Criterios de plasticidad - Departamento de Ciencia de Materiales
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© Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Criterios de plasticidad Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid Física de la Plasticidad Tema 2: curso 2007-2008 Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Criterios de plasticidad • Ejemplos en una y dos dimensiones • Criterio de plasticidad • Material isótropo • Material metálico • Material metálico isótropo • Criterio de Tresca • Criterio de von Mises • Endurecimiento por deformación © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid Modelo unidimensional s se p s F < Frm F = Frm ⇒ ⇒ sp F Fr no desliza (elástico) desliza criterio de plasticidad |F | = Frm Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid Modelo bidimensional y Fy y F~ Fx x q Fx2 + Fy2 = Frm x © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Fr |F~ | = Frm función escalar de la acción También: resistencia generalizada |F! | − Frm = 0 función escalar de la acción f (F! ) = 0 Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Criterio de plasticidad f (acción) = 0 ¿Qué acción? • Fuerza • Momento • Esfuerzo • Momento flector • Esfuerzo axil • Temperatura • Tensión •… ¿Qué es la tensión? un TENSOR Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Matrices, tensores y + ? 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 Matriz de números 3.1 3.2 3.3 1.1 1.2 1.3 [aij ] = 2.1 2.2 2.3 Matriz de números 3.1 3.2 3.3 ? ? 3 2 1.1 1.2 1.3 Matriz de componentes [aij ] = 2.1 2.2 2.3 tensor de 2◦ orden a 3.1 3.2 3.3 1 © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid Matrices, tensores y + 3 Componentes ortonormales 1.1 1.2 1.3 [aij ] = 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 2 ¿Qué tiene de particular a ? NO ES SIMÉTRICO 1 © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid ¿Qué sabemos sobre … Las nebulosas Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos ¿Qué sabemos sobre … los tensores? • Autovalores (valores principales) √ • Invariantes • Traza • Tensor unitario √ • Descomposición hidrostático+desviador Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Criterio de plasticidad Tensión σ EN UN PUNTO f (σij ) = 0 f (σ) = 0 función escalar de un tensor simétrico ≡ función escalar de 6 variables escalares ¿Cómo se determina f (σij )? Experimentalmente Antes, REDUCIR grados de libertad Base en propiedades genéricas material • isótropo • metálico Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid Material isótropo Mismas propiedades en todas direcciones: f (σij ) invariante frente a rotaciones © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos tensor simétrico 3 invariantes escalares indep. • 3 autovalores (tensiones principales) σ1 , σ2 , σ3 o • 3 invariantes principales J1 = tr σ = σkk = σ1 + σ2 + σ3 h i ° ¢ 1 2 2 tr σ − tr σ = − (σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ1 σ3 ) J2 = 2 J3 = det σ Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid Material metálico Estado hidrostático de tensiones no afecta plasticidad f (σij ) invariante frente a superposición de un estado hidrostático de tensiones: f (σij + a δij ) = f (σij ) © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos delta de Kronecker, tensor unidad descomposición única hidrostático + desviador 0 σij = σh δij + σij tensión hidrostática 1 σh = σkk 3 Ø 0 Ø tr σ̄ ¯ 0 = σkk =0 tensor desviador 0 σij 1 = σij − σkk δij 3 f (σij ) depende sólo del desviador de tensiones 0 f (σij ) ≡ f (σij ) Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Material metálico isótropo f (σij ) depende sólo de los invariantes del desviador de tensiones ¿Cuantos invariantes independientes tiene un tensor desviador? 2 • Su traza es nula • Sus autovalores suman cero • Su primer invariante es nulo Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Criterios de plasticidad • Ejemplos en una y dos dimensiones • Criterio de plasticidad • Material isótropo • Material metálico • Material metálico isótropo • Criterio de Tresca • Criterio de von Mises • Endurecimiento por deformación © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid Criterio de Tresca τmax = k tensión cortante máxima σ3 σ1 − σ3 = 2k límite elástico a cortante τ τmax σ2 2τmax σ1 σ (σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ) Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Criterio de Tresca Cortante puro 0 τ [σij ] = τ 0 0 0 0 0 0 τ =k Tracción simple σ 0 0 [σij ] = 0 0 0 0 0 0 τmax = k σ = σy Para criterio de Tresca: σy = 2k © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid Criterio de von Mises σ = σy tensión equivalente Definición r σ= 3 0 0 σij σij 2 Expresión tensiones principales r σ= 1 [(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 ] 2 Expresión componentes ortonormales r σ= § 1£ 2 2 2 2 2 2 (σx − σy ) + (σy − σz ) + (σz − σx ) + 6(τxy + τyz + τxz ) 2 Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Criterio de von Mises Tracción simple 2 3σ 0 0 σ 0 0 0 ] = 0 − 13 σ 0 [σij ] = 0 0 0 ⇒ σkk = σ ⇒ [σij 0 0 − 13 σ 0 0 0 r 1 σ= [(σ − 0)2 + (0 − 0)2 + (0 − σ)2 ] = σ ⇒ σ = σy plastifica 2 Cortante puro 0 τ 0 0 [σij ] = τ 0 0 ⇒ σkk = 0 ⇒ [σij ]= 0 0 0 r √ √ 3 2 σ= (τ + τ 2 ) = 3 τ ⇒ 3 τ = σy plastifica 2 Para criterio de von Mises: σy = √ 3k 0 τ 0 τ 0 0 0 0 0 ⇒τ =k Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Criterios de plasticidad • Ejemplos en una y dos dimensiones • Criterio de plasticidad • Material isótropo • Material metálico • Material metálico isótropo • Criterio de Tresca • Criterio de von Mises • Endurecimiento por deformación Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid © Jaime Planas 2003-2008 ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Endurecimiento por deformación En tracción simple σy σ p σy = H(≤ ) σ y0 p σ = σy = H(≤ ) ≤p ≤ p p deformación σ → σ̄, ≤ → ≤ ¯ En general plástica equivalente r Z 2 p p p d≤ij d≤ij ⇒ ≤¯p = d¯ d¯ ≤ = ≤p 3 σ̄ = σy = H(¯ ≤p )
