Practico9 - Mecánica Clásica 2015

Mecánica clásica.
Práctico VIII – Dinámica del Rígido y Ángulos de Euler.
Parte A: Ejercicios Propuestos:
A
Ejercicio No 1:
k, 0
x
Un disco homogéneo de masa M y radio r tiene
arrollado un hilo sin masa e inextensible, del cual cuelga
una masa m. El centro del disco está unido a un resorte de
constante k y longitud natural nula. El otro extremo del
resorte está fijo en un punto A, situado sobre una pared
vertical, como se indica en la figura. El contacto entre la
pared y el disco es rugoso con coeficiente de rozamiento f.
Inicialmente, en t = 0, se cumple x(0)  y(0)  0 ,
M, r
C
f
y
x( 0 )  0 , y( 0 )  v 0  0 .
m
a) Hallar las ecuaciones de movimiento del sistema en un entorno del instante inicial.
b) En el caso de que se cumpla M = m y f = mg/kr, hallar la condición a verificar para
que en un tiempo finito el disco comience a rodar sin deslizar sobre la pared.
c) Si la condición anterior se verifica, hallar el tiempo que demora el disco en empezar
a rodar sin deslizar y determinar el estado de movimiento del sistema en ese instante.

Ejercicio No 2:
Cuatro barras iguales, homogéneas, de longitud 2a y masa
m forman un rombo ABCD, estando unidas a través de
articulaciones lisas. El punto A está fijo y el C se desplaza sin
rozamiento sobre la recta vertical que pasa por A. Inicialmente el
sistema se encuentra con el punto C coincidiendo con A (las barras
están horizontales, o sea,  = 90º) y se le da una velocidad angular
 ( 0 )  0 según el eje vertical.
inicial 
a) Hallar la energía total del sistema.
A

m, 2a
B
D
C
SUGERENCIA: Usar el teorema de König.
b) Calcular la componente según la vertical del momento angular total respecto al
punto O.
NOTA: Recordar que es independiente del punto que se considere sobre la vertical, por
lo que, para cada barra lo calculo según el punto más conveniente. Observar
también que se tiene el mismo valor para cada barra.
c) A partir del instante inicial, las barras entran a caer y el ángulo  alcanza un mínimo
que llamamos . Hallar el valor de . ¿Por qué  no puede ser cero?
VIII-1/5
MECÁNICA NEWTONIANA – Curso 2000
INSTITUTO DE FÍSICA - FACULTAD DE INGENIERÍA
Ejercicio No 3:
Un plano horizontal gira alrededor de un eje vertical con velocidad angular 
constante. Sobre el plano está apoyado un disco homogéneo, de masa m y radio r, unido
rígidamente a una barra OG de masa despreciable y longitud r. La barra es normal al disco en
su centro G y su otro extremo O está articulado en un punto situado en el eje de rotación del
plano a una altura r del mismo. El disco inicialmente está en reposo. El contacto entre el disco
y el plano es rugoso con coeficiente de rozamiento f. La articulación en O es esférica lisa. En la

figura, el versor I es fijo y el

versor i es solidario con el
plano.

K
a)
Hallar
las
ecuaciones de movimiento
en un entorno del instante
inicial.
b) Determinar las
condiciones que se deben
cumplir para que las
ecuaciones halladas en la
parte a) se cumplan siempre.
r
O
m, r
G
O

t 

I

i
c) Suponiendo ahora
que en algún instante de tiempo, se cumple que el disco comienza a rodar sin deslizar sobre el
plano, hallar las nuevas ecuaciones de movimiento.
d) Calcular lim
d
para    en los casos b) y c).
dt

v0
Ejercicio No 4:
Sobre una pendiente plana de
ángulo  se lanza una bola de masa m y
radio R, con velocidad inicial horizontal
  

en su centro v 0  v 0 J ( I , J están en
un plano horizontal). La esfera rueda
sin deslizar sobre la pendiente, siendo f
el coeficiente de rozamiento entre las
superficies.
m, R

k

j

K

J

I


i
a) Hallar las ecuaciones de
movimiento.
b) Determinar las reacciones sobre la esfera.
c) Hallar la trayectoria del centro de la esfera sobre el plano de la pendiente.
VIII-2/5
Práctico VIII – Dinámica del Rígido y Ángulos de Euler.
Ejercicio No 5:
Sobre un plano horizontal fijo se mueve una esfera homogénea, de radio a y masa m. El
contacto entre la esfera y el plano es rugoso con coeficiente de rozamiento f. Inicialmente el


centro de la esfera tiene velocidad v 0 y su velocidad angular es  0 .
a) Probar que mientras la esfera desliza sobre el plano, la velocidad de deslizamiento
tiene dirección constante (la velocidad del punto de contacto de la esfera con el plano).
b) Probar que mientras hay deslizamiento, la trayectoria del centro de la esfera es una
parábola.
c) Hallar el tiempo durante el cual hay deslizamiento. Determinar la trayectoria
posterior del centro (después de que la esfera comienza a rodar sin deslizar).
Ejercicio No 6:
Una esfera homogénea de masa m y radio r
rueda sin deslizar en el interior de un cilindro fijo de eje
vertical y sección circular a + r.
m, r
G

a) Hallar las ecuaciones de movimiento.
SUGERENCIA: Usar las cardinales tomando
z
como funciones incógnitas z,  de
coordenadas
cilíndricas
y
la

componente  r de  según GC,
donde G es el centro de la esfera y C es
el punto de contacto de la esfera con el cilindro).
a +r

b) En el instante inicial la esfera se encuentra con velocidad horizontal v 0 en su centro

y con velocidad angular  0 vertical. Demostrar que el centro de la esfera sigue un movimiento
sinusoidal sobre el cilindro en la dirección del eje z y circular uniforme según el plano
horizontal. Hallar la diferencia entre las alturas máxima y mínima del centro (amplitud de la
oscilación).
Ejercicio No 7:
Se considera el movimiento de un
disco de masa m y radio r sobre un plano
horizontal fijo. El contacto entre el disco y el
plano es rugoso con coeficiente de
rozamiento muy grande, de manera tal que el
disco siempre rueda sin deslizar sobre el
plano.

m, r
P

Sean:

el ángulo que forma el plano del disco con la vertical,

el ángulo formado por una dirección horizontal fija y la tangente al disco en P
(punto de contacto) y
3 la componente de la velocidad angular en la dirección radial del disco.
a) Hallar las ecuaciones de movimiento.
SUGERENCIA: Usar como variables: ,  y 3.
VIII-3/5
MECÁNICA NEWTONIANA – Curso 2000
INSTITUTO DE FÍSICA - FACULTAD DE INGENIERÍA
b) Hallar la condición que debe cumplir 3 para que exista solución  = 0 y  =
constante, es decir, con el disco moviéndose sobre un plano vertical fijo. Calcular las
reacciones sobre el disco en este caso.
c) Supongamos que el disco se mueve en un plano vertical fijo como en la parte b).
Hallar la condición que debe cumplir 3 para que el movimiento considerado sea estable.
Parte B: Resultado de algunos de los Ejercicios:
Ejercicio Nº1
a) (m  M )
x  my  kx  (m  M ) g  fkr
mx  (m  M / 2)
y  mg  fkr .
b)
2v 0
5g
k
 1.
3m
 3v
4m
arg sen  0
3k
 5g
c)  
Ejercicio Nº2
a) E  8ma 2 2 sen 2  


total
b) LP . k 
 
a) 
8
ma 2 ( 2   2 sen 2  )  8mga cos .
3
16
ma 2 sen 2  (P en la recta vertical).
3
c)  2 cos   3
Ejercicio Nº3
3
k 
 . x ( )  y ( )  v 0 .
5
3m 
g
sen  .
a
2
2 fg
 
 y   f
( es el ángulo de rotación del disco en
5
r
torno de su eje).
b)  
7 5g
.
5 r
c)  
d) Parte b)   
Parte c)  
Ejercicio Nº4
2
5
 y    .
7
7
4g
.
5r
2
.
7
5
g sen  , v y  0,  z  0, (donde x, y, z son las componentes
3
  
según la base i , j , k en el plano.
a) v x 
b) N  m g cos , Tx 
2
mg sen  , T y  0 .
3
c) La trayectoria es una parábola.
VIII-4/5
Práctico VIII – Dinámica del Rígido y Ángulos de Euler.


dv P
dv P
7 



T , entonces
Ejercicio Nº5 a)
y v P son colineales, entonces v P tiene
dt
2m
dt
dirección constante.
Ejercicio Nº6
z
r
a)  r    0 ;
b) h 
Ejercicio Nº7
7
2
  0 .

z  r r    g ; 
5
5
5a 2 g
.
v 20
  0.
 cos  2
  sen  2
a) 
3
5
  cos  0 .
 3  
4
5  3
1
g
 3 cos   2 sen  cos  sen   0 .
  
4
2
4
r
b) Condición:  3  constante .

Reactivas T  0 y N  mg .
c) Condición de estabilidad:  3 
VIII-5/5
g
.
3r