aritmética mercantil 2.1 – aumentos y disminuciones porcentuales

ARITMÉTICA MERCANTIL
2.1 – AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES
En un aumento o disminución porcentual, el número por el que hay que multiplicar la cantidad
inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación.
r
En un aumento porcentual del r%, el índice de variación es 1 +
100
r
En una disminución porcentual del r%, el índice de variación es 1 100
Para calcular el valor final, en un aumento o en una disminución porcentual, se halla el índice de
variación y se multiplica por la cantidad inicial. CF = CI.IV
Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se calculan los índices de variación
correspondientes a los distintos pasos y se multiplican, Se obtiene, así, el índice de variación global.
2.2 – TASAS Y NÚMEROS ÍNDICES
TASAS
La tasa de natalidad es un indicador social. En toda tasa se da la cantidad que interesa en relación a
una cantidad de referencia.
Ejemplos:
- Tasa de natalidad: 21,64 0/00 ⇒ Nacen 21,64 bebés por cada 1000 habitantes.
- Tasa de paro: 12 % ⇒ 12 parados por cada 100 personas en edad laboral.
- Tasa de alcoholemia: 0,15 ⇒ 0,15 cm3 de alcohol por litro de sangre.
NÚMEROS ÍNDICES
El índice de las bolsas refleja el valor global de las empresas que se cotizan en ellas. El valor del
índice en cada momento se obtiene mediante cálculos muy complejos en los que se valoran las
cotizaciones de las acciones y la cantidad que se comercializa de cada una.
Más que su valor concreto, se puede prestar atención a su variación porcentual respecto a una fecha
anterior: El IBEX 35 ha subido un 0,80 % durante esta semana.
Especialmente importante es el índice de precios al consumo (IPC). No tiene, en cada momento,
un valor determinado, sino que se evalúa en referencia al año (o al mes) anterior: El IPC ha subido
en mayo un 0,28 %, con lo que acumula un crecimiento anual del 3,56 %.
Para calcular la variación mensual del IPC, se tiene en cuenta la variación del precio de cada uno de
los bienes de consumo y la cantidad invertida en el mismo durante ese mes.
2.3 – INTERESES BANCARIOS
Al acudir a un banco lo hacemos principalmente por dos motivos.
-
Ahorrar dinero. Dejamos un deposito en el banco y el banco negocia con nuestro dinero y
nos paga unos intereses.
-
Pedir un préstamos: El banco nos presta dinero y nos cobra unos intereses (Debemos
devolver más que lo que pedimos)
PAGO ANUAL DE INTERESES
El tanto por ciento anual que paga un banco por depositar en él un dinero se llama
rédito
r 

Si un banco paga el r% anual, un capital C durante un año se transforma en C. 1 +
 . Como
 100 
r 
r 


cada año el capital se multiplica por 1 +
 , al cabo de n años se transforma en C. 1 +

 100 
 100 
r 

C      
→ C.1 +

 100 
n
años
al
n
n
r% anual
Frecuentemente, el banco no tarda un año en abonar los intereses, sino que lo hace en intervalos de
tiempo distintos (trimestres, meses...) El tiempo que el banco deja transcurrir para que un capital
produzca intereses se llama periodo de capitalización.
PAGO MENSUAL DE INTERESES
Un r% anual significa un r/12 % mensual. Si un capital C se deposita en un banco al r% anual con
pago mensual de intereses (periodo de capitalización de un mes), cada mes se multiplica por
r
r 

1+
= 1+
y, por tanto al cabo de n meses se habrá transformado en C. 1 +

100
1200
 1200 
r
n
12
r 

al r% anual
C nmeses

 → C.1 +

 1200 
n
PAGO TRIMESTRAL DE INTERESES
Un r% anual significa un r/4 % trimestral. Si un capital C se deposita en un banco al r% anual con
pago trimestral de intereses (periodo de capitalización de un trimestre), cada trimestre se multiplica
r
r 

por 1 +
= 1+
y, por tanto al cabo de n trimestres se habrá transformado en C. 1 +

100
400
 400 
r
4
r 

C       
→ C.1 +

 400 
n
trimestres
al
r% anual
n
n
PAGO SEMESTRAL DE INTERESES
Un r% anual significa un r/2 % semestral. Si un capital C se deposita en un banco al r% anual con
pago semestral de intereses (periodo de capitalización de un semestre), cada semestre se multiplica
r
r 

por 1 +
= 1+
y, por tanto al cabo de n semestres se habrá transformado en C. 1 +

100
200
 200 
r
n
2
r 

→ C.1 +
C       

 200 
n semestres
al
n
r% anual
PAGO DIARIO DE INTERESES
Un r% anual significa un r/365 % diario. Si un capital C se deposita en un banco al r% anual con
pago diario de intereses (periodo de capitalización de un día), cada día se multiplica por
1+
r
365
100
= 1+
r
r 

y, por tanto al cabo de n días se habrá transformado en C. 1 +

36500
 36500 
r 

C     → C.1 +

 36500 
n días
al
n
n
r% anual
2.4 – TASA ANUAL EQUIVALENTE: T.A.E.
En cuentas de ahorro, llamamos TAE al tanto por ciento de crecimiento total del capital durante un
año cuando los periodos de capitalización son inferiores a un año.
En préstamos bancarios, la TAE, también es superior al rédito declarado. Al calcularla se incluyen
los pagos fijos (comisiones, gastos) que cobra el banco para conceder el préstamo
n
x
r 

Pago mensuales de intereses : 1 +
= 1 +
 n = nº meses
100  1200 
Hallar x (análogamente las demás)
2.5 – AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS (Pagos distintos)
Para la amortización de un préstamo mediante varios pagos aplazados, se tienen en cuenta que:
- Cada pago salda los intereses que produce la deuda pendiente desde el pago anterior y, el
resto, amortiza parte de esa deuda.
- El último pago salda los intereses pendientes desde el pago anterior y amortiza la totalidad
de la deuda pendiente.
Tiempo
Deuda
Amortización + Intereses (en la unidad de tiempo)= Pago
Deuda Pendiente
= Deuda - Amortización
2.6 – AHORRO (cantidad fija cada año – vamos varias veces al
banco)
Cantidad total acumulada al final de un cierto periodo al hacer ingresos fijos a intervalos constantes.
Sn =
a 1 .x n − a 1
x −1
r 

x = 1 +

 100 
Ingresamos a comienzo de año y recogemos a comienzos de año: a1 = C
r 

Ingresamos a comienzo de año y recogemos a final: a1 = C. 1 +

 100 
2.7 – AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS (pagos iguales)
-
Anualidades para amortizar un préstamo: Se ha de amortizar un préstamo, C, a un interés
del r% anual, mediante n pagos anuales.
La anualidad correspondiente se obtiene mediante la siguiente fórmula:
a = C.
-
(1 + i )n .i
(1 + i) − 1
n
i=
r
100
n = nº años
Mensualidades para amortizar un préstamo: Se ha de amortizar un préstamo, C, a un interés
del r% anual, mediante n pagos mensuales.
La anualidad correspondiente se obtiene mediante la siguiente fórmula:
m = C.
(1 + i )n .i
(1 + i) − 1
n
i=
r
1200
n = nº meses
2.8 – PRODUCTOS FINANCIEROS
ACCIONES
Participaciones que otorgan el derecho de propiedad de una empresa. Representan, pues, las prtes
en que se puede dividir el capital social de una empresa.
La compraventa de acciones se realiza en los mercados de valores (la bolsa).
BONOS
Un bono es un instrumento de crédito legal mediante el cual se adquiere el compromiso de pagar
una cantidad en una fecha determinada, con unos intereses concretos. Generalmente, los emiten
grandes empresas o gobiernos. (El término bono se utiliza normalmente para emisiones de deuda a
corto plazo, mientras que los de largo plazo se denominan obligaciones).
CRÉDITO HIPOTECARIO
Cantidad recibida para la adquisición de un inmueble (piso, casa, parcela,…), la devolución de la
cual queda garantizada por el bien adquirido (hipoteca). Habitualmente la amortización se hace
mediante pagos periódicos y está sometida a unos intereses pactados a priori.
Además de los intereses, un préstamo hipotecario conlleva otros gastos: comisión de apertura,
peritaje de tasación, notaría… Estos gastos adicionales se le cargan al cliente en el momento de
recibir el préstamo.
FONDOS DE INVERSIÓN
Es un instrumento de ahorro colectivo que consiste en poner en común capitales privados que se
invierten en la adquisición de acciones, bonos y otros productos financieros. Los gestionan
profesionales que buscan eficacia y seguridad.
Son de renta fija cuando la inversión se hace en productos con interés conocido –bonos,
obligaciones-. Con el paso del tiempo, se cancelan unos y se abren otros. Por eso, la rentabilidad de
los bonos puede sufrir ligeras variaciones.
Son de renta variable cuando se invierten en activos financieros sin rentabilidad determinada que
dependen de sus valores en las bolsas.
Los fondos mixtos son los que combinan ambos tipos en una u otra proporción.
PLANES DE PENSIONES
Sistema de ahorro por el cuál una persona en edad laboral aporta un capital para su jubilación. Las
cantidades que se ahorran anualmente pueden ser diferentes; el capital final, desconocido; y el ritmo
de imposición, irregular.
ARITMÉTICA MERCANTIL – RESUMEN
AUMENTOS O DISMINUCIONES PORCENTUALES
r 

C final = C Inicial . Indice de variación = c Inicial . 1 ±

 100 
Encadenamientos : Se multiplican los índices.
DEPOSITAR UN DINERO EN EL BANCO
n
PAGO ANUAL DE INTERESES
r 

años al r % anual
C n

→ C.1 +

 100 
PAGO MENSUAL DE INTERESES
r 

meses al r % anual
C n
  → C.1 +

 1200 

n trimestres al r % anual
→ C.1 +
PAGO TRIMESTRAL DE INTERESES C        

n
r 

400 
PAGO SEMESTRAL DE INTERESES
r 

n semestres al r % anual
C        
→ C.1 +

 200 
PAGO DIARIO DE INTERESES
r 

C    → C.1 +

 36500 
T.A.E. 1 +

x
= 1 +
100 
r


n
Hallar “x”
n días al r % anual
n
n
n
AHORRO: Voy varias veces al banco y siempre ingreso la
misma cantidad
a 1 .x n − a 1
Sn =
x −1
r 

x = 1 +

 100 
Ingresamos a comienzo de año y recogemos a comienzos de año: a1 = C
r 

Ingresamos a comienzo de año y recogemos a final: a1 = C. 1 +

 100 
DEVOLVER UN PRÉSTAMO
CON PAGOS DISTINTOS
Tiempo
Deuda
Amortización + Intereses (en la unidad de tiempo)= Pago
Deuda Pendiente
= Deuda - Amortización
CON PAGOS IGUALES
AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS MEDIANTE ANUALIDADES
a = C.
(1 + i )n .i
(1 + i) − 1
n
donde i =
r
100
AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS MEDIANTE MENSUALIDADES
m = C.
(1 + i )n .i
(1 + i) − 1
n
donde i =
r
1200
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
EJERCICIO 1 : Por un artículo que estaba rebajado un 12% hemos pagado 26,4 euros. ¿Cuánto costaba antes de la
rebaja?


Solución: El índice de variación es: IV = 1 −
12 
 = 0,88.
100 
Por tanto: CF = CI . IV ⇒ 26,4 = CI . 0,88 ⇒ CI = 30 ⇒ Antes de la rebaja costaba 30 euros.
EJERCICIO 2 : Un ordenador cuesta 1 036 euros sin I.V.A. Sabiendo que se aplica un 16% de I.V.A., ¿cuál será su
precio con I.V.A.?


Solución: El índice de variación que corresponde a un aumento del 16% es: IV = 1 +
16 
 = 1,16.
100 
Por tanto: CF = CI . IV = 1036 · 1,16 = 1 201,76 ⇒ El precio con I.V.A. es de 1 201,76 euros
EJERCICIO 3 : El precio de un litro de leche (con I.V.A.) es de 0,6 euros. Sabiendo que el IVA en alimentación es del
7%, ¿cuál será su precio sin I.V.A.?


Solución: El índice de variación para un aumento del 7% es : IV = 1 +
7 
 = 1,07.
100 
CF = CI . IV ⇒ 0,6 = CI.1,07 ⇒ CI = 0,56 ⇒ El precio sin I.V.A. es de 0,56 euros.
EJERCICIO 4 : En un pueblo que tenía 200 habitantes, ahora viven solamente 80 personas. ¿Qué porcentaje representa
la disminución de la población?


Solución: CF = CI.IV ⇒ 80 = 200.IV ⇒ IV = 0,4 = 1 −
r 
 ⇒ r = 60 ⇒ Una disminución del 60%.
100 
EJERCICIO 5 : Un contrato de alquiler ha subido un 2% anual durante los tres últimos años. Calcula el precio mensual
que tendremos que pagar actualmente, sabiendo que hace 3 años pagábamos 420 euros al mes.


Solución: CF = 420. 1 +
3
2 
 = 445,70736 ≈ 445,71 euros
100 
EJERCICIO 6 : El precio de una raqueta de tenis subió un 20% y después la rebajaron un 15%. Si su precio actual es de
110,16 euros, ¿cuánto costaba antes de la subida? Di cuál es el índice de variación y explica su significado.


Solución: Índice de variación: IV = 1 +
20 
15 
1 −
 = 1,20 · 0,85 = 1,02
100  100 
CF = CI.IV ⇒ 110,16 = CI.1,02 ⇒ CI = 108 euros ⇒ Precio actual 108 euros


El índice de variación es 1,02 = 1 +
r 
 ⇒ r = 2 ⇒ Ha subido un 2 %
100 
EJERCICIO 7 : Un artículo que costaba inicialmente 60 euros fue rebajado en diciembre un 12%. En el mes de enero
tuvo una segunda rebaja de un 15%; y, en febrero, se rebajó otro 10%.
a) Calcula el precio final después de las tres rebajas. b) ¿Cuál es el porcentaje total de rebaja?
Solución:


a) Calculamos el índice de variación total: IV = 1 −
12 
15 
10 
1 −
1 −
 0,88 · 0,85 · 0,90 = 0,6732
100  100  100 
Por tanto, el precio final fue: CF = CI.IV = 60 · 0,6732 = 40,39 euros


b) El índice de variación obtenido, 0,6732 = 1 +
r 
 ⇒ r = 32,68%. ⇒ Un 32,68 % total de rebaja
100 
EJERCICIO 8 : El precio de un artículo ha aumentado en un 2%; pero, después, ha tenido una rebaja de un 5%. Calcula
el índice de variación total y la disminución porcentual del precio.
Solución:


El índice de variación total será: IV = 1 +
0,969 = 1 -
5 
2 
.1 −
 = 1,02 · 0,95 = 0,969
100   100 
r
⇒ r = 3,1 ⇒ Un 3,1 % de bajada.
100
EJERCICIO 9 : El precio sin I.V.A. de un determinado medicamento es de 15 euros.
a) Sabiendo que el I.V.A. es del 4%, ¿cuanto costará con I.V.A.?
b) Con receta médica solo pagamos el 40% del precio total. ¿Cuánto nos costaría este medicamento si lo
compráramos con receta?
Solución:
a) El índice de variación para un aumento del 4% es de 1,04.
Por tanto, el medicamento con I.V.A. costará: 15 · 1,04 = 15,6 euros
b) Para calcular el 40% multiplicamos por 0,4: 15,6 · 0,4 = 6,24 ⇒ El precio con receta sería de 6,24 euros.
EJERCICIO 10 : Un capital de 4 000 euros colocado al 8% anual se ha convertido en 5 441,96 euros. ¿Cuántos años han
transcurrido? (Los periodos de capitalización son anuales).
n


n
r 
8 

 ⇒ 5441,96 = 4000. 1 +
 ⇒ 1,36049 = 1,08n ⇒ log 1,36049 = log 1,08n ⇒
100 
100


log 1,36049
Log 1,36049 = n.log 1,08 ⇒ n =
= 4,000009933 ⇒ n = 4 ⇒ Habrán transcurrido 4 años.
log 1,08
Solución: CF = CI . 1 +
EJERCICIO 11 : Halla en cuánto se transforman 3 000 euros depositados durante un año al 8% anual si los periodos de
capitalización son trimestrales.
n
4
r 
8 


Solución: CF = CI . 1 +
 ⇒ CF = 3000. 1 +
 = 3.247,30 euros
400 
400 


EJERCICIO 12 : Calcula en cuánto se transforma un capital de 2 500 euros depositado durante 4 meses al 7% anual
(los periodos de capitalización son mensuales).
n


Solución: CF = CI . 1 +
r 
 ⇒ CF = 2500.
1200 
4
7 

1 +
 = 2558,85 euros
 1200 
EJERCICIO 13 : Calcula en cuánto se transforman 800 euros al 10% anual, en un año, si los periodos de capitalización
son mensuales.


n
Solución: CF = CI . 1 +
12
r 
10 

 ⇒ CF = 800. 1 +
 = 883,77 euros
1200 
 1200 
EJERCICIO 14 : Un capital de 2 000 euros se ha transformado en 2 247,2 euros al cabo de 2 años. Calcula el tanto por
ciento anual al que se ha colocado.


Solución: 2247,2 = 2000 ⋅ 1 +
1+
r
= 1,06
100
→
2
2
2
r 
r 
2 247, 2
r 
r


⇒ 1 +
= 1,1236 ⇒
 =
 = 1,1236 ⇒ 1 +
 ⇒ 1 +
2 000
100
100 
 100 
 100 
r
= 0, 06
100
→
r = 6% ⇒ Por tanto, se ha colocado al 6% anual.
EJERCICIO 15 : Hemos decidido ahorrar ingresando en un banco 1 000 euros al principio de cada año. Calcula la
cantidad que tendremos ahorrado a finales del octavo año, sabiendo que el banco nos da un 6% de interés.
Solución: Como vamos varias veces al banco y cada vez ingresamos la misma cantidad es una suma,
Como pagamos al principio de cada año y recogemos al final: a1 = 1 000 • (1,06)
S8 =
1 000 ⋅ ( 1, 06 )(
. 1, 06 )8 − 1 000( 1,06 )
= 10 491, 32 euros. ⇒ Al final de los ocho años tendremos 10 491,32 euros.
1, 06 − 1
EJERCICIO 16 : Una persona ingresa, al principio de cada año, la cantidad de dinero que viene reflejada en la siguiente
tabla:
(en euros)
er
1 AÑO
1000
2º AÑO
1500
er
3 AÑO
2000
Calcula cuál será el capital acumulado al cabo de los tres años (al final del año), sabiendo que el rédito es del 6%
anual.
Solución:
• Los 1 000 euros del primer año se transforman, al cabo de tres años, en: 1 000 · (1,06)3 euros
• Los 1 500 euros del segundo año se transforman, al cabo de dos años, en: 1 500 · (1,06)2 euros
• Los 2 000 euros del tercer años se transforman, al cabo de un año, en: 2 000 · (1,06)
• Por tanto, el total acumulado al cabo de los tres años será:
1 000 · (1,06)3 + 1500 · (1,06)2 + 2000 · (1,06) = 4 996,42 euros
EJERCICIO 17 : Calcula la cantidad total que tendremos si pagamos al final de cada año una anualidad
de 1 500 euros durante 10 años, al 8% anual.
Solución: Como vamos varias veces al banco y cada vez ingresamos la misma cantidad es una suma,
Como pagamos al final de cada año: a1 = 1 500.
El décimo término es a10 = 1 500 · (1,08)9.
S=
1 500 ⋅ ( 1, 08)10 − 1 500
= 21 729, 84 euros ⇒ Al final de los años 10 años tendremos un total de 21 729,84 euros.
1, 08 − 1
EJERCICIO 18 : Una persona ingresa en un banco, al principio de cada año, 400 euros, durante 6 años. Calcula el
dinero que habrá acumulado al final del sexto año sabiendo que el banco le da un 5% de interés anual.
Solución: Como vamos varias veces al banco y cada vez ingresamos la misma cantidad es una suma.
Como pagamos al principio de cada año y recogemos al final:a1 = 400 · (1,05)
S=
400 ⋅ (1,05)( 1, 05)6 − 400 ⋅ ( 1, 05)
= 2 856, 80 euros ⇒ Al final del sexto año tendremos 2 856,80 euros.
1, 05 − 1
EJERCICIO 19 : Durante 4 años, depositamos al principio de cada año 1 000 euros al 5% con pago anual de intereses.
¿Cuánto dinero tendremos acumulado al final del cuarto año?
Solución: Como vamos varias veces al banco y cada vez ingresamos la misma cantidad es una suma.
Como pagamos al principio de cada año y recogemos al final a1 =1 000 · (1,05)
El cuarto término es a4 =1 000 · (1,05)4
S=
1 000 ⋅ ( 1, 05)(
. 1, 05)4 − 1 000 ⋅ ( 1, 05)
= 4 525,63 euros. ⇒ Al final del cuarto año tendremos 4 525,63 euros.
1, 05 − 1
EJERCICIO 20 : Nos han concedido un préstamo hipotecario (para comprar un piso) por valor de 80 000 euros. Lo
vamos a amortizar en 180 mensualidades con un interés del 5% anual. ¿Cuál es el valor de cada mensualidad que
tendremos que pagar?
180
5 
5

 1+
 ⋅
n
(
1+ i ) ⋅ i
1200
1200

Solución: La mensualidad será: m = C
= 632,63 euros
= 80 000 
180
( 1 + i )n − 1
5


 1+
 −1
1200 

Cada mes tendremos que pagar 632,63 euros.
EJERCICIO 21 : Un coche cuesta 12 000 euros. Nos conceden un préstamo para pagarlo en 48 mensualidades con un
interés del 6% anual. ¿Cuál será la cuota mensual que tendremos que pagar?
( 1 + i )n ⋅ i = 12 000 ( 1, 005 )48 ⋅ 0, 005
( 1 + i )n − 1
( 1, 005 )48 − 1
Solución: m = C
= 281, 82 euros ⇒ Cada mes tendremos que pagar 281,82 euros.
EJERCICIO 22 : Halla la anualidad con la que se amortiza un préstamo de 40 000 euros en 5 años al 12% anual.
Solución: a = C
(1 + i )n ⋅ i = 40 000 ⋅ ( 1,12)5 ⋅ 0,12 = 11 096, 39
(1 + i )n − 1
( 1,12)5 − 1
euros ⇒ Cada año se deben pagar 11 096,39 euros.
EJERCICIO 23 : Calcula el valor de la anualidad con la que se amortiza un préstamo de 25 000 euros en 6 años al 10%
de interés anual.
Solución: a = C ⋅
( 1 + i )n ⋅ i = 25 000 ⋅ ( 1,1)6 ⋅ 0,1 = 5 740,18
( 1 + i )n − 1
( 1,1)6 − 1
euros ⇒ Cada año se deben pagar 5740,18 euros.
EJERCICIO 24 : Tenemos que amortizar 30 000 euros en 3 años, con un 8% de interés anual, de modo que cada año
pagaremos la tercera parte del capital total más los intereses del capital pendiente. Calcula lo que hay que pagar cada
año.
Solución:
• Hagamos una tabla:
• El primer año habrá que pagar 12 400 euros, el segundo año 11 600 euros y, el tercer año, 10 800 euros.
EJERCICIO 25 : Un artículo que costaba 300 euros sufrió un aumento del 25%
% en su precio. Después tuvo un segundo
aumento del 15%
% y luego se rebajó un 20%
%.
a) Calcula el índice de variación total.
b) ¿Cuál es el precio final?
Solución:
a) El índice de variación total será: IV = 1,25 · 1,15 · 0,8 = 1,15 (que corresponde a un 15% de aumento en el precio).
b) El precio final es: 300 · 1,15 = 345 euros
% en el año 1998 y bajó un 20%
% en el 1999. Si su precio en el 2000 es
EJERCICIO 26 : El precio de un piso subió un 15%
de 225 000 euros, ¿cuál era su precio hace dos años? Di cuál es el índice de variación y explica su significado.
Solución: Índice de variación: 1,15 · 0,80 = 0,92
Precio hace dos años:
225 000
= 244 565,22 euros
0,92
El índice de variación, 0,92, representa una disminución del 8% en el precio del piso.
EJERCICIO 27 : El precio de un ordenador que costaba 1 200 euros fue rebajado en un 8%
%. Posteriormente, se le aplicó
otra rebaja del 10%
%.
a) ¿Qué porcentaje de rebaja supone en total?
b) ¿Cuánto costaba después de las dos rebajas?
Solución:
a) El índice de variación total es: 0,92 · 0,9 = 0,828, que corresponde a una rebaja del 17,2%.
b) El precio final será: 1 200 · 0,828 = 993,6 euros
EJERCICIO 28 : Durante un curso escolar el número de alumnos matriculados en un colegio fue de 500. El curso
siguiente, este número se redujo en un 5%
% y, el siguiente, aumentó un 12%
%.
a) ¿Qué variación total de alumnos ha habido en esos años?
b) ¿Cuál es el número de alumnos matriculados que había después de las dos variaciones?
Solución:
a) El índice de variación total es: 0,95 · 1,12 = 1,064 que corresponde a un aumento del 6,4%.
b) El número final de alumnos será: 500 · 1,064 = 532
%. El año siguiente, el
EJERCICIO 29 : El número de habitantes de una cierta población aumentó hace tres años en un 2%
aumento fue del 3%
%; y, el siguiente, del 4%
%.
a) ¿Cuál ha sido el porcentaje total de aumento?
b) Si inicialmente eran 6 000 habitantes, ¿cuántos había después de los tres años de aumento?
Solución:
a) El índice de variación total es: 1,02 · 1,03 · 1,04 = 1,0926 que corresponde a un 9,26% de aumento.
b) Después de los tres años habrá: 6 000 · 1,0926 = 6 555,6 ≈ 6 556 habitantes
EJERCICIO 30 : Halla el tanto por ciento anual de interés al que debe colocarse un capital de 3 000 euros para que en
dos años se transforme en 3 307,5 euros.
Solución:

2
Si se coloca al r % anual durante dos años, se transforma en: 3000 ⋅  1 +

r 
 = 3307,5 euros.
100 
2
3307 ,5
r 

 1+
 =
100 
3000

2
r 

 1+
 = 1,1025
100 
Despejamos r : 
r
1+
= 1,1025
100
r
r
1+
= 1,05 →
= 0,05
100
100
→
r = 5%
EJERCICIO 31 : Hemos colocado un capital de 6 500 euros al 5%
% anual, y al cabo de un tiempo se ha transformado en 8
295,83 euros. Calcula los años transcurridos, sabiendo que los períodos de capitalización han sido anuales.
Solución:
Al cabo de n años tendremos: 6500 · 1,05n = 8295,83 euros.
Despejamos n:
1,05 n =
8295,83
6500
1,05 n = 1,276
→
n = 5 años
EJERCICIO 32 : Halla en cuánto se transforma un capital de 5 000 euros depositado durante 6 meses al 9%
% anual, si los
períodos de capitalización son mensuales.

Solución: Al cabo de seis meses se habrá transformado en: 5000. 1 +

6

 5000 • 1,00756 = 5229,26 euros
1200 
EJERCICIO 33 : Calcula en cuánto se transforman 3 500 euros depositados durante dos años al 6%
% anual si los
períodos de capitalización son trimestrales.


Solución: Al cabo de los 8 trimestres tendríamos: 3500. 1 +
8
6 
 3 500 · 1,0158 = 3 942,72 euros
400 
EJERCICIO 34 : Averigua cuál es el capital que colocamos al 6%
% anual durante 5 años, sabiendo que al final teníamos
2 676,45 euros.
Solución: Llamamos C al capital inicial. Al cabo de los 5 años se transformó en: C · 1,065 = 2 676,45 euros
Por tanto: C =
2 676,45
= 2 000 euros
1,06 5
ARITMÉTICA MERCANTIL
AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES
EJERCICIO 1 : El precio de un litro de gasóleo era de 0,51 euros y, al cabo de un año, se transformó en 0,65 euros.
¿Cuál ha sido el porcentaje de subida?
EJERCICIO 2 : Un hotel cobra 80 euros por día. ¿A cuánto asciende la factura de siete días, si nos descuentan un 20 %
por un bono y aplican el 16 % de IVA? Halla, también, el porcentaje de subida o de bajada respecto del precio inicial.
EJERCICIO 3 : En una papelería realizan un descuento del 15 % y cargan un 4 % de IVA, con lo que el total de la
factura asciende a 145,86 euros. ¿Cuál es el precio inicial de la compra?
INTERESES BANCARIOS. TAE
EJERCICIO 4 : Una población que tenía inicialmente 300 individuos va creciendo a un ritmo del 12% cada año.
¿Cuántos individuos habrá dentro de un año? ¿Y dentro de 3 años?
EJERCICIO 5 : Calcula en cuánto se transforman 1000 euros en un año al 7% anual si los periodos de capitalización son
semestrales. Halla la T.A.E.
EJERCICIO 6 : Emprendedores Unidos, S. A. compró una máquina por 20 000 euros. Al cabo de 5 años deciden
venderla para adquirir otra más moderna. Si la máquina se deprecia un 10% anualmente, ¿cuánto dinero obtendrán por su
venta?
EJERCICIO 7 : Pedro gana 24 000 euros al año y su empresa le sube el sueldo un 2% cada año. ¿Cuánto ganará dentro
de 10 años?
EJERCICIO 8 : Se invierten 5 000 € a un interés compuesto anual, y obtenemos 8 857,80 € al cabo de un determinado
número de años. Halla el tipo de interés y el número de años, si sabemos que manteniendo dos años más esa cantidad al
mismo interés, habríamos recibido 10 717,94 €.
EJERCICIO 9 : En la República de Malhestán la inflación crece anualmente un 20% desde 1995. Si en dicho año una
barra de pan costaba 10 thalegos:
a) ¿cuánto costará en el año 2009?
b) ¿Qué años sobrepasará la barrera de los 100 thalegos?
EJERCICIO 10 : ¿A Cuánto ascenderá una cantidad inicial de 20 000 € colocada al interés compuesto anual del 8%
durante 5 años si:
a) los períodos de capitalización son anuales;
b) los períodos de capitalización son trimestrales;
c) los períodos de capitalización son semestrales.
EJERCICIO 11 : ¿Al cabo de cuántos años nuestro capital inicial de 10 000 €, colocado al 7,5% de interés compuesto
anual, superará los 30.000 €?
EJERCICIO 12 : Si queremos que nuestro capital inicial se duplique en 8 años, ¿cuánto ha de valer el interés compuesto
anual?
EJERCICIO 13 :¿Cuánto dinero hemos de depositar al 5% anual compuesto para que al cabo de 10 años tengamos 10
000 €?
EJERCICIO 14 : Dos socios se reparten 50 000 € de beneficios. Uno coloca su parte a un interés compuesto del 4 %
anual y el otro al 9%. Si al cabo de 5 años ambos tienen la misma cantidad, ¿cuánto recibió cada uno inicialmente?
EJERCICIO 15 : A Isabel le ha tocado un premio de la lotería de 60.000 euros. Averigua cuál de las siguientes ofertas
bancarias le resultará más beneficiosa:
a) Una imposición a plazo fijo de 2 años y con un interés del 6,5 % anual.
b) Abrir una cuenta de ahorros a la vista con un tipo de interés del 5,5 % anual y con periodo de liquidación mensual.
AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS. TABLA
EJERCICIO 16 : Hemos de amortizar un préstamo de 60.000 euros en cuatro años. Sabiendo que cada año pagamos un
cuarto del capital prestado más los intereses del capital pendiente (al 5% anual). ¿Cuánto debemos pagar cada año?
EJERCICIO 17 : Un banco nos concede un préstamo de 9.000 euros, al 6% anual, que hemos de pagar en 3 meses. Cada
mes pagamos un tercio del capital prestado más los intereses del capital pendiente. ¿Cuánto debemos pagar cada mes?
AHORRO. SUMA
EJERCICIO 18 : Una persona deposita anualmente 720 euros durante 30 años y se le garantiza un 7 % de interés. ¿Qué
cantidad tendrá al cabo de ese periodo?
EJERCICIO 19 : Una persona ingresa 60 euros mensualmente en un fondo de pensiones al 7 %. ¿Qué capital tendrá
acumulado al cabo de 30 años?
AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS. ANUALIDADES
EJERCICIO 20 : Pablo solicita un préstamo de 15 000 euros al 6%, que amortizará en plazos semestrales de 1 194,16
euros. ¿Cuántos años tardará Pablo en amortizar la deuda?
EJERCICIO 21 : Para poder acumular un capital de 500 000 euros en 20 años, ¿qué anualidad debemos ingresar si el
interés es del 7% anual?
EJERCICIO 22 : ¿Qué capital se forma al pagar una anualidad de 6 000 euros durante 10 años al 11%?
EJERCICIO 23 : ¿Qué mensualidad hay que pagar para amortizar 30 000 euros al 8% en 5 años?
RECOPILACIÓN
EJERCICIO 24 : José Luis gana un premio en la Lotería y decide cancelar su hipoteca. Si en dicha hipoteca le
concedieron 108000 euros a pagar en 15 años a un interés del 3,5% anual, y la cancela después de pagar la quinta
anualidad, ¿cuánto ha de pagar para amortizar lo que le resta de deuda?
EJERCICIO 25 : Colocamos en una cuenta 2 000 euros al 3% anual. ¿Cuánto dinero tendremos en la cuenta al cabo de
un año? ¿Y dentro de 4 años?
EJERCICIO 26 :¿Cuánto pagaré mensualmente si pido prestado 50 000 euros a pagar en tres años a un interés del 9%
anual?
EJERCICIO 27 : Calcular el rédito anual al que se debe colocar 6000 euros, a interés compuesto, con periodos de
capitalización mensuales, para que al cabo de 10 años se conviertan en 15.000 euros.
EJERCICIO 28 : Una hipoteca de 60 000 euros al 5% se devuelve en 12 años. ¿Qué anualidad hay que pagar? ¿Qué
cantidad total se devuelve?
EJERCICIO 29 : Hallar el capital final que se obtiene al invertir 3.000 euros durante 15 años al 11% anual, con periodos
de capitalización trimestrales.
EJERCICIO 30 : Calcula el número de meses que tardaremos en amortizar un préstamo de 100 000 euros al 4,5%, si
pagamos 2 500 euros mensualmente.
EJERCICIO 31 : Colocamos un capital a un interés compuesto del 4,5%. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que el capital
se duplique?
EJERCICIO 32 : Hallar el capital inicial, suponiendo la liquidación mensual, que colocado al 9,25 % durante 3 años se
ha convertido en 13.843,44 euros
EJERCICIO 33 : En una factura aplican un 10 % de descuento y un 16 % de IVA. Si el precio de la compra era de 320
euros, ¿cuánto hay que pagar?
EJERCICIO 34 : Compramos un coche a plazos con las siguientes condiciones: entrada de 2 500 euros y 36 letras
(mensualidades) de 410 euros. Si el interés aplicado es el 8,5%, ¿cuánto costaba el vehículo al contado?
EJERCICIO 35 : ¿Qué te parece más rentable: gastarte anualmente en juegos de azar 60 euros y obtener un premio de
1250 euros al cabo de 15 años o depositar anualmente los 60 euros en un fondo que te ofrece un interés compuesto anual
del 8%?
EJERCICIO 36 : En un producto que ha subido por costes de fabricación un 12 % aplican un 20 % de rebaja. Si dicho
producto tiene un precio de 250 euros. ¿Cuál será su precio final? ¿Ha subido o bajado (calcula que porcentaje)?
EJERCICIO 37 : Un joven decide hacer un plan de ahorro para comprarse una moto al cabo de 5 años. Así, ingresa al
inicio de cada año 1000 euros en una entidad financiera que le ofrece un interés del 8% anual. ¿Qué cantidad recibirá al
finalizar el plan?.
EJERCICIO 38 : Se invierten 15 000 € al 6% anual, con períodos de capitalización trimestrales. ¿A cuánto ascenderá el
capital tras 8 años?
EJERCICIO 39 : Una persona decide abrir un plan de jubilación para dentro de 10 años. Un banco le ofrece el 6 % anual
mediante abonos de 1440 euros al principio de cada año. ¿Qué capital se habrá obtenido al final de los 10 años?
EJERCICIO 40 : Lidia duda entre pedir un préstamo al Banco Bank, a un interés del 5% y amortizable en 12 años, o a la
Caja Cash, a un interés del 6,5% y amortizable en 10 años. ¿Dónde pagará menor anualidad? ¿Dónde tendrá que
devolver menos dinero? Usa para las comparaciones la cantidad de 10 000 euros.
EJERCICIO 41 : El presupuesto de un viaje es de 600 euros Si durante un año y medio se ha ahorrado 36 euros cada mes
al 6% anual. ¿Se podrá hacer el viaje?
EJERCICIO 42 : Para amortizar una deuda en 5 años al 4% hay que pagar anualmente 1055,80 euros. ¿A cuánto
asciende la deuda?
EJERCICIO 43 : Recibimos un préstamo de 60.000 euros, al 12 % anual, que debemos amortizar en un año, pagando
cada trimestre la cuarta parte del capital prestado más los intereses de la cantidad adeudada. ¿A cuánto asciende cada
pago?
EJERCICIO 44 : Un frigorífico que costaba el año pasado 1200 euros ha aumentado su precio un 10 %. Al comprarlo
este año, nos rebajan un 10 %. ¿Qué precio pagamos por el frigorífico? Halla el porcentaje de subida o de bajada.
EJERCICIO 45 : Calcula las anualidades necesarias para acumular un capital de 20 000 euros en 20 años con un interés
del 9%.
EJERCICIO 46 : Queremos solicitar un préstamo hipotecario por un capital de 80.000 euros y tenemos las ofertas de dos
bancos. El primero nos ofrece para devolverlo un periodo de 12 años al 9,75% anual, mientras que el segundo nos ofrece
devolverlo a lo largo de 18 años al 7%. ¿ Con cuál de las dos ofertas devolveremos menos dinero al banco si lo
abonamos en sucesivas mensualidades?
EJERCICIO 47 : ¿Qué anualidad debe pagar Alicia para formarse un capital de 100 000 euros en 15 años, si el interés es
el 3,5%?
EJERCICIO 48 : Si acumulamos semestralmente los intereses al capital,¿cuánto dinero tendremos al cabo de 5 años si
depositamos 3 000 € al 4% anual?
EJERCICIO 49 : ¿Qué cantidad tendrá que pagar anualmente una empresa para amortizar en 8 años un préstamo de
20.000 euros a un rédito fijo del 6 % anual?
EJERCICIO 50 : En un banco se oferta un plan de jubilación con un rédito del 5 % fijo durante todo el periodo de la vida
del plan. Una persona está interesada en obtener un capital final de 150.000 euros dentro de 30 años que es el tiempo que
le falta para jubilarse. ¿Qué anualidad de capitalización debe aportar al principio de cada año?
EJERCICIO 51 : Emilio quiere asegurarse un capital de 200 000 euros en los 25 años que le faltan para jubilarse. ¿Qué
anualidad debe ingresar si el interés es del 8% anual?
EJERCICIO 52 :¿Cuánto dinero tendremos si depositamos 1 500 € durante 18 años al 3% de interés compuesto anual?
EJERCICIO 53 : Amelia y Carlos quieren ahorrar para dar la entrada de un piso. Necesitan 30 050 euros para ello. ¿Qué
anualidad han de ingresar si necesitan la entrada para dentro de 5 años y el banco les ofrece el 6,5% de interés compuesto
anual?
EJERCICIO 54 : Calcula la capitalización de una anualidad de 10.000 euros a un interés del 6% durante 20 años a final
de año.
EJERCICIO 55 : Un trabajador va a ganar, durante el primer año, un sueldo de 15000 euros, y el aumento del sueldo va
a ser de un 2% anual. ¿Cuál será su sueldo anual dentro de un año? ¿Y dentro de dos años?
EJERCICIO 56 : Pablo solicita un préstamo de 15 000 euros al 6%, que amortizará en plazos semestrales de 1 194,16
euros. ¿Cuántos años tardará Pablo en amortizar la deuda?
EJERCICIO 57 : Ana y Raul solicitan un préstamo de 70.000 euros al 8,5 % anual para la compra de un piso. Lo
amortizarán en 15 años mediante pagos anuales iguales. ¿Qué cantidad deberán pagar cada año?
EJERCICIO 58 : Hace 5 años un piso costaba 72.000 euros y actualmente cuesta 82.800 euros. ¿Qué porcentaje de
subida ha experimentado?
EJERCICIO 59 : Javier sólo puede pagar 271 euros mensualmente para comprarse un coche. ¿Cuánto costará el coche
más caro que puede comprarse, si el interés que le ofrece la financiera es el 7,75% y el plazo máximo para la devolución
del crédito son 60 meses?
EJERCICIO 60 : Pedro ingresa 50 000 € para pagar los gastos de la Universidad de su hijo Pedrito. Si el banco le ofrece
el 4,5% al año, ¿qué intereses recibirá Pedrito, si todos los años retiran los intereses y mantienen el dinero durante 15
años?
EJERCICIO 61 : Halla el número de años que hay que estar pagando para cancelar una deuda de 80 000 euros al 5%, si
se abona una anualidad de 12 377,75 euros.
EJERCICIO 62 : ¿Cuál debe ser el tipo de interés compuesto anual para que un capital se triplique en 15 años?
EJERCICIO 63 : Averigua la deuda que contrajo Rosa, si paga 1 421,40 euros anualmente durante 12 años. El interés del
préstamo es del 5,5%.
EJERCICIO 64 : Al nacer Pedro, su abuelo ingresa en una libreta de ahorros 1.500 euros Transcurridos 10 años, efectuó
otro ingreso de 3.000 euros y al cumplir Pedro 21 años, le regaló la libreta. Sabiendo que la entidad ofreció un 6,5 %.
¿Qué cantidad recibió realmente Pedro?
EJERCICIO 65 : Una señora ha comprado un piso por 90.000 euros, de los que 10.000 los ha pagado al contado y el
resto en 15 años, mediante un préstamo hipotecario con un rédito fijo del 11 %. Si los pagos los realiza una sola vez, al
final de cada año. ¿Qué cantidad debe pagar anualmente?
EJERCICIO 66 : Se pide un préstamo de 50000 euros a un tipo de interés anual del 5,5%. Calcular la mensualidad de
amortización si el periodo de amortización es de 5 años.