6 proporcionalidad numérica - Cardenal Spínola

6 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA
PA R A
1
E M P E Z A R
Calcula el término desconocido en las siguientes proporciones.
3
12
a) 7
x
9
x
b) 8
15
13
5
c) x
2
3
12
84
a) ⇒ 3x 7 12 ⇒ x 28
x
7
3
9
x
135
b) ⇒ 9 15 8x ⇒ x 16,875
15
8
8
13
5
26
c) ⇒ 13 2 5x ⇒ x x
2
5,2
2
Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.
2
3
1
2
7
10
3
4
3
5
Escribimos todas con el mismo denominador para poder comparar los numeradores.
2
2 20
40
3
3 20
60
1
1 30
30
2
2 30
60
3
3 15
45
4
4 15
60
3
3 12
36
5
5 12
60
30
36
40
42
45
Como: 60
60
60
60
60
1
3
2
7
3
Entonces tenemos que: 2
5
3
10
4
3
Expresa en tantos por ciento las razones siguientes.
a) De cada 5 estudiantes, 4 aprueban inglés.
b) De los 25 alumnos de una clase, 15 han ido al teatro.
c) En una ciudad, 7 de cada 10 individuos tienen más de 20 años.
4
4 20
80
a) 80%
5
5 20
100
15
15 4
60
b) 60%
25
24 4
100
7
7 10
70
c) 70%
10
10 10
100
128
7
76
42
10
10 6
60
4
En 1998 una región tenía 666 000 hectáreas de bosque nativo. En los diez años siguientes el 3% de su
superficie se ha convertido en terrenos para el cultivo y la ganadería. Calcula cuántos metros cuadrados
de bosque nativo han sido deforestados.
Calculamos el número de hectáreas que han sido deforestadas.
3 666 000
1 998 000
3% de 666 000 19 980 hectáreas
100
100
Como 1 hectárea 1 hm2 10 000 m2
Han sido deforestados 19 980 10 000 m2 199 800 000 metros cuadrados de bosque nativo.
Magnitudes directamente proporcionales
PA R A
P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
6.1 Comprueba si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales.
A
1
3
5
10
B
5
15
25
50
M
1
2
3
4
N
2
3
4
5
1
3
5
10
Las magnitudes A y B son proporcionales, ya que: 0,2.
5
5
25
50
1
2
Las magnitudes M y N no son proporcionales, ya que: .
2
3
6.2 Decide si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales.
A
2
3
7
10
M
1
2
3
4
B
5
7,5
17,5
25
N
3
4
5
6
3
7
2
10
Las magnitudes A y B son proporcionales, ya que: 0,4.
7,5
17,5
5
25
1
2
Las magnitudes M y N no son proporcionales, ya que: .
3
4
6.3 Explica cuáles de las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales.
a) El número de lados de un polígono regular de 15 centímetros de lado y su perímetro.
b) El número de prendas de ropa compradas en una tienda y el precio total de la compra.
c) La longitud de una palabra y el número de vocales que tiene.
d) El radio de una circunferencia y su longitud.
e) La edad de una persona y su peso.
f) El número de horas trabajadas durante un mes y el sueldo al final del mismo.
1
1
Son directamente proporcionales las magnitudes de los apartados a y d, siendo y las constantes de proporcionalidad res1
5
2
pectivas.
6.4 Completa la siguiente tabla para que las magnitudes A y B sean directamente proporcionales.
10
Hallamos la razón de proporcionalidad y completamos los términos restantes: 1,25.
8
A
3
10
23,4375
42
B
2,4
8
18,75
33,6
129
6.5 Reparte 60 000 de forma directamente proporcional a los siguientes números.
a) 10, 12 y 8
c) 2, 6 y 7
b) 3, 5 y 12
d) 3, 4 y 5
x
y
z
60000
a) ⇒ x 20 000; y 24 000; z 16 000
10
12
8
30
x
y
z
60000
b) ⇒ x 9000; y 15 000; z 36 000
3
5
12
20
x
y
z
60000
c) ⇒ x 8000; y 24 000; z 28 000
15
2
6
7
x
y
z
60000
d) ⇒ x 15 000; y 20 000; z 25 000
3
4
5
12
PA R A
A P L I C A R
Problema resuelto
6.6 En el mismo instante en que Jaime, de 1,80 metros de estatura, proyecta en el suelo una sombra de
3,60 metros de longitud, su casa de campo proyecta una sombra de 34 metros. ¿Qué altura tiene la
casa?
Las sombras que proyectan Jaime y su casa son directamente proporcionales a sus alturas respectivas; es decir, los cocientes entre magnitudes vendrían dados por:
altura Jaime
altura casa
sombra Jaime
sombra casa
1,8
x
Así: ⇒ x 17 m
3,6
34
La casa mide 17 metros de altura.
6.7 Cinco amigas han comprado entradas para un concierto por 75 euros. ¿Cuánto tendrían que haber pagado si hubieran comprado 16 entradas?
El “coste de las entradas” es proporcional al “número x de entradas compradas”. Es decir, son directamente proporcionales.
75
x
⇒ x 240
5
16
Coste de las 16 entradas: x 240 euros
6.8 Para colaborar en el viaje de fin de curso, un centro escolar reparte 1800 euros entre las tres clases de
4.º de ESO de manera proporcional al número de alumnos que se han apuntado de cada una: 24, 30 y
36, respectivamente. ¿Qué cantidad recibirá cada clase?
Repartimos 1800 euros de manera directamente proporcional a 24, 30 y 36. Sean x, y, z las cantidades que corresponden a cada
una de las tres clases de 4.º de ESO.
x
y
z
1800
20
24
30
36
90
⇒ x 480 euros; y 600 euros; z 720 euros
6.9 En una tienda de música, Carlota ha comprado 2 CD; Marcos, 3, y Samuel, 5.
¿Cuánto pagará cada uno si todos los discos valen lo mismo y el total abonado ha sido de 110 euros?
Precio de un disco: 110 : 10 11 euros
Carlota paga: 2 11 22 euros.
Marcos paga: 3 11 33 euros.
Samuel paga: 5 11 55 euros.
130
6.10 En la biblioteca de un barrio hay 1200 libros de ciencia ficción, de género policíaco y de viajes. ¿Cuántos habrá de cada clase si su número es proporcional a 1, 2 y 3, respectivamente?
x
y
z
1200
Se tiene la proporcionalidad: 200, siendo x, y, z los libros que corresponden a cada grupo.
1
2
3
6
Libros de ciencia ficción:
200 1 200
Libros policíacos:
200 2 400
Libros de viajes:
200 3 600
6.11 Dos amigos han obtenido la misma calificación en dos exámenes diferentes. Todos los ejercicios tenían
la misma puntuación y Sergio resolvió correctamente 24 de las 30 preguntas que tenía su examen. ¿Cuántos aciertos tuvo Jorge si su prueba constaba de 20 preguntas?
Sea x el número de aciertos que obtuvo Jorge.
24
x
24 20
Planteamos la proporción: ⇒ x 16.
20
30
30
Jorge obtuvo 16 aciertos.
Aumentos y disminuciones porcentuales
PA R A
P R A C T I C A R
6.12 Calcula los siguientes porcentajes.
a) 18% de 30
c) 35% de 90
b) 7% de 12
d) 86% de 210
a) 0,18 30 5,4
c) 0,35 90 29,5
b) 0,07 12 0,84
d) 0,86 210 180,6
6.13 Calcula los siguientes aumentos porcentuales:
a) 1735 en un 20%.
b) 15 725 en un 41%.
c) 450 en un 35%.
a) 1735 1,20 2082
b) 15 725 1,41 22 172,25
c) 450 1,35 607,5
6.14 Realiza las siguientes disminuciones porcentuales:
a) 4200 en un 26%.
b) 600 en un 3,8%.
a) 4200 (1 0,26) 4200 0,74 3108
b) 600 (1 0,038) 600 0,962 577,2
Ejercicio resuelto
6.15 ¿Qué porcentaje es 119 de 350?
Como los porcentajes son magnitudes proporcionales, se verifica que:
119
x
119 100
⇒ x 34%
350
100
350
131
6.16 Halla, en cada caso, el valor de la variable x.
a) El 24% de x es 348.
b) El x% de 250 es 40.
c) El 95% de 3200 es x.
d) El x% de 5045 es 257.
24
a) x 348 ⇒ x 1450
100
x
b) 250 40 ⇒ x 16%
100
c) x 0,95 3200 3040
x
d) 5045 257 ⇒ x 5,1%
100
Ejercicio resuelto
6.17 ¿Qué variación porcentual se produce si un artículo que costaba 60 euros pasa a costar 72 euros?
Como los porcentajes proporcionan magnitudes proporcionales, tenemos que:
72
x
72 100
⇒ x 120
60
100
60
Por tanto, el precio del artículo ha aumentado un 20%.
6.18 Calcula, en cada caso, la variación porcentual que se ha producido si el precio de un artículo sufre las
siguientes modificaciones.
a) Pasa de 15 a 21 euros.
b) Pasa de 30 euros a 42 euros.
c) Pasa de 50 euros a 30 euros.
d) Pasa de 60 euros a 48 euros.
Como los porcentajes proporcionan magnitudes proporcionales, tenemos que:
21
x
21 100
a) ⇒ x 140. Por tanto, el precio del artículo ha aumentado un 40%.
15
100
15
42
x
42 100
b) ⇒ x 140. Por tanto, el precio del artículo ha aumentado un 40%.
30
100
30
30
x
30 100
c) ⇒ x 60. Por tanto, el precio del artículo ha disminuido un 40%.
100
50
50
48
x
48 100
d) ⇒ x 80. Por tanto, el precio del artículo ha disminuido un 20%.
60
100
60
PA R A
A P L I C A R
6.19 En una clase de 4.º de ESO han aprobado Matemáticas 18 de los 25 alumnos. ¿Qué porcentaje de alumnos ha aprobado?
Como los porcentajes proporcionan magnitudes proporcionales, tenemos que:
72
18
4 18
72%
100
25
4 25
Ha aprobado el 72% de la clase.
132
6.20 Un jugador de baloncesto ha lanzado en un partido 24 tiros, de los que ha encestado 17. ¿Qué porcentaje de acierto ha obtenido?
Como los porcentajes proporcionan magnitudes proporcionales, tenemos que:
17
x
17 100
⇒ x 70,83%. Ha obtenido un acierto del 70,83%.
100
24
24
6.21 En una ONG trabajan 32 mujeres, que representan el 80% de la plantilla. ¿Cuántos hombres trabajan
para esa ONG? ¿Cuántas personas componen el total de la plantilla?
Como se trata de magnitudes directamente proporcionales, planteamos la siguiente proporción, en la que x es el número de hombres que trabajan en la ONG. Teniendo en cuenta que los hombres representan el 20% de la plantilla.
32
x
⇒ x 8
20
80
Por tanto, en la ONG trabajan 8 hombres y un total de 32 8 empleados.
6.22 Un estadio de fútbol tiene capacidad para 25 000 espectadores. Como el estadio siempre se llena, su presidente decide hacer una remodelación mediante la cual su capacidad se verá aumentada en un 15%.
¿Qué capacidad tendrá el estadio tras la remodelación?
Se trata de aumentar porcentualmente 25 000 en un 15%.
25 000 (1 0,15) 25 000 1,15 28 750
Tras la remodelación, el estadio tendrá capacidad para 28 750 espectadores.
6.23 Teo lleva a clase una bolsa de caramelos para celebrar su cumpleaños. A la hora del recreo reparte el
80%. Si aún le quedan 16 caramelos en la bolsa, ¿cuántos ha llevado al colegio esa mañana?
80
x x 16
100
⇒ x 80
Teo ha llevado a clase 80 caramelos.
6.24 Laura ha comprado un equipo de música y le han hecho un descuento de un 15%, lo que supone que
ha pagado 16,5 € menos que lo que marcaba. ¿Cuánto le ha costado el equipo de música?
Sea x el importe inicial del equipo de música. Como le rebajan un 15%, tenemos que:
15% de x 16,5 ⇒ 0,15 x 16,5 ⇒ x 110 €
Laura ha pagado 110 16,5 93,50 euros por el equipo de música.
6.25 Halla el aumento porcentual de los latidos del corazón de una persona que pasa de 68 a 115 pulsaciones por minuto.
115 68 47 latidos por minuto es lo que ha aumentado la frecuencia cardíaca.
x
68 47
100
⇒ x 69,12% es el porcentaje que han aumentado los latidos.
6.26 Una botella de limonada de 2 litros indica que tiene un porcentaje de zumo de un 15%. ¿Cuánta agua
habría que echarle para que el porcentaje de zumo se rebajara a un 12%?
Hallamos la cantidad de zumo que hay en la limonada: 15% de 2 L 0,15 2 0,3 L de zumo.
Si añadimos agua a la limonada, la cantidad de zumo que contiene es la misma, 0,3 L, pero queremos que represente el 12%
del total, así que tenemos la siguiente relación, donde x representa la cantidad total de limonada tras añadir el agua.
0,3
12% de x 0,3 ⇒ x 2,5 L
0,12
Por tanto, debemos añadir medio litro de agua para que la concentración de zumo sea del 12%.
133
Porcentajes sucesivos
Problema resuelto
6.27 Un artículo vale 120 euros. Ante la excesiva demanda por la proximidad de las fiestas navideñas, sube
un 20%. Luego, cuando estas han terminado, se rebaja un 20% el precio marcado en ese momento. ¿El
producto sigue valiendo lo mismo que antes de la subida?
El importe del artículo, al incrementarse el precio, es de: 120 120 0,20 144 euros.
Al aplicar el 20% sobre este importe, el nuevo precio es de: 144 144 0,20 115,20 euros.
Ahora, su precio es inferior al que tenía inicialmente.
PA R A
P R A C T I C A R
6.28 Expresa en forma de porcentaje las siguientes fracciones.
3
a) 4
23
b) 25
12
c) 64
3
75
a) 75%
4
100
23
92
b) 92%
25
100
12
c) 18,75%
64
6.29 Expresa en tantos por ciento:
a) Dos de cada cinco personas dejaron de fumar en los 6 primeros meses de 2008.
b) Ocho de cada nueve encuestados duermen menos de 8 horas diarias.
c) Uno de cada doce residentes españoles colabora con una ONG.
40
2
a) ⇒ El 40%
100
5
8
88,89
b) ⇒ El 88,89%
9
100
1
8,33
c) ⇒ El 8,33%
12
100
6.30 Calcula los porcentajes siguientes y explica si el proceso modifica el resultado: el 10% del 50% de 350
y el 50% del 10% de 350.
350 (1 0,50) (1 0,10) 350 0,50 0,90 157,50
350 (1 0,10) (1 0,50) 350 0,90 0,50 157,50
El resultado es el mismo intercambiando el proceso. No sería así si se calculase la suma de los porcentajes, es decir, el 60% de 350.
6.31 El x% de x vale 9. Calcula el valor de x.
x
x% de x x 9 ⇒ x2 900 ⇒ x 30
100
Ejercicio resuelto
6.32 ¿Es lo mismo aumentar el precio de un artículo un 10% y luego rebajarlo un 15% que rebajarlo directamente un 5%?
No, ya que si el precio inicial del artículo es C, al aumentar su precio un 10% y luego rebajarlo un 15%, el precio final del artículo
es: C 1,10 0,85 0,935 C.
Es decir, la rebaja final del artículo es de 100% 93,5% 6,5%, superior al 5%.
6.33 ¿En qué porcentaje se modifica el precio de un artículo si aumenta su precio un 10% y luego se rebaja
un 10%?
Si una cantidad C aumenta de precio un 10% y luego se rebaja un 10%, su precio final será C 1,10 0,90 C 0,99, es decir, que su precio se habrá rebajado un 1%.
134
6.34 ¿En qué porcentaje se modifica el precio de un artículo si su precio se rebaja un 15%, luego se rebaja
otro 5% y finalmente su precio aumenta un 17%?
Si C es el precio inicial, el precio final será C(0,85) (0,95) (1,17) C 0,9448; con lo que se habrá rebajado un 5,52%.
PA R A
A P L I C A R
6.35 Con la llegada del calor, la venta de aparatos de aire acondicionado se ha disparado.
El precio de lanzamiento de uno de estos productos es de 280 euros, y se ha incrementado la primera
vez en un 10%, y una segunda, en un 20%.
a) ¿Esta doble subida es equivalente a un aumento del 30%?
b) Calcula, en cada caso, el importe del aparato.
a) Sea C el precio inicial de un artículo.
Con la doble subida se obtiene: C 1,10 1,20 C 1,32, es decir, un aumento equivalente del 32%, superior al 30% que
menciona el enunciado.
b) Para un artículo de 280 euros, con la doble subida, el precio final del aparato sería de:
280 1,32 369,60 euros.
Con el aumento del 30% supondría que el precio final es de: 280 280 0,30 364 euros.
Efectivamente, se comprueba que la subida ha sido mayor que si se hubiera aplicado directamente un 30%.
6.36 Calcula el descuento que se ha aplicado a un artículo de liquidación que costaba 2850 euros si en la primera oferta se rebajó un 30%, y en la segunda, un 20% sobre el precio ya rebajado. Explica si el descuento total fue del 50%.
El descuento fue de: 0,20 0,30 2850 171 €.
Si la rebaja hubiera sido del 50%, se habría descontado la mitad. Por tanto, no ha sido ese el descuento total.
6.37 Una nevera cuesta 450 euros más el 16% de IVA, pero con la rebaja aplicada en la tienda se queda en
417,60 euros. ¿Cuál es el descuento aplicado?
16
El precio de la nevera con el IVA aplicado es de 450 450 522 €.
100
x
522 522 417,60 ⇒ x 20. El descuento aplicado es del 20%.
100
6.38 En la bolsa, unas acciones estaban cotizando un lunes a 30,25 €. El martes subieron un 3%, el miércoles bajaron un 4% y el jueves subieron un 1%. ¿Cuál fue la cotización al final del jueves?
Tras estas variaciones, las acciones cotizarán a: 30,25 1,03 0,96 1,01 30,21 euros.
6.39 Un tendero antes de las rebajas aumenta los precios de sus artículos un 5%. Cuando llegan las rebajas
disminuye su precio un 15%. ¿Cuál es la rebaja real de los precios?
Si un artículo cuesta C, tras esas variaciones costará C(1,05) (0,85) 0,8925, con lo que la rebaja real será de un 10,75%.
135
6.40 Observa la factura del teléfono que ha recibido Ana.
• Tarifa básica: 30 €
• Descuento de un 12% por ser empleado de
la empresa.
• Rebaja de un 5% por una promoción.
• Aumento de un 16% de impuestos.
¿Qué cantidad final paga por el teléfono?
Finalmente, Ana pagará: 30 0,88 0,95 1,16 29,09 €.
6.41 A Pablo le han regalado una caja de bombones. El primer día se ha comido el 20% de los bombones.
Al día siguiente se comió el 20% de los bombones que le quedaban. Si en la caja quedaron 16 bombones, ¿cuántos había originalmente?
Como cada día se come el 20% de los bombones que había, cada día quedará en la caja el 80% de los bombones que había.
Si x son los bombones que traía la caja:
x 0,8 0,8 16
⇒ 0,64x 16
16
⇒ x 25 bombones
0,64
Interés simple
Problema resuelto
6.42 Daniel ha depositado en un banco 1580 euros a un interés simple del 3%.
a) ¿Qué intereses obtendrá al finalizar el año?
b) ¿Y al cabo de 5 años?
c) ¿Y si retira el dinero a los 300 días?
3
a) En un año generarían unos intereses de: 1580 1 47,40 €.
100
3
b) Intereses en 5 años: 1580 5 237 €.
100
c) En 300 días se generaría la parte proporcional de intereses:
47,4
x
47,4 300
⇒ x 39,50 €
360
300
360
PA R A
P R A C T I C A R
6.43 Se depositan 250 € a un interés simple del 4,5% durante 2 años. Calcula los intereses que se generan
cada año y el capital final.
250 4,5
Los intereses de cada año son 11,25 €.
100
En consecuencia, el capital final al cabo de dos años será: 250 2 11,25 272,50 €.
136
6.44 En un banco se depositan 5000 euros al 8% de interés simple anual.
a) ¿Cuánto pagará el banco al cabo de 6 años?
b) ¿Y de 108 días?
a) Interés anual: 5000 0,08 400 euros
Interés en 6 años: 400 6 2400 euros
108
b) Interés en 108 días: 400 120 euros
360
6.45 Se depositan 5000 € a un interés simple anual del 4%.
a) ¿Cuáles son los intereses anuales?
b) Completa la siguiente tabla:
Año
Intereses
acumulados
1
200 €
2
400 €
3
600 €
4
800 €
5
1000 €
c) ¿Cuál es el capital final al cabo de dos años?
4
a) Los intereses anuales serán de 5000 200 €.
100
c) El capital final será de 5000 2 200 5400 €.
Ejercicio resuelto
6.46 Tras tres años de depósito, un capital de 1000 € se ha convertido en un capital de 1105 €. ¿Qué interés se ha aplicado?
105
Se han obtenido 105 € de intereses, es decir, cada año, el capital inicial ha proporcionado unos intereses de 35 euros.
3
Se trata de averiguar qué porcentaje de 1000 representa 35.
35
x
35 100
⇒ x 3,5
1000
100
1000
Se ha aplicado un interés del 3,5%.
6.47 Calcula el interés simple al que se han depositado 1800 euros en un banco durante un año si el capital
al cabo de ese tiempo ha sido de 1872 euros.
r
1872 1800 1 1 100
1872
⇒ r 100 1 4%
1800
6.48 Un capital de 600 euros ha producido unos intereses de 240 euros al 5% anual. ¿Cuánto tiempo ha estado el capital depositado en el banco si el interés es simple?
5
600 t 240 ⇒ t 8 años
100
137
PA R A
A P L I C A R
6.49 Calcula el capital acumulado por un depósito de 1200 euros a un interés simple del 3,2% después de 1, 5
y 10 años.
¿La cantidad acumulada entre los 5 y 10 años es el doble que la correspondiente a los 5 primeros?
Capital acumulado después de un año: C 1200 (1 1 0,032) 1238,40 €.
Capital acumulado después de 5 años: C 1200 (1 5 0,032) 1392 €.
Capital acumulado después de 10 años: C 1200 (1 10 0,032) 1584 €.
Cantidad acumulada entre los 5 y 10 años: 1584 1392 192 €.
Cantidad acumulada en los 5 primeros años: 1392 1238,40 154,60 €.
Por tanto, la cantidad acumulada entre los años 5 y 10 no es el doble de la acumulada en los 5 primeros años.
6.50 Raquel ha depositado 3000 euros a un interés simple de un 4%.
Ayúdala a representar gráficamente el capital que va a ir acumulando a lo largo de 5 años.
¿Cuál es la ecuación de dicha función?
3000 4
Los intereses anuales serán de 120 €.
100
El capital final será de 3000 5 120 3600 €.
Año
Intereses
acumulados
1
120 €
2
240 €
3
360 €
4
480 €
5
600 €
y capital
x años
y 3000 120x
Capital acumulado
(euros)
Representamos gráficamente la situación:
20
3500
x
1
0+
00
3
y=
3000
0
1
2
3
4
5
Años
6.51 a) ¿Qué tipo de curva se obtiene al representar el capital generado por un capital inicial depositado a
cierto interés simple en función del tiempo transcurrido?
b) ¿Qué significado tendría el hecho de que la curva fuera una recta horizontal?
a) Una función afín. Si C0 es el capital inicial y está depositado a un interés simple del i%, la función que representa el capital
generado, C, con el paso del tiempo, t, viene dada por:
C i
C C0 0 t
100
b) Si la curva fuera una recta horizontal, entonces significaría que el capital inicial se mantiene siempre constante y no se irían
acumulando intereses. Es decir, los intereses serían nulos.
138
6.52 Bernardo observa dos anuncios en diferentes bancos. En uno ofrecen por cada depósito de 6000 € a tres
años un interés simple anual de un 5%. En el otro ofrecen por cada depósito de 6000 euros a tres años
un interés anual del 4,25% más un ordenador valorado en 450 euros. En el supuesto de que Bernardo
necesitara un ordenador, ¿en qué banco es más recomendable depositar el dinero?
6000 5
En el primer banco obtiene unos intereses de 3 900 €.
100
6000 4,25
En el segundo banco obtiene unos intereses de 3 765 euros y además le dan el ordenador valorado en 450 euros.
100
En el supuesto de que Bernardo necesitara un ordenador, parece más recomendable depositar el dinero en el segundo
banco.
6.53 Pablo depositó 3500 euros en un banco a un interés simple anual del 6%. Al cabo de un cierto tiempo
canceló el depósito y el banco le dio 230,14 euros de intereses. ¿Cuántos días tuvo Pablo abierto el depósito?
3 500 6
En un año le darían unos intereses de 210 €.
100
Recordamos que el año comercial se considera de 360 días.
Con lo cual,
210 €
230,14 €
⇒
360 días
x días
230,14 360
x 394,53 días
210
Es decir, Pablo tuvo abierto el depósito durante 394 días.
6.54 Sandra obtuvo en bolsa unas ganancias de 4525 euros que depositó en un banco a un interés simple
de un 3,5%. ¿Durante cuánto tiempo debe mantener el depósito para que el capital final alcance los
5000 euros?
4525 3,5
Cada año, los intereses serán de 158,375 euros.
100
Sandra quiere obtener 5000 4525 475 euros de intereses.
475
Deberá tener su dinero en el depósito durante: 3 años.
158,375
Interés compuesto
Problema resuelto
6.55 El precio de un automóvil se devalúa un 20% cada año. Si Lola se ha comprado uno que le ha costado
15 000 euros, ¿cuál será su valor transcurridos 16 meses?
El capital final se calcula aplicando la fórmula del interés compuesto, teniendo en cuenta que hablamos de una disminución porcentual y de un período de capitalización dado en meses.
20
C 15 000 1 12 100
16
15 000 0,9816 10 856,97 euros
Transcurridos 16 meses, el importe del coche de Lola será de 10 856,97 euros.
139
PA R A
P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
6.56 Se depositan 1000 euros en una entidad bancaria al 8% de interés compuesto anual durante 10 años.
a) ¿Cuál será el capital acumulado?
b) ¿Cuál será el interés producido?
a) El capital acumulado o capital final que se generará se calcula a partir de la fórmula del interés compuesto.
8
C 1000 1 100
10
1000 1,0810 2158,92 euros
b) El interés producido será: C C0 2158,92 1000 1158,92 euros.
6.57 Calcula el capital final que se genera y los intereses producidos en los siguientes casos:
a) Se depositan 10 500 euros a un interés compuesto del 3,5% anual durante 6 años.
b) Al depositar 2500 euros a un interés compuesto del 4% anual durante cuatro años.
a) El capital acumulado o capital final que se generará se calcula a partir de la fórmula del interés compuesto.
12 907,18 euros
3,5
C 10 500 1 100
6
El interés producido será: C C0 12 907,18 10 500 2407,18 euros.
b) El capital acumulado o capital final que se generará se calcula a partir de la fórmula del interés compuesto.
2924,64 euros
4
C 2500 1 100
4
El interés producido será: C C0 2924,64 2500 424,64 euros.
6.58 Calcula el capital final que generarán 4500 euros a un interés compuesto del 4% durante 3 años si los
intereses se pagan:
a) Anualmente.
b) Semestralmente.
c) Trimestralmente.
d) Mensualmente.
e) Diariamente.
5061,89 euros.
4
a) Si el pago es anual: C 4500 1 100
3
5067,73 euros.
4
b) Si el pago es semestral: C 4500 1 2 100
4
c) Si el pago es trimestral: C 4500 1 4 100
6
4
d) Si el pago es mensual: C 4500 1 12 100
4
e) Si el pago es diario: C 4500 1 360 100
140
12
5070,71 euros.
36
5072,72 euros.
1080
5073,70 euros.
6.59 Estudia, entre las siguientes, cuál es la opción más rentable al ingresar 600 euros en una cuenta durante 2 años a un interés compuesto.
a) Mensual del 0,6%
b) Semestral del 1,7%
c) Anual del 2,5%
607,24 euros
1,7
b) C 600 1 620,66 euros
2 100
2,5
c) C 600 1 630,375 euros
100
24
0,6
a) C 600 1 12 100
4
2
La opción más rentable es la del interés compuesto anual del 2,5%.
6.60 ¿Es lo mismo un interés compuesto mensual del 1% que uno trimestral del 4%? Razónalo sobre un capital inicial de 6000 euros.
6060,28 euros
1
Interés compuesto trimestral del 4%: C 6000 1 6045,11 euros
4 100
1
Interés compuesto mensual del 1%: C 6000 1 12 100
12
3
El capital acumulado es mayor si los intereses se abonan de forma mensual.
6.61 Supón que una determinada cantidad de dinero se deposita en un banco al mismo interés compuesto
durante un año.
¿Qué resultará más beneficioso, un interés diario, mensual, trimestral, semestral o anual?
12
r
Mensual: C C0 1 1200
r
Trimestral: C C0 1 400
4
r
Semestral: C C0 1 200
2
r
r
Comparando las bases mensuales y trimestrales: ⇒ Dividiendo entre r, que es positivo:
1200
400
1
1
⇒
1200
400
1
1 1200
12
1
1 400
4
⇒ 1,010045 1,010037. Por tanto, es mejor mensual.
r
r
Comparando las bases mensuales y semestrales: ⇒ Dividiendo entre r, que es positivo:
400
200
1
1
⇒
400 200
1
1 400
4
1
1 200
2
⇒ 1,010037 1,010025
Por tanto, la opción más beneficiosa es la mensual.
PA R A
A P L I C A R
Problema resuelto
6.62 Clara pidió un préstamo de 3000 euros en una entidad bancaria al 3% de interés compuesto anual durante 6 años.
a) ¿Cuánto tendrá que devolver al banco transcurrido ese tiempo?
b) ¿Y si salda su deuda en tres años y medio?
a) Transcurridos los seis años, Clara debe haber pagado los intereses completos, es decir:
3000 1,03 3582,15 €
3
C 3000 1 100
6
6
b) Si salda su deuda a los tres años y medio, el período de capitalización debemos tomarlo en semestres.
3
C 3000 1 2 100
3000 1,015 3329,53 €
7
7
141
6.63 Cuando nació Elena, sus abuelos depositaron 1000 euros en una cuenta a un interés compuesto del 8%.
¿Por cuánto se habrá multiplicado la cantidad cuando Elena cumpla 18 años?
8
Capital acumulado: C 1000 1 100
18
1000 1,0818 3996,02 euros 4000 euros
Como vemos, el dinero se ha multiplicado aproximadamente por 4, es decir, se ha cuadruplicado.
6.64 Una ciudad tiene en la actualidad una población de 5 423 384 habitantes. Si crece cada año un 1,5%,
¿cuántos habitantes tendrá dentro de 10 años?
El crecimiento de habitantes seguirá la situación del interés compuesto.
Número de habitantes 5 423 384 (1 0,015)10 6 294 058,54
6.65 Un empresario pide un préstamo al 12% de interés compuesto durante 6 años. Si el capital final a devolver asciende a 850 000 euros, ¿cuál habrá sido el capital prestado?
El capital inicial se calcula aplicando la fórmula del interés compuesto:
12
850 000 C0 1 100
6
⇒ C0 758 928,57 euros
6.66 Una empresa deposita 300 000 euros en una entidad bancaria al 10% de interés compuesto anual. Al
cabo de cierto tiempo, retira el capital y los intereses acumulados, que son 63 000 euros. Calcula el tiempo que ha estado el dinero en el banco.
Aplicamos la fórmula del interés compuesto:
10 t
363 000
363 000 300 000 1 300 000 1,1t ⇒ 1,1t 1,21
100
300 000
Para resolver la ecuación resultante vamos dando valores a la variable t y así obtenemos que el dinero ha estado en el banco
2 años. En efecto: 1,12 1,21.
Magnitudes inversamente proporcionales
PA R A
P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
6.67 Comprueba que las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales. ¿Cuál es la constante de
proporcionalidad?
A
1
2
2,5
10
15
B
7,5
3,75
3
0,75
0,5
Las magnitudes A y B son inversamente proporcionales, ya que: 1 7,5 2 3,75 2,5 3 10 0,75 15 0,5 7,5.
La constante de proporcionalidad es k 7,5.
6.68 Completa las tablas siguientes sabiendo que son magnitudes inversamente proporcionales y calcula su
constante de proporcionalidad.
a)
A
1
2
3
5
B
330
165
110
66
k 330
142
b)
C
1
2
6
7
D
84
42
14
12
k 84
6.69 La constante de proporcionalidad de dos magnitudes inversamente proporcionales, A y B, es 8.
Calcula:
a) El valor de A cuando B es 2.
b) El valor de B cuando A es 16.
a) A 2 8 ⇒ A 4
b) 16 B 8 ⇒ B 0,5
6.70 Estudia si las magnitudes de las siguientes tablas son inversamente proporcionales.
a)
A
1
2
3
4
B
450
225
150
100
b)
C
120
60
30
15
D
2
4
8
16
a) 1 450 2 225 3 150 4 100
b) 120 2 60 4 30 8 15 16
No son inversamente proporcionales.
Son inversamente proporcionales.
6.71 Explica cuáles de las siguientes parejas de magnitudes son inversamente proporcionales.
a) Número de amigos que alquilan un piso y la cantidad que debe pagar cada uno.
b) La edad de una persona en años y su peso en kilogramos.
c) La base de un triángulo de área 50 centímetros cuadrados y su altura.
d) El número de kilogramos de naranjas que se pueden comprar con 20 euros, y el precio del kilogramo.
Son inversamente proporcionales las magnitudes de los apartados a, c y d.
6.72 Reparte 762 de forma inversamente proporcional a 2, 3 y 6.
1 1
Repartir de forma inversamente proporcional a 2, 3 y 6 es equivalente a repartir de forma directamente proporcional a , 2 3
1
y .
6
1
3 1
2 1
1
Como además: , y .
2
6 3
6 6
6
Por tanto, hay que repartir 762 de forma directamente proporcional a 3, 2 y 1.
Como 3 2 1 6, el reparto será:
762
3 381;
6
762
2 254;
6
762
1 127
6
1 1
1
6.73 Reparte 5920 en partes inversamente proporcionales a , y .
2 3
5
1 1 1
Repartir 5920 en partes inversamente proporcionales a , y es equivalente a repartir 5920 en partes directamente propor2 3 5
cionales a 2, 3 y 5.
Como 2 3 5 10, el reparto será:
5 920
2 1184;
10
5 920
3 1776;
10
5 920
5 2960
10
143
PA R A
A P L I C A R
6.74 Un motorista que circula a 80 km/h de velocidad media emplea 3 horas en viajar de Madrid a Burgos.
¿Cuánto tardará un automóvil si su velocidad media es de 120 km/h?
¿Cómo son las magnitudes tiempo y velocidad?
¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
Las magnitudes tiempo y velocidad son inversamente proporcionales.
La constante de proporcionalidad es: 80 3 240, que coincide con la distancia en km de Madrid a Burgos.
El motorista tardará: 240 : 120 2 horas.
6.75 Un rectángulo tiene 200 centímetros cuadrados de superficie. Calcula su altura en los casos en los que
su base mida 80, 40 ó 20 centímetros. ¿Cómo son estas magnitudes?
Para hallar la altura, h, de un rectángulo, conocidas su área y su base, se utiliza la fórmula S b h, donde S es la superficie
de la figura, y b, su base.
A
A b h ⇒ h ⇒
b
para b 80 cm, h 2,5 cm
para b 40 cm, h 5 cm
para b 20 cm, h 10 cm
Las magnitudes son inversamente proporcionales.
6.76 En una carrera ciclista se reparte un premio de 12 600 euros entre los tres primeros corredores que llegan a la meta de forma inversamente proporcional al tiempo empleado en concluir la carrera: 3, 5 y 6
horas, respectivamente. ¿Cómo queda establecido el reparto del premio?
Se calcula la constante de proporcionalidad.
1
1
1
k k k 12 600 ⇒ k 18 000
3
5
6
Por tanto, cada ciclista recibirá:
1
Primero: 18 000 6000 euros
3
1
Segundo: 18 000 3600 euros
5
1
Tercero: 18 000 3000 euros
6
6.77 En un concurso de preguntas y respuestas, se reparte un premio de 2310 euros de manera inversamente proporcional al tiempo que han tardado en responder correctamente los tres primeros clasificados: 5,
10 y 15 minutos, respectivamente. ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno?
Se calcula la constante de proporcionalidad.
1
1
1
11
k k k 2310 ⇒ k 2310 ⇒ k 6300
5
10
15
30
Por tanto, cada concursante recibirá:
1
Primero: 6300 1260 euros
5
1
Segundo: 6300 630 euros
10
1
Tercero: 6300 420 euros
15
144
6.78 A José le ha tocado un premio de 63 000 euros en la Lotería de Navidad y quiere repartirlo entre sus
hijos de forma inversamente proporcional a sus edades, que son 20, 25, 30 y 34 años. ¿Qué cantidad recibirá cada uno?
Se calcula la constante de proporcionalidad.
1
1
1
1
k k k k ⇒ 63 000 ⇒ k 412 451,86
20
25
30
34
Por tanto, cada hijo recibirá:
1
Hijo de 20 años: 424 719,10 21 235,96 euros
20
1
Hijo de 25 años: 424 719,10 16 988,76 euros
25
1
Hijo de 30 años: 424 719,10 14 157,30 euros
30
1
Hijo de 34 años: 424 719,10 12 491,74 euros
34
Matemáticas aplicadas
PA R A
A P L I C A R
6.79 Calcula el porcentaje que hay que indicar en una fotocopiadora para conseguir los siguientes tamaños
respecto del original.
a) Dos veces y media más grande.
b) Reducido a una cuarta parte.
Expresamos la razón de semejanza en forma de porcentaje.
250
a) 2,5 250%
100
25
1
b) 25%
100
4
6.80 Roberto ha fotocopiado un recorte de prensa de 5 centímetros de ancho por 12 de alto. Calcula el tamaño de la fotocopia si ha introducido los siguientes porcentajes.
a) 35%
b) 140%
c) 225%
d) 75%
Sean x e y el ancho y el alto de la fotocopia, respectivamente. A partir de los porcentajes obtenemos las razones de semejanza
y establecemos la relación de proporcionalidad entre los lados del original y los de la copia.
35
a) Porcentaje 35% ⇒ r 0,35
100
x
0,35 ⇒ x 1,75 cm
5
140
b) Porcentaje 140% ⇒ r 1,4
100
x
1,4 ⇒ x 7 cm
5
225
c) Porcentaje 225% ⇒ r 2,25
100
x
2,25 ⇒ x 11,25 cm
5
75
d) Porcentaje 75% ⇒ r 0,75
100
x
0,75 ⇒ x 3,75 cm
5
y
0,35 ⇒ y 4,2 cm
12
y
1,4 ⇒ y 16,8 cm
12
y
2,25 ⇒ y 27 cm
12
y
0,75 ⇒ y 9 cm
12
145
Actividades finales
PA R A
P R A C T I C A R
Y
A P L I C A R
6.81 Completa las tablas siguientes sabiendo que son magnitudes directamente proporcionales y calcula su
razón de proporcionalidad.
a)
A
1
2
3
6
B
16
48
64
96
b)
1
r 16
C
27
54
81
216
D
1
2
3
8
r 27
6.82 En todas las excursiones que realiza un determinado centro escolar, por cada alumno se pagan 1,75 euros de seguro de accidentes. Si en la última excursión el importe total fue de 99,75 euros, ¿cuántos alumnos fueron?
99,75
Como son magnitudes directamente proporcionales, tenemos que fueron: x 57 alumnos.
1,75
6.83 Tres amigos han compuesto las 12 canciones de un CD. Uno de ellos es el autor de 2 canciones; otro, de
4, y el tercero, de las restantes. Por cada CD vendido obtendrán un beneficio de 6 euros.
¿Qué cantidad se llevará cada uno si reparten las ganancias de forma directamente proporcional al número de canciones que han compuesto?
x
y
z
6
⇒ x 1 €; y 2 €; z 3 €
2
4
6
12
6.84 Los abuelos paternos de Ada quieren repartir 180 euros entre ella y su hermano de forma proporcional
a sus edades, 8 y 12 años.
Por otra parte, sus abuelos maternos distribuirán 216 euros entre sus tres nietos, también de forma proporcional a sus edades, 4, 8 y 12 años.
Si Ada es la nieta de 12 años, ¿con qué reparto obtendrá más dinero? ¿Y su hermano, que es el nieto
de 8 años?
x
y
180
8
12
20
x
y
z
4
8
12
⇒ x 72 € al de 8 años; y 108 € al de 12 años
216
⇒ x 36 € al de 4 años; y 72 € al de 8 años; z 108 € al de 12 años
24
En los dos casos, Ada y su hermano reciben la misma cantidad.
6.85 Se hallan, consecutivamente, el 28% y el 43% de una determinada cantidad. ¿Qué único porcentaje se
podría aplicar a dicha cantidad para obtener el mismo resultado?
0,28 0,43 0,1204
Para obtener el mismo resultado habría que aplicar un 12,04%.
6.86 Una empresa ha pedido presupuesto de una mercancía a un proveedor habitual. El precio real de la misma es de 2350 euros, pero el proveedor le aplicará un 20% de margen y un 3% por su transporte.
¿A cuánto ascenderá el presupuesto?
Si finalmente la empresa acepta la oferta y lo paga al contado, el proveedor le hará un descuento del 5%.
¿Cuánto pagaría finalmente la empresa por la mercancía?
¿Cuál sería el porcentaje final aplicado al precio inicial?
El presupuesto ascenderá a: 0,2 0,03 2350 14,1 ⇒ 2350 14,1 2364,10 €
Si lo pagase al contado, se quedaría en: 0,95 2364,1 2245,90 €
104,10 100
2350 2245,90 104,10 ⇒ 4,43% de descuento fue el porcentaje final aplicado.
2350
146
6.87 En un banco se depositan 4000 euros al 5% de interés simple anual.
a) ¿Cuánto pagará el banco al cabo de 6 años?
b) ¿Y de 9 meses?
c) ¿Y de 108 días?
a) Interés anual: 4000 0,05 200 euros
Interés en 6 años: 200 6 1200 euros
9
b) Interés en 9 meses: 200 150 euros
12
108
c) Interés en 108 días: 200 · 60 euros
360
6.88 Halla en qué cantidad se incrementarían 3000 euros depositados en una cuenta corriente durante 4 años
a un interés simple anual y a un interés compuesto anual del 6%. Compara el resultado y coméntalo.
A un interés simple anual:
Interés anual: 3000 0,06 180 euros
Interés en 4 años: 180 4 720 euros
Capital final: 3000 720 3720 euros
A un interés compuesto anual:
3000 1,06 3787,43 euros
6
C = 3000 1 100
4
4
Es mayor el capital final si se deposita a un interés compuesto. Es lógico, ya que con esta modalidad los intereses de cada año
se añaden al capital inicial para generar nuevos intereses.
6.89 Halla el tiempo que han estado ingresados 2500 euros en una cuenta si han producido unos intereses
de 250 euros al 3,5% anual, en los casos de que sea un interés simple o compuesto.
Interés simple: 250 2500 t 0,035 ⇒ t 2,86. Han estado aproximadamente 3 años.
Interés compuesto: 2750 2500 (1 0,035)t ⇒ 1,035t 1,1 ⇒ t 2,77 años. Por tanto, aproximadamente el mismo
tiempo.
6.90 Reparte 12 000 de forma inversamente proporcional a los siguientes números.
a) 2 y 6
b) 2, 3 y 4
c) 2, 4 y 8
1
1
4
a) k k 12 000 ⇒ k 12 000 ⇒ k 18 000
2
6
6
1
18 000 9000;
2
1
18 000 3000
6
1
1
1
13
b) k k k 12 000 ⇒ k 12 000 ⇒ k 11 076,92
2
3
4
12
1
11 076,92 5538,46
2
1
11 076,92 3692,31
3
1
11 076,92 2769,23
4
1
1
1
7
c) k k k 12 000 ⇒ k 12 000 ⇒ k 13 714,29
2
4
8
8
1
13 714,29 6857,15
2
1
13 714,29 3428,58
4
1
13 714,29 1714,29
8
147
6.91 En un concurso de pintura rápida se va a repartir la cantidad de 6000 euros entre los tres primeros clasificados de manera inversamente proporcional a su lugar en la clasificación.
Calcula la cantidad que se llevará cada uno de ellos.
1
1
11
k k k 6000 ⇒ k 6000 ⇒ k 3272,73
2
3
6
1
El segundo: 3272,73 1636,37 €
2
El primer clasificado se lleva 3272,73 €.
6.92 Un arquitecto dibuja el plano de una casa a escala 1:45.
¿En qué porcentaje se han reducido las medidas reales de la casa para trazar el plano?
1
2,22
⇒ En el 2,22%
45
100
PA R A
R E F O R Z A R
6.93 Completa las siguientes tablas de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razón de proporcionalidad.
a)
Peso de las almendras (g)
100
300
400
800
Precio (€)
12,5
37,5
50
100
Gasolina consumida (L)
40
20
12
1
Distancia recorrida (km)
600
300
180
15
100
r 12,5
b)
1
r 15
6.94 Reparte 22 000 de forma directamente proporcional a los siguientes números.
a) 4 y 6
b) 12 y 18
c) 5, 10 y 20
x
y
22 000
a) ⇒ x 8800; y 13 200
4
6
10
x
y
22 000
b) ⇒ x 8800; y 13 200
12
18
30
x
y
z
22 000
c) ⇒ x 3142,86; y 6285,71; z 12 571,43
5
10
20
35
6.95 En un videoclub se han alquilado 65 películas durante el primer fin de semana de julio, de las cuales 27
fueron comedias.
En el primer fin de semana de agosto se alquilaron 18 comedias de un total de 52 películas.
¿En cuál de los dos fines de semana fue mayor el porcentaje de comedias alquiladas?
27
41,54%
65
18
34,62%
52
En el primer fin de semana de julio, el porcentaje de comedias alquiladas fue mayor.
6.96 El presupuesto de una cocina es de 7200 euros a los que hay que añadir el 16% de IVA. Los clientes deben pagar un 40% del importe total en el momento de hacer el encargo. ¿Qué cantidad han de pagar
al final?
7200 1,16 8352 € será el precio de la factura.
Como hay que pagar el 40% antes de empezar el trabajo, al terminar se pagará el 60%.
0,6 8352 5011,2 € habrá que pagar entonces.
148
6.97 Al solicitar un préstamo de 12 000 euros para comprar un coche, Lucía ha estudiado estas tres opciones.
a) El banco le ofrece un interés simple anual del 3,2%.
b) El concesionario le presenta un interés compuesto semestral del 1,5%.
c) Una empresa de dinero fácil le garantiza un interés compuesto del 2,6% anual.
Si en los tres casos saldara su deuda en 4 años, ¿qué opción sería más conveniente para Lucía?
a) C 12 000 (1 4 0,032) 13 536
12 739,19
13 297,52
1,5
b) C 12 000 1 200
2,6
c) C 12 000 1 100
8
4
La más conveniente es la que le ofrece el banco.
6.98 Estudia si son inversamente proporcionales las magnitudes A y B dadas en las siguientes tablas.
a)
b)
A
1
2
4
8
B
84
42
21
10,5
A
1
3
6
9
B
180
60
30
20
a) 1 84 2 42 4 21 8 10,5. Son inversamente proporcionales.
b) 1 180 3 60 6 30 9 20. Son inversamente proporcionales.
6.99 Reparte 8500 de forma inversamente proporcional a los siguientes números.
a) 1 y 2
c) 1, 4 y 8
b) 3 y 6
d) 2, 4 y 6
1
3
a) k k 8500 ⇒ k 8500
2
2
1
1
11
c) k k k 8500 ⇒ k 8500
4
8
8
k 5666,67
k 6181,82
1
5666,67 2833,33
2
1
6181,82 1545,46
4
1
6181,82 772,73
8
1
1
3
b) k k 8500 ⇒ k 8500
3
6
6
1
1
1
11
d) k k k 8500 ⇒ k 8500
2
4
6
12
k 17 000
k 9272,73
1
17 000 5666,67
3
1
9272,73 4636,37
2
1
17 000 2833,33
6
1
9272,73 2318,18
4
1
9272,73 1545,46
6
149
PA R A
A M P L I A R
6.100 Completa las tablas conociendo la razón de proporcionalidad de las magnitudes relacionadas.
a) r 0,375
x
3
x
0,375 ⇒ x 6,75
18
y
3
0,375 ⇒ y 8
y
18
x
x
2,5 ⇒ x 15
6
25
y
6
25
2,5 ⇒ y 10
y
b) r 2,5
6.101 ¿Qué porcentaje hay que aplicar al 65% de 3140 para obtener 551,07?
0,65 3140 2041
x
2041 551,07 ⇒ x 27%
100
6.102 Después de 450 días a un interés compuesto del 6,2% anual, la cantidad que figura en una cartilla de
ahorros es de 2698,57 euros.
a) ¿Cuál ha sido el capital inicial?
b) ¿Qué interés hubiera sido necesario, durante el mismo tiempo, para que al final hubiera 3000 euros?
c) Si se quisiera duplicar los 2698,57 euros en la mitad de tiempo a partir de ahora, ¿qué interés debería ofrecer el banco?
6,2
a) 2698,57 C0 1 36 000
450
2698,57
⇒ C0 2496,36 €
1,081
i
b) 3000 2496,36 1 36 000
450
⇒
i
1 36 000
450
i
1,201749 ⇒ 1 1,00040848 ⇒
36 000
i
⇒ 0,00040848 ⇒ i 14,71%
36 000
i
c) 5397,14 2698,57 1 36 000
225
⇒
i
225 2
1 36 000 i
⇒ 1 1,003085404 ⇒
36 000
i
⇒ 0,003085404 ⇒ i 111,07%
36 000
6.103 El 40% del 70% de x es 600,6. Halla x.
0,4 0,7 x 600,6 ⇒ x 2145
6.104 Calcula el tiempo por el que se ha contratado una oferta bancaria si por depositar 5000 euros se han
obtenido unos intereses de 624,32 euros al 4% de interés compuesto.
t
4
5000 1 5000 624,32 ⇒
100
⇒ 1,04t 1,125 ⇒ t 3 años
150
4
624,32 5000
1 ⇒
100
5000
t
t
4
1 1,125 ⇒
100
6.105 Con el fin de obtener dinero para el viaje de fin de curso, 5 amigos deben montar unas cajas de regalos. Han tardado 4 horas en hacer 50 cajas.
Como deben montar 300 cajas y solo disponen de dos horas más, ¿cuántos compañeros más deben participar para conseguir el objetivo?
5 amigos —————— 4 h —————— 50 cajas
x amigos —————— 6 h —————— 300 cajas
x
4 300
⇒ x 20 amigos deben participar en total. Por tanto, 15 compañeros más.
5
6 50
PA R A
I N T E R P R E TA R
Y
R E S O LV E R
6.106 Reparto de escaños
Para repartir los escaños entre los partidos políticos que se presentan a unas elecciones, algunos países utilizan el sistema proporcional puro. Este método consiste en realizar un reparto proporcional al
número de votos obtenidos y, en un principio, adjudicar a cada partido tantos escaños como indique
la parte entera del número obtenido en el reparto.
Si después de este reparto quedaran escaños por asignar, estos se irán adjudicando, hasta agotarse, a
aquellos partidos con mayor parte decimal en el reparto inicial.
Observa los resultados de las últimas elecciones y reparte 32 escaños entre los cuatro partidos.
Partido político
Votos
A
410 802
B
399 951
C
135 541
D
41 098
410 802 399 951 135 541 41 098
987 390
30 856
32
2
Número de escaños
Partido
político
Número
de votos
Reparto proporcional
A
410 802
B
1.ª
aproximación
Reparto
definitivo
410 802
13,31
30 856
13
13
399 951
399 951
12,96
30 856
12
12 1 13
C
135 541
135 541
4,39
30 856
4
415
D
41 098
41 098
1,33
30 856
1
1
30
32
151
6.107 El premio a una carrera
En una carrera se ofrece un premio de 680 euros para repartir entre los tres primeros clasificados.
El comité organizativo ha aprobado los siguientes criterios.
• El primer clasificado debe recibir más dinero que el segundo, y éste, más que el tercero.
• Cuantas más horas semanales de entrenamiento certificadas por el inspector de la carrera, mayor premio se debe recibir.
Observa el resultado de la prueba.
“Yo tengo 2
horas semanales
certificadas.”
“Yo tengo
4 horas.”
“Pues yo
tengo 5.”
Finalmente, se decide que la cantidad a recibir sea directamente proporcional al cociente entre las horas de entrenamiento y el puesto conseguido. Calcula cuánto dinero obtendrá cada corredor y comprueba si se han cumplido los criterios iniciales aprobados por el comité.
La tabla siguiente muestra el resultado de la prueba:
Corredor
Puesto
Entrenamiento
A
2.º
4 horas
B
1.º
2 horas
C
3.º
5 horas
4
2
5
Se trata de un reparto proporcional a 2 2 y 2
1
3
680
Los corredores A y B reciben cada uno 5 2 240 euros.
2 2 3
680
5
El C recibe 5 200 euros.
2 2 3
3
Por tanto, el reparto ha quedado del siguiente modo:
Corredor
Puesto
Entrenamiento
Premio
A
2.º
4 horas
240 €
B
1.º
2 horas
240 €
C
3.º
5 horas
200 €
Observamos que no se cumple ninguno de los criterios iniciales aprobados por el comité, ya que:
• El primer clasificado no recibe más dinero que el segundo.
• El corredor que ha recibido menor premio es el que tenía más horas de entrenamiento certificadas.
152
A U T O E VA L U A C I Ó N
6.A1 Calcula la constante de proporcionalidad y completa la tabla correspondiente a dos magnitudes directamente proporcionales.
5
1
k 60
12
A
1
2
5
6
B
12
24
60
72
6.A2 Indica si las siguientes magnitudes son directa o inversamente proporcionales, y calcula la constante de
proporcionalidad.
a)
A
63
42
B
18
12
b)
C
160
40
D
16
64
63
42
21
a) Son directamente proporcionales porque: ⇒ k 3,5.
18
12
6
b) Son inversamente proporcionales porque: 160 16 40 64 20 128 ⇒ k 2560.
6.A3 Calcula x en los siguientes casos.
a) x es el 8% del 17% de 3300.
b) El 64% de x es 140,80.
c) El x% de 1600 es 576.
a) x 0,08 0,17 3300 44,88
140,80 100
b) x 220
64
576 100
c) x 36%
1600
6.A4 Halla el importe del alquiler mensual de una vivienda por la que se pagaban 640 euros sabiendo que
desde principios del año actual ha subido un 12%.
Actualmente se paga: 640 1,12 716,80 €.
6.A5 ¿Cuánto costará una lavadora de 425 euros que, por ser la de exposición, se encuentra rebajada un 18%?
Después del descuento cuesta: 425 0,82 348,50 €.
6.A6 Un empresario decide repartir unos beneficios de 4800 euros entre sus tres empleados de forma directamente proporcional al tiempo que llevan trabajando en la empresa: 2, 6 y 12 años.
¿Qué cantidad le corresponderá a cada uno?
x
y
z
4800
⇒ x 480 € para el que lleva 2 años en la empresa.
2
6
12
20
y 1440 € para el que lleva 6 años.
z 2880 € para el más antiguo.
6.A7 En un concurso de poesía se van a repartir 3300 euros entre los tres participantes con mejor puntuación. El reparto será de manera inversamente proporcional al lugar que ocupen en la clasificación.
Calcula la cantidad que recibirá cada uno de ellos.
1
1
11
k k k 3300 ⇒ k 3300 ⇒ k 1800 euros
2
3
6
El primer clasificado se lleva 1800 €.
1
El segundo: 1800 900 €
2
1
El tercero: 1800 600 €
3
153
6.A8 Leo ha prestado 15 000 euros a un amigo, el cual se los devolverá en 16 meses con un interés simple
del 0,3% anual. Halla la cantidad total que recibirá Leo.
1 0,3
C 15 000 1 16 15 060 € recibirá Leo.
12 100
6.A9 Calcula el interés que producen 2800 euros a un interés compuesto del 1,6% durante 5 años.
3031,28 €
1,6
C 2800 1 100
5
i 3031,28 2800 231,28 € de interés
Entretenido
E L
J U E G O
D E
L O S
Q U I N C E
En su libro Aventuras matemáticas, Guzmán saca mucho partido a este juego, que causó furor a finales del
siglo XIX.
Tú mismo puedes fabricar uno:
1. Pinta una cuadrícula de 4 x 4.
2. Recorta 15 fichas de cartón un poco más pequeñas que las cuadrículas y escribe en ellas los números del
1 al 15.
3. Colócalas en la cuadrícula igual que en la figura A.
El juego consiste en deslizar las piezas sin levantarlas, aprovechando el hueco, para conseguir colocar los
números como en la figura B.
El creador del juego ofreció una enorme suma de dinero al primero que le presentase una solución. ¿Lo consigues tú?
Miguel de Guzmán, en su libro Aventuras matemáticas, saca mucho partido a este juego, al que dedica un capítulo completo.
Si los alumnos se han fabricado un juego de los 15, después de un rato largo jugando puede que empiecen a sospechar que el inventor
del juego tenía asegurado su dinero: no se puede conseguir el objetivo propuesto.
Una forma más sencilla de abordar este problema es reduciendo la dificultad del tablero.
Si en lugar de trabajar con una cuadrícula de 4 4 lo hacemos con una de 2 2 (de la que surgirá el juego de los 3), comprobaremos que
es imposible llevar a cabo la tarea propuesta.
3
1
154
2
1
3
2
Haciendo todos los movimientos posibles hasta llegar a terminar con el cuadro vacío en la parte inferior derecha, vemos que de la posición de partida se puede llegar a:
2
3
1
1
2
3
3
2
1
O bien a:
Pero nunca a ninguna de estas otras tres opciones:
1
3
2
2
1
3
155