones numéricas.
Este margen, sin embargo, no ha sido explotado en las reglas de diseño del
Método 2 puesto que para los valores de ψ menores a -0.5 gobernará,
frecuentemente, la resistencia de la sección de los extremos del elemento
(Greiner y Lindner 2006).
Para elementos con distribuciones no lineales de momentos, originadas por
la aplicación de momentos concentrados en los extremos y cargas transversales,
no existe ninguna fórmula general de uso práctico; es por esta razón que el
Método 2 propone una serie de expresiones sencillas (Tabla 2.9) para
determinar el factor Cm.
Finalmente cabe resaltar que todos los factores Cm están relacionados con el
máximo valor de momento flector. Esto implica que los máximos valores de los
momentos My,Ed y Mz,Ed deben ser introducidos en las fórmulas de interacción
aun si estos valores máximos no ocurren en la misma posición en el elemento.
2.4.10 Diferencias entre el Método 1 y el Método 2
Una de las diferencias principales entre los dos métodos del EC3 (2005) es la
forma de definir los factores Cm. El Método 2 define sus factores Cm en base a un
74
Capítulo 2: Comportamiento estructural de los “beam-columns”
diagrama de momentos uniformes equivalentes, y propone el uso de la fórmula
de Austin para los casos con distribución lineal de momentos. En cambio, el
Método 1 emplea un diagrama de momentos sinusoidales equivalentes para
definir los factores Cm, y sus expresiones están en función de la relación NEd/Ncr.
Por otra parte, los factores CmLT de ambos métodos, los cuales son
utilizados para tomar en cuenta la distribución no uniforme de los momentos
en los casos con pandeo lateral, son también diferentes. Mientras que el CmLT del
Método 1 es un factor que depende de Cmy, el CmLT del Método 2 es un factor
independiente que cubre los efectos del diagrama de momentos más relevante
de los tramos definidos entre restricciones laterales intermedias.
En los elementos susceptibles a deformaciones torsionales, el Método 1
considera una suave transición al pasar del pandeo de flexión al pandeo lateral;
esta transición fue aproximada en función de la rigidez torsional del elemento.
En cambio, el Método 2 distingue los dos casos estándares de elementos rígidos
torsionalmente y de elementos flexibles torsionalmente, y los analiza
separadamente.
La aproximación de cada método fue evaluada estadísticamente con un
pequeño número de resultados experimentales (Massonnet 1976; Lindner y
Gietzelt 1986) y con un gran número de resultados numéricos usando el
programa ABAQUS (Ofner 1997). Por lo tanto, los dos métodos del EC3 (2005)
son fiables para ser usados en el diseño. Sin embargo, existen diferencias al
comparar los resultados entre los dos métodos. Debido a que el Método 1 se
basa en la deducción teórica de la formulación que gobierna el comportamiento
espacial del pandeo de flexión, este método aborda mejor los dos modos de
pandeo de flexión, en particular el modo “out-of-plane”. En cambio, el Método
2 se basa en la deducción teórica de la fórmula de pandeo “in-plane”, por lo
cual este método aborda mejor este modo de pandeo. Para el caso del pandeo
lateral, ambos métodos han extendido sus formulaciones deducidas a partir del
pandeo de flexión; y sus factores de interacción correspondientes fueron
calibrados en base a los resultados de las simulaciones numéricas considerando
un comportamiento elástico-plástico.
Con respecto a los formatos de las fórmulas de interacción, se puede decir
que el Método 2 proporciona un formato sencillo, en donde se emplean factores
compactos que toman en cuenta los efectos de la inestabilidad. En cambio, el
Método 1 brinda un formato más complejo, que posee un gran número de
factores específicos en su formulación, tanto es así que para efectuar los cálculos
es necesario el uso del ordenador.
Capítulo
3
3 FACTOR DE
MOMENTO UNIFORME
EQUIVALENTE DE
PANDEO LATERAL
Las normas de diseño de estructuras metálicas evalúan la estabilidad
estructural considerando tres principales situaciones de esfuerzos: compresión
pura, flexión pura y una combinación de flexión y compresión. Dependiendo de
la longitud del elemento, de la rigidez a la flexión, de la rigidez a la torsión y de
las propiedades de la sección, un elemento sometido a compresión puede tener
los siguientes tipos de pandeo: pandeo de flexión, pandeo torsional o pandeo
flexo-torsional. Por otro lado, los elementos sometidos a flexión con respecto a
su eje fuerte pueden desarrollar el pandeo lateral, en donde el ala comprimida
del perfil metálico se desplaza produciendo flexión respecto al eje débil y giro
de la sección por torsión. Este fenómeno de inestabilidad ocurrirá cuando el
máximo momento flector actuando en el elemento supera al momento crítico
elástico. Por último, en los elementos sometidos a una combinación de flexión y
compresión se puede producir cualquiera de los cuatros tipos de pandeo
mencionados. Cabe indicar además que existen otros tipos de pandeos como el
pandeo local y el pandeo distorsional, los cuales tienen importancia en
secciones consideradas como no compactas.
Debido a su importancia en el diseño de vigas y de “beam-columns”, el
pandeo lateral sigue siendo el centro de atención de muchos investigadores. Las
normas de diseño de estructuras metálicas, como AISC LRFD (1986; 1994), BS
5950-1 (2000) y EC3 (1992; 2005), se basan en el concepto del estado límite y dan
un procedimiento de diseño para evaluar la resistencia a pandeo lateral de los
elementos. Para la aplicación de estos procedimientos es necesario determinar
75
76
Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
el valor del momento crítico elástico. Las imperfecciones iniciales, las tensiones
residuales y el pandeo inelástico son tomados en cuenta a través de las curvas
de pandeo (Trahair 1998).
El momento crítico elástico es directamente afectado por los siguientes
factores (Lindner 1997): las propiedades del material como módulo de
elasticidad y módulo de cortadura; las propiedades geométricas de la sección
recta como la constante torsional, constante al alabeo, momento de inercia
respecto al eje menor; las propiedades de la viga como su longitud y las
restricciones a la flexión lateral y al alabeo en los apoyos; y el tipo de carga y su
posición respecto al centro cortante de la sección. Para contemplar los diferentes
diagramas de momentos flectores, se utiliza el factor de momento uniforme
equivalente (FMUE). El momento crítico elástico correspondiente a cualquier
diagrama de momentos es calculado multiplicando este factor por el momento
crítico elástico de un elemento bi-articulado sometido a momento flector
uniforme.
Un resumen de las investigaciones realizadas antes de la era
computacional se encuentra en el renombrado artículo de Clark y Hill (1960) en
donde se brinda información importante para el diseño de vigas, siendo la
resistencia de estos elementos controlada por el pandeo lateral. Otros
investigadores clásicos como Timoshenko y Gere (1961), Chajes (1974) y Trahair
(1993), quienes han desarrollado muchas teorías relacionadas con la estabilidad
estructural, plantearon soluciones en la determinación del FMUE para simples
casos de cargado. Nethercot y Rockey (1972) y Nethercot (1983; 1988), quienes
realizaron un estudio más exhaustivo del FMUE, propusieron expresiones en
función de la rigidez torsional, de la rigidez al alabeo y de la longitud de
pandeo lateral. Ellos analizaron cuatro tipos de condiciones de enlaces en los
apoyos (bi-articulada, alabeo restringido, flexión lateral restringida y biempotrada) y tres niveles de cargado (en el ala superior, en el centro cortante de
la sección y en el ala inferior) mostrando así, 41 casos diferentes. De los
investigadores más recientes, se pueden citar a Greiner et al. (1999) y Salzgeber
(2000a), quienes proporcionaron valores tabulados de FMUE para diferentes
diagramas de momentos flectores pero sin tomar en cuenta las condiciones de
enlaces en los apoyos. Posteriormente, Suryoatmono y Ho (2002)
proporcionaron una serie de resultados al integrar por Diferencias Finitas, la
ecuación diferencial que gobierna el pandeo lateral en vigas. Además, para cada
tipo de cargado en el elemento, propusieron expresiones para calcular el FMUE.
Sin embargo, ellos no abarcaron, en sus estudios, situaciones en donde la
flexión lateral y el alabeo se encuentran impedidos en los apoyos de la viga. Por
otra parte, Suryoatmono y Ho (2002) manifestaron que la formulación del AISC
LRFD (1994) es muy conservadora para la mayoría de los diagramas de
momentos pero puede ser no conservadora para algunos casos concretos.
Finalmente, Lim et al. (2003) centraron sus estudios en el diagrama de momento
3.1 Valores propuestos por las normas de diseño
77
lineal considerando tres diferentes condiciones de enlaces: enlaces tipo
horquilla, enlaces con alabeo restringido y enlaces con restricción a la flexión
lateral y al alabeo. Para estos casos particulares, Lim et al. (2003) proponen
nuevas formulaciones. Existen también resultados del FMUE en vigas de
sección monosimétrica que fueron proporcionados por Helwig et al. (1997) y
Baláz y Koleková (2002). Adicionalmente, vigas con arriostramientos continuos
en el ala superior fueron estudiadas por Park y Kang (2003), Park et al. (2004) y
Greiner et al. (1999).
A pesar de los últimos estudios realizados por los diferentes
investigadores, existen pocos resultados numéricos del FMUE cuando los
apoyos extremos de la viga se encuentran impedidos a la flexión lateral y al
alabeo. Además existen discrepancias entre los valores propuestos por las
diferentes normas de diseño.
El presente capítulo presenta un estudio del FMUE para vigas metálicas
que poseen doble simetría en su sección recta, con diferentes condiciones de
enlaces en sus apoyos extremos, y que están sometidas a cargas actuando en el
centro cortante de su sección. Se asume, como es habitual, que los apoyos
extremos de las vigas están arriostrados a la torsión. Para este estudio, primero
se presentará un resumen de los procedimientos de cálculo empleados por la
norma Americana (AISC LRFD 1994), la norma Británica (BS 5950-1 2000) y la
norma Europea (EC3 1992; EC3 2005). Luego, se sintetizarán los estudios
realizados por los diversos investigadores. Posteriormente, se realizará una
comparación de los valores disponibles de FMUE con la intención de indicar las
discrepancias existentes en las norma de diseño e identificar los casos que
necesitan alguna consideración adicional. Después, con el propósito de aclarar
estas discrepancias, se presentarán los nuevos resultados obtenidos usando el
Método de Elementos Finitos y Diferencias Finitas. Y por último, se proponen
dos formulaciones simplificadas para determinar el FMUE en función de los
momentos flectores y de las condiciones de enlaces de la viga.
3.1
VALORES PROPUESTOS POR LAS NORMAS DE
DISEÑO
En este apartado se sintetizan los procedimientos que proponen las normas de
diseño para determinar los valores del factor de momento uniforme equivalente
C1, usados en el cálculo del momento crítico a pandeo lateral.
3.1.1 Eurocódigo 3
En vigas con doble simetría en su sección y cargadas en su centro cortante, el
EC3 (1992) presenta la siguiente fórmula para calcular del momento crítico
elástico a pandeo lateral:
78
Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
M cr = C 1
π 2 EI z
( kL ) 2
 k


 kw
2
2
 I w ( kL ) GI t

+

π 2 EI z
 Iz
(3.1)
Como se puede apreciar, el momento crítico elástico depende del módulo
de elasticidad, módulo de cortadura, inercia respecto al eje débil, inercia al
alabeo, inercia torsional, longitud del elemento, condiciones de enlace en el
elemento y factor de momento uniforme equivalente C1. Las condiciones de
enlace del elemento son introducidas por medio del coeficiente a la flexión
lateral k y del coeficiente al alabeo kw. k y kw son iguales a la unidad cuando el
enlace es libre de flectar lateralmente y libre de alabear respectivamente; y son
iguales a 0.5 cuando al enlace se le restringe la flexión lateral y el alabeo
respectivamente. Todos los parámetros que intervienen en el cálculo del
momento crítico elástico, exceptuando el factor C1, son definidos ya que
dependen de las propiedades geométricas del elemento, las condiciones de
enlaces y las propiedades del acero.
En lo que respecta al factor C1, el EC3 (1992) brinda valores que dependen
de la distribución de momentos flectores y del grado de restricción a la flexión
lateral en los enlaces extremos del elemento.
La nueva versión del Eurocódigo 3 (EC3 2005) no proporciona valores de
C1; sin embargo, el ECCS Technical Committee 8 – Stability (2006) propone
algunos valores de C1 para que se empleen en los procedimientos de diseño de
esta norma.
Cabe resaltar que tanto el EC3 (1992) como el ECCS Technical Committee 8
– Stability (2006) no brindan una fórmula general para calcular el factor C1, pero
proporcionan valores para los casos más comunes de distribuciones de
momentos flectores y condiciones de enlaces.
3.1.1.1
Distribución lineal de momentos
Acorde con el EC3 (1992), el valor de C1 para una viga simplemente apoyada
con un k = 1 y con una distribución lineal de momentos como la que se muestra
en la Figura 3.1, es determinado con la siguiente expresión:
C 1 = 1.88 − 1.40ψ + 0.52ψ 2
siendo
C 1 ≤ 2.70
ψM
M
Figura 3.1 Distribución lineal de momentos.
(3.2)
3.1 Valores propuestos por las normas de diseño
79
Adicionalmente, el EC3 (1992) proporciona valores tabulados en función
del parámetro ψ para los casos con flexión lateral libre (k=1) e impedida (k=0.5)
respectivamente en los apoyos extremos del elemento. Estos valores son
recogidos en la siguiente tabla:
ψ
K=1 [Ec.(3.2) ]
K=1
K=0.50
1.00
1.000
1.000
1.000
0.75
1.122
1.141
1.305
0.50
1.310
1.323
1.514
0.25
1.562
1.563
1.788
0.00
1.880
1.879
2.150
-0.25
2.262
2.281
2.609
-0.50
2.700
2.704
3.093
-0.75
2.700
2.927
3.093
-1.00
2.700
2.752
3.149
Tabla 3.1 Factor C1 para distribuciones lineales de momentos. EC3 (1992).
3.1.1.2
Distribución no lineal de momentos
Para la distribución no lineal de momentos, el EC3 (1992) brinda valores de C1
para cinco casos específicos de cargado, los cuales son recogidos en la Tabla 3.2.
k
C1
1.0
1.132
0.5
0.972
1.0
1.285
0.5
0.712
1.0
1.365
0.5
1.070
1.0
1.565
0.5
0.938
1.0
1.046
0.5
1.010
Tabla 3.2 Factor C1 para distribuciones no lineales de momentos.
EC3 (1992).
Los valores de C1 de la Tabla 3.2 para la viga bi-empotrada sometida a
carga uniformemente distribuida, no están referidos al momento máximo que
se produce en los extremos de la viga sino al momento que se produce en el
centro de luz. Por lo tanto, estos valores deben ser multiplicados por 2 cuando
son comparados con los valores de C1 de otras normas.
80
Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
El ECCS Technical Committee 8 – Stability (2006) presenta una nueva
expresión, basada en los trabajos realizados por Greiner et al. (1999):
C1 =
1
(3.3)
k c2
siendo kc un factor de corrección que depende de la distribución de momentos.
En la Tabla 3.3 se recogen los valores de kc y sus correspondientes valores de C1.
Moment diagram
kc
ψM
M
C1
1
1.33 − 0.33ψ
(1.33 − 0.33ψ ) 2
0.86
1.352
0.82
1.487
0.77
1.687
0.94
1.132
0.91
1.208
0.90
1.235
M
M
M
M
M
M
M
M
Tabla 3.3 Coeficientes kc y C1 del ECCS Technical Committee 8 –
Stability (2006).
3.1.2 AISC LRFD
Las especificaciones del AISC LRFD (1986; 1994) definen al momento crítico
elástico de pandeo lateral como:
M cr = C b
π
Lb
2
 πE 
EI z GI t +   I z I w
L 
 b
(3.4)
3.1 Valores propuestos por las normas de diseño
81
donde Lb es la longitud de pandeo lateral y Cb es el factor de momento uniforme
equivalente.
Las expresiones (3.1) y (3.4) son iguales cuando el coeficiente a la flexión
lateral, k, y el coeficiente al alabeo, kw, tienen el mismo valor en cada uno de los
apoyos extremos del elemento. Así, Lb es igual a kL; y Cb, igual a C1.
Basándose en las investigaciones realizadas por Salvadory (1955), el AISC
LRFD (1986) propone la siguiente expresión para determinar el factor Cb la cual
es válida para una distribución lineal de momentos:
C b = 1.75 − 1.05ψ + 0.30ψ 2
siendo
C b ≤ 2.30
(3.5)
Al comparar las expresiones (3.2) y (3.5) se puede apreciar que éstas tienen
la misma forma cuadrática pero con diferentes coeficientes.
La última edición del AISC LRFD (1994) incorpora una expresión muy
parecida a la fórmula propuesta por Kirby y Nethercot (1979) la cual es
aplicable a cualquier distribución de momentos. Con referencia a la Figura 3.2,
el factor de momento uniforme equivalente es igual a:
Cb =
12.5 M max
(3.6)
2.5 M max + 3 M A + 4 M B + 3 M C
donde Mmax es el máximo momento flector; MA, MB y MC son los valores de los
momentos flectores a 1/4, 1/2 y 3/4 de la longitud del elemento. Todos los
valores de momentos en la expresión (3.6) son valores absolutos, es decir,
positivos sin considerar el signo de los momentos flectores.
L/4
L/4
L/4
L/4
Mmax
L/4
MA
L/4
L/4
MC
MB
Mmax
MC
MA
MB
L/4
Figura 3.2 Valores de momentos usados en la Ecuación (3.6).
A diferencia de la expresión (3.1), el AISC LRFD no considera la
posibilidad de tener k y kw diferentes en el cálculo del momento crítico. Además,
la expresión (3.6) no toma en cuenta el coeficiente a la flexión lateral, k, ni el
coeficiente al alabeo, kw, es decir, se obtendrían los mismos valores de Cb
independientemente del valor de k o kw.
82
Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
3.1.3 BS 5950
La norma británica de estructuras metálicas en edificaciones (BS 5950-1 2000)
proporciona una expresión muy similar a la del AISC LRFD (1994). El factor de
momento uniforme equivalente de la norma británica es definido como mLT, el
cual es el inverso del factor C1.
m LT = 0.2 +
C1 =
0.15 M A + 0.5 M B + 0.15 M C
M max
siendo
M max
0.2 M max + 0.15 M A + 0.5 M B + 0.15 M C
m LT ≥ 0.44
siendo
C 1 ≤ 2.273
(3.7)
(3.8)
Los valores de Mmax, MA, MB y MC son valores absolutos indicados en la
Figura 3.2. Al multiplicar por 12.5 tanto al numerador como al denominador de
la expresión (3.8), se consigue una cierta similitud con la fórmula del AISC
LRFD (1994).
C1 =
12.5 M max
2.5 M max + 1.875 M A + 6.25 M B + 1.875 M C
(3.9)
Las expresiones (3.6) y (3.9) difieren en los coeficientes que afectan a los
momentos MA, MB y MC. La fórmula del BS 5950-1 (2000) da un mayor peso al
momento MB que se produce en la mitad del elemento.
3.2
VALORES
PROPUESTOS
INVESTIGADORES
POR
DIVERSOS
En este apartado se presenta un resumen de los estudios realizados por
diversos investigadores para obtener el factor de momento uniforme
equivalente.
3.2.1 J.W. Clark y H.N. Hill
Clark y Hill (1960) presentan valores tabulados de C1 tanto para una
distribución lineal de momentos como para una distribución no lineal. Estos
valores son aplicables a vigas con k=1 y k=0.5, es decir a vigas con flexión lateral
libre y con flexión lateral impedida, respectivamente, en sus apoyos. Además,
como el factor C1 no sólo está en función del diagrama de momento flector sino
que también varía con las propiedades de la sección, Clark y Hill (1960)
presentan, en ciertos casos, un valor inferior y otro valor superior de C1. La
expresión que utiliza estos investigadores para determinar el momento crítico
elástico, es conceptualmente idéntica a la expresión (3.1).
3.2 Valores propuestos por diversos investigadores
3.2.1.1
83
Distribución lineal de momentos
En la Tabla 3.4 se recogen los valores propuestos por Clark y Hill (1960) para
una distribución lineal de momentos.
ψ
k
1.00
0.50
0.00
-0.50
-1.00
1.00
1.00
1.31-1.32
1.77-1.86
2.33-2.62
2.56-2.74
0.50
1.00
1.30-1.32
1.78-1.85
2.29-2.55
2.23-2.58
Tabla 3.4 Valores de C1 para distribuciones lineales de momentos.
Clark y Hill (1960).
3.2.1.2
Distribución no lineal de momentos
Clark y Hill (1960) proponen valores de C1 para los casos básicos de
distribución no lineal de momentos, los cuales son recogidos en la Tabla 3.5.
Esta tabla muestra que los valores correspondientes a vigas con flexión lateral
impedida en los apoyos son significativamente menores a los valores
correspondientes a vigas con flexión lateral libre. Por otra parte, al igual que en
el EC3 (1992) y en el documento del ECCS Technical Committee 8 – Stability
(2006), los valores de C1 de la viga bi-empotrada con carga uniformemente
distribuida son referidos al momento flector que se produce en la mitad de la
longitud de la viga.
84
Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
Loading
=
=
=
Moment diagram
=
k
C1
1.0
1.13
0.5
0.97
1.0
1.30
0.5
0.86
1.0
1.35
0.5
1.07
1.0
1.70
0.5
1.04
1.0
1.04
Tabla 3.5 Valores de C1 para distribuciones no lineales de
momentos. Clark y Hill (1960).
3.2.2 D.A. Nethercot y K.C. Rockey
Nethercot y Rockey (1972) emplearon la expresión (3.4) para determinar el
momento crítico elástico. Los valores de Cb que ellos plantean, dependen de la
distribución de momentos y, en algunos casos, de las propiedades geométricas
del elemento y de las propiedades del material, que son tomadas en cuenta a
través del parámetro R.
R=
3.2.2.1
L2b GI t
(3.10)
EI w
Distribución lineal de momentos
Usando el parámetro ψ definido en la Figura 3.1, el factor Cb es determinado por
las siguientes expresiones:
C b = 1.16 − (ψ − 0.6 ) 2
para
0.6 ≤ ψ ≤ 1.0
C b = 1.16 + ( 0.6 −ψ )
para
− 0 .8 ≤ ψ ≤ 0 .6
(3.11)
3.2 Valores propuestos por diversos investigadores
C b = 2.56
para
85
ψ ≤ −0.8
Si la flexión lateral y el alabeo son impedidos en los apoyo, la longitud de
pandeo Lb debe tomarse igual a L/2. Para el caso particular de momentos iguales
en los extremos, Nethercot y Rockey (1972) plantean valores de Cb considerando
diferentes grados de restricción a la flexión lateral y al alabeo.
3.2.2.2
k = 0 .5
k w = 1.0
Cb = 2 −
0.787
k = 1 .0
k w = 0.5
Cb = 1 −
0.304
R
R
2
2
+
1.134
R
+
(3.12)
1.778
R
(3.13)
Distribución no lineal de momentos
Los valores de C1 propuestos por Nethercot y Rockey (1972) para una
distribución no lineal de momentos son recogidos en la Tabla 3.6. Cabe indicar
que Nethercot y Rockey (1972) presentan valores sólo para vigas sin momento
flector en sus apoyos extremos.
86
Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
Moment
diagram
Loading
aL
k
kw
C1
1.0
1.0
1.123
1.0
0.5
0.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0
aL
4.106 1.263
+
R
R2
1.184 0.02
1 .9 −
+
R
R2
4 5.563
1.643 − 2 +
R
R
1.2 +
1.350
4.788 1.455
+
R
R2
0.726 0.955
2.0 −
+
R
R2
4.186 5.814
1.916 −
+
R
R2
1.43 +
1+a2
Tabla 3.6 Nethercot y Rockey (1972). C1 para distribuciones
no lineales de momentos.
3.2.3 R. Greiner, R. Ofner y G. Salzgeber
Usando el Método de Elementos Finitos, Greiner et al. (1999) proporcionaron
un conjunto de valores de kc para obtener los valores de C1 por medio de la
expresión (3.3). Las Tabla 3.7 y Tabla 3.8 recogen una síntesis de sus resultados.
3.2 Valores propuestos por diversos investigadores
M
ψM
M0
M 0 : Moment at mid span
M/ M 0<0 when as in the picture
ψ
M /M 0
>50
1.00
0.50
0.00
-0.50
-0.60
-0.70
-1.00
<50
Infinity
1.00
0.60
0.40
0.00
-0.40
-0.60
-1.00
1.000
1.063
1.085
1.132
1.235
1.929
3.078
4.726
1.020
1.000
1.181
1.085
1.085
1.132
1.208
1.417
1.984
5.165
1.262
1.235
1.384
1.085
1.108
1.132
1.208
1.235
1.687
4.000
1.452
1.417
1.778
1.108
1.108
1.132
1.181
1.208
1.235
2.228
1.877
1.826
2.296
1.156
1.132
1.132
1.181
1.181
1.208
1.524
2.441
2.367
2.601
1.208
1.132
1.132
1.181
1.181
1.208
1.321
2.687
2.687
2.687
1.291
1.181
1.132
1.181
1.181
1.208
1.291
2.687
2.687
Tabla 3.7 Valores de C1 para diagramas de momentos
parabólicos. Greiner et al. (1999).
M
ψM
M0
M0: Moment at mid span
M/ M0<0 when as in the picture
ψ
M /M 0
>50
1.00
0.50
0.00
-0.50
-0.60
-0.70
-1.00
<50
Infinity
1.00
0.60
0.40
0.00
-0.40
-0.60
-1.00
1.000
1.156
1.235
1.352
1.731
2.601
3.306
2.687
1.020
1.000
1.208
1.181
1.235
1.352
1.602
1.929
2.687
3.845
1.262
1.235
1.384
1.181
1.262
1.352
1.563
1.687
2.296
4.000
1.417
1.417
1.778
1.208
1.262
1.352
1.487
1.487
1.644
2.973
1.877
1.826
2.296
1.208
1.291
1.352
1.384
1.384
1.384
1.929
2.441
2.367
2.601
1.235
1.291
1.352
1.352
1.352
1.352
1.602
2.687
2.687
2.687
1.208
1.321
1.352
1.321
1.291
1.262
1.208
2.687
2.687
Tabla 3.8 Valores de C1 para diagramas de momentos
triangulares. Greiner et al. (1999).
87
88
Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
Adicionalmente, Greiner et al. (1999) presentan resultados para vigas con
restricciones laterales en el ala superior e inferior del perfil, los cuales no han
sido incluidos en este trabajo.
Con respecto a las vigas con apoyos impedidos a la flexión lateral y al
alabeo, Greiner et al. (1999) no proponen valores de C1.
3.2.4 B. Suryoatmono y D. Ho
Usando una aproximación por Diferencias Finitas para determinar el momento
crítico elástico en perfiles de alas anchas, Suryoatmono y Ho (2002) propusieron
una serie de fórmulas para obtener el factor C1 en vigas con distribuciones
lineales y no lineales de momentos. Estas fórmulas son válidas cuando la
flexión lateral y el alabeo no están impedidos (k=1 y kw=1).
3.2.4.1
Distribución lineal de momentos
Para la distribución lineal de momentos mostrada en la Figura 3.1, la fórmula
propuesta es la siguiente:
C 1 = 1.8292 − 1.2584ψ + 0.4828ψ 2 + 0.1037ψ 3
− 0.364ψ 4 + 0.3009ψ 5 − 0.094ψ 6
(3.14)
Esta expresión resulta de ajustar, a un polinomio de grado seis, los
resultados numéricos conseguidos por Diferencias Finitas.
3.2.4.2
Distribución no lineal de momentos
En la Figura 3.3, se muestran los tres casos de distribución no lineal de
momentos analizados por Suryoatmono y Ho (2002).
3.2 Valores propuestos por diversos investigadores
Moment diagram
Loading
βwL2/12
βwL2/12
89
βwL /12
βwL2/12
2
w
Case A
1 2  2β 
wL 1 −

8
3 

βwL2/8
βwL2/8
w
Case B
1 2
β
wL 1 − 
8
4

2
P
Case C
PL/4
Figura 3.3 Diagramas de momentos flectores analizados por Suryoatmono
y Ho (2002).
Para los casos A y B de la Figura 3.3 el momento flector máximo puede
producirse en un extremo o en un punto intermedio de la viga. Sea cual fuera el
caso, el factor de momento uniforme equivalente dado por Suryoatmono y Ho
(2002) siempre es referido al momento flector máximo, y es determinado
usando las siguientes expresiones:
caso A:
C 1 = 1.131 + 0.0709 β + 0.1044 β 2
para 0 ≤ β ≤ 0.75
C 1 = −309.82 + 1678.4 β − 3660.2 β 2 + 4106.2 β 3
− 2489.8 β 4 + 774.92 β 5 − 97.096 β 6
(3.15)
para 0.75 ≤ β ≤ 2
caso B:
C 1 = 1.131 + 0.0428 β + 0.1142 β 2
para 0 ≤ β ≤ 0.69
(3.16)
C 1 = −22.414 + 109.71β − 205.63 β 2 + 193.78 β 3
− 91.774 β 4 + 20.002 β 5 − 1.4399 β 6
para 0.69 ≤ β ≤ 2
90
Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
caso C:
C 1 = 1.361
(3.17)
3.2.5 N.H. Lim, N.H. Park, Y.J. Kang y I.H. Sung
Usando la aproximación de Bubnov – Galerkin (Vlasov 1961) y el Método de
Elementos Finitos, Lim et al. (2003) realizaron un estudio sobre el pandeo lateral
en vigas de sección I; además, propusieron una fórmula para determinar el
factor C1 en función del diagrama de momento y de las restricciones a la flexión
lateral y al alabeo. Sin embargo, esta fórmula solamente es válida para una
distribución lineal de momentos. La fórmula propuesta por Lim et al. (2003) es:
C1 =
2
(3.18)
S 1 (1 + ψ ) + S 2 (1 −ψ ) 2
2
siendo S1 y S2 unos coeficientes que dependen de las condiciones de enlace del
elemento, y sus correspondientes valores se encuentran indicados en la Tabla
3.9. Lim et al. (2003) emplea la expresión (3.1) para calcular el momento crítico
elástico.
k
kw
S1
S2
1.00
1.00
1.00
0.16
0.50
0.50
1.00
0.18
1.00
0.50
0.80
0.10
Tabla 3.9 Valores de S1 y S2. Lim et al. (2003).
3.3
COMPARACIÓN DE LOS VALORES PROPUESTOS
DE C1
Los valores de C1 propuestos por las normas y por los investigadores antes
mencionados, son comparados en este apartado.
3.3.1 Distribución lineal de momentos
Las normas y los investigadores mencionados en Apartado 3.2 proporcionan
valores de C1 para la distribución lineal de momentos, aunque no todos ellos
consideran las restricciones a la flexión lateral y al alabeo en los apoyos.
3.3.1.1
Flexión lateral libre y alabeo libre en los apoyos
En la Figura 3.4 se muestra la comparación de los valores de C1 cuando la
flexión lateral y el alabeo son libres en los apoyos extremos del elemento. De la
3.3 Comparación de los valores propuestos de C1
91
comparación se aprecia que la mayor diferencia se produce cuando el
parámetro ψ es negativo, es decir cuando los momentos flectores tienen
diferentes signos tal como es habitual en columnas de un pórtico de edificación.
Para ψ=-0.75, el valor dado por el EC3 (1992) es 31.7% mayor al valor propuesto
por el AISC LRFD (1994). Además se aprecia que el AISC LRFD (1994) es
conservador para todos los valores de ψ; mientras que el EC3 (1992) no lo es.
Por otra parte, los valores propuestos por las normas difieren ligeramente de los
resultados numéricos conseguidos por los diversos investigadores.
3.0
EC3 (1992-1)
EC3 (1992-2)
ECCS TC8 (2006)
AISC LRFD (1986)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Clark y Hill (bajo)
Clark y Hill (alto)
Nethercot y Rockey
Suryoatmono y Ho
Lim et al
Greiner et al
2.5
2.0
1.5
1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Coeficiente ψ (Fig. 3.1)
Figura 3.4 Comparación del factor C1 para distribuciones lineales de momentos
con flexión lateral libre y alabeo libre en las condiciones de enlaces.
3.3.1.2
Flexión lateral impedida y alabeo impedido en los apoyos
La comparación de los valores de C1 para una distribución lineal de momentos,
en elementos cuyos apoyos impiden la flexión lateral y el alabeo, es mostrada
en la Figura 3.5. Como se aprecia en dicha figura, el EC3 (1992) brinda valores
de C1 no conservadores con respecto a los resultados obtenidos por Clark y Hill
(1960), y Lim et al. (2003). El AISC LRFD (1994) es siempre conservador para
todos los valores de ψ; mientras que el BS 5950 (2000) no lo es para valores de ψ
muy cercanos a -1.
92
Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
3.5
EC3 (1992-2)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Clark y Hill (bajo)
Clark y Hill (alto)
Lim et al
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Coeficiente ψ (Fig. 3.1)
Figura 3.5 Comparación del factor C1 para distribuciones lineales de momentos
con flexión lateral impedida y alabeo impedido en las condiciones de enlaces.
3.3.2 Distribución no lineal de momentos
Para comparar los valores de C1 de una distribución no lineal de momentos, se
ha dividido el trabajo en tres grupos. El primer grupo enfocará los casos básicos
de vigas sometidas a carga uniforme y vigas sometidas a una carga concentrada
en la mitad de la longitud. El segundo grupo tratará los casos de vigas cargadas
uniformemente, ya sea con un momento aplicado en uno de sus extremos o con
dos momentos iguales, aplicados uno en cada extremo. Y el último grupo
tratará los casos de vigas sometidas a una carga puntual en la mitad de la
longitud con un momento aplicado en uno de sus extremos o con dos
momentos iguales aplicados uno en cada extremo.
3.3.2.1
Casos básicos
En la Tabla 3.10 se presenta un resumen de los valores de C1 para los casos
básicos de carga. El valor de k=1 y k=0.5 corresponden a apoyos con flexión
lateral libre e impedida respectivamente. Para k=1, la BS 5950-1 (2000) da
valores más bajos, aproximadamente en un 5%, a los valores propuestos por
otras normas e investigadores. El AISC LRFD (1994) permanece dentro de los
límites promedios excepto en el último caso presentado en la Tabla 3.10. Para
k=0.5, sólo el EC3 (1992) y Clark y Hill (1960) presentan valores de C1, los cuales
discrepan en los casos de la viga bi-empotrada.
3.3 Comparación de los valores propuestos de C1
k=1
k = 0.5
k=1
k = 0.5
k=1
k = 0.5
k=1
k = 0.5
EC3 (1992) -2
1.132
0.972
2.570
1.424
1.365
1.070
1.565
0.938
AISC -LRFD
1.136
2.381
1.316
1.923
BS5950
1.081
2.051
1.176
1.429
Clark and Hill
1.130
0.970
Nethercot ( R=20)
1.123
Nethercot ( R=5)
1.123
Greiner et al
1.132
2.602
1.352
Suryoatmono an d Ho
1.131
2.604
1.361
2.600
1.72
1.350
1.070
0.949
1.350
1.023
0.928
1.350
1.081
1.700
93
1.04
1.731
Tabla 3.10 Comparación de los valores de C1 para los casos básicos
de carga y condiciones de enlaces.
3.3.2.2
Carga uniformemente distribuida con momentos en los
extremos
En la Figura 3.6 se muestra la comparación de los valores de C1 en vigas con
carga uniformemente distribuida y momentos iguales aplicados en sus
extremos. El parámetro β es el mismo parámetro usado por Suryoatmono y Ho
(2002), el cual fue indicado en la Figura 3.3. La Figura 3.7 presenta la
comparación correspondiente a vigas con carga uniformemente distribuida y
un momento aplicado en uno de sus extremos. Para los casos en donde β es
mayor a 1, los valores del AISC LRFD (1994) y del BS 5950-1 (2000) son muy
conservadores respecto a los resultados numéricos obtenidos por Suryoatmono
y Ho (2002) y Greiner et al. (1999). Con respecto a vigas que poseen flexión
lateral y alabeo impedidos en sus apoyos, no existen resultados numéricos
disponibles.
94
Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
6.0
AISC LRFD (1994)
BS 5950
5.0
Suryoatmono y Ho
Greiner et al
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Coeficiente β (Fig. 3.3)
Figura 3.6 Comparación del factor C1 para una viga con carga uniformemente
distribuida y momentos iguales aplicados en los extremos.
6.0
AISC LRFD (1994)
BS 5950
5.0
Suryoatmono y Ho
Greiner et al
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Coeficiente β (Fig. 3.3)
Figura 3.7 Comparación del factor C1 para una viga con carga uniformemente
distribuida y un momento aplicado en un extremo.
3.3 Comparación de los valores propuestos de C1
3.3.2.3
95
Carga puntual con momentos en los extremos
Para las vigas sometidas a carga puntual con momentos concentrados aplicados
en sus extremos, sólo Greiner et al. (1999) proporcionaron valores de C1, los
cuales han sido recogidos en la Tabla 3.8.
La Figura 3.8 y la Figura 3.9 presentan la comparación de los valores de C1
propuestos por Greiner et al. (1999), el AISC LRFD (1994) y el BS 5950-1 (2000).
Ambas normas brindan buenos resultados para una relación M/M0 mayor a
cero, siendo el BS 5950-1 más conservador que el AISC LRFD. Sin embargo
cuando la relación M/M0 es menor a cero, los valores dados por ambas normas
no siguen la tendencia de los resultados numéricos obtenidos por Greiner et al.
(1999), y pueden presentarse como conservadores o no conservadores. Con
respecto a las vigas con flexión lateral y alabeo impedidos en sus apoyos,
tampoco existen resultados numéricos disponibles.
5.0
AISC LRFD (1994)
4.5
BS 5950
Greiner et al
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Parámetro M/M 0 (Tabla 3.8)
Figura 3.8 Comparación del factor C1 para una viga con carga puntual en la
mitad de la longitud y momentos iguales aplicados en los extremos.
96
Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
5.0
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Greiner et al
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Parámetro M/M 0 (Tabla 3.8)
Figura 3.9 Comparación del factor C1 para una viga con carga puntual en la
mitad de la longitud y un momento aplicado en un extremo.
3.4
RESULTADOS NUMÉRICOS OBTENIDOS
En este apartado se presentan los resultados numéricos obtenidos usando el
Método de Elementos Finitos y Diferencias Finitas.
Para el trabajo con el Método de Elementos Finitos, se empleó el software
COSMOS/M27 (2002) en donde se analizó el pandeo lateral en vigas de sección
IPE 500 con longitudes de 8 m y 16 m. El objetivo de este análisis es confirmar
que el factor C1 no sólo varía con la distribución de momentos flectores sino
también con las condiciones de enlace del elemento. Una vez confirmado esto,
se usará la técnica de Diferencias Finitas para integrar las ecuaciones
diferenciales del pandeo lateral con todas las variaciones posibles en las
condiciones de enlace. Los casos considerados para el análisis por el Método de
Elementos Finitos y Diferencias Finitas son mostrados en la Tabla 3.11 en donde
el caso 1 corresponde a una distribución lineal de momentos; el caso 2, a una
distribución de momentos producida por una carga distribuida con momentos
iguales en los extremos de la viga; el caso 3, a una distribución de momentos
producida por una carga distribuida con un momento aplicado en un extremo
de la viga; el caso 4, a una distribución de momentos producida por una carga
concentrada en la mitad de la longitud de la viga con momentos iguales en sus
extremos; y el caso 5, a una distribución de momentos producida por una carga
concentrada en la mitad de la longitud de la viga con un momento aplicado en
3.4 Resultados numéricos obtenidos
97
uno de sus extremos. Se introducen los parámetros ψ, β y M/M0 para tener en
cuenta las variaciones en los diagramas de momento flector.
M
ψM
M
ψM
−1 ≤ ψ ≤ 1
βwL2 / 12
w
βwL2 / 12
βwL2 / 12
βwL2 / 12
1 2  2β 
wL 1 −

8
3 

w
βwL2 / 8
βwL2 / 8
M max T =
M
M
1 2
β
wL 1 − 
8
4

M
2
M
M0
M 0 : Momento en la mitad de la longitud
M / M 0 < 0 , como es indicado en la figura
M
M
M0
M 0 : Momento en la mitad de la longitud
M / M 0 < 0 , como es indicado en la figura
Tabla 3.11 Diagramas de momentos para el análisis por el Método
de Elementos Finitos y Diferencias Finitas.
3.4.1 Resultados usando el Método de Elementos Finitos
Con el programa COSMOS/M27 (2002), se ha modelado una viga de
sección IPE 500 utilizando elementos Shell, en donde el perfil IPE 500 ha sido
simplificado a una sección I conformada por tres chapas. Los valores de C1 han
sido obtenidos para los diagramas de momentos indicados en la Tabla 3.11 y
para las siguientes condiciones de enlaces: k=kw=1 y k=kw=0.5. Los resultados
son presentados desde la Tabla 3.12 hasta la Tabla 3.16.
Para obtener el valor de C1 se han desacoplado los efectos de los
coeficientes k y kw en el cálculo del momento crítico elástico. Cuando k es igual a
0.5, el momento crítico es multiplicado por un factor de 2; mientras que para un
98
Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
kw diferente de 1, el momento crítico quedaría multiplicado por el siguiente
factor:
1+
Fkw =
π 2 EI w
k w2 L2 GI t
1+
π 2 EI w
(3.19)
L2 GI t
Este factor ha sido deducido empleando la expresión (3.1) para el cálculo
del momento crítico elástico. Para obtener los valores correspondientes a los
casos con kw=0.5, se sustituyeron en la expresión (3.19) las siguientes
propiedades de la sección simplificada del IPE 500: Iz=2.138e-5 m4, It=7.23e-7 m4
y Iw=1.336e-6 m6, y las siguientes propiedades del acero: E=200 Gpa y G=76
Gpa.
Distribución lineal de momentos
k =1, k w=1
k =0.5, k w=0.5
ψ
1.00
0.90
0.80
0.75
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.25
0.20
0.10
0.00
-0.10
-0.20
-0.25
-0.30
-0.40
-0.50
-0.60
-0.70
-0.75
-0.80
-0.90
-1.00
IPE500
IPE500
L=8
L=16
L=8
L=16
1.000
1.000
1.000
1.000
1.052
1.052
1.052
1.052
1.110
1.109
1.110
1.110
1.140
1.140
1.140
1.140
1.173
1.172
1.172
1.173
1.242
1.241
1.241
1.242
1.319
1.316
1.317
1.318
1.403
1.399
1.401
1.402
1.496
1.489
1.492
1.494
1.545
1.537
1.541
1.544
1.597
1.587
1.591
1.595
1.709
1.694
1.699
1.705
1.830
1.809
1.815
1.824
1.959
1.931
1.936
1.950
2.097
2.059
2.061
2.082
2.167
2.125
2.123
2.149
2.239
2.192
2.184
2.216
2.381
2.327
2.299
2.345
2.517
2.459
2.399
2.462
2.637
2.582
2.472
2.557
2.727
2.685
2.508
2.616
2.755
2.724
2.509
2.627
2.768
2.750
2.498
2.626
2.742
2.750
2.439
2.578
2.642
2.661
2.339
2.477
Tabla 3.12 Valores de C1 para vigas con distribución lineal de
momentos (Método de Elementos Finitos).
3.4 Resultados numéricos obtenidos
Carga uniforme con dos momentos
k =1, k w=1
k =0.5, k w=0.5
β
0.00
0.50
0.75
0.90
1.00
1.05
1.20
1.35
1.50
2.00
75.00
IPE500
IPE500
L=8
L=16
L=8
L=16
1.147
1.148
0.975
0.977
1.203
1.217
0.939
0.958
1.236
1.277
0.895
0.934
1.858
1.983
1.268
1.359
2.421
2.688
1.587
1.751
2.744
3.136
1.771
1.993
3.686
4.646
2.415
2.974
4.006
4.946
3.100
4.351
3.700
4.262
3.602
5.518
2.485
2.597
3.223
3.760
1.017
1.017
1.028
1.020
Tabla 3.13 Valores de C1 para vigas con carga uniformente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (Método de Elementos Finitos).
Carga uniforme con un momento
k =1, k w=1
k =0.5, k w=0.5
β
0.00
0.50
0.75
0.90
1.00
1.05
1.20
1.35
1.50
2.00
75.00
IPE500
IPE500
L=8
L=16
L=8
L=16
1.147
1.148
0.975
0.977
1.196
1.204
0.964
0.976
1.397
1.416
1.087
1.113
1.869
1.909
1.421
1.472
2.230
2.296
1.671
1.746
2.422
2.507
1.803
1.895
3.028
3.201
2.221
2.385
3.592
3.897
2.648
2.928
3.961
4.330
3.032
3.469
3.860
3.954
3.590
4.248
1.855
1.840
1.866
1.867
Tabla 3.14 Valores de C1 para vigas con carga uniformente distribuida y
un momento en uno extremo (Método de Elementos Finitos).
99
100 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
Carga puntual con dos momentos
k =1, k w=1
k =0.5, k w=0.5
M/M 0
2.00
1.00
0.50
0.00
-0.50
-0.60
-0.70
-1.00
-1.50
-2.00
IPE500
IPE500
L=8
L=16
L=8
L=16
1.113
1.112
1.036
1.032
1.174
1.174
1.043
1.045
1.236
1.240
1.043
1.055
1.358
1.380
1.027
1.070
1.514
1.742
0.880
1.040
2.092
2.600
1.184
1.486
2.533
3.235
1.521
2.058
2.347
2.569
2.276
3.281
1.729
1.775
2.028
2.253
1.482
1.501
1.693
1.755
Tabla 3.15 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (Método de Elementos
Finitos).
Carga puntual con un momento
k =1, k w=1
k =0.5, k w=0.5
M/M 0
2.00
1.00
0.50
0.00
-0.50
-0.60
-0.70
-1.00
-1.50
-2.00
IPE500
IPE500
L=8
L=16
L=8
L=16
1.137
1.135
1.016
1.020
1.217
1.220
1.031
1.045
1.278
1.287
1.035
1.058
1.358
1.380
1.027
1.070
1.435
1.497
0.980
1.061
1.441
1.518
0.962
1.053
1.548
1.652
1.011
1.121
2.622
2.958
1.644
1.923
3.421
3.638
2.621
3.253
3.160
3.198
2.950
3.446
Tabla 3.16 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento en uno extremo (Método de Elementos Finitos).
De los resultados obtenidos por el Método de Elementos Finitos se pueden
sacar dos conclusiones. La primera conclusión es que el factor C1 varía con la
longitud de la viga, tal como comentaron Nethercot y Rockey (1972). Esta
variación es menos del 2.5% para una distribución lineal de momentos, pero
puede ser significativamente mayor para otros casos de cargado. La segunda
conclusión es que el factor de momento uniforme equivalente está en función
de las restricciones a la flexión lateral y al alabeo en los apoyos. Además, para
vigas con apoyos impedidos a la flexión lateral y al alabeo (k=kw=0.5), los
valores de C1 son en algunos casos significativamente más bajos que los valores
que se obtienen en vigas simplemente apoyadas.
3.4 Resultados numéricos obtenidos 101
3.4.2 Resultados usando Diferencias Finitas
Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el pandeo lateral de un elemento
estructural son presentadas a continuación con la nomenclatura de los ejes
empleada en el EC3 (2005):
EI w
d 4φ
dx 4
− GI t
d 2φ
dx 2
−
1
EI z
M y2 φ +
1
EI z
My Mz = 0
(3.20)
y
EI z
d2v
dx 2
− M z + M yφ = 0
(3.21)
con
dM y
dx
dM z
dx
= Vz
= −Vy
dVz
dx
dVy
dx
= −q z
(3.22)
=0
donde qz es la carga distribuida actuando en la viga; Vy y Vz son los esfuerzos
cortantes; My y Mz son los momentos flectores; v es el desplazamiento lateral; y
φ es el giro de torsión. Los esfuerzos cortantes y los momentos flectores
indicados en estas expresiones son referidos a ejes en una configuración no
deformada. La deducción de las ecuaciones diferenciales (3.20) y (3.21) es
mostrada con mayores detalles en el Apartado B.3 del Apéndice B.
De la Tabla 3.17 a la Tabla 3.21, se presentan los valores de C1 obtenidos al
integrar las ecuaciones diferenciales (3.20) y (3.21) por Diferencias Finitas. Para
la integración se emplearon las propiedades de la sección de dos perfiles
laminados: uno de alas cortas, IPE 500; y otro de alas anchas, HEB 500. Cada
uno de estos perfiles ha sido analizado con longitudes de 8 metros y 16 metros.
Además, se han contemplado las diferentes condiciones de enlaces,
combinando la flexión lateral libre (k=1) o la flexión lateral impedida (k=0.5) con
el alabeo libre (kw=1) o el alabeo impedido (kw=0.5). Y por último, se emplearon
las mismas propiedades del acero (E=200 Gpa y G=76 Gpa) que se usaron para
obtener los resultados por el Método de Elementos Finitos.
Los resultados obtenidos para una distribución lineal de momentos son
recogidos en la Tabla 3.17. Una comparación de estos resultados frente a los
resultados proporcionados por los diversos investigadores y normas, es
presentada en la Figura 3.10, en donde se aprecia que los valores de C1 son más
102 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
bajos en vigas con apoyos impedidos a la flexión lateral y al alabeo que en vigas
simplemente apoyadas. El AISC LRFD (1994) da valores muy conservadores en
todos los casos.
ψ
1.00
0.90
0.80
0.75
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.25
0.20
0.10
0.00
-0.10
-0.20
-0.25
-0.30
-0.40
-0.50
-0.60
-0.70
-0.75
-0.80
-0.90
-1.00
k =1, k w=0.5
k =0.5, k w=1
k =0.5, k w=0.5
Tabla 3.17 Valores de C1 para vigas con distribución lineal de momentos (Diferencias Finitas).
IPE500
HEB500
IPE500
HEB500
IPE500
HEB500
IPE500
HEB500
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
1.000
1.000
1.000
1.000
1.122
1.107
1.121
1.103
1.109
1.073
1.105
1.067
1.000
1.000
1.000
1.000
1.052
1.052
1.052
1.052
1.181
1.164
1.180
1.161
1.167
1.129
1.163
1.123
1.050
1.050
1.050
1.050
1.110
1.109
1.110
1.109
1.246
1.228
1.244
1.224
1.230
1.190
1.226
1.184
1.107
1.107
1.106
1.108
1.141
1.140
1.140
1.140
1.281
1.262
1.279
1.258
1.264
1.223
1.260
1.216
1.138
1.138
1.138
1.138
1.173
1.172
1.173
1.172
1.317
1.298
1.315
1.294
1.299
1.257
1.295
1.250
1.170
1.170
1.170
1.170
1.242
1.240
1.242
1.240
1.396
1.375
1.394
1.371
1.375
1.331
1.371
1.323
1.240
1.239
1.240
1.239
1.319
1.315
1.318
1.315
1.484
1.460
1.482
1.455
1.458
1.411
1.454
1.403
1.316
1.315
1.316
1.315
1.403
1.398
1.402
1.397
1.581
1.554
1.578
1.549
1.549
1.499
1.544
1.490
1.401
1.398
1.401
1.398
1.496
1.487
1.495
1.486
1.689
1.658
1.686
1.652
1.648
1.594
1.642
1.584
1.494
1.490
1.494
1.489
1.546
1.535
1.544
1.534
1.748
1.715
1.745
1.708
1.700
1.644
1.695
1.634
1.544
1.539
1.544
1.538
1.598
1.585
1.596
1.583
1.809
1.773
1.806
1.766
1.755
1.697
1.749
1.686
1.597
1.590
1.596
1.589
1.710
1.690
1.707
1.687
1.944
1.900
1.940
1.891
1.869
1.806
1.863
1.796
1.709
1.699
1.708
1.697
1.831
1.803
1.828
1.799
2.092
2.039
2.088
2.029
1.989
1.922
1.982
1.910
1.831
1.816
1.830
1.813
1.962
1.923
1.957
1.918
2.257
2.191
2.251
2.178
2.112
2.042
2.105
2.029
1.962
1.940
1.960
1.936
2.101
2.050
2.095
2.043
2.437
2.355
2.429
2.339
2.235
2.161
2.228
2.148
2.100
2.069
2.097
2.063
2.173
2.114
2.166
2.107
2.533
2.441
2.524
2.424
2.294
2.219
2.287
2.206
2.170
2.135
2.167
2.128
2.246
2.180
2.238
2.172
2.632
2.530
2.622
2.511
2.351
2.275
2.343
2.262
2.241
2.200
2.237
2.192
2.393
2.312
2.383
2.302
2.840
2.715
2.828
2.691
2.452
2.378
2.444
2.365
2.378
2.326
2.374
2.316
2.536
2.443
2.524
2.430
3.056
2.905
3.041
2.877
2.529
2.461
2.522
2.448
2.504
2.440
2.498
2.428
2.666
2.565
2.654
2.551
3.272
3.095
3.255
3.062
2.573
2.515
2.567
2.504
2.606
2.533
2.599
2.519
2.769
2.670
2.757
2.655
3.474
3.273
3.455
3.235
2.577
2.532
2.573
2.523
2.669
2.590
2.662
2.575
2.804
2.710
2.793
2.697
3.561
3.351
3.541
3.311
2.563
2.524
2.560
2.517
2.682
2.602
2.674
2.586
2.824
2.739
2.815
2.726
3.633
3.417
3.612
3.376
2.539
2.506
2.536
2.499
2.680
2.600
2.672
2.585
2.809
2.745
2.802
2.734
3.696
3.481
3.676
3.438
2.462
2.438
2.460
2.433
2.631
2.553
2.624
2.538
2.711
2.659
2.706
2.650
3.602
3.396
3.583
3.356
2.356
2.335
2.354
2.330
2.527
2.453
2.521
2.438
Resultados por Diferencias Finitas
k =1, k w=1
3.4 Resultados numéricos obtenidos 103
104 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
4.0
k =1
k w = 0.5
k = 0.5
k w = 0.5
3.5
Suryoatmono y Ho
k = 0.5
kw = 1
3.0
EC3 (k =1)
2.5
EC3 (k =0.5)
2.0
k =1
kw = 1
1.5
AISC LRFD (1994)
1.0
0.5
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Coeficiente ψ (Fig. 3.1)
Figura 3.10 Resultados para vigas con distribución lineal de momentos
(Tabla 3.17).
En la Tabla 3.18 se presentan los resultados numéricos de la integración
por Diferencias Finitas, para la distribución de momentos originada por una
carga uniformemente distribuida con momentos iguales en cada extremo de la
viga. La comparación de estos valores es mostrada en la Figura 3.11, en donde
se puede apreciar que los valores del AISC LRFD (1994) son no conservadores
para k=0.5 y β<1.3, y son muy conservadores para k=1 y β >1.1. Una similar
conclusión se llega para la distribución de momentos originada por una carga
uniformemente distribuida con un momento aplicado en un extremo en la viga.
Estos resultados son mostrados en la Tabla 3.19 y en la Figura 3.12. Para el caso
k= kw=1, los resultados de las Tabla 3.18 y Tabla 3.19 coinciden bastante bien con
los valores obtenidos por Suryoatmono y Ho (2002).
β
0.00
0.50
0.75
0.90
1.00
1.05
1.20
1.35
1.50
2.00
75.00
β
0.00
0.50
0.75
0.90
1.00
1.05
1.20
1.35
1.50
2.00
75.00
k =1, k w=0.5
k =0.5, k w=1
k =0.5, k w=0.5
k =1, k w=0.5
k =0.5, k w=1
k =0.5, k w=0.5
Tabla 3.19 Valores de C1 para vigas con carga uniformemente distribuida y un momento aplicado en un extremo
(Diferencias Finitas).
IPE500
HEB500
IPE500
HEB500
IPE500
HEB500
IPE500
HEB500
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
1.131
1.130
1.131
1.129
1.223
1.212
1.222
1.209
0.990
0.976
0.989
0.973
0.967
0.966
0.967
0.966
1.182
1.179
1.182
1.178
1.271
1.259
1.270
1.256
0.960
0.950
0.959
0.948
0.965
0.963
0.965
0.962
1.390
1.383
1.389
1.382
1.496
1.480
1.494
1.476
1.071
1.061
1.070
1.059
1.102
1.096
1.101
1.095
1.873
1.861
1.872
1.860
2.027
2.002
2.024
1.996
1.391
1.380
1.390
1.378
1.457
1.446
1.456
1.444
2.252
2.238
2.251
2.236
2.453
2.419
2.450
2.412
1.628
1.617
1.627
1.614
1.730
1.714
1.729
1.711
2.459
2.443
2.457
2.441
2.691
2.651
2.687
2.643
1.754
1.742
1.753
1.739
1.878
1.859
1.876
1.855
3.142
3.124
3.140
3.121
3.519
3.456
3.513
3.442
2.157
2.142
2.156
2.139
2.369
2.336
2.366
2.329
3.854
3.829
3.851
3.825
4.517
4.412
4.508
4.390
2.586
2.562
2.583
2.558
2.919
2.863
2.915
2.851
4.405
4.312
4.396
4.295
5.563
5.361
5.546
5.316
3.011
2.970
3.007
2.962
3.485
3.390
3.477
3.370
4.276
3.986
4.240
3.946
5.703
5.206
5.653
5.116
3.936
3.757
3.915
3.729
4.427
4.178
4.403
4.130
1.867
1.837
1.863
1.833
2.137
2.082
2.132
2.070
2.036
1.967
2.029
1.955
1.874
1.857
1.872
1.854
Resultados por Diferencias Finitas
k =1, k w=1
Tabla 3.18 Valores de C1 para vigas con carga uniformemente distribuida y momentos iguales en sus extremos
(Diferencias Finitas).
IPE500
HEB500
IPE500
HEB500
IPE500
HEB500
IPE500
HEB500
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
1.131
1.130
1.131
1.129
1.223
1.212
1.222
1.209
0.990
0.976
0.989
0.973
0.967
0.966
0.967
0.966
1.192
1.189
1.192
1.188
1.272
1.262
1.271
1.260
0.929
0.920
0.928
0.919
0.946
0.943
0.946
0.943
1.244
1.240
1.243
1.239
1.317
1.308
1.316
1.306
0.869
0.864
0.868
0.863
0.922
0.917
0.921
0.915
1.924
1.916
1.923
1.915
2.036
2.023
2.035
2.020
1.217
1.213
1.217
1.213
1.342
1.330
1.342
1.328
2.605
2.596
2.604
2.595
2.782
2.764
2.780
2.759
1.516
1.512
1.516
1.511
1.733
1.711
1.731
1.705
3.042
3.035
3.042
3.033
3.287
3.264
3.285
3.259
1.691
1.686
1.691
1.685
1.975
1.945
1.972
1.937
4.685
4.648
4.682
4.640
5.702
5.600
5.694
5.575
2.344
2.324
2.342
2.320
2.981
2.892
2.974
2.872
5.431
5.181
5.405
5.138
8.321
7.568
8.252
7.419
3.210
3.117
3.200
3.100
4.539
4.248
4.513
4.189
4.703
4.498
4.682
4.464
7.066
6.402
7.002
6.275
4.188
3.901
4.157
3.853
6.130
5.468
6.066
5.344
2.703
2.680
2.701
2.676
3.382
3.266
3.372
3.241
4.758
4.505
4.744
4.375
3.899
3.857
3.896
3.846
1.018
1.018
1.018
1.018
1.143
1.127
1.142
1.123
1.133
1.097
1.130
1.090
1.018
1.019
1.018
1.019
Resultados por Diferencias Finitas
k =1, k w=1
3.4 Resultados numéricos obtenidos 105
106 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
9.0
k = 0.5
k w = 0.5
8.0
7.0
k =1
k w = 0.5
k = 0.5
kw = 1
6.0
Suryoatmono y Ho
5.0
k =1
kw = 1
4.0
3.0
2.0
AISC LRFD (1994)
1.0
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Coeficiente β (Fig. 3.3)
Figura 3.11 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (Tabla 3.18).
6.0
k =1
k w = 0.5
k = 0.5
k w = 0.5
5.0
k =1
kw = 1
k = 0.5
kw = 1
4.0
3.0
Suryoatmono y Ho
2.0
AISC LRFD (1994)
1.0
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Coeficiente β (Fig. 3.3)
Figura 3.12 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
un momento aplicado en uno extremo (Tabla 3.19).
3.4 Resultados numéricos obtenidos 107
En la Tabla 3.20 y en la Figura 3.13 se muestran los resultados de C1 para la
distribución de momentos originada por una carga concentrada actuando en la
mitad de la luz con momentos iguales en los extremos de la viga. El
comportamiento es similar a los casos previos en donde la AISC LRFD (1994)
puede dar valores conservadores o no conservadores dependiendo de las
restricciones a la flexión lateral y de la relación M/M0. La Tabla 3.21 y la Figura
3.14 muestran los resultados para la distribución de momentos originada por
una carga concentrada aplicada en la mitad de la luz con un momento aplicado
en un extremo de la viga, en donde el AISC LRFD (1994) da, en la mayoría de
los casos, valores de C1 no conservadores cuando la flexión lateral es impedida.
2.00
1.00
0.50
0.00
-0.50
-0.60
-0.70
-1.00
-1.50
-2.00
M/M 0
2.00
1.00
0.50
0.00
-0.50
-0.60
-0.70
-1.00
-1.50
-2.00
M/M 0
k =1, k w=0.5
k =0.5, k w=1
k =0.5, k w=0.5
k =1, k w=0.5
k =0.5, k w=1
k =0.5, k w=0.5
Tabla 3.21 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y un momento aplicado en un
extremo (Diferencias Finitas).
IPE500
HEB500
IPE500
HEB500
IPE500
HEB500
IPE500
HEB500
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
1.131
1.126
1.130
1.125
1.244
1.228
1.243
1.224
1.078
1.052
1.076
1.048
1.015
1.013
1.015
1.012
1.210
1.206
1.209
1.205
1.313
1.299
1.312
1.296
1.088
1.065
1.086
1.061
1.037
1.036
1.037
1.036
1.272
1.269
1.271
1.268
1.366
1.355
1.365
1.352
1.089
1.068
1.087
1.065
1.050
1.049
1.050
1.049
1.359
1.355
1.359
1.354
1.442
1.432
1.441
1.430
1.078
1.061
1.076
1.058
1.061
1.059
1.061
1.058
1.471
1.463
1.471
1.462
1.546
1.536
1.546
1.534
1.031
1.020
1.030
1.019
1.055
1.050
1.055
1.049
1.492
1.483
1.491
1.482
1.570
1.559
1.569
1.556
1.013
1.003
1.012
1.002
1.048
1.042
1.048
1.041
1.623
1.614
1.622
1.612
1.714
1.701
1.713
1.699
1.066
1.057
1.065
1.055
1.117
1.110
1.117
1.108
2.919
2.910
2.918
2.908
3.240
3.203
3.237
3.194
1.754
1.741
1.753
1.739
1.931
1.905
1.929
1.900
3.901
3.651
3.870
3.617
5.147
4.729
5.106
4.651
2.919
2.829
2.908
2.816
3.373
3.220
3.359
3.190
3.433
3.212
3.405
3.183
4.392
4.043
4.357
3.981
3.403
3.195
3.377
3.166
3.629
3.406
3.607
3.366
Resultados por Diferencias Finitas
k =1, k w=1
Tabla 3.20 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad de su longitud y momentos iguales en sus
extremos (Diferencias Finitas).
IPE500
HEB500
IPE500
HEB500
IPE500
HEB500
IPE500
HEB500
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
L=8
L=16
1.106
1.106
1.106
1.106
1.219
1.205
1.218
1.202
1.112
1.082
1.109
1.077
1.026
1.026
1.026
1.026
1.165
1.164
1.165
1.164
1.271
1.258
1.270
1.256
1.108
1.082
1.106
1.077
1.038
1.037
1.038
1.037
1.227
1.225
1.227
1.225
1.326
1.314
1.325
1.312
1.101
1.078
1.099
1.074
1.048
1.047
1.047
1.047
1.359
1.355
1.393
1.354
1.442
1.432
1.441
1.430
1.078
1.061
1.076
1.058
1.061
1.059
1.061
1.058
1.713
1.702
1.712
1.700
1.794
1.784
1.793
1.781
0.950
0.946
0.950
0.945
1.044
1.033
1.043
1.031
2.591
2.583
2.590
2.581
2.854
2.828
2.852
2.821
1.310
1.306
1.310
1.305
1.508
1.484
1.506
1.478
3.354
3.316
3.350
3.308
4.248
4.119
4.237
4.090
1.752
1.743
1.751
1.742
2.129
2.074
2.125
2.062
2.711
2.659
2.706
2.650
3.602
3.396
3.583
3.356
3.085
2.966
3.073
2.944
3.590
3.406
3.574
3.367
1.815
1.807
1.814
1.806
2.189
2.127
2.184
2.114
2.667
2.577
2.660
2.556
2.325
2.312
2.324
2.309
1.521
1.518
1.521
1.518
1.783
1.743
1.779
1.735
2.056
1.974
2.048
1.958
1.780
1.777
1.779
1.777
Resultados por Diferencias Finitas
k =1, k w=1
108 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
3.4 Resultados numéricos obtenidos 109
4.5
k =1
k w = 0.5
k = 0.5
k w = 0.5
4.0
Greiner et al
3.5
k = 0.5
kw = 1
k3.0
=1
kw = 1
2.5
2.0
1.5
1.0
AISC LRFD (1994)
0.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Parámetro M/M 0 (Tabla 3.8)
Figura 3.13 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (Tabla 3.20).
5.5
k = 0.5
k w = 0.5
5.0
k =1
k w = 0.5
4.5
Greiner et al
k =1
kw = 1
k = 0.5
kw = 1
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
AISC LRFD (1994)
1.0
0.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Parámetro M/M 0 (Tabla 3.8)
Figura 3.14 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento aplicado en un extremo (Tabla 3.21).
110 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
Con los valores de C1 que se obtienen usando Diferencias Finitas, se sacan
las siguientes conclusiones: primero, la restricción a la flexión lateral, por lo
general, conduce a valores menores de C1; segundo, la restricción al alabeo
aumenta significativamente, en la mayoría de los casos, el valor de C1 cuando la
flexión lateral es libre (k=1), pero sucede todo lo contrario cuando la flexión
lateral es impedida (k=0.5); y por último, el AISC LRFD (1994) brinda en
algunos casos, valores no conservadores de C1.
Hasta ahora en este apartado, sólo se han presentado los resultados
numéricos para los casos con iguales condiciones de enlace en ambos extremos
del elemento. Sin embargo, en la práctica, pueden presentarse situaciones en
donde se tienen distintas condiciones de enlace en un extremo del elemento que
en el otro extremo, tal como puede ser el caso de un elemento estructural en
donde a uno de sus extremos se le restringe la flexión lateral y el alabeo
mientras que al otro extremo, no. Para estas situaciones, no existen valores de
C1 disponibles en las normas de diseño ni en las fuentes bibliográficas; por lo
cual, como ayuda para el calculista, se presentan en esta tesis algunos
resultados numéricos que han sido conseguidos usando la técnica de
integración por Diferencias Finitas. Estos resultados corresponden al perfil IPE
500, y son recogidos desde la Tabla 3.22 hasta la Tabla 3.26 para los cincos casos
de cargado indicados en la Tabla 3.11.
3.4 Resultados numéricos obtenidos 111
ψ
1.00
0.90
0.80
0.75
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.25
0.20
0.10
0.00
-0.10
-0.20
-0.25
-0.30
-0.40
-0.50
-0.60
-0.70
-0.75
-0.80
-0.90
-1.00
Diferencias Finitas (Perfil IPE 500)
k=k w =1 (apoyo izquierdo)
k =k w =0.5 (apoyo derecho)
k=k w =0.5 (apoyo izquierdo)
k =k w =1 (apoyo derecho)
L=8 m
L=8 m
L=16 m
1.018
1.055
1.093
1.113
1.134
1.177
1.223
1.271
1.322
1.349
1.376
1.433
1.493
1.555
1.620
1.654
1.687
1.756
1.826
1.896
1.964
1.997
2.028
2.088
2.139
1.014
1.051
1.089
1.109
1.129
1.172
1.217
1.264
1.315
1.341
1.367
1.422
1.480
1.540
1.602
1.634
1.666
1.731
1.797
1.862
1.926
1.957
1.986
2.042
2.089
L=16 m
1.018
1.089
1.170
1.215
1.263
1.371
1.496
1.643
1.817
1.915
2.021
2.261
2.537
2.841
3.155
3.303
3.437
3.628
3.653
3.470
3.135
2.948
2.763
2.425
2.139
1.014
1.085
1.166
1.210
1.258
1.365
1.488
1.632
1.801
1.895
1.997
2.223
2.477
2.750
3.024
3.153
3.270
3.443
3.486
3.344
3.044
2.868
2.692
2.366
2.089
Tabla 3.22 Valores de C1 para vigas con distribución lineal momentos
con diferentes condiciones de enlaces en los apoyos (caso 1).
112 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
Diferencias Finitas (Perfil IPE 500)
k=k w =1 (en un apoyo)
k =k w =0.5 (en el otro apoyo)
β
L=8 m
0.00
0.50
0.75
0.90
1.00
1.05
1.20
1.35
1.50
1.60
1.80
2.00
75.00
L=16 m
1.125
1.157
1.171
1.750
2.290
2.685
3.755
4.301
3.958
3.622
3.043
2.812
1.036
1.116
1.143
1.153
1.718
2.246
2.567
3.677
4.117
3.762
3.461
2.946
2.572
1.033
Tabla 3.23 Valores de C1 para vigas con carga uniformemente
distribuida y momentos iguales en sus extremos (caso 2).
β
0.00
0.50
0.75
0.90
1.00
1.05
1.20
1.35
1.50
1.60
1.80
2.00
75.00
Diferencias Finitas (Perfil IPE 500)
k=k w =1 (apoyo izquierdo)
k =k w =0.5 (apoyo derecho)
k=k w =0.5 (apoyo izquierdo)
k =k w =1 (apoyo derecho)
L=8 m
L=8 m
L=16 m
1.125
1.078
1.202
1.567
1.844
1.994
2.493
3.075
3.739
4.219
5.200
6.011
2.609
1.116
1.070
1.192
1.552
1.825
1.972
2.461
3.023
3.653
4.097
4.956
5.588
2.545
L=16 m
1.125
1.247
1.501
2.026
2.406
2.596
3.091
3.346
3.355
3.285
3.090
2.897
1.516
1.116
1.228
1.471
1.984
2.358
2.546
3.037
3.273
3.257
3.180
2.987
2.805
1.503
Tabla 3.24 Valores de C1 para vigas con carga uniformemente
distribuida y un momento aplicado en un extremo (caso 3).
3.4 Resultados numéricos obtenidos 113
Diferencias Finitas (Perfil IPE 500)
k=k w =1 (en un apoyo)
k =k w =0.5 (en el otro apoyo)
M/M 0
L=8 m
2.00
1.00
0.50
0.00
-0.50
-0.60
-0.70
-1.00
-1.25
-1.50
-1.75
-2.00
L=16 m
1.119
1.171
1.222
1.317
1.447
2.074
2.650
2.464
2.054
1.802
1.643
1.536
1.114
1.164
1.213
1.300
1.414
2.032
2.604
2.388
2.012
1.777
1.626
1.523
Tabla 3.25 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad
de su longitud y momentos iguales en sus extremos (caso 4).
M/M 0
2.00
1.00
0.50
0.00
-0.50
-0.60
-0.70
-1.00
-1.25
-1.50
-1.75
-2.00
Diferencias Finitas (Perfil IPE 500)
k=k w =1 (apoyo izquierdo)
k =k w =0.5 (apoyo derecho)
k=k w =0.5 (apoyo izquierdo)
k =k w =1 (apoyo derecho)
L=8 m
L=8 m
L=16 m
1.316
1.322
1.322
1.317
1.293
1.283
1.367
2.393
3.538
4.789
5.667
5.963
1.296
1.303
1.305
1.300
1.274
1.263
1.344
2.334
3.392
4.437
5.064
5.241
L=16 m
1.000
1.106
1.193
1.317
1.449
1.459
1.564
2.460
2.712
2.633
2.493
2.364
0.996
1.100
1.184
1.300
1.419
1.429
1.533
2.430
2.650
2.556
2.419
2.298
Tabla 3.26 Valores de C1 para vigas con carga puntual en la mitad
de su longitud y un momento aplicado en un extremo (caso 5).
Todos los valores de C1 obtenidos por medio de la integración por
Diferencias Finitas, pueden ser también obtenidos de manera indirecta usando
el programa PANLAT, el cual calcula el momento crítico elástico al integrar las
ecuaciones diferenciales (3.20) y (3.21). La descripción del programa PANLAT
se encuentra en el Apéndice C.
114 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
3.5
FORMULACIÓN PROPUESTA PARA EL FACTOR
DE MOMENTO UNIFORME EQUIVALENTE
El uso de una formulación general y simplificada para determinar el factor de
momento uniforme equivalente, C1, como la que propone el AISC LRFD (1994)
[expresión (3.6)] y el BS 5950-1 (2000) [expresión (3.7)], tiene dos grandes
ventajas. Primero, el calculista puede obtener el valor de C1 para cualquier
distribución de momentos sin necesidad de interpolar; y segundo, los
programas de análisis estructural pueden directamente incorporar la
formulación en sus rutinas de cálculo.
Las fórmulas propuestas por el AISC LRFD (1994) y el BS 5950-1 (2000),
definidas en las expresiones (3.6) y (3.7), tienen una buena aproximación en la
mayoría de los casos analizados. Sin embargo, estas fórmulas dan valores muy
conservadores en vigas bi-articuladas para algunas distribuciones de momentos
flectores (Figura 3.6 y Figura 3.7); y valores no conservadores para los casos con
flexión lateral y alabeo impedidos (Figura 3.11 y Figura 3.12). Por consiguiente,
en este apartado se propone una nueva formulación general cuyos resultados
tengan una mejor aproximación a los resultados obtenidos. Esta formulación
toma en cuenta la distribución de momentos, y puede ser empleada en
situaciones en donde la flexión lateral y el alabeo son impedidos en los apoyos
extremos del elemento. La expresión de esta formulación es la siguiente:
 (1 − k )

(1 − k ) A
k A1 + 
A2  +
2
2
 2

2
C1 =
(3.23)
A1
con
k = k1 k2
(3.24)
Los coeficientes k1 y k2 están relacionados con el grado de restricción a la
flexión lateral y al alabeo; y los subíndices 1 y 2 hacen referencia a los apoyos
extremos de la viga del lado izquierdo y del lado derecho respectivamente. Así,
cuando los apoyos extremos de la viga no están impedidos a la flexión lateral ni
al alabeo, los coeficientes k1 y k2 serán iguales a 1; e iguales a 0.5, cuando la
flexión lateral y el alabeo están impedidos. Con respecto a los coeficientes A1 y
A2 se plantean dos aproximaciones para determinar sus valores en función del
diagrama de momentos y del grado de restricción a la flexión lateral y al alabeo
en los apoyos extremos. La primera aproximación fue publicada en el Journal of
Constructional Steel Research (Serna et al. 2006) y da buenos resultados de C1 en
la mayoría de los casos. Sin embargo, esta aproximación tiene ciertas
limitaciones y presenta una indeterminación y falta de convergencia en algunos
3.5 Formulación propuesta para el factor de momento uniforme equivalente 115
casos concretos. La segunda aproximación subsana las deficiencias de la
primera aproximación y puede ser aplicada para cualquier distribución de
momentos y para los casos más habituales de condiciones de enlace del
elemento. Esta segunda aproximación fue publicada en el International
Colloquium on Stability and Ductility of Steel Structures (López et al. 2006).
3.5.1 Primera aproximación para los coeficientes A1 y A2
En esta primera aproximación se proponen las siguientes expresiones para
determinar los coeficientes A1 y A2 indicados en la expresión (3.23) (Serna et al.
2006):
A1 =
A2 =
2
M max
+ 9 kM 22 + 16 M 32 + 9 kM 42
(3.25)
2
[1 + 9 k + 16 + 9 k ]M max
M max + 4 M 1 + 8 M 2 + 12 M 3 + 8 M 4 + 4 M 5
(3.26)
37 M max
donde Mmax es el valor del momento flector máximo; y M1, M2, M3, M4 y M5 son
los valores de los momentos flectores en las diferentes secciones que se indican
en la Figura 3.15. Todos los valores de los momentos flectores deben llevar sus
correspondientes signos.
L/4
L/4
L/4
L/4
Mmax=M5
L/4
M1
M2
L/4
L/4
M4
M3
M4
M5
M1
Mmax
M2
M3
L/4
Figura 3.15 Valores de momentos usados en las Ecuaciones (3.25) y
(3.26).
Para las vigas en donde sus apoyos extremos no están impedidos la flexión
lateral ni al alabeo (k1=k2=1), la expresión (3.23) se simplificaría a:
C1 =
3.5.1.1
2
35 M max
2
M max
+ 9 M 22 + 16 M 32 + 9 M 42
(3.27)
Resultados obtenidos usando la primera aproximación
En la Figura 3.16 hasta la Figura 3.20 se presentan los valores de C1 de la
primera aproximación para la flexión lateral y el alabeo libres en ambos apoyos
116 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
extremos de la viga (k1=k2=1). Estos valores son comparados con los resultados
numéricos conseguidos por diversos investigadores y con los propuestos por
las normas de diseño. De igual forma, los valores de C1 para la flexión lateral y
el alabeo impedidos en ambos apoyos extremos de la viga (k1=k2=0.5) son
presentados y comparados en la Figura 3.21 hasta la Figura 3.25. De la
comparación, se observa que esta primera aproximación brinda mejores
resultados que las formulaciones dadas por el AISC LRFD (1994) y BS 5950-1
(2000).
3.0
Propuesta (1º aprox.)
AISC LRFD (1994)
EC3 (1992)
Diferencias Finitas (IPE 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (IPE 500, L=16 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=16 m)
2.5
2.0
1.5
1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Coeficiente ψ (Fig. 3.1)
Figura 3.16 Resultados para la distribución lineal de momentos (k=1).
Ecuación (3.27).
3.5 Formulación propuesta para el factor de momento uniforme equivalente 117
6.0
Propuesta (1º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (IPE 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (IPE 500, L=16 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=16 m)
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Coeficiente β (Fig. 3.3)
Figura 3.17 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (k=1). Ecuación (3.27).
5.0
Propuesta (1º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (IPE 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (IPE 500, L=16 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=16 m)
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Coeficiente β (Fig. 3.3)
Figura 3.18 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
un momento aplicado en un extremo (k=1). Ecuación (3.27).
118 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
3.5
Propuesta (1º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (IPE 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (IPE 500, L=16 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=16 m)
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Parámetro M/M 0 (Tabla 3.8)
Figura 3.19 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (k=1). Ecuación (3.27).
5.0
Propuesta (1º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (IPE 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (IPE 500, L=16 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=16 m)
4.0
3.0
2.0
1.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Parámetro M/M 0 (Tabla 3.8)
Figura 3.20 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento aplicado en un extremo (k=1). Ecuación (3.27).
3.5 Formulación propuesta para el factor de momento uniforme equivalente 119
3.5
Propuesta (1º aprox.)
AISC LRFD (1994)
EC3 (1992)
Diferencias Finitas (IPE 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (IPE 500, L=16 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=16 m)
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Coeficiente ψ (Fig. 3.1)
Figura 3.21 Resultados para la distribución lineal de momentos (k=0.5).
Ecuación (3.23).
7.0
Propuesta (1º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (IPE 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (IPE 500, L=16 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=16 m)
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Coeficiente β (Fig. 3.3)
Figura 3.22 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (k=0.5). Ecuación (3.23).
120 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
5.0
Propuesta (1º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (IPE 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (IPE 500, L=16 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=16 m)
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Coeficiente β (Fig. 3.3)
Figura 3.23 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
un momento aplicado en un extremo (k=0.5). Ecuación (3.23).
4.0
Propuesta (1º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (IPE 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (IPE 500, L=16 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=16 m)
3.0
2.0
1.0
0.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Parámetro M/M 0 (Tabla 3.8)
Figura 3.24 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (k=0.5). Ecuación (3.23).
3.5 Formulación propuesta para el factor de momento uniforme equivalente 121
4.0
Propuesta (1º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (IPE 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (IPE 500, L=16 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=8 m)
Diferencias Finitas (HEB 500, L=16 m)
3.0
2.0
1.0
0.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Parámetro M/M 0 (Tabla 3.8)
Figura 3.25 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento aplicado en un extremo (k=0.5). Ecuación (3.23).
3.5.1.2
Limitaciones de la primera aproximación
Tal como se pudo apreciar en el apartado anterior, la primera aproximación
proporciona buenos resultados cuando ambos apoyos del elemento estructural
tienen la flexión lateral y el alabeo ambos libres (k1=k2=1) y ambos impedidos
(k1=k2=0.5). Sin embargo cuando existen diferencias en las condiciones de enlace
entre ambos apoyos de la viga, la primera aproximación no se ajusta bien a los
resultados numéricos de la integración por Diferencias Finitas. Además, se han
detectado, en algunos casos concretos, incoherencia y falta de convergencia
para obtener el valor de C1.
En la Figura 3.26 se muestran un par de casos de incoherencia en el cálculo
del coeficiente A2 de la expresión (3.26) puesto que se obtendrían dos valores
diferentes si se consideran, independientemente, el signo positivo y el signo
negativo del momento flector máximo. Una solución a este inconveniente sería
escoger el menor de los dos valores de A2 puesto que éste conlleva a una
situación más conservadora en el cálculo del momento crítico elástico. Es
preciso indicar que para los casos presentados en la Figura 3.26 no existen
diferencias significativas en el valor de C1 si el coeficiente A2 es calculado ya sea
considerando el signo positivo o el signo negativo del momento flector máximo.
122 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
Figura 3.26 Diagramas de momentos que originan incoherencia en el
cálculo del factor C1 (primera aproximación propuesta).
En la Figura 3.27 se muestra un caso de falta de convergencia en el cálculo
del factor C1. Los diagramas de momentos flectores indicados en esta figura son
prácticamente idénticos, sin embargo los factores C1 no convergen a un mismo
valor. Este problema se debe al signo del momento flector máximo que cambia
de un diagrama de momentos a otro, produciendo divergencia entre los valores
del coeficiente A2. Para el primer diagrama de momentos, el momento flector
máximo es –M y se obtiene un valor de A2=0.784; mientras que para el segundo
diagrama, el momento flector máximo es 1.001 M y se obtiene un valor de
A2=0.729. Esta falta de convergencia sólo se da en elementos cuyos apoyos están
impedidos a la flexión lateral y al alabeo (k1=k2=0.5).
Figura 3.27 Ilustración sobre la falta de convergencia en el cálculo del factor
C1 (primera aproximación propuesta).
3.5.2 Segunda aproximación para los coeficientes A1 y A2
En este apartado se propone una formulación general que se aplica a cualquier
diagrama de momentos y a las condiciones de enlaces más habituales, en donde
se tienen las mismas restricciones a la flexión lateral y al alabeo en cada apoyo.
De esta manera, los elementos estructurales con apoyos extremos iguales
(k1=k2=1 y k1=k2=0.5) o con apoyos extremos diferentes (k1=1 y k2=0.5; y k1=0.5 y
k2=1) son abarcados en esta aproximación. Las expresiones que se plantean para
determinar los coeficientes A1 y A2, indicados en la expresión (3.23), son las
siguientes (López et al. 2006):
A1 =
2
M max
+ α 1 M 12 + α 2 M 22 + α 3 M 32 + α 4 M 42 + α 5 M 52
2
(1 + α 1 + α 2 + α 3 + α 4 + α 5 )M max
(3.28)
3.5 Formulación propuesta para el factor de momento uniforme equivalente 123
A2 =
M 1 + 2 M 2 + 3M 3 + 2 M 4 + M 5
(3.29)
9 M max
con
(
)
α 1 = 1 − k2 ; α 2 = 5
 1
1
; α 3 = 5
+

k 22
 k1 k 2
k 13
3

; α = 5 k2 ; α = 1 − k
4
5
1

k 12

(
)
(3.30)
donde Mmax, M1, M2, M3, M4 y M5 son los valores de los momentos flectores
indicados en la Figura 3.15, todos ellos con sus respectivos signos. Cabe
mencionar que el signo del momento flector máximo no afecta al cálculo de los
coeficientes A1 y A2, por lo cual no tendrían lugar casos de incoherencia en el
cálculo del factor C1. Además con esta aproximación se consigue una buena
convergencia cuando se tienen diagramas idénticos de momentos flectores. Para
el primer diagrama de momentos flectores de la Figura 3.27 se obtiene un valor
de C1 igual a 0.9625; mientras que para el segundo diagrama, C1 es igual a
0.9634.
Para las vigas en donde sus apoyos extremos no están impedidos la flexión
lateral ni al alabeo (k1=k2=1), la expresión (3.23) se simplificaría a:
C1 =
3.5.2.1
2
21 M max
2
M max
+ 5 M 22 + 10 M 32 + 5 M 42
(3.31)
Resultados obtenidos usando la segunda aproximación
En la Figura 3.28 hasta la Figura 3.47 se comparan, para los 5 casos de carga
presentados en la Tabla 3.11, los valores de C1 de la segunda aproximación con
los valores obtenidos usando Diferencias Finitas y los valores propuestos por el
AISC LRFD (1994) y el BS 5950-1 (2000).
Los valores de C1 para vigas cuyas condiciones de enlace son iguales en
ambos apoyos (k1=k2=1 y k1=k2=0.5), son mostrados en la Figura 3.28 hasta la
Figura 3.37. En estas figuras se aprecian que los resultados de la segunda
aproximación se ajustan bastante bien a los resultados numéricos de la
integración por Diferencias Finitas. Cabe indicar que para la flexión lateral y el
alabeo libres en ambos apoyos de la viga (k1=k2=1), la segunda aproximación es
ligeramente más conservadora que la primera aproximación; pero pese a esto,
la segunda aproximación sigue aún brindando mejores resultados que las
formulaciones dadas por el AISC LRFD (1994) y BS 5950-1 (2000).
En la Figura 3.38 hasta la Figura 3.47 se muestran los valores de C1 para las
vigas cuyas condiciones de enlace de uno de sus apoyos son opuestas a las del
124 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
otro apoyo (k1=1 y k2=0.5; y, k1=0.5 y k2=1). De estas figuras, se puede apreciar
que la segunda aproximación capta bastante bien los valores de C1 obtenidos
usando Diferencias Finitas, aunque en ciertas situaciones de cargado puede
brindar resultados ligeramente no conservadores (Figura 3.43 y Figura 3.45).
Este problema puede ser corregido al afinar más las expresiones (3.29) y (3.30),
pero se optó por mantener las mismas expresiones porque en general brindan
buenos resultados; además, no se ha pretendido complicar más las
formulaciones de esta aproximación. Por otra parte, los valores de C1 dados por
el AISC LRFD (1994) y el BS 5950-1 (2000), no se ajustan a los resultados
numéricos de la integración por Diferencias Finitas, y suelen presentarse como
muy conservadores en la mayoría de los casos y no conservadores en otros.
3.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
2.5
2.0
1.5
1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Coeficiente ψ
Figura 3.28 Resultados para la distribución lineal de momentos
(k1=k2=1). Ecuación (3.31).
1.0
3.5 Formulación propuesta para el factor de momento uniforme equivalente 125
6.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Coeficiente β
Figura 3.29 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (k1=k2=1). Ecuación (3.31).
5.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Coeficiente β
Figura 3.30 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
un momento aplicado en un extremo (k1=k2=1). Ecuación (3.31).
126 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
3.5
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Parámetro M/M 0
Figura 3.31 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (k1=k2=1). Ecuación (3.31).
4.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
3.0
2.0
1.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Parámetro M/M 0
Figura 3.32 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento aplicado en un extremo (k1=k2=1). Ecuación (3.31).
3.5 Formulación propuesta para el factor de momento uniforme equivalente 127
3.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
2.5
2.0
1.5
1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Coeficiente ψ
Figura 3.33 Resultados para la distribución lineal de momentos
(k1=k2=0.5). Ecuación (3.23).
7.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Coeficiente β
Figura 3.34 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (k1=k2=0.5). Ecuación (3.23).
128 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
5.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Coeficiente β
Figura 3.35 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
un momento aplicado en un extremo (k1=k2=0.5). Ecuación (3.23).
4.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
3.0
2.0
1.0
0.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Parámetro M/M 0
Figura 3.36 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (k1=k2=0.5). Ecuación (3.23).
3.5 Formulación propuesta para el factor de momento uniforme equivalente 129
4.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
3.0
2.0
1.0
0.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Parámetro M/M 0
Figura 3.37 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento aplicado en un extremo (k1=k2=0.5). Ecuación (3.23).
2.5
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
2.0
1.5
1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Coeficiente ψ
Figura 3.38 Resultados para la distribución lineal de momentos (k1=1 y
k2=0.5). Ecuación (3.23).
130 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
5.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Coeficiente β
Figura 3.39 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (k1=1 y k2=0.5). Ecuación (3.23).
7.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Coeficiente β
Figura 3.40 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
un momento aplicado en un extremo (k1=1 y k2=0.5). Ecuación (3.23).
3.5 Formulación propuesta para el factor de momento uniforme equivalente 131
3.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
2.5
2.0
1.5
1.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Parámetro M/M 0
Figura 3.41 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (k1=1 y k2=0.5).
Ecuación (3.23).
7.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Parámetro M/M 0
Figura 3.42 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento aplicado en un extremo (k1=1 y k2=0.5).
Ecuación (3.23).
132 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
4.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
3.0
2.0
1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Coeficiente ψ
Figura 3.43 Resultados para la distribución lineal de momentos
(k1=0.5 y k2=1). Ecuación (3.23).
5.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Coeficiente β
Figura 3.44 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
momentos iguales en sus extremos (k1=0.5 y k2=1). Ecuación (3.23).
3.5 Formulación propuesta para el factor de momento uniforme equivalente 133
4.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
3.0
2.0
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Coeficiente β
Figura 3.45 Resultados para vigas con carga uniformemente distribuida y
un momento aplicado en un extremo (k1=0.5 y k2=1). Ecuación (3.23).
3.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
2.5
2.0
1.5
1.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Parámetro M/M 0
Figura 3.46 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y momentos iguales en sus extremos (k1=0.5 y k2=1).
Ecuación (3.23).
134 Capítulo 3: Factor de momento uniforme equivalente de pandeo lateral
4.0
Propuesta (2º aprox.)
AISC LRFD (1994)
BS 5950
Diferencias Finitas (L=8 m)
Diferencias Finitas (L=16 m)
3.0
2.0
1.0
0.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Parámetro M/M 0
Figura 3.47 Resultados para vigas con carga puntual en la mitad de su
longitud y un momento aplicado en un extremo (k1=0.5 y k2=1).
Ecuación (3.23).
Capítulo
4
4 ESTUDIO
COMPARATIVO DEL
ESTADO LIMITE
ÚLTIMO ENTRE AISC
LRFD Y EC3
Con las fórmulas de diseño del AISC LRFD (1994) y del EC3 (2005), se realiza en
este capítulo un estudio comparativo de la capacidad resistente de los
elementos estructurales sometidos a compresión pura, flexión pura y flexocompresión. El propósito de este estudio es aclarar las diferencias existentes
entre las filosofías de diseño de ambas normas, así como determinar
cuantitativamente diferencias significativas en resistencia al evaluar un perfil H
(HEB 300) y un perfil I (IPE 400) con diferentes valores de esbeltez. Los casos
más frecuentes de distribuciones lineales y parabólicas de momentos son
considerados en este estudio.
4.1
ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN PURA
Las fórmulas de diseño del AISC LRFD (1994) y del EC3 (2005) que fueron
presentadas en los Apartados 2.3.1 y 2.4.4, son empleadas en este apartado para
realizar el estudio comparativo de la resistencia a compresión pura.
135
136 Capítulo 4: Estudio comparativo del estado limite último entre AISC LRFD y EC3
4.1.1 Análisis comparativo de las formulas de diseño para
compresión pura
Los parámetros comunes que intervienen en las fórmulas del EC3 (2005) y del
AISC LRFD (1994) se obtienen al igualar las expresiones (2.71) y (2.23); y, (2.71)
y (2.24):
para λ c ≤ 1.5 :
χAf y
γ M1
2
= φ c  0.658 λc  A f y


(4.1)
 0.877 
= φc  2 A f y
 λc 
(4.2)
para λ c > 1.5 :
χAf y
γ M1
De estas expresiones, se puede observar que el cociente 1/φc del AISC
LRFD (1994) y el factor de seguridad parcial γM1 del EC3 (2005) tienen el mismo
significado, puesto que ambos reducen la resistencia nominal a compresión.
Adicionalmente, es posible obtener, en función de la esbeltez, un factor de
reducción χLRFD totalmente equivalente al del EC3 (2005):
para λ ≤ 1.5 :

χ LRFD =  0.658
λ2





(4.3)
para λ > 1.5 :
 0.877 

 λ2 


χ LRFD = 
(4.4)
En estas expresiones se sustituyó la esbeltez λ c por λ porque ambas
tienen la misma definición [expresiones (2.25) y (2.64)].
4.1.2 Resultados comparativos para compresión pura
En la Figura 4.1, se muestran las cinco curvas de pandeo del EC3 (2005) y la
única curva de pandeo del AISC LRFD (1994) que es definida por las
expresiones (4.3) y (4.4). Como se puede apreciar, el EC3 (2005) no reduce la
resistencia de la sección cuando la esbeltez adimensional λ es menor o igual a
0.2. En cambio, con el AISC LRFD (1994), la no reducción de la resistencia se da
4.1 elementos sometidos a compresión pura 137
sólo cuando λ es igual a 0. Para 0.40 ≤ λ ≤ 1.00 y 1.80 ≤ λ ≤ 2.50 la curva de
pandeo del AISC LRFD se encuentra entre la curva “a” y la curva “b” del EC3;
para 1.00 ≤ λ ≤ 1.80 , ésta se encuentra entre la curva “a” y la curva “a0”; y
finalmente, cuando 2.50 ≤ λ ≤ 3.00 la curva de pandeo del AISC LRFD coincide
con la curva “b” del EC3. Las seis curvas de pandeo alcanzan un factor de
reducción aproximadamente igual a 0.10 para una esbeltez no adimensional de
3.
1.10
EC3 - curva a0
1.00
EC3 - curva a
Factor de reducción χ
0.90
EC3 - curva b
0.80
EC3 - curva c
EC3 - curva d
0.70
AISC LRFD
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
Esbeltez adimensional λ
Figura 4.1 Comparación de las curvas de pandeo en elementos
sometidos a compresión pura.
Por otro lado, la capacidad resistente a compresión no sólo depende de la
curva de pandeo sino que también depende del factor de seguridad parcial que
reduce la tensión de fluencia. El EC3 (2005) sugiere emplear un factor de
seguridad parcial γM1 igual a 1; mientras que el AISC LRFD (1994) recomienda
usar el factor φc igual a 0.85, el cual, como ya ha sido mencionado antes, cumple
la misma función que el inverso del factor γM1. La Figura 4.2 presenta las
resistencias a compresión, dadas por el EC3 (2005) y el AISC LRFD (1994), en
función de la esbeltez adimensional. Por simplificación, sólo se incluyen las
curvas “a”, “b” y “c” del EC3, las cuales son comúnmente empleadas en los
perfiles laminados con tensiones de fluencia en el acero de 235 a 420 MPa.
Como se puede apreciar en esta figura, para valores bajos de esbeltez, el EC3
(2005) da mayores resistencias que el AISC LRFD (1994); encontrándose una
diferencia máxima de 19.61% para la esbeltez adimensional de 0.2.
138 Capítulo 4: Estudio comparativo del estado limite último entre AISC LRFD y EC3
1.10
EC3 - curva a
EC3 - curva b
EC3 - curva c
AISC LRFD
1.00
0.90
0.80
Nresistente/ Npl
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
Esbeltez adimensional λ
Figura 4.2 Resistencia a compresión pura.
4.2
ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN PURA
Las fórmulas de diseño del AISC LRFD (1994) y del EC3 (2005) que fueron
descritas en los Apartados 2.3.3 y 2.4.6, son empleadas en este apartado para
realizar el estudio comparativo de la resistencia a flexión pura.
Cabe mencionar que una comparación directa entre las formulaciones de
las dos normas no es posible porque las longitudes Lp [expresión (2.32)] y Lr
[expresión (2.33)] del AISC LRFD no pueden ser expresadas en función de la
esbeltez adimensional λ LT [expresión (2.75)]. Por este motivo, para realizar el
estudio comparativo, es necesario trabajar con secciones cuyas propiedades
geométricas estén definidas.
4.2.1 Resultados comparativos para flexión pura
Para obtener los resultados comparativos de resistencia, se han escogido las
secciones IPE 400 y HEB 300, las cuales fueron analizadas variando la esbeltez
λ LT de 0 a 3. Se consideró dos tipos de diagramas de momentos: una
distribución uniforme (ψ=1) y una distribución bi-triangular (ψ=-1).
Adicionalmente, se emplearon las propiedades del acero S275 para realizar los
cálculos. Para obtener la curva de pandeo correspondiente al AISC LRFD
(1994), fue necesario realizar un procedimiento inverso, que consiste en
determinar primero el momento nominal Mn y luego el factor de reducción al
dividir Mn entre el momento plástico Mpl. En los casos con distribución bi-
4.2 elementos sometidos a flexión pura 139
triangular de momentos, se determinaron las dos curvas de pandeo del EC3
(2005) correspondientes a los factores de reducción χLT [expresión (2.79)] y
χLT,mod [expresión (2.81)].
Todos los resultados comparativos son mostrados gráficamente desde la
Figura 4.3 hasta la Figura 4.10. En cada una de estas figuras se muestra una
escala gráfica que relaciona la longitud de la viga con la esbeltez adimensional
λ LT . La curva de pandeo del EC3 que hace referencia al factor χLT,mod ha sido
denominada en las figuras como “EC3 (curva modificada)”.
Las Figura 4.3 y Figura 4.4 muestran una comparación de las curvas de
pandeo para el IPE 400 con distribución uniforme (ψ=1) y bi-triangular (ψ=-1)
de momentos. Para este perfil, el EC3 asigna la curva “b” de pandeo lateral. En
ambas figuras se pueden apreciar que los factores de reducción del EC3 son
más conservadores que los del AISC LRFD. Las diferencias más significativas se
registran para valores de λ LT menores a 1.50. Para la distribución uniforme de
momentos (Figura 4.3), la máxima diferencia encontrada es de 41.95% y se da
para λ LT = 1.2 , lugar en donde el pandeo lateral del AISC LRFD deja de tener
un comportamiento elástico-plástico a tener un comportamiento elástico. Otra
diferencia importante es que el EC3 considera que el pandeo elástico-plástico
empieza a partir de λ LT mayor a 0.2, mientras que el AISC LRFD retrasa este
valor a casi 0.5. Para la distribución bi-triangular con ψ=-1 (Figura 4.4), los
factores de reducción del EC3 siguen siendo más conservadores que los del
AISC LRFD. Para el valor de λ LT = 1 , en donde el pandeo del AISC LRFD pasa
a tener un comportamiento elástico-plástico, se registra la máxima diferencia.
Esta diferencia es de 67.50% entre el factor de reducción del AISC LRFD y el de
la curva “b” del EC3, y de 36.86% entre el factor de reducción del AISC LRFD y
el de la “curva modificada” del EC3.
140 Capítulo 4: Estudio comparativo del estado limite último entre AISC LRFD y EC3
1.10
1.00
Factor de reducción χ LT
0.90
0.80
0.70
AISC LRFD
0.60
0.50
EC3 (curva b)
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
Esbeltez adimensional λ LT
Figura 4.3 Curva de pandeo lateral para IPE 400 con distribución
uniforme de momentos.
1.10
1.00
Factor de reducción χ LT
0.90
0.80
EC3 (curva modificada)
0.70
0.60
0.50
0.40
AISC LRFD
EC3 (curva b)
0.30
0.20
0.10
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
Esbeltez adimensional λ LT
Figura 4.4 Curva de pandeo lateral para IPE 400 con distribución bitriangular de momentos.
Por otro lado, las Figura 4.5 y Figura 4.6 muestran los resultados
comparativos de los factores de reducción para el perfil HEB 300 con
distribución uniforme y bi-triangular de momentos respectivamente. En estas
4.2 elementos sometidos a flexión pura 141
figuras, se aprecia que las curvas de pandeo de este perfil siguen el mismo
comportamiento de las curvas de pandeo del perfil IPE 400, pero con una
menor diferencia entre los valores dados por ambas normas.
1.10
1.00
Factor de reducción χ LT
0.90
0.80
AISC LRFD
0.70
0.60
0.50
0.40
EC3 (curva a)
0.30
0.20
0.10
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
Esbeltez adimensional λ LT
Figura 4.5 Curva de pandeo lateral para HEB 300 con distribución
uniforme de momentos.
1.10
1.00
Factor de reducción χ LT
0.90
0.80
0.70
EC3 (curva modificada)
0.60
0.50
AISC LRFD
0.40
0.30
EC3 (curva a)
0.20
0.10
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
Esbeltez adimensional λ LT
Figura 4.6 Curva de pandeo lateral para HEB 300 con distribución bitriangular de momentos.
142 Capítulo 4: Estudio comparativo del estado limite último entre AISC LRFD y EC3
Las Figura 4.7 y Figura 4.8 muestran los resultados comparativos de
resistencia para el perfil IPE 400; mientras que para el perfil HEB 300, los
resultados son mostrados en las Figura 4.9 y Figura 4.10. Las curvas de
resistencia a flexión fueron obtenidas al afectar los valores de las curvas de
pandeo del AISC LRFD y del EC3 por los factores φb y 1/γM1, respectivamente.
Como se indicó en el Apartado 2.3.3, el AISC LRFD emplea el factor de
resistencia φb igual a 0.90, el cual es diferente al que se usa para la resistencia a
compresión; por el contra, el EC3 mantiene, para cualquier situación de carga, el
mismo factor de seguridad γM1, cuyo valor recomendado es 1. Esto implica que,
para el caso del AISC LRFD, la curva de resistencia quedaría determinada al
multiplicar por 0.90 los valores de su curva de pandeo; mientras que para el
caso del EC3, la curva de resistencia sería igual a su curva de pandeo. De la
comparación de las curvas de resistencia, se concluye que para una misma
distribución de momentos, las mayores diferencias se encuentran en el perfil
IPE 400, que es el más susceptible a sufrir pandeo lateral que el perfil HEB 300.
1.10
1.00
0.90
0.80
AISC LRFD
Mresistente / Mpl
0.70
0.60
0.50
0.40
EC3 (curva b)
0.30
0.20
0.10
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
Esbeltez adimensional λ LT
Figura 4.7 Resistencia a flexión pura - IPE 400 con distribución
uniforme de momentos.
3.00
4.2 elementos sometidos a flexión pura 143
1.10
1.00
0.90
0.80
EC3 (curva modificada)
Mresistente / Mpl
0.70
0.60
0.50
0.40
AISC LRFD
EC3 (curva b)
0.30
0.20
0.10
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
Esbeltez adimensional λ LT
Figura 4.8 Resistencia a flexión pura - IPE 400 con distribución bitriangular de momentos.
1.10
1.00
0.90
0.80
Mresistente / Mpl
0.70
AISC LRFD
0.60
0.50
0.40
EC3 (curva a)
0.30
0.20
0.10
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
Esbeltez adimensional λ LT
Figura 4.9 Resistencia a flexión pura - HEB 300 con distribución
uniforme de momentos.
3.00
144 Capítulo 4: Estudio comparativo del estado limite último entre AISC LRFD y EC3
1.10
1.00
0.90
0.80
EC3 (curva modificada)
Mresistente / Mpl
0.70
0.60
0.50
AISC LRFD
0.40
0.30
EC3 (curva a)
0.20
0.10
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
Esbeltez adimensional λ LT
Figura 4.10 Resistencia a flexión pura - HEB 300 con distribución bitriangular de momentos.
4.3
ELEMENTOS
COMPRESIÓN
SOMETIDOS
A
FLEXO-
Acorde con el EC3 (2005) en su Apartado 6.3.3, la resistencia de un elemento
sometido a una combinación de esfuerzo axial de compresión y momento
flector es determinada usando dos tipos distintos de formulas de interacción: el
primer tipo es usado para evaluar la resistencia de pandeo; mientras que el
segundo tipo, para evaluar la resistencia de la sección en cada extremo del
elemento. En cambio el AISC LRFD (1994), en su Capítulo H de sus
especificaciones, proporciona una simple fórmula de interacción bi-lineal que
permite determinar la resistencia de los “beam-columns” y evaluar, a la vez,
todos los posibles modos de colapso.
De los tres procedimientos propuesto por el EC3 (2005) para evaluar la
estabilidad estructural de los pórticos (Apartado 2.4.1), se empleó el segundo
procedimiento, que consiste en tomar en cuenta, en el análisis global, el efecto
P-∆ de segundo orden y la imperfección traslacional del pórtico. Con los
esfuerzos internos obtenidos del análisis global, se procedió a verificar, en cada
elemento, la resistencia de la sección en ambos extremos del elemento y la
resistencia a la inestabilidad usando una longitud de pandeo igual a la longitud
del elemento. Por otro lado, en lo que respecta al AISC LRFD (1994), se empleó
el método simplificado descrito en el Apartado 2.3.4 para considerar los efectos
4.3 Elementos sometidos a flexo-compresión 145
P-∆ y P-δ de segundo orden. Cabe indicar que AISC LRFD (1994) no toma en
cuenta las imperfecciones en el cálculo de los esfuerzos internos.
Se ha creído conveniente trabajar en este estudio comparativo con “beamcolumns” simplemente apoyados en sus extremos porque las fórmulas de
interacción del EC3 están basadas en la modelización de elementos
simplemente apoyados de un solo vano, con condiciones de enlaces
horquillados, con o sin restricciones laterales continuas, y sometidos a fuerzas
de compresión, momentos concentrados en los extremos y cargas transversales.
Al realizar el análisis global de este elemento estructural, siguiendo por
separado el método simplificado del AISC LRFD (Apartado 2.3.4) y el segundo
procedimiento del EC3 (Apartado 2.4.1), se puede establecer las siguientes
relaciones entre los esfuerzos internos de ambas normas: el momento MII del
AISC LRFD será igual al momento MEd del EC3 multiplicado por el factor B1,
que toma en cuenta el efecto P-δ de segundo orden; y, la resistencia requerida P
del AISC LRFD será igual a la resistencia NEd del EC3. Con estas equivalencias y
con la consideración de que en el “beam-column” actúan un esfuerzo axial de
compresión y una distribución de momentos en el plano fuerte (N+My), se
pueden volver a expresar las fórmulas de interacción del AISC LRFD
[expresiones (2.48) y (2.49)] de esta manera:
Para
N Ed
φ c Pn
≥ 0.2 :
8  B1 ,y M y ,Ed
9  φ M n ,y
 b

≤1


(4.5)
 B1 ,y M y ,Ed
+
2φ c Pn  φ b M n ,y

≤1


(4.6)
N Ed
φ c Pn
Para
N Ed
φ c Pn
+
< 0.2 :
N Ed
Al igual que para el caso de la flexión pura (Apartado 4.2), la comparación
directa entre las formulaciones de las dos normas tampoco es posible realizarla
para este caso de los elementos flexo-comprimidos, salvo que se especifiquen
las propiedades de la sección.
4.3.1 Resultados comparativos para flexo-compresión
Para obtener los resultados comparativos de resistencia, se han escogido las
secciones HEB 300 y IPE 400, las cuales forman parte de los grupos de perfiles
146 Capítulo 4: Estudio comparativo del estado limite último entre AISC LRFD y EC3
de ala ancha y de ala pequeña, respectivamente. Estos perfiles fueron
analizados con valores de esbeltez adimensional λ z de 0.50 y 1.50. Se empleó,
en todos los casos, el acero S275.
Adicionalmente, se consideró que en el elemento flexo-comprimido actúan
dos tipos de diagramas de momentos, los cuales son detallados en la Figura
4.11: distribuciones lineales con ψ=1 (caso 1), ψ=0 (caso 2) y ψ=-1 (caso 3); y
distribuciones parabólicas con ψ=1 (caso 4), ψ=0 (caso 5).
Figura 4.11 “Beam-columns” con momentos concentrados en los
extremos y cargas transversales.
Es preciso indicar que algunos de los resultados que se presentan en este
apartado, fueron publicados en el International Colloquium on Stability and
Ductility of Steel Structures (Yong et al. 2006).
Desde la Figura 4.12 hasta la Figura 4.31 se presentan las curvas de
interacción, que representan los valores máximos de resistencia al combinar el
esfuerzo axial de compresión y el momento flector. Las fuerzas internas de
diseño NEd y My,Ed son expresadas adimensionalmente al dividir sus valores
entre Nb,Rd,z y Mb,Rd, que son las resistencias al pandeo del EC3 (2005) cuando el
elemento está sometido a compresión pura y a flexión pura respectivamente. De
las cuatro curvas que se presentan en cada figura, tres de ellas corresponden al
EC3 (2005) y se refieren al límite impuesto por la resistencia de la sección (“EC3Resistencia” en las figuras) y la resistencia al pandeo (“EC3-Método 1” y “EC3Método 2”). La cuarta curva corresponde a la norma americana que, como ya se
ha mencionado antes, sólo emplea una simple curva de interacción para evaluar
todos los modos de colapso (“AISC LRFD” en las figuras). En todos los casos, se
empleó el factor de reducción de pandeo lateral χLT,mod [expresión (2.81)]; y los
factores de seguridad parcial del EC3 (2005) han sido tomados como γM0=1.00 y
γM1=1.00, que son los valores recomendados para edificaciones. Finalmente,
como resultado de las condiciones de enlace, impuestas en el “beam-column”,
se tomaron las siguientes consideraciones: (1) los elementos son cargados “inplane” respecto a su eje fuerte, pero éstos pueden fallar ya sea en un modo
“out-of-plane” o en un modo “in-plane”; y (2) la longitud efectiva de pandeo
lateral es igual a la longitud del elemento.
Cabe indicar que la clasificación de las secciones HEB 300 y IPE 400 fue
realizada acorde con la clase correspondiente a flexión pura porque en todos los
4.3 Elementos sometidos a flexo-compresión 147
casos analizados, no existe agotamiento de la sección por compresión pura
cuando en el elemento actúa sólo un esfuerzo NEd igual a la resistencia Nb,Rd,z.
Al obtener las resistencias de los “beam-columns” en cada uno de los
cincos casos de cargado (Figura 4.11), se han detectado comportamientos de
colapso distintos entre los dos métodos del EC3 (2005): el Método 1 dio como
resultado que el elemento fallaba en un modo de pandeo “in-plane” para NEd
menores, en promedio, al 70% de Nb,Rd,z, pero para NEd mayores a este límite la
tendencia al fallo se dio en el modo “out-of-plane”; por otro lado, el Método 2
siempre dio como resultado una tendencia al fallo en el modo “out-of-plane” en
todos los casos analizados.
Los resultados comparativos son mostrados desde la Figura 4.12 hasta la
Figura 4.23 para las distribuciones lineales de momentos; y desde la Figura 4.24
hasta la Figura 4.31 para las distribuciones parabólicas.
La Figura 4.12 y la Figura 4.13 presentan los resultados obtenidos para el
perfil HEB 300 con una distribución uniforme de momentos (caso 1), en las
cuales se puede apreciar que los valores de resistencia del Método 1 y del
Método 2 del EC3 (2005) son muy similares entre sí. Estos valores son mayores
que los del AISC LRFD (1994) para la esbeltez de 0.50 (Figura 4.12), mientras
que sucede todo lo contrario para la esbeltez de 1.50 (Figura 4.13). La máxima
diferencia entre los valores de resistencia de ambas normas se encuentra en el
orden del 10%. Esta diferencia, así como todas las demás diferencias que se
precisarán más adelante, fue medida en la dirección radial de la gráfica, en
donde se tomó como origen la coordenada NEd=0 y My,Ed=0. La curva de
resistencia de la sección del EC3 no prevalecerá en el diseño porque sus valores
de resistencia son mayores a los valores proporcionados por los dos métodos
del EC3. En la Figura 4.13 no ha sido incluida la curva de resistencia de la
sección del EC3 porque sus valores son mayores a los límites de la gráfica (para
un NEd=0, se obtiene un My,Ed=1.41 Mb,Rd).
148 Capítulo 4: Estudio comparativo del estado limite último entre AISC LRFD y EC3
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
Figura 4.12 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300,
EC3 - Resistencia
λ z =0.50, caso 1).
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
Figura 4.13 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300,
λ z =1.50, caso 1).
La Figura 4.14 y Figura 4.15 muestran los resultados correspondientes a la
distribución lineal de momentos con ψ=0 (caso 2). La curva de interacción del
AISC LRFD mantiene su forma bi-lineal, mientras que las curvas de interacción
del pandeo del EC3 adoptan una forma parabólica. También se pueden apreciar
4.3 Elementos sometidos a flexo-compresión 149
en estas figuras que el AISC LRFD es más conservador que el EC3 y que el
Método 1 es el que proporciona mayores resistencias. La máxima diferencia
entre los valores de resistencia del Método 1 y del AISC LRFD es del 23%, y fue
encontrada para la esbeltez de 0.50 (Figura 4.14). Por otra parte, aparecen
discrepancias entre los valores de resistencia proporcionados por los dos
métodos del EC3, siendo la máxima diferencia del 12% para la esbeltez de 0.50
(Figura 4.14) y del 9% para la esbeltez de 1.50 (Figura 4.15).
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
EC3 - Resistencia
Figura 4.14 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300,
λ z =0.50, caso 2).
150 Capítulo 4: Estudio comparativo del estado limite último entre AISC LRFD y EC3
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
Figura 4.15 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300,
EC3 - Resistencia
λ z =1.50, caso 2).
Para el mismo perfil HEB 300, los resultados comparativos de la
distribución lineal de momentos con ψ=-1 (caso 3) son presentados en la Figura
4.16 y Figura 4.17, en las cuales se aprecia que la forma parabólica de las curvas
de interacción de los dos métodos del EC3 se acentúa más, produciendo
mayores diferencias entre los valores de resistencia dados por las dos normas.
El AISC LRFD es más conservador que el EC3, y mantiene la forma bi-lineal en
su curva de interacción. La máxima diferencia entre los valores de resistencia
del AISC LRFD y EC3 es del 26% para la esbeltez de 0.50 (Figura 4.16), y del
35% para la esbeltez de 1.50 (Figura 4.17). Las diferencias en momento
resistente, para un determinado valor de esfuerzo axial de compresión, son
también significativas; como ejemplo se puede tomar el valor NEd/Nb,Rd,z de 0.70,
correspondiente a la esbeltez de 1.50 (Figura 4.17), en donde el AISC LRFD
alcanza el estado límite último con una relación de momento My,Ed/Mb,Rd de
0.34, mientras que el Método 1 y el Método 2 del EC3 lo alcanza con My,Ed/Mb,Rd
de 0.69 y 0.56; estás cantidades representan diferencias mayores al 100%. Por
otra parte, las diferencias encontradas entre los valores de resistencia de los dos
métodos del EC3 se mantienen casi en las mismas proporciones a las del caso de
la distribución lineal de momentos con ψ=0. Cabe señalar que para la esbeltez
de 0.5 (Figura 4.16), los valores de resistencia del Método 1 estarán limitados
por los valores de resistencia de la sección del EC3 en un gran rango de valores
de NEd/Nb,Rd,z.
4.3 Elementos sometidos a flexo-compresión 151
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
EC3 - Resistencia
Figura 4.16 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300,
λ z =0.50, caso 3).
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
EC3 - Resistencia
Figura 4.17 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300,
λ z =1.50, caso 3).
Los resultados obtenidos para el perfil IPE 400 con distribución lineal de
momentos son presentados desde la Figura 4.18 hasta la Figura 4.23. Como se
puede apreciar en estas figuras, las curvas de interacción siguen el mismo
comportamiento de las curvas obtenidas para el perfil HEB 300. Sin embargo,
152 Capítulo 4: Estudio comparativo del estado limite último entre AISC LRFD y EC3
existen mayores diferencias entre las resistencias de las dos normas de diseño.
La máxima diferencia entre los valores de resistencia de AISC LRFD y EC3 es
del 37%, y se presenta para el caso de la distribución lineal de momentos con
ψ=-1 y una esbeltez de 1.50 (Figura 4.23). Por otro lado, la máxima diferencia
entre los valores de resistencia del Método 1 y del Método 2 del EC3 es del 13%,
y corresponde al caso de la distribución lineal de momentos con ψ=0 y una
esbeltez de 0.5 (Figura 4.20).
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
EC3 - Resistencia
Figura 4.18 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400,
λ z =0.50, caso 1).
4.3 Elementos sometidos a flexo-compresión 153
1.40
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
Figura 4.19 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400,
λ z =1.50, caso 1).
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
EC3 - Resistencia
Figura 4.20 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400,
λ z =0.50, caso 2).
154 Capítulo 4: Estudio comparativo del estado limite último entre AISC LRFD y EC3
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
Figura 4.21 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400,
λ z =1.50, caso 2).
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
EC3 - Resistencia
Figura 4.22 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400,
λ z =0.50, caso 3).
4.3 Elementos sometidos a flexo-compresión 155
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
EC3 - Resistencia
Figura 4.23 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400,
λ z =1.50, caso 3).
De la Figura 4.24 a la Figura 4.31, se muestran los resultados comparativos
correspondientes a los casos con distribución parabólica de momentos. Como se
puede apreciar en todas estas figuras, la curva de interacción del AISC LRFD
mantiene su forma bi-lineal; mientras que las curvas de interacción de los
Método 1 y 2 del EC3 mantienen una forma muy parecida a las
correspondientes curvas obtenidas para la distribución uniforme de momentos
(caso 1). Por otro lado, en los casos analizados con esbeltez de 0.50, se puede
apreciar también, que la curva de resistencia de la sección del EC3 gobernará en
el cálculo de los elementos flexo-comprimidos, especialmente cuando los
valores de NEd/Nb,Rd,z son relativamente bajos. Una situación similar es también
reflejada en el AISC LRFD, en donde el valor del momento resistente My,Ed,
correspondiente a un determinado valor de NEd, es limitado por la resistencia de
la sección a esfuerzo cortante [expresión (2.50)]; esta limitación está
representada en las figuras por una línea discontinua de color verde.
La Figura 4.24 y Figura 4.25 presentan los resultados obtenidos para perfil
HEB 300 con distribución parabólica de momentos y con dos momentos iguales
en los extremos (caso 4). Para la esbeltez de 0.50 (Figura 4.24), los valores de la
curva de resistencia de la sección del EC3 son mayores en un 51%,
aproximadamente, a los valores de la curva de resistencia del AISC LRFD por
esfuerzo cortante. Esta diferencia es debida, principalmente, al procedimiento
propuesto por cada norma para calcular el esfuerzo cortante resistente de la
sección. En el AISC LRFD, el esfuerzo cortante resistente es calculado
multiplicando el esfuerzo cortante nominal por el factor φv, que vale 0.9; en
156 Capítulo 4: Estudio comparativo del estado limite último entre AISC LRFD y EC3
cambio, en el EC3, como el factor de seguridad parcial γM0 es igual a 1.00, el
esfuerzo cortante resistente sería igual al esfuerzo cortante nominal. Asimismo,
los esfuerzos cortantes nominales del AISC LRFD y del EC3 son diferentes entre
sí debido a que el AISC LRFD considera un área de cortante que es
relativamente menor al considerado por el EC3. Con respecto a los resultados
obtenidos para la esbeltez de 1.50 (Figura 4.25), se puede concluir que los
mayores valores de resistencias son proporcionados por el Método 2 del EC3,
los cuales difieren en un 13% con respecto a los valores del AISC LRFD, y en un
8% con respecto a los valores del Método 1.
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
Figura 4.24 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300,
EC3 - Resistencia
λ z =0.50, caso 4).
4.3 Elementos sometidos a flexo-compresión 157
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
EC3 - Resistencia
Figura 4.25 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300,
λ z =1.50, caso 4).
Los resultados comparativos para el mismo perfil HEB 300 con
distribución parabólica de momentos y con un momento en uno de los
extremos (caso 5), son mostrados en la Figura 4.26 y Figura 4.27. Para la esbeltez
de 0.50 (Figura 4.26), el AISC LRFD es más conservador que el EC3 en todo el
rango de valores de NEd/Nb,Rd,z. La máxima diferencia entre los valores de
resistencia de ambas normas es del 53%, y se registra para NEd/Nb,Rd,z menores a
0.15 aproximadamente. En cambio, para la esbeltez de 1.50 (Figura 4.27) EC3 es
más conservador que el AISC LRFD; y las mayores diferencias entre sus valores
de resistencia se registran para un valor de NEd/Nb,Rd,z de 0.20.
158 Capítulo 4: Estudio comparativo del estado limite último entre AISC LRFD y EC3
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
EC3 - Resistencia
Figura 4.26 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300,
λ z =0.50, caso 5).
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
Figura 4.27 Resistencia a flexo-compresión (HEB 300,
λ z =1.50, caso 5).
Por último, los resultados obtenidos para el perfil IPE 400 con
distribuciones parabólicas de momentos y con momentos iguales en ambos
extremos o con un momento en un extremo, son presentados desde la Figura
4.3 Elementos sometidos a flexo-compresión 159
4.28 hasta la Figura 4.31. En general, para este perfil, las curvas de interacción
siguen la misma tendencia a las curvas obtenidas para el perfil HEB 300.
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
Figura 4.28 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400,
EC3 - Resistencia
λ z =0.50, caso 4).
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
Figura 4.29 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400,
EC3 - Resistencia
λ z =1.50, caso 4).
160 Capítulo 4: Estudio comparativo del estado limite último entre AISC LRFD y EC3
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
Figura 4.30 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400,
EC3 - Resistencia
λ z =0.50, caso 5).
1.40
1.20
My,Ed/Mb,Rd
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
NEd/Nb,Rd,z
EC3 - Método 1
EC3 - Método 2
AISC LRFD
Figura 4.31 Resistencia a flexo-compresión (IPE 400,
λ z =1.50, caso 5).
Capítulo
5
5 CONCLUSIONES Y
FUTURAS LÍNEAS DE
INVESTIGACIÓN
En este último capítulo se recogen las principales conclusiones del trabajo
realizado, resaltando las aportaciones más significativas y las líneas de
investigación que quedan abiertas para futuros desarrollos.
5.1
CONCLUSIONES GENERALES
Los trabajos realizados en la presente tesis se centran en el estudio de los
elementos flexo-comprimidos, que forman parte de pórticos de edificación y
otros sistemas estructurales.
La revisión bibliográfica presentada en el Capítulo 2 ha permitido
constatar que, para evaluar la resistencia de un elemento flexo-comprimido, se
deben evaluar la resistencia de la sección en los extremos del elemento y la
resistencia al pandeo. Para evaluar la resistencia de la sección, Chen y Atsuta
(1972; 1974) recomiendan aplicar diferentes fórmulas de interacción
dependiendo del plano en donde flecta el elemento; asimismo, Galambos (1988)
sugiere que la tensión de fluencia del material debe ser reducida en el cálculo
de la resistencia de la sección debido a la aparición de cualquier tensión
cortante. Por otra parte, para evaluar la resistencia al pandeo, Tebedge y Chen
(1974) proponen una fórmula de interacción no lineal bastante sencilla, cuyos
factores de interacción dependen del factor Cm y del factor de amplificación de
segundo orden.
El EC3 (2005) sigue una filosofía de diseño muy parecida a la que se ha
presentado en la revisión bibliográfica, en donde se mantienen los dos estados
límites últimos (ELU) para todas las situaciones de carga: ELU de resistencia de
161
162 Capítulo 5: Conclusiones y futuras líneas de investigación
la sección y ELU de la resistencia al pandeo. Sin embargo, en lo que respecta a
este último ELU, es preciso indicar que las fórmulas de interacción del EC3
(2005) son más complejas comparándolas con la fórmula que presentan
Tebedge y Chen (1974). Como un ejemplo de esta complejidad, el Método 1
cuya formulación incorpora todos los fenómenos físicos del pandeo, requiere
del cálculo de más de quince términos auxiliares. El AISC LRFD (1994), en
cambio, integra en sus especificaciones ambos ELU, y emplea una simple
aproximación bi-lineal para evaluar todos los posibles modos de colapso.
Otra diferencia clara entre estas dos normas se encuentra en el análisis
estructural. El AISC LRFD (1994) no toma en cuenta la imperfección del pórtico
traslacional ni las imperfecciones de los elementos, por lo cual se debe emplear
la longitud de pandeo traslacional en la fórmula de interacción. En cambio, el
EC3 (2005) permite emplear la longitud del elemento siempre que el análisis
estructural de segundo orden sea realizado introduciendo la imperfección del
pórtico traslacional.
Por otra parte, en la revisión bibliográfica, se ha visto la importancia del
factor Cm en la determinación de la sección más solicitada en un elemento flexocomprimido. De hecho, la calidad de las expresiones para determinar este factor
conduce a fórmulas de interacción más exactas.
Cabe recordar que los Cm del Método 1 y del Método 2 son distintos entre
sí debido a que el Cm del Método 1 fue deducido a partir de un diagrama
sinusoidal de momentos; y el Cm del Método 2, a partir de un diagrama de
momento uniforme.
Al igual que en el Método 2, el AISC LRFD (1994) emplea la fórmula de
Austin para determinar el factor Cm en los casos con distribución lineal de
momentos. Cabe indicar que esta fórmula es muy conservadora para los casos
con distribución bi-triangular de momentos, es por esa razón que para estos
casos el AISC LRFD (1994) y el Método 2 del EC3 (2005) son más conservadores
que el Método 1.
Para obtener el factor Cm de una distribución lineal de momentos, el
Método 2 y el AISC LRFD (1994) proponen el uso de la fórmula de Austin. Sin
embargo, esta fórmula brinda resultados muy conservadores en los casos con
distribución bi-triangular de momentos; por esta razón, cuando se comparan los
resultados de los dos métodos del EC3 (2005), el Método 2 se presenta como
más conservador que el Método 1 en estos casos.
Las fórmulas del Método 1, las cuales son más complejas que las del
Método 2, poseen factores específicos que toman en cuenta cada fenómeno de
inestabilidad que se produce en el elemento. La interacción elástica-plástica es
tomada en cuenta por medio de los factores de plasticidad, los cuales hacen que
las fórmulas del Método 1 se compliquen aún más. De hecho, sin la ayuda de
5.1 Conclusiones generales 163
un ordenador, sería muy complicado realizar un pre-diseño rápido con las
fórmulas del Método 1 debido a que los factores de interacción son calculados
de manera iterativa variando el esfuerzo axial de compresión y los momentos
flectores.
En cambio, las fórmulas del Método 2 poseen factores compactos que
toman en cuenta, de manera global, todos los fenómenos de inestabilidad; y su
formato es el más sencillo que se puede plantear acorde con la teoría elástica de
segundo orden. Sin embargo, el cálculo de los factores Cm puede resultar un
tanto tedioso en este método debido a la cantidad de expresiones que existen
para los casos con distribución no lineal de momentos. Además, es discutible la
exactitud de estas expresiones puesto que los Cm teóricos, aparte de estar en
función de la forma del diagrama de momentos, deben estar en función del
esfuerzo axial de compresión, de la rigidez a la flexión y de la longitud del
elemento.
Del estudio comparativo realizado para los elementos sometidos a
compresión pura, flexión pura y flexo-compresión, se han detectado diferencias
entre las filosofías de diseño del EC3 (2005) y AISC LRFD (1994); además, se
han encontrado diferencias significativa en los valores de resistencia.
En los elementos sometidos a compresión pura, ambas normas determinan
la resistencia del elemento de una manera similar porque basan sus cálculos en
curvas de pandeo: el EC3 (2005) emplea cinco curvas de pandeo, mientras que
el AISC LRFD (1994) emplea una única curva para el mismo propósito.
En los elementos sometidos a flexión pura, el EC3 (2005) propone dos
procedimientos para calcular la resistencia. El primer procedimiento, que es el
más conservador, plantea el uso de una única curva de pandeo para cada perfil,
independientemente de la forma del diagrama de momentos. El segundo
procedimiento plantea también el uso de una curva de pandeo para cada perfil,
pero la forma de esta curva cambiará acorde con la forma del diagrama de
momentos. En cuanto al AISC LRFD (1994), la resistencia es determinada
calculando las longitudes laterales límites no arriostradas, las cuales conducen a
una curva de pandeo para cada perfil en función de la forma de diagrama de
momentos. Con respecto a los resultados comparativos, se ha logrado registrar
una diferencia máxima del 42% entre los valores de las curvas de pandeo de
ambas normas; esta diferencia ha sido detectada para la distribución uniforme
de momentos con un valor de esbeltez adimensional a pandeo lateral de 1.2. En
general, las curvas del EC3 (2005) son más conservadoras que las del AISC
LRFD (1994) en los casos analizados en esta tesis.
Asimismo, en los elementos flexo-comprimidos, la mayor diferencia en
resistencia entre ambas normas es del 37%, y se registra para la distribución
lineal de momentos con ψ=-1 y con un valor de esbeltez de 1.5.
164 Capítulo 5: Conclusiones y futuras líneas de investigación
Sorprendentemente, los dos métodos de EC3 (2005) difieren apreciablemente
cuando éstos son comparados; la diferencia máxima en resistencia es del 13%,
registrada para la distribución lineal de momentos con ψ=0 y con un valor de
esbeltez de 0.5. Para la distribución uniforme de momentos con un valor de
esbeltez de 0.5, el AISC LRFD (1994) es más conservador en general que el EC3
(2005), pero sucede todo lo contrario para el valor de esbeltez de 1.5. En las
distribuciones lineales de momentos con ψ=0 y ψ=-1, el AISC LRFD (1994) es
más conservador que el EC3 (2005) en la mayoría de los casos. Por otro lado, en
las distribuciones parabólicas de momentos, el EC3 (2005) brinda en algunos
casos resistencias más conservadoras; y en otros casos, menos conservadoras
con respecto a las resistencias del AISC LRFD (1994).
Si bien es cierto que los miembros del Comité Técnico 8 de la ECCS
evaluaron estadísticamente las aproximaciones de los Método 1 y Método 2 con
los resultados experimentales disponibles y con los resultados numéricos del
GMNIA y ABAQUS, cabe indicar que las aproximaciones de estos métodos
fueron muy bien calibradas para una distribución de momento uniforme; sin
embargo, para los casos con distribución bi-triangular de momentos, los cuales
suelen presentarse en la mayoría de los pilares de edificación, estas
aproximaciones no se ajustan bien a los resultados numéricos. Asimismo, del
estudio comparativo realizado en esta tesis, se han detectado diferencias
significativas entre los valores de resistencia de ambos métodos, originando
incertidumbre al calculista en la selección del método adecuado para obtener un
diseño óptimo.
Por todo lo expresado, se concluye que no se justifica tanta complejidad en
los métodos del EC3 (2005), puesto que sus aproximaciones no consiguen un
buen ajuste a los resultados obtenidos numéricamente, especialmente en los
casos con solicitaciones más comunes de carga.
Uno de los puntos claves en el análisis de la estabilidad estructural de un
elemento sometido a flexión pura o a flexo-compresión, es el factor de momento
uniforme equivalente (C1) de pandeo lateral. La tesis presenta una revisión de
los factores C1 propuestos por diversos investigadores y normas de diseño
como el EC3 (2005), el AISC LRFD (1994) y el BS 5950-1 (2000). Esta revisión ha
mostrado que existe suficiente información para el caso de la flexión lateral y el
alabeo no impedidos (libres) en ambos apoyos extremos de la viga. Para este
caso, los valores proporcionados por las normas concuerdan bastante bien con
los resultados numéricos que han sido obtenidos en esta tesis usando
aproximaciones del Método de Elementos Finitos y Diferencias Finitas. Por otra
parte, con la revisión bibliográfica se ha puesto en manifiesto que había una
escasez de valores del factor C1 para los casos con la flexión lateral impedida y
el alabeo impedido. En estos casos, se ha detectado que las normas son, en
5.2 Aportaciones más significativas 165
ciertas situaciones,
conservadores.
muy
conservadores;
y
en
otras
situaciones,
no
Tomando como referencia los valores de C1 correspondientes a apoyos
extremos que no tienen impedidos ambas condiciones de flexión lateral y
alabeo, se concluye que en la condición de alabeo impedido el factor C1 se
incrementa significativamente cuando la flexión lateral es libre; sin embargo, el
valor de C1 se mantiene o disminuye, en la mayoría de los casos, cuando la
flexión lateral es impedida.
En general, las vigas con flexión lateral impedida en los enlaces tienen
valores de C1 más bajos que en vigas con la flexión lateral libre en los enlaces.
Los nuevos resultados obtenidos usando Diferencias Finitas muestran que
los valores de C1 dados por las normas de diseño son muy conservadores en la
mayoría de los casos, pero pueden presentarse como no conservadores en los
casos donde los apoyos extremos tienen impedidos ambas condiciones de
enlace de flexión lateral y alabeo.
5.2
APORTACIONES MÁS SIGNIFICATIVAS
A continuación se destacan las aportaciones más significativas de esta tesis:
- Formulación del comportamiento elástico del pandeo lateral. La tesis
presenta la deducción de las ecuaciones diferenciales que gobiernan el
comportamiento elástico del pandeo lateral. Estas ecuaciones fueron obtenidas
usando la teoría elástica de segundo orden.
- Determinación del factor de momento uniforme equivalente C1 de
pandeo lateral. Una de las principales contribuciones de esta tesis es la
presentación de nuevos valores del factor C1, que fueron obtenidos usando el
Método de Elementos Finitos y la técnica de Diferencias Finitas. Los casos de
carga que se consideraron para obtener estos valores, fueron: (1) momentos
aplicados en los extremos; (2) carga uniformemente distribuida con momento
en cada extremo; (3) carga uniformemente distribuida con momento en un
extremo; (4) carga puntual en la mitad de la luz con momento en cada extremo;
(5) carga puntual en la mitad de la luz con momento en un extremo. En estos
casos, se tomaron en cuenta todas las posibles condiciones de enlaces en los
apoyos del elemento: flexión lateral libre con alabeo libre; flexión lateral
impedida con alabeo impedido; flexión lateral impedida con alabeo libre; y
flexión lateral libre con alabeo impedido. Adicionalmente, usando el algoritmo
de integración por Diferencias Finitas de las ecuaciones diferenciales que
gobiernan el comportamiento del pandeo lateral, se elaboró un programa de
cálculo, denominado PANLAT, que permite obtener el momento crítico elástico
de una viga bajo cualquier situación de carga y condiciones de enlace en los
extremos.
166 Capítulo 5: Conclusiones y futuras líneas de investigación
- Propuestas de formulaciones sencillas para obtener el factor C1. Dos
formulaciones sencillas, denominadas primera aproximación y segunda
aproximación, son propuestas en la tesis para obtener el factor C1. Estas
formulaciones incorporan las condiciones de enlace de los apoyos, y son
aplicables a cualquier distribución de momentos flectores. La formulación de la
primera aproximación sólo se aplica cuando ambos apoyos extremos de la viga
tienen iguales restricciones a la flexión lateral y al alabeo; mientras que la
formulación de la segunda aproximación se aplica tanto a vigas con iguales
restricciones a la flexión lateral y al alabeo en ambos apoyos, como a vigas con
restricciones a la flexión lateral y al alabeo en uno de sus apoyos pero sin
restricciones en el otro apoyo. Ambas formulaciones brindan resultados muy
cercanos a los resultados numéricos de la integración por Diferencias Finitas, e
inclusive dan una mejor aproximación que las formulas propuestas por el AISC
LRFD (1994) y BS 5950-1 (2000). Por otra parte, cabe indicar que el ECCS
Technical Committee 8 - Stability (2006) sugiere el uso de ambas formulaciones
planteadas en esta tesis.
- Estudio comparativo de la resistencia estructural entre el AISC LRFD
(1994) y EC3 (2005). La tesis presenta un estudio comparativo de las filosofías
de diseño del AISC LRFD (1994) y EC3 (2005) para los elementos sometidos a
compresión pura, flexión pura y flexo-compresión. De los resultados
comparativos obtenidos, se han detectado diferencias significativas entre ambas
normas y entre ambos métodos del EC3 (2005), especialmente para las
solicitaciones de cargas más comunes que suelen presentarse en los pilares de
edificación.
5.3
FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN
El trabajo descrito en esta tesis abre nuevas líneas de investigación, las cuales
son mencionadas a continuación de manera esquemática.
- Planteamiento de una formulación para determinar los factores Cm.
Debido a que los valores de Cm son determinantes para conseguir una mayor
exactitud en las fórmulas de interacción, se debe plantear, basándose en un
estudio más minucioso, una formulación sencilla para determinar los factores
Cm en función de los siguientes parámetros que intervienen en un análisis de
segundo orden: diagrama de momentos, esfuerzo axial de compresión, rigidez a
la flexión y longitud del elemento. Se sugiere que esta formulación sea
deducida a partir de un diagrama de momento uniforme, de tal forma que
pueda ser incorporada en los procedimiento de diseño del Método 2 del EC3
(2005) y AISC LRFD (1994).
- Mejoramiento del Método 2 del EC3 (2005) usando valores de Cm más
exactos. Como se sabe, el Método 2 propone un procedimiento de cálculo más
sencillo que el propuesto por el Método 1, por lo cual puede ser conveniente
5.3 Futuras líneas de investigación 167
emplear el Método 2 como base para la elaboración de futuras normativas, no
sin antes mejorar sus expresiones para calcular los factores Cm.
- Estudio concienzudo para clasificar una sección sometida a flexocompresión. Un tema que no está claro en el EC3 (2005) y que merece un
estudio más profundo, es la clasificación de la sección de los elementos flexocomprimidos, especialmente cuando se tienen momentos flectores actuando en
ambos planos del elemento. Lo ideal sería proponer una formulación sencilla
que no dependa del momento flector aplicado, tal como lo hace la norma
americana (AISC LRFD 1994).
- Extensión de las formulaciones propuestas para calcular el factor C1 en
elementos que poseen arriostramientos laterales intermedios. Las
formulaciones propuestas en esta tesis para determinar el factor de momento
uniforme equivalente de pandeo lateral, son aplicables a elementos que no
poseen arriostramientos laterales intermedios. Sin embargo, en la realidad,
existen casos en donde los elementos tienen arriostramientos laterales
intermedios, que de alguna forma pueden influir significativamente en el
cálculo del factor C1. Como consecuencia, un estudio más profundo de este
factor C1 para estos casos debe ser llevado a cabo, y a la vez se puede extender
la aplicación de las formulaciones propuestas en este trabajo.
Apéndice
A
A ARTÍCULOS Y
COMUNICACIONES
GENERADOS
En este apéndice se incluyen las publicaciones que han sido originadas al llevar
a cabo el presente trabajo. Se adjuntan también las primeras páginas de las
publicaciones en donde se pueden ver los resúmenes de los artículos.
Artículo publicado en revista científica:
Miguel A. Serna, Aitziber López, Iñigo Puente & Danny J. Yong. (2006).
“Equivalent uniform moment factors for lateral-torsional buckling of
steel members”. Journal of Constructional Steel Research, 62(2006), pp. 566580.
Comunicaciones en congresos internacionales:
Danny J. Yong, Aitziber López & Miguel A. Serna (2006). “A comparative study
of AISC LRFD and EC3 approaches to beam-column buckling
resistance”, in Proceedings of International Colloquium on Stability and
Ductility of Steel Structures, Lisbon, Portugal, vol 2, pp. 1109-1116,
September 6-8.
169
170 Apéndice A: Artículos y comunicaciones generados
Aitziber López, Danny J. Yong & Miguel A. Serna (2006). “Lateral-torsional
buckling of steel beams: a general expression for the moment gradient
factor”, in Proceedings of International Colloquium on Stability and Ductility
of Steel Structures, Lisbon, Portugal, vol 1, pp. 347-354, September 6-8.
Danny J. Yong, David Fernández-Lacabe, Aitziber López & Miguel A. Serna
(2007). “Initial imperfections and buckling analysis for beam-columns: a
comparative study of EC-3 proposals”. Third International Conference on
Steel and Composite Structures, Manchester, UK, July 30-August 1.
Artículo enviado a revista científica:
Danny J. Yong, Aitziber López & Miguel A. Serna. (2007). “Beam-column
resistance of steel members: a comparative study of AISC LRFD and EC3
approaches”. Engineering Structures.
Apéndice A: Artículos y comunicaciones generados 171
172 Apéndice A: Artículos y comunicaciones generados
Apéndice A: Artículos y comunicaciones generados 173
174 Apéndice A: Artículos y comunicaciones generados
Apéndice A: Artículos y comunicaciones generados 175
Apéndice
B
B FORMULACIÓN DEL
COMPORTAMIENTO
ELÁSTICO DE UN
ELEMENTO
En el presente apéndice, se formulan las ecuaciones diferenciales generales que
gobiernan el comportamiento elástico de un elemento sometido a un sistema de
cargas. Estas ecuaciones han sido empleadas para deducir las Ecuaciones (3.20)
y (3.21) del Capítulo 3, que se usaron para determinar el factor C1 de pandeo
lateral.
B.1 DEDUCCIÓN
DE
DIFERENCIALES GENERALES
LAS
ECUACIONES
Para deducir las ecuaciones diferenciales generales, se considera un elemento
estructural sometido a un sistema de cargas como el que se muestra en la Figura
B.1. Bajo estas solicitaciones, el elemento se deformará desplazándose u, v y w
en las direcciones x, y y z respectivamente, con giros de flexión en los dos
planos y giro de torsión φ. En esta posición deformada, se tomará un elemento
diferencial dx para analizar las variaciones de las deformaciones y de las fuerzas
internas que se producen a lo largo del elemento. Estas variaciones son
ilustradas en la Figura B.2 y la Figura B.3.
177
178 Apéndice B: Formulación del comportamiento elástico de un elemento
Figura B.1 Sistema de cargas distribuidas.
Figura B.2 Desplazamientos y rotaciones en un elemento diferencial.
qz
q
y
Mz
My
Vz
Vy
Mx
N
q
x
N+dN
Vy +dVy
M y +dMy
Vz +dVz
M x +dMx
Mz+dMz
Figura B.3 Fuerzas internas en un elemento diferencial.
B.1 Deducción de las Ecuaciones diferenciales generales 179
A continuación se describen los pasos a seguir para deducir las ecuaciones
diferenciales generales:
1) Notación de los ejes y vectores unitarios asociados
Se asumen las siguientes notaciones para los ejes globales y locales, y sus
correspondientes vectores unitarios asociados:
-
Sistema de ejes globales (x, y, z) y sus vectores unitarios i , j , k .
-
Sistema de ejes locales de la sección (X, Y, Z) y sus vectores unitarios
I, J, K.
-
Sistema de ejes locales de la sección a distancia dx (X*, Y*, Z*) y sus
vectores unitarios I * , J * , K * .
2) Fuerzas externas aplicadas por unidad de longitud
Acorde con la notación asumida para los ejes globales, las fuerzas externas
aplicadas por unidad de longitud (Figura B.1) pueden ser expresadas de forma
vectorial:
qx = qx i
;
qy = qy j
qz = qz k
;
(B.1)
Además, para generalizar la aplicación de las formulaciones a deducir, se
asumirá que estas fuerzas están aplicadas en cualquier punto de la sección recta
tal como se muestra en la Figura B.4. Las distancias yq y zq son medidas desde el
centroide de la sección al punto de aplicación de la fuerza.
qz
y qz
qx
zqz
y qx
zqx
y
zqy
y qy
qy
z
Figura B.4 Nomenclatura para las coordenadas de los puntos de aplicación
de las fuerzas.
3) Origen de los ejes (coordenadas en ejes globales)
Por otra parte, se determinan las coordenadas de los orígenes de cada sistema
de ejes con respecto a las coordenadas del origen del sistema de ejes globales:
180 Apéndice B: Formulación del comportamiento elástico de un elemento
-
O (0, 0, 0) para los ejes (x, y, z).
-
C (x+u, v, w) para los ejes (X, Y, Z).
-
C* (x+u+dx+du, v+dv, w+dw) para los ejes (X*, Y*, Z*).
con u=u(x), v=v(x) y w=w(x).
4) Ecuaciones de cambio de ejes
A partir de las orientaciones de los desplazamientos y rotaciones, indicadas en
la Figura B.2, se dedujeron las ecuaciones que se emplearán para pasar de un
sistema de ejes a otro:
{E} = [T ] {e}
 I   1
  
   dv
 
 J  =  − dx
  
   dw
K  −
 dx
dv
dx
1
−φ
dw 
i 
dx   
 
 
φ   j
 
 
1  k 

(B.2)
y
{E * } = [T * ] {e}
 I *  
1
  
  
dv 
 
 dv
 J *  =  −  dx + d dx 

   
    dw
dw 
+d
K *  − 

dx
dx 
 
dv 
 dv
+d 

dx
dx 

1
− (φ + dφ )
dw 
 dw
+d

 i 
dx
dx   

 
 
(φ + dφ )   j 
 
 
1
 k 

(B.3)
5) Proyección de los esfuerzos de los ejes locales a ejes globales
Las fuerzas internas producidas en los ejes locales pueden ser proyectadas a ejes
globales de la siguiente manera:
-
Esfuerzos de la sección inicial del elemento diferencial ( S ):
S = N I + Vy J + Vz K
S = {S}T {E}
S = {S}T [T ]{e}
(B.4)
B.1 Deducción de las Ecuaciones diferenciales generales 181
-
Esfuerzos de la sección final del elemento diferencial ( S * ):
S * = ( N + dN ) I * + (Vy + dVy ) J * + (Vz + dVz )K *
S * = {S *}T {E * }
S * = {S *}T [T * ]{e}
-
(B.5)
Momentos de la sección inicial del elemento diferencial ( M ):
M = Mx I + My J + Mz K
M = {M}T {E}
M = {M}T [T ]{e}
-
(B.6)
Momentos de la sección final del elemento diferencial ( M * ):
M * = (M x + dM x ) I * + (M y + dM y ) J * + (M z + dM z ) K *
M * = {M *}T {E * }
M * = {M *}T [T * ]{e}
(B.7)
6) Puntos de aplicación de las fuerzas aplicadas en la configuración deformada
En una configuración sin deformar (Figura B.5), los puntos de aplicación Cqx, Cqy
y Cqz de las fuerzas qx, qy y qz tienen coordenadas (x+dx/2, yqx, zqx), (x+dx/2, yqy,
zqy) y (x+dx/2, yqz, zqz) respectivamente. Con estas coordenadas se pueden
determinar, de manera vectorial, los puntos de aplicación de las fuerzas
externas en una configuración deformada ( OC qx , OC qy y OC qz ):

du  
dv  
dw 
i +  v +
j + w +
k + {0 y q
OC q = OC * * +  u +
 
 


2  
2  
2 

dx
du  
dv  
dw 
 v +
 w +
 {e} + {0 y q
OC q =  x +
+u+






2
2  
2  
2 
zq }{E * * }
zq }[T * * ]{e}
(B.8)
Estos vectores OC q serán empleados para plantear las ecuaciones de
equilibrio de momentos.
182 Apéndice B: Formulación del comportamiento elástico de un elemento
O
C
C**
C*
X**
X
X*
x
Y**
Y
y
Z**
Z
Y*
Z*
dx


Cq  x +
,y ,z
2 q q 

z
dx
Figura B.5 Punto de aplicación de la fuerza en la configuración sin
deformar del elemento diferencial.
7) Equilibrio de fuerzas
Debido a que las fuerzas externas están aplicadas en los ejes globales, el
equilibrio de fuerzas será realizado según estos ejes.
Para identificar los esfuerzos proyectados en los ejes globales, se empleará
el subíndice “g“:
{S g }T = {N g
{ } = {N g + dN g
T
S *g
Vyg
Vzg
}
Vyg + dVyg
y
Vzg + dVzg
}
(B.9)
así, los esfuerzos S y S * de las expresiones (B.4) y (B.5) pueden ser escritos
nuevamente como:
{ }T {e}
y
{S g }T = {S}T [T ]
y
S = Sg
S * = {S *g } {e}
T
(B.10)
con
{S *g }T
= {S * }T [T * ]
(B.11)
Realizando ahora el equilibrio de fuerzas en el elemento diferencial con los
esfuerzos S y S * de la expresión (B.10), se obtienen las siguientes ecuaciones:
dN g
= −q x ;
dx
dVyg
= −q y
dx
y
dVzg
= −q z
dx
(B.12)
Con la primera ecuación indicada en (B.11), los esfuerzos de los ejes
globales pueden ser expresados en función de los esfuerzos producidos en los
ejes locales:
N g = N − Vy
dv
dw
− Vz
dx
dx
(B.13)
B.1 Deducción de las Ecuaciones diferenciales generales 183
Vyg = N
dv
+ Vy − Vz φ
dx
Vzg = N
dw
+ Vy φ + Vz
dx
Las ecuaciones de equilibrio según ejes locales son obtenidas al derivar las
ecuaciones (B.13) con respecto a x, y al sustituir después el primer miembro de
cada ecuación por la correspondiente expresión indicada en (B.12):
dN dVy dv
d 2 v dVz dw
d2w
−
− Vy
−
−
V
= −q x
z
dx
dx dx
dx dx
dx 2
dx 2
dVy dN dv
d 2 v dVz
dφ
+
+N 2 −
= −q y
φ − Vz
dx
dx dx
dx
dx
dx
(B.14)
dVz dN dw
d 2 w dVy
dφ
+
+N
+
= −q z
φ + Vy
2
dx
dx dx
dx
dx
dx
8) Equilibrio de momentos
El equilibrio de momentos se realizará en el punto C del elemento diferencial
(Figura B.5 y Figura B.3) y según los ejes globales.
Se empleará, al igual que en el equilibrio de fuerzas, el subíndice “g” para
hacer referencia a los momentos proyectados en los ejes globales:
{M g }T = {M xg
{ } = {M xg + dM xg
T
M *g
M yg
M zg
M yg + dM yg
}
y
M zg + dM zg
}
(B.15)
De esta forma, los momentos M y M * de las expresiones (B.6) y (B.7)
pueden ser expresados nuevamente como:
{ }T {e}
M = Mg
(
y
M * = {M *g } {e}
Por otra parte, los esfuerzos S *
)
T
(B.16)
[expresión (B.10)] y las fuerzas
q = q x , q y , q z producen momentos en el punto C, los cuales son determinados
realizando el producto vectorial de CC * ∧ S * y CC q ∧ (q dx ) respectivamente.
Los vectores CC * y CC q son determinados en la configuración deformada del
elemento, y tienen las siguientes expresiones:
184 Apéndice B: Formulación del comportamiento elástico de un elemento
CC * = ( dx + du ) i + dv j + dw k
(B.17)
{
}
dx du  dv
dw
CC q = OC q − OC = 
+
 i + 2 j + 2 k + 0 yq
2
2


zq [T * * ]{e}
(B.18)
En consecuencia, los momentos en el punto C producidos por los esfuerzos
S * serían:
[ (
) (
)]
[dw(N + dN )− (dx + du)(V + dV )] j +
[(dx + du)(V + dV )− dv(N + dN )] k
CC * ∧ S * = dv Vzg + dVzg − dw Vyg + dVyg i +
g
g
zg
yg
yg
zg
g
(B.19)
g
y los producidos por las fuerzas q :
CC qx ∧ (q x dx ) + CC qy ∧ (q y dx ) + CC qz ∧ (q z dx )
(B.20)
con
CC qx ∧ (q x dx ) =
dφ 
dφ 
 dw

 dv


 2 + y qx  φ + 2  + z qx  q x dx j −  2 + y qx − z qx  φ + 2  q x dx k
(B.21)
CC qy ∧ (q y dx ) =
dφ 
 dw


−
+ y qy  φ +
 + z qy  q y dx i +
2 

 2

 dx du
 dv 1 dv 
 dw 1 dw 
 2 + 2 − y qy  dx + 2 d dx  − z qy  dx + 2 d dx  q y dx k
(B.22)
CC qz ∧ (q z dx ) =
dφ 
 dv

 2 + y qz − z qz  φ + 2  q z dx i +
dv 1 dv 
 dx du
 dw + 1 d dw  q dx j
− +
− y qz 
+ d
 − z qz 
 z
2
 dx 2 dx 
 dx 2 dx 
2
(B.23)
Realizando el equilibrio de momentos en el punto C y despreciando los
infinitésimos de orden superior, se consiguen las siguientes ecuaciones:
B.1 Deducción de las Ecuaciones diferenciales generales 185
(
)
(
)
dM xg
dw
dv
− Vyg
+ Vzg
− q y y qyφ + zqy + q z y qz − zqzφ = 0
dx
dx
dx
(
)
(
)
dM yg
dw
dv
dw 
+Ng
− Vzg + q x y qx φ + z qx + q z  y qz
+ z qz
=0
dx
dx
dx
dx 

(B.24)
dM zg
dv
dv
dw 
−Ng
+ Vyg − q x y qx − z qx φ − q y  y qy
+ z qy
=0
dx
dx
dx
dx 

Los momentos de los ejes globales pueden ser expresados en función de los
esfuerzos producidos en los ejes locales al sustituir, en estas ecuaciones, las
expresiones de Ng, Vyg y Vzg indicadas en (B.13):
dM xg  dv
dw  dw
= N
+ Vy − Vz φ 
− N
+ Vy φ + Vz
dx
 dx
 dx  dx
(
 dv +
 dx

)
(
+ q y y qyφ + zqy − q z y qz − zqzφ
)
dM yg
dv
dw  dw  dw
= − N − Vy
− Vz
+ N
+ Vy φ + Vz  +

dx
dx
dx  dx  dx


dv
dw 
− q x y qx φ + z qx − q z  y qz
+ z qz

dx
dx 

(
)
(B.25)
dM zg 
dv
dw  dv  dv
=  N − Vy
− Vz
− N
+ Vy − Vz φ  +
dx
dx
dx  dx  dx


dv
dw 
+ q x y qx − zqxφ + q y  y qy
+ zqy
dx
dx 

(
Asimismo, como
)
{M g }T = {M}T [T ] ,
los momentos de los ejes globales
pueden ser expresados también en función de los momentos producidos en los
ejes locales:
M xg = M x − M y
dv
dw
− Mz
dx
dx
M yg = M x
dv
+ M y − M zφ
dx
M zg = M x
dw
+ M yφ + M z
dx
(B.26)
Por último, las ecuaciones de equilibrio según los ejes locales son obtenidas
al derivar las ecuaciones (B.26) con respecto a x, y al sustituir después el primer
186 Apéndice B: Formulación del comportamiento elástico de un elemento
miembro de cada ecuación por la correspondiente expresión indicada en (B.25);
los infinitésimos de orden superior son despreciados:
dM x
d 
dv  d 
dw 
dv
dw
−
− Vy
+
My
−
 Mz
 + Vz
dx
dx 
dx  dx 
dx 
dx
dx
(
)
(
)
− q y y qy φ + z qy + q z y qz − z qz φ = 0
(
)
dM y
d 
dv  d
+
M z φ − Vz − Vy φ +
 Mx
−
dx
dx 
dx  dx
(
)
dv
dw 
+ q x y qx φ + z qx + q z  y qz
+ z qz
=0
dx
dx 

(
(B.27)
)
dM z
d 
dw  d
+
M y φ + Vy − Vz φ +
 Mx
+
dx
dx 
dx  dx
(
)
dv
dw 
− q x y qx − z qx φ − q y  y qy
+ z qy
=0
dx
dx 

9) Ecuaciones constitutivas de la flexión y torsión
Acorde con la teoría de los desplazamientos pequeños, las ecuaciones
constitutivas con esfuerzos y momentos según los ejes de la sección serían:
du
EA N = N ;
dx
EI y
d 2 w FT
dx 2
= −M y ;
EI z
d 2 v FT
dx 2
= Mz
y
(B.28)
d 3φFT
dφFT
GI t
− EI w
= Mx
dx
dx 3
con
uN = u ;
w FT = w − w p ;
v FT = v − v p
y φ FT = φ − φ p
(B.29)
donde wp, vp y φp son las deformaciones iniciales del elemento.
Para obtener las ecuaciones constitutivas con esfuerzos y momentos según
los ejes globales, se empleará la siguiente ecuación:
{M g }T = {M}T [T ]
Despejando la matriz {M}T , se tiene que:
B.1 Deducción de las Ecuaciones diferenciales generales 187
{ }T [T ]−1
{M}T = M g
(B.30)
Como [T ] −1 = [T ]T en las matrices de cambio de base, la ecuación (B.30)
quedaría:
{M x
My
} {
M z = M xg
M yg
M zg

 1

 dv
 dx

 dw

 dx
−
}
dv
dx
1
φ
dw 
dx 


−φ 


1 

−
(B.31)
por tanto, las expresiones de los momentos producidos en los ejes locales serían:
M x = M xg + M yg
dv
dw
+ M zg
dx
dx
M y = M yg − M xg
dv
+ M zg φ
dx
M z = M zg − M xg
dw
− M yg φ
dx
(B.32)
Así, se pueden volver a escribir las ecuaciones constitutivas indicadas en
(B.28) en función de los esfuerzos y momentos según los ejes globales:
EA
EI y
EI z
GI t
du N
dv
dw
= N g + Vyg
+ Vzg
dx
dx
dx
d 2 w FT
dx
2
d 2 v FT
dx 2
= − M yg + M xg
= M zg − M xg
dv
− M zg φ
dx
dw
− M yg φ
dx
dφ FT
d 3φ FT
dv
dw
− EI w
= M xg + M yg
+ M zg
3
dx
dx
dx
dx
(B.33)
188 Apéndice B: Formulación del comportamiento elástico de un elemento
B.2 ECUACIONES
DIFERENCIALES
SEGÚN EJES GLOBALES
GENERALES
En este apartado, se volverán a escribir de manera ordenada las ecuaciones
diferenciales deducidas en el Apartado B.1 según los ejes globales y con
esfuerzos y momentos globales:
dN g
= −q x
dx
(B.34)
dVyg
= −q y
dx
(B.35)
dVzg
= −q z
dx
(B.36)
(
)
dM xg
dw
dv
= Vyg
− Vzg
+ φ q y y qy + q z zqz + q y zqy − q z y qz
dx
dx
dx
(B.37)
dM yg
dw
dv
dw
= −N g
+ Vzg − q x y qxφ − q z y qz
− q z zqz
− q x zqx
dx
dx
dx
dx
(B.38)
dM zg
dw
dv
dv
= Ng
− Vyg − q x zqxφ + q y y qy
+ q y zqy
+ q x y qx
dx
dx
dx
dx
(B.39)
du
1 
dv
dw 
=
N + Vyg
+ Vzg
dx EA  g
dx
dx 
(B.40)
d 2 wp
d2w
1 
dv
=
− M yg + M xg
− M zgφ + EI y
2
dx
dx
dx 2
EI y 




(B.41)
d 2 v p 
d2v
1 
dw
=
M
−
M
−
M
φ
+
EI
zg
xg
yg
z
dx
dx 2 EI z 
dx 2 
dφ p
d 3φ p
d 3φ
1 
dφ
dv
dw
=
GI
−
M
−
M
−
M
−
GI
+
EI
xg
yg
zg
w
t
t
dx
dx
dx
dx
dx 3 EI w 
dx 3
Las incógnitas que aparecen en estas ecuaciones, son:
N g = N g ( x ) ; Vyg = Vyg ( x ) ; Vzg = Vzg ( x ) ;
M xg = M xg ( x ) ; M yg = M yg ( x ) ; M zg = M zg ( x ) ;
(B.42)




(B.43)
B.3 Particularización al caso del pandeo lateral 189
u = u( x ) ; v = v( x ) ; w = w( x ) ; y
φ = φ( x )
Como se puede apreciar, el número de incógnitas es igual al número de
ecuaciones planteadas.
Por otro lado, para proceder a la integración de las ecuaciones
diferenciales, se deben imponer las condiciones de contorno del elemento, las
cuales pueden ser:
u = 0 ; v = 0 y w = 0 cuando los desplazamientos son impedidos
φ =0;
d 2φ
dx 2
dv
dw
=0 y
= 0 cuando los giros son impedidos
dx
dx
= 0 cuando el alabeo es libre
dφ
= 0 cuando el alabeo es impedido
dx
De este modo, usando alguna técnica adecuada de integración, como la
técnica de Diferencias Finitas, se pueden obtener resultados numéricos del
comportamiento elástico de un elemento sometido a diferentes solicitaciones de
cargas.
B.3 PARTICULARIZACIÓN AL CASO DEL PANDEO
LATERAL
A partir de las ecuaciones diferenciales generales, se pueden deducir las
ecuaciones que gobiernan el comportamiento elástico a pandeo lateral
[Ecuaciones (3.20) y (3.21) del Capítulo 3].
Debido a que el pandeo lateral ocurre en elementos que flectan con
respecto al eje mayor de inercia de la sección, se consideran, para la deducción
de las fórmulas, que qz es la única carga actuando en el elemento estructural y
que esta carga está aplicada en el centro cortante de la sección. Adicionalmente,
se considera que el pandeo lateral ocurrirá antes de que el elemento flecte
(configuración sin deformar); por consiguiente, el desplazamiento w y sus
derivadas respecto a x serán iguales a cero. Por último, los valores de wp, vp y φp
deben ser iguales a cero porque el momento crítico elástico es calculado
considerando que en el elemento no existe ninguna deformación geométrica
previa.
Con estas consideraciones, la Ecuación (3.21) se obtiene directamente de la
Ecuación (B.42):
190 Apéndice B: Formulación del comportamiento elástico de un elemento
EI z
d2v
dx 2
− M zg + M yg φ = 0
Por otro lado, para deducir la Ecuación (3.20) se deriva la Ecuación (B.43)
con respecto a x:
d 4φ
1 
d 2φ dM xg dM yg dv
d 2 v 
=
GI
−
−
−
M
yg
t
dx
dx dx
dx 4 EI w 
dx 2
dx 2 
luego, se sustituyen las derivadas dMxg/dx, dMyg/dx y d2v/dx2 por sus respectivas
expresiones (Apartado B.2):
EI w
d 4φ
dx 4
= GI t
d 2φ
dx 2
(
)
 1

− M yg 
M zg − M ygφ 
EI
 z

y finalmente, al pasar todos los términos del segundo miembro al primer
miembro, la ecuación queda:
EI w
d 4φ
dx 4
− GI t
d 2φ
dx 2
−
2
M yg
EI z
φ+
1
EI z
M yg M zg = 0
De esta forma, queda demostrada la Ecuación (3.20) del Capítulo 3.
Apéndice
C
C PANLAT
En este apéndice se muestra la descripción de un programa llamado PANLAT,
que permite determinar el momento crítico elástico de pandeo lateral en vigas
metálicas. El PANLAT fue elaborado en el Instituto de Ingeniería Civil
(Tecnun), y su algoritmo matemático consiste en integrar por Diferencias Finitas
las Ecuaciones (3.20) y (3.21) tratadas en el Capítulo 3.
C.1 TÉCNICA DE INTEGRACIÓN POR DIFERENCIAS
FINITAS
Las expresiones para aproximar por Diferencias Finitas pueden ser deducidas
usando el primer término de la serie de Taylor de cada derivada. Para obtener
la solución numérica de una función f=f(x), la abscisa x debe ser dividida en
puntos de igual espaciamiento tal como se indica en la Figura C.1. Así, para un
punto x=xi, la primera, segunda, tercera y cuarta derivadas de f(x) serán iguales
a (Cheney y Kincaid 1999):
f iI =
(
)
f iII
(
1
− f i−1 + f i +1
2 ∆x
1
=
f i −1 − 2 f i + f i + 1
∆x 2
f iIII =
f iIV =
1
2 ∆x
1
∆x 4
)
(C.1)
(− f i −2 + 2 f i−1 − 2 f i +1 + f i + 2 )
3
( f i − 2 − 4 f i−1 + 6 f i
− 4 f i+1 + f i+2
)
con
191
192 Apéndice C: PANLAT
∆x =
L
n
L
n
x=i
y
donde L, particularizando al caso de un elemento estructural, es la longitud del
elemento; y n, su número de particiones (Figura C.2).
f = f (x)
fi +2
f i+1
fi
f i −1
f i −2
∆x
x i −2
∆x
∆x
xi
x i −1
∆x
x i+1
xi+2
x
Figura C.1 Puntos igualmente espaciados para la aproximación por
Diferencias Finitas.
L
−2
−1
0
1
2
i−2
i −1
i
i+1
i+2
n−2
n−1
n
n+1
n+2
Figura C.2 Discretización para la aproximación por Diferencias Finitas.
Como se puede apreciar en la ecuación diferencial de cuarto orden [última
expresión indicada en (C.1)], la representación de la Diferencia Finita en un
punto involucra cinco valores de la función: fi-2, fi-1, fi, fi+1 y fi+2. En consecuencia,
en un extremo del elemento, como en el punto O (Figura C.2), el uso de las
expresiones (C.1) requerirá de dos valores adicionales de la función: f-1 y f-2; lo
cual implica que en ese punto se necesitarán plantear dos ecuaciones
adicionales, las cuales deben ser obtenidas al imponer las condiciones de
contorno.
Cuando se divide el elemento en n segmentos, el uso de la aproximación
por Diferencias Finitas involucrará cuatro valores adicionales de la función,
originando n+5 variables desconocidas con n+1 ecuaciones; esto significa que se
requerirán de cuatro condiciones de contorno para obtener las cuatro
ecuaciones que faltan. En cada extremo del elemento, se pueden imponer dos
C.2 Descripción del Programa PANLAT 193
condiciones de contorno: giro de torsión y alabeo para la Ecuación (3.20); y
desplazamiento y giro en el plano lateral para la Ecuación (3.21).
C.2
DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA PANLAT
Usando la técnica de integración por Diferencias Finitas, descrita en el apartado
anterior, se realizó el algoritmo matemático del PANLAT en Microsoft Visual
C++.
Desde el punto de vista práctico, el PANLAT permite determinar el
momento crítico elástico de un elemento sometido a cualquier diagrama de
momento flector respecto a su eje fuerte y con distintas condiciones de enlace en
sus extremos.
Figura C.3 Presentación del programa PANLAT.
Al ejecutar el PANLAT, aparece una ventana de presentación (Figura C.3)
que permite acceder a la ventana principal del programa. Esta ventana principal
tiene cuatro solapas: las tres primeras permiten ingresar los datos de la viga, las
condiciones de los enlaces y las cargas actuantes; y la cuarta solapa es sólo para
visualizar el resultado del momento crítico elástico.
194 Apéndice C: PANLAT
Figura C.4 Entrada de datos del elemento.
En la solapa “Datos de la viga” (Figura C.4), se escogen el tipo de perfil
(laminado o armado) y las propiedades del acero (módulo de elasticidad y
módulo de cortadura). La selección de las propiedades del acero se puede
realizar eligiendo la normativa a usar (EA, EAE y Eurocódigo 3) o
introduciendo los valores de las propiedades por medio de la opción “Otras”.
Adicionalmente, en esta solapa, se ingresa la longitud del elemento.
Para la selección del perfil laminado (Figura C.5), el PANLAT cuenta con
una base de datos de perfiles IPE y HE. Mientras que para los perfiles armados
(Figura C.6), el programa permite que el usuario pueda crear su propio perfil
ingresando las dimensiones de sus alas y alma. Todas las propiedades de las
secciones laminadas y armadas pueden ser visualizadas en el programa.
C.2 Descripción del Programa PANLAT 195
Figura C.5 Selección de un perfil laminado.
Figura C.6 Creación de un perfil armado.
196 Apéndice C: PANLAT
En la solapa “Condiciones de contorno” (Figura C.7), se pueden indicar las
restricciones que tienen los apoyos de los extremos del elemento. Estas
restricciones pueden ser: flexión libre (articulado) o impedida (empotrado)
tanto en el eje fuerte como en el eje débil; y alabeo libre o impedido.
Figura C.7 Selección de las condiciones de contorno.
La solapa “Cargas” permite ingresar cargas concentradas y cargas
distribuidas actuantes en el elemento (Figura C.8). Las cargas ingresadas
pueden ser visualizadas en el programa (Figura C.9); e inclusive, si el usuario
ingresa mal una de las cargas, ésta puede ser modificada o borrada.
C.2 Descripción del Programa PANLAT 197
Figura C.8 Ingreso de las cargas aplicadas.
Figura C.9 Visualización de las cargas ingresadas.
Además, desde la ventana de visualización de las cargas (Figura C.9), se
puede acceder a una ventana que muestra el diagrama de momentos (Figura
C.10), los máximos momentos flectores (positivo y negativo) y los puntos de
localización de los momentos máximos en el elemento.
198 Apéndice C: PANLAT
Figura C.10 Visualización del diagrama de momentos.
Por último, la solapa “Momento crítico” (Figura C.11) muestra el valor del
momento crítico elástico del elemento y el factor de carga; este último, es
calculado dividiendo el momento crítico elástico entre el valor absoluto del
máximo momento flector producido por las cargas aplicadas.
Figura C.11 Resultados.
Apéndice
D
D EJEMPLO DE CÁLCULO
Un ejemplo de cálculo se desarrolla en este apéndice con el propósito de
presentar los procedimientos propuestos por el EC3 (2005) y el AISC LRFD
(1994) en la verificación de la resistencia de un elemento estructural flexocomprimido.
Las consideraciones de diseño que fueron empleadas para determinar los
resultados comparativos del Apartado 4.3.1, son tomadas en cuenta en este
ejemplo.
D.1
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Usando el EC3 (2005) y el AISC LRFD (1994), verifíquese si el perfil HEB 240
puede resistir los esfuerzos combinados que se indican en la Figura D.1. El
elemento mide 8 m de longitud, y no tiene restricciones que impidan el
desarrollo del pandeo lateral. Úsese acero S275.
M y , Ed = 140 KN .m
M y , Ed = 140 KN .m
N Ed = 600 KN
N Ed = 600 KN
Figura D.1 HEB 240 sometido a esfuerzos combinados.
A continuación, se brindan los datos del problema en unidades del Sistema
Internacional y Sistema Inglés:
Sistema de cargas:
Compresión axial:
NEd = 600 KN = 134.84 kips
Momento flector máximo y-y:
My,Ed = 140 KN.m = 1238.66 kip.in
199
200 Apéndice D: Ejemplo de cálculo
Propiedades de la sección (HEB 240):
Ancho del ala:
bf = 0.240 m = 9.45 in
Espesor del ala:
tf = 0.017 m = 0.67 in
Altura del alma:
hw = 0.206 m = 8.11 in
Espesor del alma:
tw = 0.010 m = 0.39 in
Radio del acuerdo:
r = 0.021 m = 0.83 in
Área:
A = 1.060*10-2 m2 = 16.43 in2
Inercia y-y:
Iy = 1.126*10-4 m4 = 270.52 in4
Inercia z-z:
Iz = 3.923*10-5 m4 = 94.25 in4
Inercia torsional de Saint Venant:
It = 1.027*10-6 m4 = 2.47 in4
Inercia al alabeo:
Iw = 4.869*10-7 m6 = 1813.17 in6
Módulo resistente elástico y-y:
Wel,y = 9.383*10-4 m3 = 57.26 in3
Módulo resistente elástico z-z:
Wel,z = 3.269*10-4 m3 = 19.95 in3
Módulo resistente plástico y-y:
Wpl,y = 1.053*10-3 m3 = 64.26 in3
Módulo resistente plástico z-z:
Wpl,z = 4.984*10-4 m3 = 30.41 in3
Sistema geométrico del elemento:
Longitud del elemento:
L = 8.00 m = 314.96 in
Longitud de pandeo de flexión:
KL = 8.00 m = 314.96 in
Longitud de pandeo lateral:
LLT = 8.00 m = 314.96 in
Propiedades del acero:
Tensión de fluencia:
fy = 275 MPa = 39.88 ksi
Módulo de elasticidad:
E = 210 GPa = 30450 ksi
Módulo de cortadura:
G = 81 GPa = 11745 ksi
D.2 VERIFICACIÓN ESTRUCTURAL ACORDE CON EL
EC3 (2005)
Para verificar, acorde con el EC3 (2005), la capacidad resistente del perfil HEB
240 indicado en el Apartado D.1, se siguen los siguientes pasos:
1) Clasificación de la sección [Tabla 5.2 - EC3 (2005)]
Para determinar la clase de la sección, primero se debe determinar el valor de ε:
D.2 Verificación estructural acorde con el EC3 (2005) 201
ε=
235
fy
ε = 0.924
(fy en MPa)
luego se determinan las tensiones que producen los esfuerzos actuando en la
sección:
 h w − 2r 

M y ,Ed 
2 
N Ed


σc =
+
A
Iy
σ c = 158.56 MPa
 hw − 2r 

M y ,Ed 
2 
N Ed


−
σt =
A
Iy
σ t = −45.35 MPa
Estas tensiones son menores a la tensión de fluencia fy, por lo cual bastará
clasificar el alma de la sección como si ésta estuviera sometida a flexión pura.
Para saber si el alma es de Clase 1 se debe cumplir que:
cw
tw
≤ 72ε
siendo
c w = h w − 2r
Con los datos del enunciado, se obtiene que cw/tw=16.40 y 72ε=66.53; por lo
tanto, el alma es de Clase 1.
Por otro lado para saber si el ala comprimida de la sección es de Clase 1, se
debe cumplir que:
cf
tf
≤ 9ε
siendo
cf =
b f tw
−
−r
2
2
Del cálculo, se obtiene que cf/tf=5.53 y 9ε=8.32; por lo cual el ala es de Clase
1.
Como el alma y el ala de la sección son de Clase 1, la sección será también
de Clase 1.
2) Factores de seguridad parcial
Se tomarán γM0=1.00 y γM1=1.00 en todos los cálculos, puesto que el valor de 1 es
el valor recomendado por el EC3 (2005) para edificaciones.
202 Apéndice D: Ejemplo de cálculo
3) Verificación de la resistencia de la sección [Apartados 6.2.9 y 6.2.10 - EC3 (2005)]
Puesto que las fórmulas del Método 1 y Método 2 se basan en el concepto de
factor de momento equivalente, es necesario verificar la resistencia de la sección
en los extremos del elemento.
Para esto, primero se debe saber si habrá una reducción de la tensión de
fluencia en el área de cortante, causada por el esfuerzo cortante máximo (Vy,Ed)
que actúa en los extremos del elemento:
M y ,Ed ,der + M y ,Ed ,izq
Vy ,Ed =
Vy ,Ed = 35 KN
L
(
)
A v = 0.003324 m 2
A v = A − 2b f t f + t w + 2 r t f
Vpl ,Rd =
(
Av f y /
3
)
Vpl ,Rd = 527.76 KN
γ M0
puesto que Vy,Ed es menor a 0.5Vpl,Rd, la reducción de la tensión de fluencia no
será necesaria.
Posteriormente, se debe calcular el momento plástico resistente, reducido
por la presencia del esfuerzo axial de compresión:
n=
N Ed
n = 0.206
A f y / γ M0
nw =
N Ed γ M 0
n w = 1.059
hwtw f y
como nw es mayor a 0.50, las siguientes expresiones se aplican:
a=
(A − 2b f t f )
A
≤ 0.50
a = 0.230
M pl ,y ,Rd = W pl ,y f y / γ M 0
M N ,y ,Rd = M pl ,y ,Rd
(1 − n)
(1 − 0.5a)
M pl , y , Rd = 289.58 KN .m
≤ M pl ,y ,Rd
M N ,y ,Rd = 259.80 KN .m
Finalmente, para verificar la resistencia de la sección la siguiente condición
debe cumplirse:
D.2 Verificación estructural acorde con el EC3 (2005) 203
R=
M y ,Ed
debe ser menor o igual a 1
M N ,y ,Rd
Reemplazando los valores de My,Ed=140 KN.m y MN,y,Rd=259.80 KN.m, se
obtiene que R es menor a 1 (R= 0.539), por lo tanto la verificación de la
resistencia de la sección es satisfactoria; en otras palabras, el perfil HEB 240 de
la Figura D.1 no fallará por resistencia de la sección.
4) Cálculo de los factores de reducción de la resistencia por pandeo [Apartados 6.3.1.2 y
6.3.2.2 - EC3 (2005)]
Usando las Tablas 6.1 al 6.4 del EC3 (2005), se pueden determinar las curvas de
pandeo y los correspondientes factores de imperfección para el perfil HEB 240:
Eje y-y de pandeo:
curva b
αy=0.34
Eje z-z de pandeo:
curva c
αz=0.49
Pandeo lateral
curva a
αLT=0.21
Con esta información, se calculan los factores de reducción χy y χz
[Apartado 6.3.1.2 – EC3 (2005)]:
N cr ,i =
λi =
π 2 EI i
N cr ,y = 3646.51 KN
L2i
N cr ,z = 1270.45 KN
A fy
λ y = 0.894
N cr ,i
λ z = 1.515
[
(
)
Φ i = 0.5 1 + α i λ i − 0.2 + λ i2
χi =
1
Φ i + Φ i2 − λ i2
]
≤1
Φ y = 1.018
Φ z = 1.970
χ y = 0.665
χ z = 0.310
Luego, se procede a determinar el factor de reducción χLT con el método
denominado “general case” [Apartado 6.3.2.2 del EC3 (2005)]. Adicionalmente,
para mantener el mismo valor del momento crítico elástico en ambas normas de
diseño, se empleará un único valor de C1, calculado con la expresión (3.27).
C1 =
2
35 M max
2
M max
+ 9 M 22 + 16 M 32 + 9 M 42
C 1 = 2.523
204 Apéndice D: Ejemplo de cálculo
M cr = C 1
λ LT =
π 2 EI z
Iw
L2LT
Iz
+
L2LT GI t
W pl ,y f y
λ LT = 0.569
M cr
[
(
)
2
Φ LT = 0.5 1 + α LT λ LT − 0.2 + λ LT
χ LT =
M cr = 894.44 KN .m
π 2 EI z
1
2
2
− λ LT
Φ LT + Φ LT
]
Φ LT = 0.701
χ LT = 0.901
≤1
Tomando en cuenta el factor de reducción modificado χLT,mod,
correspondiente a la distribución lineal de momentos de la Figura D.1, se tiene
que:
ψ =−
M y ,Ed ,Der
ψ = −1
M y ,Ed ,Izq
kc =
1
1.33 − 0.33ψ
(
k c = 0.602
)
(
)
2
f = 1 − 0.5 1 − k c 1 − 2 λ LT − 0.8  ≤ 1


χ LT ,mod =
χ LT
f
≤1
f = 0.822
χ LT ,mod = 1
5) Cálculo de los factores de interacción [Anexos A y B - EC3 (2005)] y verificación de
la resistencia al pandeo [Apartado 6.3.3 - EC3 (2005)]
Los factores de interacción pueden ser determinados usando el Método 1 o el
Método 2 del EC3 (2005). Una vez que se determinan estos factores, se puede
realizar la verificación de la resistencia al pandeo.
Los procedimientos de cálculo que siguen los dos métodos del EC3 (2005),
son presentados a continuación en los siguientes dos apartados.
D.2.1 Verificación de la resistencia al pandeo usando el
Método 1
Para realizar la verificación usando el Método 1, primero se deben determinar
los términos auxiliares:
D.2 Verificación estructural acorde con el EC3 (2005) 205
µi =
wi =
n pl =
1 − N Ed / N cr ,i
µ y = 0.938
1 − χ i N Ed / N cr ,i
µ z = 0.618
W pl ,i
w y = 1.122
W el ,i
w z = 1.500
N Ed
n pl = 0.206
A f y / γ M1
a LT = 1 −
εy =
≤ 1 .5
It
Iy
≥0
M y , Ed
a LT = 0.991
A
ε y = 2.636
N Ed W el , y
λ y
λ max = max 
λ z
λmax = 1.515
Luego, se determina la esbeltez adimensional a pandeo lateral,
correspondiente a una distribución uniforme de momento:
M cr ,0 =
λ0 =
π 2 EI z
Iw
L2LT
Iz
+
L2LT GI t
M cr ,0 = 354.57 KN .m
π 2 EI z
W pl , y f y
λ 0 = 0.904
Mcr ,0
Para no tomar en cuenta la influencia de la fuerza axial de compresión en
el fenómeno del pandeo lateral, se debe cumplir que:
λ 0 ≤ λ 0 ,lim
Determinando la esbeltez λ 0 ,lim , se tiene que:
N cr ,T =

π 2 EI w 
 GI +

t
L2LT 
I y + I z 
A



λ 0 ,lim = 0.2 C 1 4  1 −
N Ed 
N
 1 − Ed


N cr ,z 
N cr ,T
N cr ,T = 6908.54 KN




λ 0 ,lim = 0.265
206 Apéndice D: Ejemplo de cálculo
Como no se cumple la condición λ 0 ≤ λ 0 ,lim , los factores de momento
equivalente deben ser calculados de la siguiente manera:
C my ,0 = 0.79 + 0.21ψ + 0.36(ψ − 0.33 )
(
C my = C my ,0 + 1 − C my ,0
2
C mLT = C my
)
N Ed
ε y a LT
C my = 0.809
1 + ε y a LT
a LT

N
 1 − Ed

N cr ,z

C my ,0 = 0.501
N cr ,y

N
 1 − Ed

N cr ,T





≥1
C mLT = 1.000
Puesto que no existe momento flector actuando en el eje débil del elemento
(Mz,Ed=0), los factores de plasticidad son determinados con las siguientes
expresiones:

1.6 2
2
C yy = 1 + w y − 1 2 −
C my λ max + λ max
wy

(
)
(

W el ,y

W pl ,y
)n pl ≥
C yy = 0.961
2
2
w y W el ,y


C my
λ max
C zy = 1 + w y − 1 2 − 14
n
≥
0
.
6

pl
W y5 

w z W pl ,y
(
)
C zy = 0.753
Por consiguiente, los valores de los factores de interacción serían:
µy
k yy = C my C mLT
1−
1−
k yy = 0.945
N Ed C yy
N cr ,y
µz
k zy = C my C mLT
1
1
N Ed C zy
0 .6
wy
wz
k zy = 0.412
N cr ,y
Finalmente, se aplican las fórmulas de interacción para evaluar la
resistencia al pandeo:
D.2 Verificación estructural acorde con el EC3 (2005) 207
Ry =
N Ed
χy A fy
+ k yy
M y ,Ed
χ LT ,mod W pl ,y f y
γ M1
Rz =
N Ed
χz A fy
debe ser menor o igual a 1
γ M1
+ k zy
M y ,Ed
χ LT ,mod W pl ,y f y
γ M1
debe ser menor o igual a 1
γ M1
Los valores de Ry y Rz salen menores a 1 (Ry=0.766 y Rz=0.864), por
consiguiente, la verificación de la resistencia al pandeo es satisfactoria acorde
con el Método 1.
D.2.2 Verificación de la resistencia al pandeo usando el
Método 2
Para realizar la verificación usando el Método 2, primero se deben determinar
los factores de momento uniforme equivalente:
C my = 0.6 + 0.4ψ ≥ 0.4
C my = 0.40
C mLT = 0.6 + 0.4ψ ≥ 0.4
C mLT = 0.40
Luego, se determinan los factores de interacción:




N Ed
N Ed
 ≤ C my 1 + 0.8

k yy = C my 1 + λ y − 0.2


χ y A f y / γ M 1 
χ y A f y / γ M 1 
(
)
k yy = 0.486
puesto que λ z es mayor a 0.4, el factor de interacción kzy se determina con la
siguiente fórmula:

 

N Ed
N Ed
0.1λ z
0.1
k zy = 1 −
 ≥ 1 −

C mLT − 0.25 χ z A f y / γ M 1  
C mLT − 0.25 χ z A f y / γ M 1 

(
)
(
)
k zy = 0.557
Finalmente, se aplican las fórmulas de interacción para evaluar la
resistencia al pandeo:
208 Apéndice D: Ejemplo de cálculo
N Ed
Ry =
χy A fy
M y ,Ed
+ k yy
χ LT ,mod W pl ,y f y
γ M1
Rz =
N Ed
χz A fy
debe ser menor o igual a 1
γ M1
M y ,Ed
+ k zy
χ LT ,mod W pl ,y f y
γ M1
debe ser menor o igual a 1
γ M1
Los valores de Ry y Rz salen menores a 1 (Ry=0.544 y Rz=0.934), por
consiguiente, la verificación de la resistencia al pandeo es satisfactoria acorde
con el Método 2.
D.3 VERIFICACIÓN ESTRUCTURAL ACORDE CON EL
AISC LRFD (1994)
Para verificar, acorde con el AISC LRFD (1994), la capacidad resistente del perfil
HEB 240 indicado en el Apartado D.1, se siguen los siguientes pasos:
1) Factores de resistencia
Los factores de resistencia para la compresión y para la flexión son φc=0.85 y
φb=0.90, respectivamente.
2) Verificación de la esbeltez de las alas y alma [Tabla B5.1 – AISC LRFD (1994)]
Para aplicar las fórmulas de interacción [(H1-1a) y (H1-1b) del AISC LRFD
(1994)], se debe verificar que las alas y el alma del perfil no sean elementos
esbeltos. Para esto, las siguientes condiciones deben cumplirse:
bf
para el ala:
2tf
cw
para el alma:
tw
< λr , f
< λ r ,w
con
c w = h w − 2r
Los valores de λr,f y λr,w son:
λr , f =
141
f y − 10
λ r , f = 25.79
D.3 Verificación estructural acorde con el AISC LRFD (1994) 209
λ r ,w =
N Ed
970 
1 − 0.74

φb A f y
fy 




λ r ,w = 127.61
Como bf/2tf=7.05 es menor a λr,f, y cw/tw=16.54 es menor a λr,w, las alas y el
alma del perfil HEB 240 no son elementos esbeltos.
3) Cálculo de la resistencia nominal a compresión pura [Capítulo E-E2 de las
Especificaciones – AISC LRFD (1994)]
La resistencia nominal a compresión pura depende del valor de la esbeltez λc,
que es calculado con la siguiente expresión:
λc =
KL
rz π
fy
E
λ c = 1.515
Como λc es mayor a 1.50, la tensión del pandeo de flexión, fcr, es:
 0.877 
f cr =  2  f y
 λc 
f cr = 15.24 ksi
y, la resistencia nominal a compresión es igual a:
Pn = A f cr
Pn = 250.41 kips
4) Cálculo de la resistencia nominal a flexión pura [Capítulo F-F1 de las
Especificaciones – AISC LRFD (1994)]
Para determinar la resistencia nominal a flexión pura, se deben conocer las
tensiones de fluencia del ala y del alma:
f yf = f y
f yf = 39.88 ksi
f yw = f y
f yw = 39.88 ksi
Asimismo, se conoce que la tensión residual de compresión fr es de 10 ksi;
este valor es el recomendado por el AISC LRFD (1994) para perfiles laminados.
Con este valor, se puede determinar la tensión fL:
(
 f yf − f r
fL es el menor valor de 
 f yw
)
f L = 29.88 ksi
Por otro lado, las longitudes laterales no arriostradas del elemento son:
L b = L LT
L b = 314.96 in
210 Apéndice D: Ejemplo de cálculo
Lp =
300 rz
L p = 113.79 in
f yf
Para determinar la longitud lateral Lr, se necesitan calcular los parámetros
X 1 y X 2:
X1 =
π
W el ,y
EG It A
2
I w  Wel ,y 
X2 = 4
I z  G It 
X 1 = 4671.45 ksi
2
X 2 = 3.00 * 10 −4 ksi −2
así,
Lr =
rz X 1
fL
1 + 1 + X 2 f L2
L r = 546.08 in
Por otra parte, se pueden determinar los momentos Mr y Mpl,y:
M r = f L W el ,y
M r = 1710.60 kip . in
M pl ,y = Wpl ,y f y
M pl ,y = 2562.29 kip . in
Para determinar el factor de momento uniforme equivalente de pandeo
lateral, se empleará la misma expresión usada en el Apartado D.2:
C1 =
2
35 M max
C 1 = 2.523
2
M max
+ 9 M 22 + 16 M 32 + 9 M 42
Finalmente, como Lb es menor a Lr, la resistencia nominal a flexión es
calculada con esta fórmula:

M n ,y = C 1  M pl ,y − M pl ,y − M r


(


) L b − L p  ≤ M pl ,y
 L r − L p 
M n ,y = 2562.29 kip . in
5) Cálculo del momento de segundo orden [Capítulo C-C1 de las Especificaciones –
AISC LRFD (1994)]
Con el parámetro ψ, definido en el Apartado D.2, se puede determinar el factor
C m:
D.3 Verificación estructural acorde con el AISC LRFD (1994) 211
C my = 0.6 + 0.4ψ
C my = 0.20
Luego, se determinan la carga crítica de Euler correspondiente al plano de
flexión y el factor B1 que toma en cuenta los efectos de segundo orden:
λc ,y =
Pe 1 =
B1 =
KL
fy
E
ry π
λ c ,y = 0.894
A fy
Pe 1 = 819.55 kips
λc2,y
Cm
(1 − N Ed / Pe1 )
≥1
B1 = 1
De esta forma, el momento de segundo orden será igual a:
M yII = B1 M y , Ed
M yII = 1238.66 kip . in
6) Verificación estructural del elemento [Ecuaciones (H1-1a) y (H1-1b) – AISC LRFD
(1994)]
Como NEd/φcPn es mayor a 0.20 (NEd/φcPn=0.633), se debe aplicar la siguiente
fórmula de interacción para realizar la verificación estructural:
R=
P
φ c Pn
+
8
M yII
9 φ b M n ,y
debe ser menor o igual a 1
El resultado de esta fórmula es R=1.110, por lo cual el perfil HEB 240 no es
capaz de soportar, acorde con el AISC LRFD (1994), los esfuerzos combinados
que se indican en la Figura D.1.
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