Interpolación y diezmado

INTERPOLACIÓN Y DIEZMADO
Temas Avanzados en Proceso de Señales - TAPS
Señales unidimensionales
Señales multidimensionales
Diezmado:
Diezmado:
Objetivo:
Objetivo:
G
G
Una señal discreta ψ [ n ] toma valores en n ∈ ] m . El objetivo es generar una nueva
G
G
G
señal discreta ψ D [ n ] = ψ [ nD ] , donde nD son los puntos de un retículo de diezmado,
f D [ n ] = f [ nD ] , donde D es el factor entero de diezmado.
Λ D , definido en ] m .
Modelo:
Modelo:
Sea una estructura de muestreo entera definida por el retículo:
, señal de muestreo
m
G
G
G G
G
⎧G
⎫
Λ D = ⎨nD ∈ ] m / nD = ∑ ki ⋅vi , ∀ki ∈ ] ⎬ , donde {v1 , v2 ,..., vk } forman una base de ] m .
i =1
⎩
⎭
Expresado en forma matricial, Λ D = {n D ∈ ] m / n D = V ⋅ k , ∀k ∈ ] m } , donde
muestreo
cada D
V = [ v1 , v 2 ,..., v k ] es una matriz generatriz del retículo.
Señal de muestreo:
p [ n] =
Señal de muestreo:
G
G G
p [ n ] = ∑ δ [ n − nD ] , o en forma matricial, p [n ] =
∞
∑ δ [ n − kD ]
G
nD ∈Λ D
k =−∞
∑ δ [n − V ⋅ k ]
k∈] m
Esta señal puede interpretarse, de nuevo, como un tren de deltas desplazadas sobre los
puntos de una estructura de muestreo definida por el retículo Λ D . Por analogía con el
, (ejemplo con D = 3 )
Esta señal puede interpretarse como un tren de deltas desplazadas sobre los puntos de
una estructura de muestreo definida por el retículo Λ D = {nD ∈ ] / nD = k ⋅ D, ∀k ∈ ]} ,
caso 1D, puede interpretarse que p [n ] es periódica de periodo fundamental V ( Λ D ) y
densidad de muestreo d ( Λ D ) .
cuya celda de Voronoi, V ( Λ D ) , es precisamente el periodo fundamental [ − D 2, D 2] ,
y cuya densidad es precisamente la frecuencia de muestreo: d ( Λ D ) =
Señal muestreada: f p [ n ] = f [ n ] ⋅ p [ n ] =
1
= fD .
D
∞
∑ f [ n] ⋅ δ [ n − k ⋅ D ] = ∑ f [ n] ⋅ δ [ n − k ⋅ D ]
k =−∞
k ∈]
Señal diezmada: f D [ n ] = f p [ n ⋅ D ] = f [ n ⋅ D ]
Esta señal puede interpretarse como una normalización del eje temporal de f p [ n ] por el
Jesús Bescós Cano
Señal muestreada: ψ p [n ] = ψ [n ] ⋅ p [n ] =
∑ ψ [n ] ⋅ δ [n − V ⋅ k ]
k∈] m
Señal diezmada: ψ d [n ] = ψ p [n D ] = ψ p [ V ⋅ n ] = ψ [ V ⋅ n ]
Esta señal resulta de normalizar la señal ψ p [n ] en las direcciones que indican los
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valor D , es decir, por la amplitud del vector que genera el retículo Λ D , de modo que si
f p [ n ] presenta valores no nulos en nD = k ⋅ D = nD , entonces n = nD D .
Análisis frecuencial:
Señal discreta original:
DTFT
f [ n ] ⎯⎯⎯
→ F (Ω)
vectores base del retículo, de modo que si ψ p [n ] presenta valores no nulos en
n D = V ⋅ k = V ⋅ n , entonces n = V −1 ⋅ n D .
Análisis frecuencial:
Señal discreta original:
DSFT
ψ [n ] ⎯⎯⎯
→ Ψ (Ω)
La región en la cual se verifica Ψ ( Ω ) ≠ 0 , se denomina región de soporte de la señal
ψ [n ] .
Señal de muestreo:
DTFT
p [ n ] ⎯⎯⎯
→ P (Ω)
1 ∞
P (Ω) =
∑ δ (Ω − k ⋅ fD )
D k =−∞
La transformada P ( Ω ) puede interpretarse como un tren de deltas ponderadas por
d ( Λ D ) = 1 D , y desplazadas sobre los puntos del retículo recíproco
Señal de muestreo:
DSFT
p [n ] ⎯⎯⎯
→ P (Ω) = d ( ΛD )
∑ δ (Ω − U ⋅ k )
k∈]m
, donde U es la matriz generatriz de Λ*D , es decir U = ( VT )
−1
Λ*D = {Ω ∈ \ / Ω = k ⋅ f D , ∀k ∈ ]} , cuya celda de Voronoi y periodo fundamental es el
intervalo [ − f D 2, f D 2] , y cuya densidad es la inversa de la del retículo Λ D :
d ( Λ*D ) = D .
Señal muestreada:
DTFT
f p [ n ] ⎯⎯⎯
→ Fp ( Ω ) = F ( Ω ) ∗ P ( Ω )
Fp ( Ω ) =
1 D −1
∑ F (Ω − k ⋅ fD )
D k =0
Señal muestreada:
DSFT
ψ p [n ] ⎯⎯⎯
→ Ψ p (Ω) = Ψ (Ω) ∗ P (Ω) = d (ΛD )
∑ Ψ (Ω − U ⋅ k )
k∈]m
La transformada Fp ( Ω ) puede interpretarse como un sumatorio de D versiones de
F ( Ω ) ponderadas y desplazadas sobre los puntos del retículo recíproco Λ*D .
Jesús Bescós Cano
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Señal diezmada:
FD ( Ω ) = Fp ( Ω D )
FD ( Ω ) =
Señal diezmada: Ψ D ( Ω ) = Ψ p ( U ⋅ Ω ) = d ( Λ D )
∑ Ψ (U ⋅ Ω − U ⋅k )
k∈] m
1 D −1
∑ F ((Ω − k ) D )
D k =0
Conclusiones:
Conclusiones:
Para poder recuperar f [ n ] limitada en banda a partir de f D [ n ] , que es una versión
Para poder recuperar ψ [n ] limitada en banda a partir de ψ D [n ] , que muestrea ψ [n ] en
diezmada por D de la señal f [ n ] , es necesario que la parte no nula de F ( f ) encaje en
un retículo Λ D , es necesario que la región de soporte de ψ [n ] encaje en la celda de
un intervalo 1 D , de modo que no se produzca solape espectral (aliasing).
Voronoi del retículo Λ*D , de modo que no se produzca solape espectral (aliasing):
Ψ ( Ω ) = 0, ∀Ω ∉ V ( Λ*D )
En el diezmado de una señal discreta puede por tanto producirse el fenómeno de aliasing
(y la consiguiente perdida de información). Si se quiere evitar es necesario hacer un
filtrado paso-bajo ideal previo con una frecuencia de corte f c = f D 2 = 1 2 D . Si este
filtro no fuera ideal, se produciría solape.
Respuesta en frecuencia del filtro pasobajo ideal previo:
⎧1
H lp ( Ω ) = ⎨
⎩0
Ω < fD 2
resto
En el diezmado de una señal discreta puede por tanto producirse el fenómeno de aliasing
(y la consiguiente perdida de información). Si se quiere evitar es necesario hacer un
filtrado paso-bajo ideal previo con una región de soporte igual a la celda de Voronoi del
retículo Λ*D . Si este filtro no fuera ideal, se produciría solape.
Respuesta en frecuencia del filtro paso-bajo ideal previo:
*
⎪⎧1 Ω ∈ V ( Λ D )
H lp ( Ω ) = ⎨
resto
⎪⎩0
, y su respuesta al impulso:
hlp [ n ] =
1
⎛n⎞
sinc ⎜ ⎟
D
⎝D⎠
Jesús Bescós Cano
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Interpolación
Interpolación
Objetivo:
Obtener una versión interpolada (con más muestras), f I [ n ] , de la señal original f [ n ] ,
donde I es el factor entero de interpolación.
Modelo:
Señal tras la inserción de ceros:
⎧ f [ n I ] , n múltiplo de I
fe [ n] = ⎨
, resto
⎩ 0
Señal interpolada:
f I [ n ] = f e [ n ] ∗ hi [ n ] , de modo que f I [ kI ] = f [ k ]
Análisis frecuencial:
Señal discreta original:
DTFT
f [ n ] ⎯⎯⎯
→ F (Ω)
Señal tras la inserción de ceros::
Fe ( Ω ) = F ( I Ω ) , (ejemplo con I = 2 )
Jesús Bescós Cano
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Filtro interpolador ideal::
⎧I
Hi (Ω) = ⎨
⎩0
Ω < fI 2
resto
, con f I =
1
I
Señal interpolada::
FI ( Ω ) = Fe ( Ω ) ⋅ H i ( Ω )
Jesús Bescós Cano
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Conclusiones:
El proceso de interpolación no produce solape espectral (aliasing) ni supone pérdida ni
ganancia de información. El proceso garantiza que la señal interpolada toma los mismos
valores que la original en los múltiplos del factor de interpolación. El resto de los valores
de la señal interpolada dependen del filtro interpolador.
Si el filtro interpolador es ideal, la señal interpolada mantiene la misma distribución
espectral relativa que la original. Si no lo es, la señal interpolada f I [ n ] presentará
distinta distribución frecuencial y en su caso componentes de alta frecuencia de f e [ n ] ,
las que queden bajo la pulsación de corte de dicho filtro.
Este efecto será tanto mayor cuanto más ancho sea el espectro de la señal original f [ n ] ;
en este sentido, si la señal discreta original se muestreó muy por encima de la tasa de
Nyquist, presentará una DTFT concentrada en la parte baja del espectro y por tanto será
menos sensible a la no idealidad del filtro interpolador.
A continuación se muestran filtros interpoladores de distinto orden, utilizados
habitualmente en procesos de interpolación.
Orden de la interpolación:
Ideal::
⎧I
Hi (Ω) = ⎨
⎩0
Ω < fI 2
1
, con f I =
I
resto
, cuya respuesta al impulso es:
⎛n⎞
hi [ n ] = sinc ⎜ ⎟
⎝I⎠
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De orden cero ( I impar):
⎧1 , n ≤ ( I − 1) 2
hi0 [ n ] = ⎨
, con
, resto
⎩0
, cuya respuesta en frecuencia es:
H i0 ( Ω ) =
sin ( I π f )
sin (π f )
, que es de fase nula, potencia las bajas
frecuencias de Fe ( Ω ) y no elimina sus
componentes de alta frecuencia.
Si I fuera par, al no poder ser hi0 [ n ]
simétrico, la fase del filtro interpolador
resultante no sería nula.
De orden uno:
I −1
⎛ k⎞
hi1 [ n ] = δ [ n ] + ∑ ⎜1 − ⎟ (δ [ n − k ] + δ [ n
I⎠
k =1 ⎝
, cuya respuesta en frecuencia es:
I −1
⎛ k⎞
H i1 ( Ω ) = 1 + ∑ ⎜ 1 − ⎟ 2 cos ( k Ω )
I⎠
k =1 ⎝
, que es de fase nula, potencia las bajas
frecuencias de Fe ( Ω ) y elimina en
gran medida sus componentes de alta
frecuencia.
Jesús Bescós Cano
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