Investigación de Operaciones 1

Investigación de Operaciones 1
Clase 17
Pablo Andrés Maya
Junio, 2014
Pablo Andrés Maya ()
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Dualidad
Considere los siguientes programs lineales
Primal
max Z =
n
X
Dual
min W =
c j xj
s.a.
m
X
aij xj ≤ bi ∀i = 1 . . . m
j=1
aij wi ≥ cj ∀j = 1 . . . n
i=1
wi ≥ 0 ∀i = 1 . . . m
xj ≥ 0 ∀j = 1 . . . n
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bi wi
i=1
j=1
s.a.
n
X
m
X
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Dualidad
Considere los siguientes programs lineales
Primal
Dual
max z = cT x
min z = wT b
s.a.
s.a.
Ax ≤ b
wT A ≥ cT
x≥0
w≥0
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Relación primal-dual
Ambos problemas hacen uso de los mismos paráametros para su
construcción (aij , bi y cj ), solo que en diferente ubicación.
Cada restricción del problema primal tiene asociada una variable en el
problema dual y cada variable del problema primal tiene asociada una
restricción del problema dual.
Los coeficientes de cada columna de A en el problema primal
corresponden a los coeficientes de una de las restricciones del
problema dual. Mientras que, los coeficientes de cada renglón de A
en el problema primal corresponde a los coeficientes en una variable
en las restricciones del problema Dual.
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Relación primal-dual
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Precio sombra
Precio sombra
−1
T
z = cT x = cT
B B b + cN xN
z = w T b + cT
N xN
Se perturba ligeramente el lado derecho bi , manteniendo la optimalidad de
la solución. entonces podrı́a interpretarse
δz ∗
= cbT B−1
= wi∗
i
δbi
(1)
como la razón de cambio del valor óptimo por un incremento unitario en el
i-ésimo valor del lado derecho dado que las variables no básicas se
mantienen en cero.
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Precio sombra
Pregunta
Cuanto estarı́a dispuesto a pagar usted por una unidad extra de recurso bi ?
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Precio sombra
Pregunta
Cuanto estarı́a dispuesto a pagar usted por una unidad extra de recurso bi ?
La respuesta la dan los precios sombra
Cuanto estarı́a dispuesto a pagar usted por una unidad extra de
recurso del cual no se han consumido todas las unidades disponibles?
Cuantas unidades producirı́a usted de un producto cuya ganancia
generada
(cj ) es menor que el costo de los recursos consumidos
P
( m
a
w
i=1 ij i )?
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Interpretación del dual
Primal
max Z =
n
X
Dual
min W =
c j xj
s.a.
m
X
aij xj ≤ bi ∀i = 1 . . . m
j=1
aij wi ≥ cj ∀j = 1 . . . n
i=1
wi ≥ 0 ∀i = 1 . . . m
xj ≥ 0 ∀j = 1 . . . n
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bi wi
i=1
j=1
s.a.
n
X
m
X
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Interpretación del dual
La variable wi en el problema dual representa el precio sombra de una
unidad de recurso i. Observe que si el fabricante decide no producir una
unidad del producto j y en cambio rentar los recursos que no utilizar en su
produccion
Pm por precios justos (w1 ,w2 , . . . ,wm ) la restricción del problema
dual i=1 aij wi ≥ cj estipula que la renta de las unidades de recurso
liberadas por no producir una unidad de j debe ser mayor que la perdida
de ganancia ocasionada. Sin embargo, con el fin de que los precios de
renta de los recursos liberados sean justos se minimiza la renta total.
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Interpretación del dual
Primal
min Z =
n
X
Dual
max W =
c j xj
s.a.
n
X
aij xj ≥ bi ∀j = 1 . . . m
i=1
aij wi ≤ cj ∀i = 1 . . . n
j=1
wi ≥ 0 ∀i = 1 . . . m
xj ≥ 0 ∀j = 1 . . . n
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bi wi
i=1
j=1
s.a.
m
X
m
X
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Interpretación del dual
Suponga que se contrata una empresa para producir b1 , b2 . . . bm
unidades de m productos. Para producir esos bienes la empresa puede
realizar cualquiera de las n actividades en distintos niveles, cada actividad
j tiene su propio costo cj y se acepta pagar el costo total de producción.
Desde el punto de vista del comprador, le gustarı́a tener control sobre las
operaciones de la empresa de modo que pudiera especificar las
combinaciones y niveles de las actividades de la empresa para minimizar el
costo total de producción. Si aij representa la cantidad
P de producto i
generada por una unidad de la actividad j, entonces nj=1 aij xj representa
el total de unidades que se producen del producto i el cual debe ser mayor
o igual que la cantidad requerida bi . Por tanto, el problema que el
comprador desea resolver es el problema primal.
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Ejercicio
Una empresa procesadora de tomate de árbol tiene dos productos para la
venta, pulpa y mermelada, cada uno de los cuales consume una cantidad
fija de fruta (kg) y de horas de procesamiento. Se dispone de 200kg de
fruta y 160 horas máquina. La cantidad en kilos que debe producir de
pulpa (x1 ) y de mermelada (x2 ) con el fin de maximizar su utilidad se
determina usando el siguiente PL
max z = 5x1 + 20x2
s.a.
x1 + 3x2 ≤ 200
3x1 + 2x2 ≤ 160
xi ≥ 0 i = 1, 2
Cuanto estarı́a usted dispuesto a pagar por una unidad extra de cada
recurso?
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