Elementos finitos con discontinuidades internas. Estudio del

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MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA V
J.M. Goicolea, C. Mota Soares, M. Pastor y G. Bugeda (Eds.)
©SEMNI, Espana 2002
ELEMENTOS FINITOS CON DISCONTINUIDADES INTERNAS.
ESTUDIO DEL BLOQUEO DE TENSIONES Y DE SUS POSIBLES
SOLUCIONES
J. Oliver , A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
E.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports,
Technical University of Catalonia
Campus Nord UPC, Mòdul C1, Gran Capitán s/n
CP.: 08034 Barcelona, Spain
e-mail: [email protected]
Palabras clave: Elementos finitos, discontinuidades internas, discontinuidades fuertes,
elementos mixtos, deformación mejoradas supuestas.
Resumen. Este trabajo aborda el estudio de algunos elementos finitos con discontinuidades
internas y explora la posibilidad de obtener un elemento finito simétrico estáticamente consistente que disminuya el efecto de bloqueo de tensiones. Con este objetivo, se aplican técnicas
basadas en principios variacionales mixtos y en el método de las deformaciones mejoradas
supuestas al elemento simétrico de cuatro nodos básico. Se presentan, además, simulaciones
numéricas que ponen de manifiesto las posibilidades que ofrecen las técnicas empleadas.
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J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
.
1 MOTIVACIÓN
El estudio de los llamados elementos finitos con discontinuidades internas ha despertado gran
interés en los últimos anos. Su capacidad de introducir discontinuidades en el campo de desplazamientos dentro del dominio de un elemento (por tanto, con indepencia de la orientación de sus
lados) los hace especialmente atractivos para la simulación de la localización de deformaciones
[5].
Existen varias familias de estos elementos. Un estudio bastante detallado de su comportamiento puede encontrarse en [2]. En dicho artículo se les clasifica en tres grupos:
1. Elementos simétricos estáticamente consistentes. La continuidad del vector de tensiones a
través de la discontinuidad se introduce de modo que se mantega la consistencia variacional
de la formulación, obteniéndose como resultado una formulación simétrica. Sin embargo,
esta forma de introducir la cinemática con discontinuidades en el campo de desplazamientos no asegura la posibilidad de movimientos de sólido rígido entre las dos partes en que
queda dividido el elemento1 . Una descripción de esta formulación se puede encontrar en
[3].
2. Elementos simétricos cinemáticamente consistentes. La cinemática introducida garantiza
la posibilidad de que las partes en que se ha dividido el elemento tengan movimientos de
sólido rígido. Por otra parte, la condición de continuidad del vector de tensiones no queda
asegurada a nivel elemental. Un elemento triangular basado en esta formulación puede
encontrase en [4].
3. Elementos no simétricos estática y cinemáticamente consistentes. Tanto la continuidad del
vector de tensiones como la posibilidad de movimientos de sólido rígido de las partes en
que queda dividido el elemento se garantizan con este elemento. Sin embargo, la primera
se introduce en forma fuerte, lo cual conduce a una formulación no simétrica. Estas son
las formulaciones usadas en [5] y [1].
La última familia de elementos es la que, según la experiencia de los autores, proporciona los
resultados más robustos y confiables. La familia 2) tiene un comportamiento robusto también,
pero con convergencia más lenta con respecto al refinamiento de la malla. Por su parte, la
familia 1) tiene como gran inconveniente adolecer de efectos de bloqueo de tensiones.
A pesar de este inconveniente, la consistencia variacional de la formulación 1) y, lo que
es más importante, el hecho de que los elementos de esta familia pueden ser, en principio,
utilizados sin la necesidad de un algoritmo de trazado de la discontinuidad (que es fundamental
para las otras dos familias, constituyendo su principal inconveniente) le confieren un atractivo
especial.
Por esta razón, este trabajo se dedica a explorar y desarrollar nuevos tipos de elementos
con discontinuidades internas pertenecientes a la familia 1). No obstante, y dado que el ya
mencionado efecto de bloqueo de tensiones produce que la formulación básica sea inviable, se
exploran algunos tratamientos específicos para afrontar este problema. Con este propósito, se
1
Como se verá más adelante, esto derivará en un comportamiento con bloqueo de tensiones.
2
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J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
.
han escogido algunas técnicas basadas en principios variacionales mixtos y en el método de las
deformaciones mejoradas, para su aplicación sobre el elemento básico.
2 EL PROBLEMA DE VALORES DE CONTORNO
Considérese el cuerpo de la figura 1-a, el cual presenta una discontinuidad en el campo de
desplazamientos (incrementales) [ ] ( ;t) a través de una superficie material S que lo divide en
+ y , tales que + [ = nS 2 . Los campos de deplazamientos y de derformaciones
incrementales resultantes, ( ; t), "( ; t) 3 , se pueden expresar de la siguiente manera [7]:
u_ x
u_ x _ x
u_ (x; t) = u: (x; t) + MS [ u_ ] (x; t);
[ u_ ] = u_ [email protected] + \S u_ [email protected] \S
"_(x; t) = rS u_ (x; t) =
:
"
|{z}
regular
(acotado)
;
u: = u_ en @u + Æ|S ([[u_ ] n)S
{z
(1)
}
singular
(no acotado)
1 8x 2 + n
h
(2)
08x 2 n
h
donde [ u_ ] denota el salto en desplazamientos incrementales, @ u es la parte del contorno exterior de (cuya normal que apunta hacia el exterior es ) en que los desplazamiento se prescriben
al valor u (x; t), HS es la función de salto de Heaviside situada en S (HS (x) = 1 8 x 2 +
y HS (x) = 0 8 x 2 ), MS es una función de salto unidad, cuyo soporte es el dominio h ;
que contiene a S (véase la figura 1-(b)), y que se construye como se indica en (2), y ÆS es la
función (generalizada) delta de Dirac ubicada en S que se obtiene de derivar MS (x):
MS (x) = HS (x) '(x)
; '(x)2H1 (
) =
El problema cuasiestático de valores de contorno se puede describir, en forma incremental,
Notación: AnB denota el resultado de sustraer el dominio B del dominio A:
Las expresiones que describen esta cinemática se conocen con el nombre de cinemática de discontinuidades
fuertes [7].
2
3
3
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J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
(a)
(b)
Figura 1. a) Sólido con discontinuidad en el campo desplazamientos; b) construcción de la función M S (x).
como el siguiente problema de tres campos,
u
" :
8
<
u_ (x; t)
ENCONT RAR : "_(x; t) que satisfagan:
:
_ (x; t)
r _ b_ = 0
en nS (equilibrio interno)
(a)
S
"_ r u_ = 0
en (compatibilidad cinemática)
(b)
_
(compatibilidad constitutiva)
(c)
_ (") = 0
en (3)
_ = t_ ext
en @ (equilibrio externo)
(d)
|_ + n {z _ n} = 0 en S
(continuidad externa de tracciones) (e)
def
= [[_ ]]
nS n
|_ + n{z _ S n} = 0 en S
(continuidad interna de tracciones) (f )
def
= [[_ ]]S n
donde (x; t) denota las tensiones, b(x; t) son las fuerzas másicas específicas y (") denota la
ecuación constitutiva que, dado un estado de deformación representado por "; proporciona como
salida el estado tensional; @ es la parte del contorno externo de en el que las tracciones se
prescriben al valor ext . Las ecuaciones (3)-(e) y (3)-(f) establecen la continuidad del vector de
tracciones T = a través de la línea de discontinuidad S .
t
n
4
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3 APROXIMACIÓN NO SIMÉTRICA (PETROV-GALERKIN)
La ecuación (3) se puede escribir en forma débil como se indica a continuación. Teniendo en
cuenta el campo de desplazamientos incrementales (1), se consideran los siguientes espacios
funcionales de desplazamientos incrementales, Vu , y de desplazamientos incrementales virtuales cinemáticamente admisibles, Vu0 :
Vu def
f(x) = + MS ; 2 [H1 (
)]ndim ; 2 L2(S )g
Vu0 def
0(x) 2 [H1 (
)]ndim ; [email protected]
= 0
(4)
donde ndim denota el número de dimensiones del problema, H 1 (
) es el espacio de funciones
definidas en con primeras derivadas de cuadrado integrable y L2 (S ) el espacio de funciones
de cuadrado integrable definidas en S 4 .
A la luz de la notación establecida, la forma débil del problema se puede escribir como:
PROBLEMA NO SIMÉTRICO CONTINUO
ENCONTRAR:
:
u_ = u: + MS: [ u_ ] ; u_ 2 Vu
"_ = rS u_ = " + Æs ([[u_ ] n)S
(5)
TALES QUE:
Æ u (_ ; ) =
Z
nS
_ (r u_ ) : r
S
S
d
Z
|
nS
b_ d
+
{z
Z
@ t_ d
Gext
=0
}
8 2 Vu0
(6)
Tras algunas operaciones estándar se puede establecer que la forma fuerte de (6) es:
Æ u (u; ) = 0
r _ b_ = 0 en nS
) _ = t_ ext
en @ [[_ ]]
nS n = 0 en S
(7)
y queda, por tanto, por imponer la condición (3)-(f) del problema de contorno (3). Esta condición será impuesta en el problema de elementos finitos en forma fuerte. En resumen, el
problema. (3) se escribe en forma equivalente como:
:
Æ u (_ (u; [ u_ ] ); ) = 0 8 2 Vu0 (forma variacional/débil)
[[_ S ]] n = 0
en S
(forma fuerte)
(8)
Grosso modo, H 1 () contiene funciones continuas definidas en () con derivadas discontinuas y L 2 () contiene
funciones discontinuas acotadas definidas en ():
4
5
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3.1 Discretización por elementos finitos (elemento no simétrico estándar: U4n)
Considérese el dominio material discretizado en una malla de elementos finitos de cuatro
nodos5 que contiene nelem elementos cruzados por la discontinuidad S (véase la figura 2-(a))
con sus respectivos nnode nodos . Supóngase que se cuenta con un algoritmo de trazado de la
discontinuidad [5], el cual determina el subconjunto J de los n J elementos que son atravesados
por S en un instante de tiempo dado t :
J := fe j e \ S 6= ;g = fei;::::; em; ::::ep; :::g
(9)
Para cada elemento de J , el algoritmo de trazado 6 proporciona además la posición de la interfaz
de discontinuidad elemental Se (véase la figura 2-(b)), de longitud le ; que define los dominios
+e y e y los nodos i+ 2 fi+1 ; ::; i+n+e g y i 2 fi1 ; ::; ine g. Se considera, entonces, la siguiente
u_
interpolación del campo de desplazamientos incrementales (e) en el interior de un elemento
dado e [5]:
(e) ( ; t) = i=4 N (e) ( ) (t) + M(e) ( ) [[ ]] (t)
(10)
e
i
} | S {z
| i=1 i{z
}
: (e)
: (e)
x d_
x u_
u
u~
: (e) es el campo
donde u
de desplazamientos incrementales estándar C 0 , interpolado por las fun(
e)
(e) (e) (e)
ciones de forma fN1 ; N2 ; N3 ; N4 g del elemento cuadrilátero isoparámetrico bilineal [10],
:
parametrizado por las velocidades nodales di (t) en el nodo i. El término u
~(e) , en la ecuación
(10), captura la parte discontinua del campo de desplazamientos incrementales (1) en función
del salto en desplazamientos incrementales [[u_ ]] e y MeS (x) es la versión discreta de la función
u_ x
de salto unitario dada en la ecuación (2) y que se define de la siguiente forma:
M(e)(x) =
S
8
>
<
>
:
0
H(e) (x)
'(e)
S
+
('(e) = ni+e=1 Ni+ )
)
8 e 62 J
8e 2 J
(11)
(e)
(e)
donde HS es la función de salto. La figura 2-(c) grafica la función MS y pone de relieve su
soporte elemental.
A partir de las ecuaciones (10) y (11), el campo incremental de deformaciones se puede
escribir:
(e)
S
"(e) = rS (e) = ii=4
(r'(e) [[ ]]e )S + ÆS ([[ ]]e )S (12)
=1 (rNi i )
Nótese que la ecuación (12) reproduce la cinemática de discontinuidades fuertes (1). A fin
de evitar posibles dificultades numéricas provenientes de su manejo, la delta de Dirac Æ S será
_
u_
d_
u_
5
u_
n
De ahora en adelante, solamente se considerarán problemas bidimensionales
Este algoritmo de trazado es un ingrediente crucial en las formulaciones no simétricas y constituye su principal
inconveniente.
6
6
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J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
M ( ihl > > hp > > hs > j
Figura 2. Discretización en 2-D usando elementos cuadriláteros: a) conjunto J de elementos intersecados por
la discontinuidad b) discontinuidad elemental S e ; c) función M S ; d) delta de Dirac regularizada; e) puntos que
intervienen en la integración numérica.
reemplazada por una función regularizada ÆSe definida en el dominio de un elemento e por:
ÆS(e) = (Se)
1
k
(13)
(e)
donde S es una función de colocación cuyo soporte es el dominio S ek ; ilustrado en la figura
2-(b) y definido en función del parámetro de regularización k :
(Se) (x) = 1
(Se) (x) = 0
8 x 2 Sek
8 x 2= Sek
(14)
A la vista de las ecuaciones (13) y (14) la forma regularizada del campo incremental de
deformación es:
1
(e)
S
"(e) = rS (e) = ii=4
(r'(e) [[ ]]e )S + (Se) ( [[ ]]e )S
(15)
=1 (rNi i )
k
_
u_
d_
u_
n
u_
A fin de integrar los términos discontinuos que surgen del segundo término del miembro
derecho de la ecuación (15), además de los puntos de integración estándar del cuadrilátero bilineal (PG1 a PG4 en la figura 2-(e)), se incorpora al elemento un punto de integración adicional
(SSP en la figura 2-(d)) situado en el centro del elemento y cuya área asociada es (véase la
7
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J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
figura 2-(d)) :
measure(Sek ) = kle
(16)
El parámetro de regularización k tiene un valor arbitrariamente pequeno (tan pequeno como lo
permita la precisión del ordenador).
En este contexto, la continuidad interna del vector de tracciones en las ecuaciones(3)-(f) y
(8) puede ser impuesta a nivel elemental en forma promediada:
_ + n = (_ n) = _ S n ! 1
e
|
)
Z
Z
_ n d
= l1
e {z
valor medio sobre ((Se)
1
k
}
nS
e
|
Z
_ n d
)
Se {z
(17)
}
valor medio sobre
S
le
)n _ d
= 0
e
(18)
8e 2 J
e
Considerando la discretización en elementos finitos que se acaba de describir, y utilizando procedimientos clásicos, la versión discreta del problema de valores de contorno (8) se puede
escribir de la siguiente manera:
PROBLEMA NO SIMÉTRICO DISCRETO
DADOS:
n
Vuh def
h(x) = ii==1nnode Ni(x) i + e2J M(Se)(x) e
n
o
Vuh0 def
h0 (x) = ii==1nnode Ni(x) i0 ; [email protected]
= 0
ENCONTRAR:
h = i=nnode
i=1
u_
Ni d_ i + e2J M(Se) (x) [[u_ ]]e
"_h = rS u_ h = ii==1nnode (rNi d_ i )S + e2J
TALES QUE:
Æ u (_ ; h) =
[[_ ]]S n = 0
!
S
; u_ h 2 Vuh
S
(
e) 1
(
e
)
[S k n r' ]
[[u_ ]]e
_ ("h)d
Gext = 0 8h 2 Vuh0
n _ d
= 0
8e 2 J
Pe=nelem R
S h :
e=1R
e
((e) 1 le )
r
o
(19)
(20)
(21)
k
e
e
La estructura de las ecuaciones (21) corresponde al procedimiento de residuos ponderados
de Petrov-Galerkin [10] del problema de valores de contorno (3).
4 APROXIMACIÓN SIMÉTRICA BASADA EN DEFORMACIONES MEJORADAS
SUPUESTAS
El método de las deformaciones mejoradas supuestas, que puede ser considerado como un caso
particular de los métodos de deformaciones supuestas o métodos mixtos [8], proporciona una
forma distinta de enfocar la existencia de discontinuidades en desplazamientos. En las secciones
8
/
.
J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
que vienen a continuación, la formulación correspondiente se presenta siguiendo las pautas
dadas en [9].
4.1 Campos supuestos de tensiones y deformaciones
ux
~ x; t) y
x
Vu def
f(x) 2 [H1 (
)]2 g
Vu0 def
0(x) 2 [H1(
)]2 ; [email protected]
= 0
(22)
; i 2 L2 (S )
V"~ def
f~(x) = + ÆS ( n)S ; Rij~2: L2d(
)
= 0 8 2 V def
V f (x) ; ij 2L2(
) g
en los cuales se establece la siguiente condición de ortogonalidad de V "~ con respecto a V :
Z
~ : d
= 0 8 ~ 2 V"~ 8 2 V
(23)
Considérese que los campos de desplazamientos ( ; t); de deformaciones mejoradas "(
de tensiones ( ; t) pertenecen a los siguientes espacios funcionales:
que está motivada por la satisfacción del test de la parcela [9].
El problema variacional del método de las deformaciones mejoradas se puede escribir de la
siguiente manera [9]:
PROBLEMA CONTINUO DE DEFORMACIONES MEJORADAS SUPUESTAS
ENCONTRAR:
TALES QUE
u_ (x;t)
_ 2 Vu
9 ; u
:
S
"_(x; t) = r u_ + |{z}
"~ >
=
:
;
"
~
2 V"~
mejora
:
:
>
S
;
"~ = " + Æs (_ n)
_ (x; t)
; _ 2 V
Æ u (_ ; ) = nS _ (") : rS d
Gext = 0
R :
Æ "~("~; ) = "~ : d
= 0
R
Æ (_ ; _ ; ~) = _ _ : ~d
= 0
R
(a)
(b)
(24)
(c)
8 2 Vu0
8 2 V
8~ 2 V"~
(a)
(b)
(c)
(25)
Mediante algunas operaciones estándar en (25)-(a)-(b) se puede demostrar que la correspondiente forma fuerte es:
9
/
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J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
i)
r _ (") b_ = 0 en nS
en @ Æ u (_ ; ) = 0 ) _ = t_
[[_ ]]
nS n = 0 en S
ii)
Æ "~("~; ) = 0
)
R :
"~ : d
= 0
(26)
:
) "~ = 0 en (27)
en sentido distribucional 7 y, considerando la ecuación (24)-(b):
:
"_ = rS u_ + |{z}
"~ = rS u_ ) "_
=0
rS u_ = 0 en (28)
Por último, la ecuación (25)-(c) se puede escribir de la siguiente forma:
iii)
R _ _
: ~d
=
)
R
Z
: ~ d
:
| {z
_
=0
_ ~
: d
= 0
R
}
(29)
~
(") : d
= 0
(30)
Es evidente que las ecuaciones (25)-(a) y (25)-(b) son la forma débil de (3)-(a) a (3)-(e). Por
este motivo, en la ecuación (30) tiene que ser escogida de manera que imponga (3)-(f).
~
5 DISCRETIZACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS. ELEMENTO ESTÁNDAR CON
TENSIÓN CONSTANTE Y DEFORMACIONES SUPUESTAS: S4N.
Dada una discretización en elementos finitos mediante elementos cuadriláteros bilineales (véase
figura 2-(a)), se considera la versión discreta de los espacios presentados en (22):
Vuh def
h(x) = ii==1nnode Ni(x) i
Vuh0 def
n h(x) = ii==1nnode Ni(x) i ; i [email protected]
= 0 o
V"~h ~h(x) = ee==1nelem ((Se) k1 lee )e(x)(e n)S
Vh def
f h(x) = ee==1nelem e(x) e
; e (x) =
1 para x 2 e
0 en caso contrario
(31)
Se puede apreciar inmediatamente que la expresión que se ha adoptado para h en (31)
7
:
:
~
Dado que "~ = "+ Æs (_ n) es una distribución, la expresión "~ = 0 debe entenderse en sentido distribucional
:
S
10
/
.
J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
cumple la condición de ortogonalidad, expresada en la ecuación(23), dado que:
(e) 1
e=nelem R
le
S
~h h
: Zd
= e=1
e (S k e ) (e n) : e d
=
1 le
ee==1nelem ((Se)
) d
(e n)S : e = 0
(32)
k e
e
|
{z
}
(le le )=0
Se tiene, entonces, que la versión discreta del problema expresado en las ecuaciones (24) y
(25) tiene la siguiente forma:
R
PROBLEMA DISCRETO DE DEFORMACIONES SUPUESTAS
ENCONTRAR:
u_ h(x;t) = ii==1nnode Ni d_ i ;
1
"_h(x; t) = rS uh + ee==1nelem ((Se)
k
|
:h
"~ (mejora)
_ h (x;t) = ee==1nelem e (x) e
:
TALES QUE:
i)
Æ u (_ ; h ) = 0 )
ii)
Æ "~("~h; h ) = 0
iii)
Æ _ _ ; ~h) = 0 )
( h;
)
Z
e=X
nelem Z
e
e=1
)
((Se)
e=1
_ : ~h d
=
(e) 1
e (ZS kle
Gext = 0 8 h 2 Vu0
e=1
e
S
k
le _
) n d
= 0
e
1 _
e ) nZd
= 0 )
1
_ d
n = 1 _ dS n )
e e
le
|
{z
}
| le{z
}
_
e (promedio en e ) _ Se (promedio en Se )
i
_
e ) n d
e = 0 8e
((e) 1
le
(33)
(34)
(35)
(36)
e 2 f1:::nelem g
(37)
_ n = _ n
(38)
e
Obsérvese que la ecuación (37) puede escribirse como:
R
}
_ h 2Vh
rS h : _ ("h)d
Pe=nelem ehR
1
k
n)S
(se cumple trivialmente, véase la ecuación (32)
( Pe=nelem R
=
le
)e (x)(_e
{ze
u_ h 2 Vuh
:h
"~ 2 V"~h
| e
{z Se }
continuidad de tracción
(en valores medios)
lo que pone de manifiesto que dicha ecuación (37) impone la continuidad interna de tracciones
dentro de cada elemento.
n
11
/
J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
.
En resumen, las ecuaciones que gobiernan el problema discreto simétrico se pueden escribir
como:
Æ u (_ ; h) = 0
)
Æ (_ h ; _ ; ~h) = 0
e=nS
elem R
rS h : _ (")d
Gext = 0 8h 2 Vu0
e
Re=1 (e) 1
le
_
e (S k e ) n d
= 0 e 2 f1:::nelem g
(39)
_
(40)
"_(e) = rS u_ (e) + ((Se) k1
e )(e n)
le
S
6 EXPERIMENTO NUMÉRICO. BLOQUEO DE TENSIONES.
A fin de evaluar el comportamiento de los elementos descritos en las secciones 3 y 5 se ha
considerado el test numérico que se describe en la figura 3-(a). La placa rectangular (modelizada
en deformación plana) tiene fijo uno de sus lados y se estira uniformemente por el otro. El
comportamiento del material se describe mediante el modelo de dano isótropo descrito en [6],
en el que se considera ablandamiento lineal. El análisis teórico arroja como resultado un línea
de discontinuidad vertical que cruza la placa de arriba abajo. El salto en desplazamientos es
uniforme y presenta una sola componente de la normal en coordenadas locales (modo I).
Dado que el problema es homogéneo antes de que exista bifurcación y, por tanto, el estado
tensional es constante en la placa, la posición de la discontinuidad se fija artificialmente.
Para la simulación se utiliza una malla no estructurada, tal como se puede ver en la figura
3-(a), usando los siguientes elementos finitos:
• Elemento no simétrico estándar de cuatro nodos U4n. Este es el elemento no simétrico
estática y cinemáticamente consistente de tipo Petrov-Galerkin descrito en la sección 3.
• Elemento simétrico estándar de cuatro nodos S4n. Este es el elemento simétrico estáticamente consistente basado en el método de las deformaciones mejoradas descrito en la
sección 5.
En la figura 3-(b) se pueden observar las curvas tensión-desplazamiento, xx Æ; obtenidas
para ambos elementos. Se puede constatar claramente que el elemento U4n proporciona, como
cabía esperar, la solución exacta. La zona poscrítica se describe mediante una rama lineal de
ablandamiento que se prolonga hasta la total relajación de tensiones.
Por otra parte, el elemento S4n exhibe una rama de endurecimiento que va más allá de la
tensión límite, provocando que la curva tensión-desplazamiento alcance niveles incompatibles
con la física del problema.
La causa de este bloqueo se explica, a grandes rasgos, mediante los siguientes razonamientos:
1. La cinemática de discontinuidades fuertes descrita en (1) descompone las defomaciones
(incrementales) en una parte regular (acotada) que se desarrolla en nS y una singular (no
12
/
.
J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
s xx [MPa]
Damage Model (linear softening)
E= 30000.MPa
n = 0.
14
Gf= 0.100 Nw/mm
su= 10. MPa
Symmetric (S4n)
Load 10
0.5 [m]
1.[m]
Non-symmetric
U4n
6
A
2
0
y
x
d
(a)
0
0.5
1.5
-4
2.5
d [10 m]
(b)
Figura 3. Placa homogénea: a) datos geométricos y malla de elementos finitos; b) curvas de tensión xx - desplazamiento Æ en el punto A.
acotada) que se desarrolla en S .
"_ = rS u_ =
:
"
|{z}
"_
nS
+
Æ|S ([[u_{z
] n)S
}
(41)
singular (no acotada)
regular (acotada)
2. Se puede demostrar que, después del inicio de la discontinuidad fuerte, toda la componente
inelástica de las deformaciones (incrementales) corresponde a la parte singular, mientras
que las deformaciones regulares (acotadas) son incrementalmente elásticas8 , esto es:
:
1:
"
nS = " = | {z
) = : "
nS
(42)
}
_
C
_
_ C _
deformación elástica
C
donde denota el tensor constitutivo elástico de cuarto orden.
3. De la ecuación (42) se puede ver que, ya que las componentes de (que vienen determinadas por los valores, generalmente, elevados de las propiedades elásticas) tienen valores
muy altos, los valores de "
nS tienen que ser muy pequenos, de modo que _ se mantenga
en un rango de valores físicamente aceptables. Dicho de otra manera, si los valores de
"
nS son inusitadamente altos, lo serán también los valores de _ , con la consecuente aparición de efectos de bloqueo. En el caso de la curva de la figura 3-b, cabría esperar que las
deformaciones regulares fueran prácticamente cero9 .
C
_
_
_ ' 0 ) "_
nS = C 1 : _ ' 0
(43)
Considérese ahora el campo de deformaciones modelizado por el elemento S4n (véase la
8
Aunque es intuitivo, este no es un resultado trivial. Probarlo requiere recurrir al llamado análisis de discontinuidades fuertes ([6]).
9
En este punto el elemento debería ser capaz de producir movimientos de sólido rígido entre las dos partes en
las que queda dividido por la discontinuidad.
13
/
.
J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
ecuación (33)) y el grado polinómico de sus componentes:
) = rS u_ (e)
"_(
enS
| {z }
lineal
le _
(e n)S
}
| e {z
(44)
(mejorado) constante
u_
Es inmediato ver que, excepto para casos muy particulares en los cuales el término r S (e)
se hace constante dentro del elemento, los términos no se pueden cancelar entre sí. En
consecuencia, la ecuación (43) no será satisfecha y aparecerá el efecto de bloqueo de tensiones.
Estos razonamientos, además de explicar las causas del bloqueo del elemento S4n, sugieren
dos posibles soluciones:
a) Disminuir el grado polinómico de r S (e) a cero (constante).
b) Incrementar el grado polinómico del término de mejora a uno (polinomio lineal).
La estrategia a) se sigue en el caso de los elementos mixtos de la sección 7 mientras que la
estrategia b) conduce a la estrategia de mejoramiento de deformaciones presentada en la sección
9.
u_
7 APROXIMACIÓN MIXTA
7.1 Campos supuestos de deformaciones y tensiones
Considérense los siguientes espacios funcionales:
Vu def
f(x) 2 [H1 (
)]2 g
Vu0 def
0(x) 2 [H1 (
)]2 ; 0 [email protected]
= 0
V" def
fn (x) = + ÆS ( n)S ; ij 2 L2 (
) ; i 2 L2(S )og
V def
(x) ; ij 2 L2(
) ; [[ ]]
nS n = [[ ]]S n = 0
El problema variacional de tres campos (
u
(a)
(b )
(c)
(d)
(45)
" ) puede escribirse como:
PROBLEMA CONTINUO MIXTO
ENCONTRAR:
TALES QUE
u_ (x; t) :
"_(x; t) = " + Æs (_ n)S
_ (x;t)
R
u:_ 2 Vu
" 2 V"
_ 2 V
Æ u (_ ; ) = RnS _ : rS d
G ext = 0
Æ " (u_ ; "_; ) = "_ rS u_ : d
= 0
R
Æ (_ ; _ ; ) = _ _ : d
= 0
14
8 2 Vu0
8 2 V
8 2 V"
(46)
(47)
/
.
J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
Tras el procedimiento estándar las expresiones (47) conducen a la siguiente forma fuerte:
i)
r _ b_ = 0 en nS
Æ u (_ ; ) = 0 ) _ = t_
en @ [[_ ]]
nS n = 0 en S
ii)
Æ "(u_ ; "_; ) =0
iii)
)
Æ (_ ; _ ; ) = 0
R
(48)
rS u_ : d
= 0 ) "_ = rS u_ en "_
R _
)
_
: d
) _ = _
en (49)
(50)
Por tanto, las ecuaciones (3)-(a) a (3)-(e) del problema de valores de contorno original
se cumplen en forma débil mediante las ecuaciones variacionales (47) mientras que la
ecuación (3)-(f) se cumple debido a la particular elección del espacio V en la ecuación
(45)-(d).
8 DISCRETIZACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS. ELEMENTO MIXTO EN
TENSIÓN/DEFORMACIÓN CONSTANTE: M4N
Para la discretización con elementos de cuatro nodos presentada en la figura 2-(a) se considera
la siguiente versión discreta de los espacios de la ecuación (45):
Vuh def
h(x) = ii==1nnode Ni(x) i
Vu0 def
h(x) =ii==1nnode Ni(x) i
V f x)
h def
"
h(
; i [email protected]
= 0
x)(e + (Se) k1 (e n)S )g; e(x) =
=ee==1nelem e (
8
<
:
1 para x 2 e
0 en caso
Vh def
f h(x) =ee==1nelem e(x) e g
(a)
(b)
(c)
contrario
(d)
(51)
y el correspondiente problema discreto:
PROBLEMA DISCRETO MIXTO
ENCONTRAR:
u_ h = ii==1nnode Nid_ i ;
u:_ h2Vuh
"_h = ee==1nelem (e (x:)"_ e + (Se) k1 e (x)(_e n)S ) "h 2V"
_ h =ee==1nelem e (x) e
_ h2V
15
(a)
(b)
(c)
(52)
/
.
J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
TALES QUE:
R
Æ u (_ ; h )= _ Rh : rS h d
G ext = 0
Æ "(u_ h ; "_h ; h )= "_h rS u_h : h d
= 0
R
h
h
Æ (_ h; _ ; h ) = _ h _ : h d
= 0
_
Æ " (u_ h ; "_h ) = 0 )
8h2Vuh0 (a)
8 h2Vh (b)
8 h2V"h (c)
(53)
Si se inserta "h de la ecuación (52)-(b) en la ecuación (53)-(b) se obtiene:
e=X
nelem Z
=
e=1
)
e
e=1
e=X
nelem "_h
rS u_ h : e d
=
Z
e "e + le (_e n)
:
S
e "e + le (_e n)
:
S
Z
e
:
r u_ d
S
e
r u_ d
h
S
h
(54)
: e = 0
8 e )
= 0 e 2 f1:::nelem g )
despejando "e y sustituyendo en la ecuación (54) y, luego, sustituyendo en
(52)-(b):
:h
" en la ecuación
Z
1
l
S h
"e =
r
u
_
d
e (_e n)S e 2 f1:::nelem g )
e e
e
Z
e=X
nelem
1
:h
l
1
S h
r
u
_
d
( e (Se) )(_e n)S
" =
e (x)
e e
e
k
e=1
:
|
{z
(e)
(55)
}
rS u_
(e)
donde rS u_ denota el valor medio de rS u_ h (x) dentro del elemento e: En resumen:
def
=
Æ "(u_ h ; "_h : h ) =0
S
le
_
e )(e n) ]
! "_h = Pee==1nelem e(x)[rS u_ (e) + ((Se) k1
x) en la ecuación (51)-(c)
Ahora bien, a partir de la ecuación (53)-(c) y del desarrollo de h (
se obtiene:
e=X
nelem Z Æ (_ h ; _ ; ) = 0
h
=
=
)
e=1
e=X
nelem Z
e
e=1
e=X
nelem e=1
e
_ e
e _ e
_ e
_
_
: h d
=
1
: (e+(Se) (e
k
Z
e
(57)
n)S ) d
=
_ d
: e + le_ e n
16
(56)
Z
_ ndS e = 0
Se
8e 8e
/
J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
h
.
9
i
e _ e e _ d
= 0 =
h
i
(58)
)
e 2 f1:::nelem g
R
le _ e n Se _ dS n ;
Despejando, entonces, _ e en la ecuación (58):
R
(a)
_ e = 1e e _ d
= _ e
(59)
R
_ e n = l1e Se _ dS n = _ S n (b)
_ e = 1e R
e _ d
y _ S = l1e RS e_ dS son, respectivamente, los valores medios de
donde _ ("(x)) in e and Se: A partir de la ecuación (59), es trivial obtener
_ e n =_ S n
(60)
R
que es la expresión de la continuidad interna del vector de tensiones (3)-(f) en función de los
valores medios de . La ecuación (59)-(b) puede, entonces, escribirse en un formato más
conveniente:
_
Z
Z
Z
1
_ dS n 1 _ d
n = ((Se) 1
le Se
e e
k
e
le _
) n d
= 0
e
(61)
En resumen, a partir de las ecuaciones (57) y (61) se llega a:
Æ (_ h ; _ ; ) = 0
h
!
R
_
e ) n d
= 0
(e) 1
e (S k
le
8e 2 f1:::nelemg
(62)
Por último, después de algunas operaciones algebraicas estándar en la ecuación(53)-(a), y teniendo en cuenta (59), se llega a:
e=[
nelem Z
Æ u (_ h ; h) = 0 !
=
=
=
:
e=1
e=[
nelem Z
e=1
e=[
nelem
e=1
e=[
nelem
e=1
e : rS h d
Gext =
e
e
_ e : rS h d
_ e :
Z
Gext =
rS h d
Gext =
| e {z
= e r
}
S (e)
_ : rS (e)
| e{z }e
R
_
e d
17
Gext = 0 )
(63)
/
J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
)
e=nS
elem R
e=1
e r
S h
: _ ("h)d
Gext = 0 8 h 2 Vu0
.
(64)
9 MEJORA DE DEFORMACIONES: ELEMENTO E4N
La estrategia estudiada a continuación
se basa en dotar de nuevos términos a la componen:
te de deformaciones mejoradas(" en la ecuación (24)) del elemento simétrico S4n. Se deben
satisfacer dos condiciones:
~
i) La condición de ortogonalidad (23) :
Z
:
"~: d
=0
:
8"~ 2 V"~ 8 2V (65)
ii) Incluir términos de orden uno que contribuyan a disminuir el efecto de bloqueo de tensiones.
Teniendo presentes estas condiciones, se propone el siguiente campo de deformaciones de
mejora:
: (e)
"~h = ((Se)
|
1
k
le _
1
1
)(e n)S + s S_ e + tT_ e
{ze
J
{z J }
} |
(66)
: (e)
: (e)
"~2
"~1
donde s y t denotan las coordenadas isoparamétricas del cuadrilátero estándar de cuatro nodos
y J es el jacobiano de la transformación isoparamétrica que relaciona las diferenciales de área
en los espacios regular e isoparamétrico de la siguiente manera:
d
= J ds dt
: (e)
~
(67)
En la ecuación (66), "1 es la deformación mejorada básica, que ya está presente en el ele: (e)
mento S4n, y "2 un término de mejora adicional del campo de deformaciones que proporciona
n elo polinomio lineal requerido
n en
o las deformaciones del núcleo del elemento. Los valores
T
= [S_ xx; S_ yy ; S_ xy ]e y e = [T_xx ; T_yy ; T_xy ]Te son factores de intensidad de dichas
e
deformaciones que constituyen seis grados de libertad adicionales para el elemento. De la expresión (66) queda claro que la condición de ortogonalidad (65) se satisface para el campo
(constante elemento a elemento) de tensiones (51), dado que:
~
S_
T_
18
/
J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
.
sxx [MPa]
14
Symmetric (S4n)
10
Symmetric
(mixed M4n
enhanced E4n)
6
Non-symmetric
(U4n)
2
0
0
0.5
1.5
-4
2.5
d [10 m]
Figura 4. Placa homogénea: tensión xx vs. desplazamiento Æ para diferentes elementos.
Z
: (e)
e
"~1 : e d
=
Z
: (e)
e
"~2 : e d
=
=
e
1
= ((Se)
k
e
|
Z
Z
le
Z
{z
le _
)(e n)S : e d
=
e
1
k
le
)d
(_e n)S : e = 0
e
le = 0
1
{z
s dsdt S_ e : e +
=0
}
(68)
}
1 _
(s Se + tT_ e ) : e d
=
J
e
Z +1 Z +1
| 1
((Se)
Z +1 Z +1
| 1
1
{z
=0
(69)
t dsdt T_ e : e = 0
}
10 SIMULACIONES NUMÉRICAS
10.1 Placa homogénea
El ejemplo básico de la sección 6 y la figura 3 se analiza ahora para los elementos M4N y E4N.
Los resultados, de nuevo en términos de las curvas xx Æ , se presentan en la figura 4 junto
con los obtenidos para el elemento S4n y el resultado exacto (U4n).
Se puede observar el drástico efecto en la reducción del bloqueo de tensiones obtenido con
los nuevos elementos, lo cual prueba la efectividad de las estrategias adoptadas. Por lo demás,
se puede observar que los resultados obtenidos con el elemento M4n (estrategia mixta) y el
elemento E4n (estrategia con modos de mejora de adicionales) se parecen bastante, lo que
demuestra que el razonamiento hecho en la sección 6 es, en esencia, correcto.
19
/
J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves
.
11 CONCLUSIONES
En este trabajo se ha explorado la posibilidad de utilizar elementos simétricos con discontinuidades internas estáticamente consistentes para simular discontinuidades fuertes. Se ha demostrado, mediante ejemplos, que el uso de elementos basados en técnicas mixtas (M4n) y en el
empleo de mejoramiento adicional de las deformaciones supuestas (E4n) ayuda a disminuir de
manera sustancial el bloqueo de tensiones que se observa en el elemento original S4n.
Mediante la utilización de estas técnicas se pretende, esencialmente, 1) recuperar la capacidad del elemento no simétrico U4n de reproducir los movimientos de sólido rígido de las partes
en que queda dividido después de ser atravesado por la línea de discontinuidad y 2) conservar
el carácter simétrico y la consistencia variacional del elemento S4n.
Un aspecto importante que no ha sido abordado aún es la estabilidad de los elementos propuestos en este trabajo. Se sabe, por ejemplo, que el elemento de cuatro nodos con integración
reducida (este es el caso del elemento M4n) produce los llamados modos hourglass [10]. Ade: (e)
más, los modos de mejora "2 de la ecuación (66), considerados para el elemento E4n, no cumplen la condición (V"~ \ V" = f g) [9]. No obstante, hay un aspecto crucial en la manera en que
los elementos propuestos en este trabajo son implementados que hace que su comportamiento,
en lo referente a estabilidad, sea muy diferente del de los elementos clásicos. En este trabajo,
las formulaciones de los elementos se han realizado en el contexto de un problema de valores
de contorno en forma incremental. Esto permite considerar el problema como un conjunto de
problemas incrementales que se suceden a lo largo del tiempo, cada uno de los cuales tiene su
propia formulación de elementos finitos. La implementación se ha hecho de tal manera que las
modificaciones en el elemento básico S4n, que conducen a la obtención de los elementos M4n y
E4n, afecten solamente a la banda de elementos que captura la discontinuidad después de que
dichos elementos hayan sido cruzados por la discontinuidad. Los elementos que se encuentran
fuera de la banda conservan el comportamiento del elemento original. Esto implica que el desarrollo y propagación de modos espurios están muy restringidos. Esto redunda, además, en el
hecho de que el costo computacional asociado a la presencia de nuevos grados de libertad sea
muy bajo.
Sin embargo, y a pesar de que en las simulaciones realizadas no se han producido inestabilidades numéricas, los autores son conscientes de que esto no puede generalizarse a cualquier tipo
o tamano de problema y de la necesidad de realizar estudios de estabilidad en trabajos futuros.
~
0
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo ha sido realizado en el contexto de los Proyectos de Investigación MAT20000436 y MAT-2001-3863-C03-03 financiados por el Ministerio Espanol de Ciencia y Tecnología.
Los autores quieren agradecer este apoyo.
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