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Espectroscopia: estudio de la radiación electromagnética emitida u absorbida por las
sustancias. De importancia vital para la identificación y caracterización de compuestos.
• EL DESCUBRIMIENTO DEL NÚCLEO ATÓMICO
•
• El modelo atómico planetario
• Este modelo de átomo sería inestable, por que los electrones emitirían
radiación al estar sujetos a una aceleración. No obstante esto, haremos
algunos cálculos sobre este modelo.
•
• En este modelo, un electrón de masa m, con carga –e y con velocidad v
giraría alrededor del núcleo, con carga Ze.
La energía total sería la energía cinética del electrón
Ec 
1
mv 2
2
(1)
más la energía potencial eléctrica
V 
qq'
r
reemplazando q = Ze y q’ = -e
Ze 2
V  
r
(2)
Sumando (1) y (2) obtenemos la energía total
1 2
Ze 2
E  E c  V  mv  
2
r
(3)
Las líneas de puntos representarían el movimiento del electrón en
ausencia de fuerzas (rectilíneo). Como en cada punto de su trayectoria
se ejerce una fuerza central sobre él, se mueve en círculo.
El electrón está sujeto a un movimiento acelerado, pues se ejerce
sobre él una fuerza eléctrica perpendicular a su movimiento alrededor
del núcleo.
Fe  ma
(4)
donde a es la aceleración centrípeta
v2
a
r
(5)
y Fe la fuerza coulombiana de atracción entre el núcleo y el electrón
Ze 2
Fe   2
r
(6)
Sustituyendo (5) y (6) en (4)
Ze 2 mv 2
 2 
r
r
Simplificando una r
Ze 2

 mv 2
r
(7 )
Esta es la ecuación fundamental del modelo planetario, que expresa la
relación entre las velocidades y los radios de las órbitas electrónicas.
Mientras menor es el radio mayor es la velocidad del electrón.
Comparando con las ecuaciones (1) y (2), es claro que la ecuación
fundamental del modelo planetario puede expresarse como una
relación entre la energía cinética y la potencial
 V  2 Ec
(8)
Expresión conocida como “teorema virial”
El teorema virial nos permite escribir la energía total en función sólo de
la cinética o sólo de la potencial.
1
E  Ec  V  Ec  2 Ec   Ec   mv2
2
(9)
o bien
Ze 2
E  E c  V  V / 2  V  V / 2  
2r
(10)
Cálculos con el modelo planetario
a) a) Calcule la energía total, en aJ, para el átomo de hidrógeno en el
modelo planetario si r = 1 Å
b) b) ¿Cuál sería la velocidad del electrón?
c) c) Calcule el radio al que giraría el electrón del átomo de hidrógeno
si fuera a una velocidad de 1 × 106 m/s.
a) a) Emplearemos la ecuación (10) con Z=1
Ze2
(8.99 109 Nm2 / C2 )(1)(1.60211019 C) 2
E  

2r
2(110-10 m)
E  1.154  10 18 J  -1.154 aJ
b) b) De la ecuación (9)
 2(1.154  10 18 J)
 2E 1 / 2
v(
) 
 1.592  10 6 m/s
-31
m
9.1  10 kg
c) c) Despejando r de la ecuación (7)
Ze 2
(8.99  10 9 Nm 2 / C 2 )(1)(1.6021  10 19 C)
r

mv 2
(9.1  10 -31 kg)(1  10 6 m/s) 2

r  2.53  1010 m  2.53A
¿Cuál es la frecuencia a la que gira el electrón en el modelo
planetario?
La frecuencia se define como el número de ciclos que da el electrón
en la unidad de tiempo y puede calcularse como la velocidad angular
(en radianes/s) entre 2 (número de radianes por ciclo):
f 
rad/s


rad/ciclo 2
(11)
La velocidad angular está relacionada con la velocidad lineal por la
ecuación:
v

r
Dividiendo entre r2 la ecuación (7), obtenemos
Ze 2
r3
v2
m 2
r
De donde
1/ 2
v  Ze 
    3 
r  mr 
2
Sustituyendo esta ecuación en (11), alcanzamos finalmente
2 1/ 2
1
f 
2
 Ze

3
mr




(12)
a) Calcule la frecuencia orbital de un electrón en el átomo de
hidrógeno para r = 1 Å
b) Repita el cálculo para r = 2 Å
a) d) Indique qué sucede con r, v y f si E decrece o si E crece.
a) a) Respuesta
f  2.533  1015 s -1
b) b) Respuesta
f  8.956 1014 s-1
c) c) Con las ecuaciones desarrolladas, podríamos arribar a la
siguiente tabla de valores
E (aJ)
-0.5769
-1.1537
r (Å)
2
1
v × 10-6 (m/s)
1.126
1.592
f × 10-14 (s-1)
8.956
25.33
Por lo tanto que si E decrece (y el átomo pierde energía) r también
decrece (se acerca al núcleo), pero v y f crecen. Por el contrario si el
átomo gana energía, el electrón se aleja del núcleo y orbita más
lentamente.
El problema de este modelo es que el electrón emite radiación
electromagnética de una frecuencia  igual a la frecuencia a la que
oscila el electrón, f. Por ejemplo, si orbita a 2 emite radiación de
frecuencia 8.9561014 s–1(cercana al violeta). Pero debido a ello pierde
energía, con lo cual orbita ahora a menor radio. A ese nuevo radio
vuelve a emitir radiación, ahora de mayor frecuencia (ultravioleta), con
lo cual orbita a menor radio, hasta que se precipite sobre el núcleo.
El modelo planetario clásico predice
que el átomo es inestable.
Niels Bohr no desechó el modelo planetario del átomo, sino que
incluyó en él restricciones adicionales. Para empezar, negó el
resultado clásico de que una partícula cargada emitiría radiación al
acelerarse.
Bohr extendió al átomo el resultado de la cuantización del cuerpo
negro de Planck: “El proceso de absorber o emitir radiación por un
átomo sólo puede realizarse discontinuamente. La cantidad de energía
radiada, Er (de frecuencia ) debe ser igual a nh.
Er  nh con n  1,2,3...
“Cuando el átomo no absorbiera ni emitiera radiación, se encontraría
en un estado estacionario con una energía, E, constante.”
Bohr consideró un proceso en el que inicialmente núcleo y electrón
estuvieran infinitamente separados y en reposo, hasta alcanzar un
estado estacionario de energía E.
Er  ( E  Ei )   E
Al enlazarse un electrón desde el infinito hasta un estado estacionario, Bohr
sugirió que se emitía una radiación homogénea cuya frecuencia  era igual a la
mitad de la frecuencia orbital del electrón f.
La siguiente suposición de Bohr fue que dicha energía radiante
consistiría de una sola frecuencia , que sería exactamente la mitad de
la frecuencia a la que orbitaría el electrón en su estado estacionario
final.
Er   E  nh 
nhf
2
Colocando ahora la frecuencia en función de la energía de la ecuación
(13)
1/ 2
3/ 2
 nh   2 ( E ) 
E    
2 1/ 2 
 2    Ze m 
De donde podemos despejar E como
 2 2 2 Z 2e 4 m
E
con n  1,2,3,...
n2h2
(14)
La cual es la expresión del modelo de Bohr para la energía de los
estados estacionarios del átomo de hidrógeno.
Para calcular los radios de las órbitas del modelo de Bohr, hacemos
uso de la ecuación (10) del modelo planetario
Ze2
E  
2r
(10)
De donde
n2h2
r 2
4 Ze2 m
(15)
Y, de la ecuación (9) del modelo planetario obtenemos el valor de v:
1
E   mv2
2
(9)
como
  2E 
v

m


1/ 2
2 Ze 2
v
nh
(16)
La variable de movimiento que adquiere la expresión cuantizada más
simple es la cantidad de movimiento angular:
  
Lr p
Que para un movimiento circular es un vector perpendicular a la
trayectoria, de magnitud
L = mvr
Para el modelo de Bohr, sustituyendo r y v de las ecuaciones (15) y
(16), obtenemos:
 2 Ze 2
L  mvr  m
 nh
 n 2 h 2 
h
 2


n
2

2
 4 kZe m 
(17)
Vemos que la cantidad de movimiento angular es, simplemente, un
múltiplo entero de la constante de Planck entre 2.
El modelo vía la cuantización de la cantidad de movimiento
angular
A partir de 1913, al darse cuenta de la simpleza de la expresión de la
cuantización del momentum angular, Bohr propuso un modelo atómico
con postulados.
PRIMER POSTULADO. Los átomos monoelectrónicos (H, He+, Li2+,
Be3+,…) están constituidos por un núcleo, de carga Ze, con masa M, y
por un electrón que gira alrededor de él en una órbita circular de radio
r, con carga –e y masa m.
SEGUNDO POSTULADO. La cantidad de movimiento angular, L, del
átomo está cuantizada. De los infinitos movimientos orbitales posibles,
de acuerdo con el primer postulado, sólo son posibles aquellos para
los cuales el momentum angular sea un múltiplo entero de h/2.
El primer postulado introduce en el modelo la masa reducida del
sistema electrón–núcleo

Mm
M m
Para el átomo de hidrógeno, para el cual el núcleo (protón) pesa
1836.1 veces los que el electrón:
1836.1m 2
H 
 0.9994557m
1837.1m
La ecuación de fuerza=masa x aceleración queda ahora como:
Ze2
r
 v 2
(1)
Pero en esta ocasión no es como en el modelo planetario, donde v y r
toman infinitos valores, pues debe cumplirse el segundo postulado,
que representa una segunda ecuación con r y v como variables
vr  n
h
2
(2)
La resolución simultánea de las ecuaciones (1) y (2) nos lleva a las
ecuaciones del modelo de Bohr
EL MODELO DE BOHR
El modelo vía la cuantización de la cantidad de movimiento
angular
Se obtienen cambios menores respecto a las ecuaciones del modelo
original, ya presentadas, tomando  el lugar de la masa del electrón,
m:
n2h2
rn 
Ze 2
(3)
2 2 2 Z 2 e 4 
En  
n2h2
2 Ze 2
vn 
nh
Ln
h
2
(5)
(2)
(4)
El éxito del modelo de Bohr se da al reproducir la ecuación de
Rydberg para el espectro del átomo de hidrógeno.
TERCER POSTULADO. Las órbitas determinadas por el segundo
postulado son estacionarias, es decir, el átomo no radía cuando se
encuentra en una de ellas. Sólo cuando el átomo cambia de un estado
(1) con mayor energía a otro (2) con menor, se emite radiación
monocromática cuya frecuencia vale

E n1  E n 2
h
Empleando la ecuación (4) para En y la ecuación
  c
Llagamos a la siguiente expresión para los números de onda de la
radiación emitida en el espectro de emisión del hidrógeno:
2 2 2 Z 2 e 4   1
1 
 

n 2 n 2 
ch 3
1 
 2
De donde la constante de Rydgerg se identifica como
2 2 2 Z 2 e 4 
RH 
 10967748 m -1
3
ch
La cual es prácticamente igual al valor de la constante:
RH = 10967758.1 m-1