103 Representación Gráfica Del Cuadrado Y Del Cubo De La Suma

Título del trabajo: Representación gráfica del cuadrado y del cubo de la suma de dos cantidades.
Autores:
Comellas Montalvo Elizabeth.
Guerra Alfaro Jorge Alejandro.
Ledesma Capuchino Mario Alberto.
Sánchez Campos Luis Santiago.
Varela Sandoval Beatriz Alejandra.
Institución: Centro Universitario Anglo Mexicano. México
Profesor responsable: Ing. Miguel E. Salcedo y Vilchis.
Nivel: Preparatoria Categoría: Científica (Ciencias físico matemáticas, inv. Bibliográfica)
Área: Matemáticas V.
Objetivo:
Elevar un binomio al cuadrado y al cubo en el caso general, para comparar el método algebraico
con el geométrico.
Representar el cuadrado y el cubo de un binomio que es abstracto, concretamente.
Facilitar el aprendizaje matemático por medio de objetos palpables.
Combinar el álgebra con la geometría.
Antecedentes:
Las matemáticas de la antigüedad estaban basadas principalmente en la geometría. Según nos
cuenta Herodoto, la geometría tuvo su origen en las técnicas de medición de los egipcios, de
donde más tarde pasaría a Grecia. Los árabes fueron los herederos de la cultura helénica y los
"Elementos de Euclides" uno de los textos más estudiados que se basa en el estudio de las
figuras, que llegó a nuestra actualidad, y es parte de la geometría que actualmente se estudia.
Un área de esa matemática se centró en las operaciones algebraicas, una de ellas es la
multiplicación de polinomios, ésta a la vez incluye multiplicar un binomio por otro igual, y éste se
puede volver a multiplicar por el mismo y así sucesivamente hasta el infinito. Los matemáticos
desde la antigüedad hasta Newton intentaron simplificar estas multiplicaciones con una nueva
operación llamada potencia.
Marco teórico:
Elevar un binomio a una determinada potencia significa multiplicar abreviadamente un binomio n
veces por sí mismo. Después de resolver éstas multiplicaciones por el método conocido (que
consiste en multiplicar cada término del primer binomio por cada término del segundo), se
obtuvieron resultados y se encontró una relación en cada uno cuando se iba elevando una unidad
al exponente, que después demostró Pascal con su triángulo, donde se representaban los
coeficientes de cada resultado al elevar un binomio a cualquier potencia.
Más tarde Newton encontró la forma general para calcular un binomio a la n potencia. Donde se
expresó de forma general los resultados de ésta secuencia. Pero en éste trabajo nos enfocaremos
sólo al binomio al cuadrado y al cubo, que al encontrarse su fórmula general ((a+b)2=a2+2ab+b2, y
(a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3), se demostró geométricamente dando valores lineales a “a” y a “b” para
demostrar los resultados algebraicos. Que son para (a+b)2 calcular el área de un cuadrado con
(a+b) de lado. Y para (a+b)3 calcular el volumen de un cubo con (a+b) de lado.
Siguiendo las fórmulas para el área del cuadrado (A=L2) y del volumen del cubo (V=L3).
Método:
Fue una investigación experimental, ya que sólo necesitamos desarrollar las operaciones y luego
dar valores lineales a las cantidades para representarlo geométricamente.
En la parte teórica, sólo repasamos y desarrollamos las propiedades descubiertas por Pascal y
Newton.
Desarrollo:
El cuadrado de la suma de dos cantidades puede representarse geométricamente cuando los
valores son positivos.
Construimos un cuadrado de a unidades de lado, es decir, de lado a.
Construimos un cuadrado de b unidades de lado, es decir, de lado b.
Construimos dos rectángulos de largo a y ancho b.
Uniendo estas 4 figuras formaremos un cuadrado de (a+b) unidades de lado. El área de éste
cuadrado es (a+b)(a+b)=(a+b)2, y esta área está formada por un cuadrado de área a2, un
cuadrado de área b2 y dos rectángulos de área ab cada uno, o sea 2ab.
Podría resumirse en calcular el área de un cuadrado de (a+b) de lado, por lo que debemos
elevar al cuadrado este valor según la fórmula del área del cuadrado que es A=L2.
El cubo de la suma de dos cantidades puede representarse geométricamente cuando los valores
son positivos.
Construimos un cubo de a unidades de lado, es decir, de lado a.
Construimos un cubo de b unidades de lado, es decir, de lado b.
Construimos 3 rectángulos de a2b.
Construimos 3 rectángulos de ab2.
Se puede resumir en calcular el volumen de un cubo de (a+b) de lado, por lo que debemos
elevar al cubo este valor según la fórmula del volumen del cubo, que es V=L3.
Geométricamente la
es:
potencia Algebraicamente la potencia es:
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
Por medio de modelos construidos de madera (binomio al cubo) y de cartón (binomio al cuadrado),
comprobaremos y explicaremos los procedimientos antes mencionados.
Elevaremos al cubo y al cuadrado un segmento llamado “a” + otro segmento llamado “b” para
obtener el resultado geométricamente.
Resultados y Conclusiones:
1.- Elevando un binomio al cuadrado obtenemos un trinomio cuadrado (algebraicamente).
2.- Elevando un binomio al cubo obtenemos un polinomio cubo
(algebraicamente).
3.- Elevando un segmento de tamaño “a” + otro segmento de
tamaño “b” al cuadrado se obtiene un cuadrado perfecto
(geométricamente).
4.- Elevando un segmento “a” + otro “b” al cubo se obtiene un cubo
perfecto (geométricamente).
5.- Comparar el método algebraico con el método geométrico nos
ayuda a ver claramente el desarrollo del binomio a la potencia.
6.- Ejemplificar con el método geométrico, nos ayuda a encontrar las causas de los resultados
físicamente y no a sólo seguir fórmulas, sino encontrar demostraciones, que fácilmente podemos
construir sin necesidad de buscarlas en el triángulo de Pascal ni en la fórmula de Newton.
7.- Aplicando la geometría y el álgebra podemos resolver problemas de la vida cotidiana.
8.- Representar de manera concreta una operación matemática que es abstracta concretamente
facilita el aprendizaje matemático de las operaciones.
9.- Elevar un binomio al cuadrado es lo mismo que calcular el área de un cuadrado de (a+b) de
lado.
10.- Elevar un binomio al cubo es lo mismo que calcular el volumen de un cubo de (a+b) de lado.
Bibliografía:
1.- Dugopolski Mark, Álgebra Intermedia, Ed. Mc Graw Hill, México 2005, 550 págs., pp.: 168-178.
2.- Smith, Stanley A., Álgebra, Ed. Addison Weasley, México 1992, 659 págs., pp.: 241-244
3.- Baldor, Aurelio Álgebra, Publicaciones cultural, México, abril de 2004, (22ª ed.), 574 págs., pp.: 97-99, 103-104.
4.- http://schollaris.com.mx/010201binomiocuadrado.php
5.- http://www.epler.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIII/3_5_4_cub_bin.htm