Teorema de Euler, generalizado para hipercubos n – dimensionales.

Teorema de Euler, generalizado para hipercubos n –
dimensionales.
E. R. Morgado Morales
Fac. de Matemática Física y Computación
Universidad central “Marta Abreu” de Las Villas,
Santa Clara, Cuba.
Abstract:
In this paper, a generalization of the well known Euler´s theorem
on the numbers of vertexes, edges and faces of any convex
polyhedron, for n-dimensional hypercubes is studied. A proof,
based on combinatorial considerations, is given. A general
definition of convex n –dimensional polytope is given and also of
regular convexe polytope and of orthogonal convex polytope,
also called orthotope. The statement of the theorem for general
convex polytopes is also given and the reader is invited to see the
proof in a referenced book.
I. Introducción:
Es bien conocido el teorema, descubierto por Leonardo Euler, en
1750,que relaciona los números de vértices, de caras y de aristas de
cualquier poliedro convexo, en el espacio tridimensional, [1] . Por
observación directa el brillante matemático intuyó que, si v denota el
número de vértices, a el número de aristas y c el número de caras, de
cualquier poliedro tridimensional y convexo, no importa la forma que
este tenga, dichos números satisfacen la igualdad
v+c =a+2
Muchos años más tarde, Agustín Louis Cauchy demostró el teorema
usando una ingeniosa idea, la cual consistió en convertir el poliedro en
una figura plana deformándolo, después de haberle suprimido una de
sus caras, [2].
Así, por ejemplo, si en un hexaedro regular, o cubo, suprimimos la
cara superior, sin suprimir aristas ni vértices, y suponemos que
podemos deformarlo a nuestro antojo, el mismo se convertiría en una
figura plana como la que mostramos a continuación.
1
En la figura plana se aprecia que la relación que se cumple es:
v+c =a+1
es decir, 8+5=12 +1
Pero, como habíamos suprimido una cara, si la agregamos, la
igualdad se convierte en la que queremos probar.
Entonces, la demostración se reduce a probar que en cualquier figura
plana, que sea igual a una unión de polígonos, con algunas aristas
comunes, se cumple la relación v+c =a+1.
Demostración dada por Cauchy:
La prueba puede hacerse por inducción sobre c, es decir, sobre el
número de caras, o polígonos unidos.
Para c =1, esto es, cuando es un solo polígono, como en este caso el
número de vértices es igual al de aristas, es obvio que se tiene la
igualdad, que sería, para ese caso, v+1=a+1.
Supongamos que la relación se cumple para cualquier figura que
sea la unión de c polígonos, con un total de v vértices y a aristas, de
modo que sea v+c =a+1, (Hipótesis de inducción). Supongamos que
tenemos una figura que tiene c´=c+1 aristas con v vértices y a
aristas. Lo que queremos probar es que v+c´ =a+1. Si tomamos ahora
una cara exterior, que tiene k vértices y k aristas, al retirarla, sin
suprimir los dos vértices que tiene en común con el resto de la figura,
ni la arista que los une, quedaría una figura con v-(k-2) vértices, con
c=c´-1 caras y con a-1 aristas. Como es una figura plana de c caras,
se le puede aplicar la hipótesis de inducción y, por consiguiente, se
tiene la igualdad: (v-(k-2))+c =(a-(k-1)) +1, la cual es obviamente
equivalente a v+c´ =a+1 , que es la que se quiere probar.
2
(El teorema ha quedado demostrado)
2. El teorema de euler para el ortoedro o hexaedro regular.
Para el ortoedro, o hexaedro regular, llamado también cubo, la
igualdad que se cumple es 8+6=12 +2, ya que , en este caso, el
poliedro tiene 8 vértices, 6 caras y 12 aristas. (Recordamos aquí al
lector que en el cubo , o hexaedro regular, todas las aristas son de la
misma longitud y el ángulo entre dos aristas adyacentes es un ángulo
recto. Por consiguiente, todas las caras son cuadrados planos, todos
del mismo tamaño, luego, congruentes dos a dos. )
En el espacio tridimensional, dotado de un sistema de ejes
cartesianos, podemos insertar, en el primer octante, un cubo cuyos 8
vértices se corresponden con los puntos de coordenadas:
(0,0,0) , (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0) , (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1),
Como este conjunto es el de todos los tríos ordenados de ceros y
unos, él es el producto cartesiano del conjunto {0,1} consigo mismo,
tomado tres veces como factor. Si denotamos a dicho conjunto como
Z2, ya que es el conjunto de los restos de dividir por 2 cualquier
número entero, el cubo quedará representado, algebraicamente, por el
conjunto (Z2)3.
Nota: Ciertamente, el conjunto de los 8 puntos mencionados, no es el
cubo, sino el conjunto de sus 8 vértices. El verdadero cubo es lo que
comúnmente se llama un sólido geométrico y el mismo incluye, tanto a
los puntos de sus aristas y sus caras como a sus puntos interiores,
incluido su centro que es el punto de coordenadas (1/3,1/3,1/3). No
obstante lo dicho, es costumbre tomar el conjunto de los 8 vértices
como una representación de todo el cubo y llamarle cubo a dicho
conjunto.
En este cubo, todas las aristas son de longitud 1 y si tomamos la
longitud de una arista como unidad, su volumen es igual a una unidad
cúbica. Por esta razón diremos que es un cubo unitario.
Estructura algebraica del conjunto Z2={0,1}.
En el conjunto Z2 podemos considerar las operaciones binarias de
suma y multiplicación, llamadas suma y multiplicación módulo 2,
definidas por las siguientes tablas:
3
Tabla de la suma:
+
0
1
0
0
1
1
1
0
Tabla de la multiplicación:
•
0
1
0
0
0
1
0
1
Observación:La suma que hemos definido coincide con la suma
ordinaria de números enteros, en todos los casos, salvo en el caso
1+1, donde el resultado es, en vez de 2, el resto de dividir por 2 el
propio 2, es decir, 0. La multiplicación sí coincide totalmente con la
multiplicación ordinaria de números enteros. Ambas operaciones
coinciden, además, con las operaciones lógicas de disyunción
excluyente (XOR) y de conjunción (And), tomados el cero y el uno
como representantes, respectivamente, de lo falso y de lo verdadero.
Con estas operaciones el conjunto Z2 tiene una estructura algebraica
de campo , o cuerpo conmutativo, ya que con la suma es un grupo
abeliano y con el producto un monoide conmutativo, en el que el único
elemento no nulo es inversible, siendo el producto distributivo con
respecto a la suma.
3.El hipercubo n-dimensional.
Por analogía con el cubo de dimensión 3, al que llamaremos también
cubo ordinario, le llamaremos hipercubo n-dimensional al conjunto
(Z2)n de todos los n-uplos ordenados ( 1, 2,... n), de ceros y unos,
es decir tales que cada i Z2. A los elementos de este conjunto le
llamaremos vértices del hipercubo. Es fácil notar que el número de
vértices es igual a 2n , ya que cada componente de un n-uplo puede
tomar dos valores, el cero o el uno.
Estructura algebraica del hipercubo (Z2)n. Definiendo la suma, por
componentes, entre los n-uplos de (Z2)n, a partir de la que fue definida
en Z2, el mismo resulta un grupo abeliano, en el que el elemento
neutro es el n-uplo O=(0,0,…0). El producto por un escalar, esto es,
por un elemento del campo Z2, se define, para los dos únicos
escalares, mediante las igualdades: 0. =O y 1. = , cualquiera que
sea el n-uplo . Con estas dos operaciones el hipercubo tiene una
estructura de espacio vectorial sobre el campo binario Z2. Por esta
4
razón a sus elementos les llamaremos, además de vértices del
hipercubo, vectores binarios n-dimensionales.
El sistema de n vectores, (e1=(1,0,…0),e2=(0,1,…=),…en=(0,0,…1),
que forman la llamada base canónica del espacio euclidiano Rn,
generadores de los ejes de coordenadas, constituyen también una
base de (Z2)n, visto como espacio vectorial sobre el campo binario.
Es por ello que podemos afirmar que su dimensión como espacio
vectorial es también el número n.
Distancia entre dos vértices. Para la distancia entre dos vértices
tomaremos, no la distancia euclidiana , sino un tipo especial de
distancia, llamada distancia de Hamming, la cual se define del modo
siguiente:
Para dos vértices = ( 1, 2,... n) y =( 1, 2,... n) definimos la distancia
de Hamming entre ambos como el número entero, no negativo,
d( , )=
n
i =1
i
i
, lo cual coincide con el número de lugares en que
ambos tienen diferentes componentes, es decir, de lugares en los que
uno de ellos tiene un uno donde el otro tiene un cero.
Adyacencia: Diremos que dos vértices y son adyacentes si la
distancia de Hamming entre ambos es igual a 1, es decir, si se
diferencian en uno solo de sus componentes.
Nota: Cuando dos vértices son adyacentes su distancia de Hamming
coincide con su distancia euclidiana, la cual se define como:
n
de( , ) =
i =1
(
i
i
)2
Nótese que, para n=2, o n=3, ésta es la distancia euclidiana usual,
entre dos puntos del plano, o del espacio, representados como pares ,
o como tríos ordenados de números reales, respectivamente.
Conceptos de arista y de cara.
Definición: Llamaremos arista del hipercubo a cada subconjunto
binario { , } tal que y son vértices adyacentes.
Para cada vértice hay exactamente n vértices que son adyacentes
a . Esto significa que cada vértice pertenece a exactamente n
aristas. Si multiplicamos el número total de vértices, que es 2n, por el
número total de aristas a que pertenece cada uno, que es n, el
producto n.2n, nos daría el número total de aristas, pero contada cada
una dos veces, en sus dos vértices. Luego , el verdadero número total
de aristas es n.2n-1.
5
Ejemplo: En el cubo de dimensión 3, las aristas son los subconjuntos
binarios:
(0,0,0) , (0,0,1) ; (0,0,0) , (0,1,0) ; (0,0,0) , (1,0,0) ;
(0,0,1) , (1,0,1) ; (0,0,1) , (0,1,1) ; (0,1,0) , (1,1,0) ;
(0,1,0) , (0,1,1) ; (0,1,1) , (1,1,1) ; (1,0,1) , (1,1,1) ;
(1,1,0) , (1,1,1) ; (0,1,1) , (0,0,1) ; (0,1,1) , (0,1,0) .
Nótese como cada uno de los vértices aparece exactamente en tres
aristas y como el número total de ellas es 3.23-1=3.22=12, de acuerdo
con la fórmula que habíamos deducido.
Aristas adyacentes:.
Decimos que dos aristas son adyacentes si ambas tienen un vértice
común.
Definición: Llamaremos cara del hipercubo a cada subconjunto de
cuatro vértices , , , , donde, eligiendo convenientemente los
símbolos, los subconjuntos binarios , ,
,
, , , son aristas del hipercubo.
La definición implica que en los 4 n-uplos , , y , cada uno
diferenciándose del siguiente en un solo lugar y ocurriendo lo mismo
entre el último y el primero, deberán tener constantes n-2 de sus n
componentes, tomando, los dos restantes, las cuatros combinaciones
de valores que son posibles, esto es, 00, 01, 10 y 11.
Así, por ejemplo, en el hipercubo (Z2)4, los cuatro vértices:
=(1,1, 0,0), = (1,1, 0,1), =(1,1,1,1) =(1,1,1,0), conforman una
cara, pues tienen constantes, con el valor 1, los dos primeros
componentes, siendo libres los dos últimos. Esto hace que los dos
últimos valores pueden elegirse, ordenadamente, de modo que dos
consecutivos se diferencien en un solo lugar y lo mismo ocurra entre el
último y el primero.
La cara
=(1,1, 0,0), = (1,1, 0,1) , =(1,1,1,1) , =(1,1,1,0) no es
más que el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales
=1
x1
x2 = 1
considerado como un sistema de 4 incógnitas, donde son variables
libres las dos últimas, esto es, x3 y x4.
6
Concepto de hipercara del hipercubo.
Definición:Si para r subíndices i1,i2…ir, seleccionados en el conjunto
{1,2,…n}, de modo que i1 <i2 <…<ir y siendo 0 r n, fijamos los
correspondientes r valores para los n-uplos (x1,x2,…xn) , asignándole a
cada variable xi un valor fijo j tomado en Z2 , el conjunto que resulta,
j
dándole valores arbitrarios a las restantes n-r variables, es un conjunto
de 2n-r elementos, al que llamaremos hipercara de dimensión n-r.
Según la anterior definición una hipercara no es más que el conjunto
solución de un sistema de r ecuaciones lineales en el que sólo son
visibles r de las n incógnitas, estando las mismas igualadas a
constantes tomadas en el campo Z2. La matriz asociada al sistema es
siempre una matriz diagonal, de rango r , la cual tiene r unos y n-r
ceros en su diagonal principal .
Ejemplos: Los conjuntos unitarios, es decir, de un solo vértice, son las
hipercaras de dimensión 0.
Las aristas son las hipercaras de dimensión 1.
Las caras son las hipercaras de dimensión 2.
El propio cubo (Z2)n, puede ser considerado como la única hipercara
de dimensión n, conjunto solución de un sistema vacío de ecuaciones
lineales, en el que las n variables son libres.
Número de hipercaras de dimensión k=n-r, siendo k un entero tal
que 0 k n.
Para definir una hipercara de dimensión k=n-r los r subíndices i1,i2…ir
se pueden seleccionar de
n
n
n!
maneras , siendo
=
la
r
r
r!(n r )!
cantidad de subconjuntos de r elementos en el conjunto {1,2,…n}, de
todos los posibles subíndices. Pero una vez elegidas las r variables
que se han de fijar, como a cada una se le pueden asignar 2 valores,
el 0 o el 1, la cantidad de posibilidades es 2r. Por consiguiente, el
número total de posibles hipercaras de dimensión k=n-r es el número
n
.2r.
r
Para r=n, este número es igual a 2n, que es el número de vértices, o
de hipercaras de dimensión 0.
Para r=n-1, este número es igual a n.2n-1, que es el número de aristas,
o hipercaras de dimensión 1.
7
Para r=n-2, este número es igual a
n.(n 1) n-2
. 2 que es igual al número
2
de caras, o hipercaras de dimensión 2.
Para r =0 el número es igual a 1, lo cual corresponde a la única
hipercara de dimensión n, que es el propio hipercubo.
Es muy fácil probar, a partir de la igualdad
número,
igual a
n
n!
=
, que el
r
r!(n r )!
n
, llamado coeficiente binomial, o número combinatorio, es
r
n
k
, si r = n-k. Por consiguiente, el número de hipercaras de
dimensión k, puede también expresarse como
n
.2
k
n-k
y será esta la expresión que en lo adelante usaremos.
Número total de hipercaras del hipercubo n-dimensional.
Sumando los números
n
.2
k
n, obtenemos la sumatoria
n-k
, para todos los valores de k, entre 0 y
n
k =0
n n-k
2 , la cual, por la bien conocida
k
fórmula del binomio, es igual a (2+1)n= 3n.
La igualdad de Euler para hipercubos de dimensión superior a 3.
En la siguiente tabla mostramos las cantidades de hipercaras de cada
dimensión, para diferentes valores de n, desde n=3 en adelante:
n
n
.2n
0
n
.2n-1
1
n
.2n-2
2
n
.2n-3
3
n
.2n-4
4
n
.2n-5
5
3
8
12
6
1
4
16
32
24
8
1
5
32
80
80
40
10
1
6
64
192
240
160
60
12
Denotando como hk al número de hipercaras de dimensión k, esto es
hk=
n
.2
k
n-k
y observando la tabla, vemos que en los casos de n impar,
n=3 y n=5, se tienen las igualdades:
8
h0+h2=h1+2
h0+h2 +h4=h1+h3 +2
siendo la primera, la descubierta por Euler, esto es, v+c=a+2 y la
segunda, una generalización de aquella, la cual nos muestra que el
número de hipercaras de dimensión par es igual al de hipercaras de
dimensión impar más el número 2.
Pero observando la tabla en los casos en que n es par , n=4 y n=6, se
tienen las igualdades :
h0+h2 =h1+h3
h0+h2 +h4=h1+h3 +h5
donde, en ambos casos se observa que el número de hipercaras de
dimensión par es igual al número de las que tienen dimensión impar.
La conjetura que obviamente se deriva de las observaciones, nos
conduce al teorema que a continuación demostraremos:
Teorema: (Teorema de Euler, generalizado para hipercubos ndimensionales) En cualquier hipercubo n-dimensional , si denotamos
por P al número de hipercaras de dimensión par y por I al número de
las que tienen dimensión impar, sin contar al propio hipercubo, que es
la única hipercara de dimensión n, se obtiene que :
P=I+2 si n es impar
y
P=I
si n es par
Demostración:
Elevando a la potencia n el binomio (2-1), obtenemos que
1=(2-1)n=
n
k =0
Luego 1=
t
k =0
n n-k
2 .(-1)k , según la fórmula del binomio.
k
t +1
n
n
2n-2k 2n-2k+1
(1),
2k
1
k =1 2 k
donde t es la parte entera del número n/2, lo cual significa que n=2t+1
si es impar ,o n=2t cuando es par.
En la igualdad (1) hemos descompuesto la sumatoria en dos , una
que corresponde a los números de hipercaras de dimensión par y la
otra a los números de hipercaras de dimensión impar.
Demostración para el caso de n impar:
En este primer caso , esto es, cuando n=2t+1, si separamos el último
término de la segunda sumatoria, la igualdad queda como
1=
t
k =0
t
n
n
2n-2k 2n-2k+1 -1,lo cual significa que
2k
1
k =1 2 k
1= P-I-1, lo cual, a su vez, equivale a P=I+2, como queríamos probar.
9
Demostración para el caso de n par:
En el segundo caso, esto es, cuando n=2t, si separamos el último
término de la primera sumatoria, la igualdad queda como :
1=
t 1
k =0
t +1
n
n
n-2k
2
+1 2n-2k+1, lo cual significa que
2k
1
k =1 2 k
1=P+1-I, lo cual, a su vez, cancelando el 1, equivale a P-I=0, es decir,
P= I, como queríamos probar.
( El teorema ha quedado demostrado).
Concepto de politopo convexo.
El teorema que acabamos de estudiar es una generalización del
teorema de Euler-Cauchy, para el caso de los hipercubos
n- dimensionales. Un hipercubo n-dimensional puede considerarse
un caso particular de un cierto tipo de conjunto, subconjunto del
espacio euclidiano Rn, al que se le da el nombre de politopo convexo.
Antes de definir este concepto se requieren algunas definiciones
previas.
Concepto de combinación lineal afín:
Definición: Diremos que un punto P del espacio euclidiano Rn, siendo
R el campo de los números reales, es combinación lineal afín de los
puntos P1,P2,…Pk , si existen escalares, esto es, números reales,
1, 2,… k tales que P =
1 P1+ 2 P2… k Pk, siendo la suma
1 + 2 … + k =1. (Nótese, como el concepto de combinación lineal
afín es un caso particular del concepto usual de combinación lineal).
Concepto de combinación lineal convexa:
Definición: Diremos que un punto del espacio euclidiano Rn, siendo
R el campo de los números reales, es combinación lineal convexa de
los puntos P1,P2,…Pk si es combinación lineal afín de ellos, .es decir,
existen escalares 1, 2,… k tales que P= 1 P1+ 2 P2… k Pk,
siendo la suma 1 + 2 … + k =1 y, además, para cada i {1,2,…k} el
escalar i es tal que 0 i 1. (Nótese aquí, como el concepto de
combinación lineal convexa es un caso particular del concepto de
combinación lineal afín).
De las definiciones resulta, de modo evidente, que:
Comb. Lineal convexa
Comb. Lineal afín
10
Comb.lineal
Envoltura o clausura afín de un conjunto finito de puntos
P1,P2,…Pk.
Definición: Llamaremos envoltura afín, o clausura afín, del conjunto
{ P1,P2,…Pk} al conjunto Aff(P1, P2,…Pk) de todos los puntos P que
son combinación lineal afín de los k puntos P1,P2,…Pk. Si el conjunto
es unitario su envoltura afín es el propio conjunto.
Se puede probar, sin gran dificultad, que la envoltura afín de cualquier
conjunto de puntos, no es más que el menor subespacio afín que
contiene a dicho conjunto. ( Aquí entendemos por subespacio afín a
todo conjunto de la forma {v}+S, donde v es un vector fijo y S un
subespacio vectorial. Dicho subespacio afín no es más que la imagen
del subespacio S bajo la traslación tv: u u+v).
Envoltura convexa de un conjunto finito de puntos P1,P2,…Pk.
Definición: Llamaremos envoltura convexa del conjunto
{ P1,P2,…Pk} al conjunto Convex(P1, P2,…Pk) de todos los puntos P
que son combinación lineal convexa de los k puntos P1,P2,…Pk. Si el
conjunto es unitario su envoltura convexa es el propio conjunto.
Es bastante obvio que la envoltura convexa de un conjunto de
puntos es un subconjunto, propio, de su envoltura afín. Es decir, según
las definiciones, cualesquiera que sean los puntos P1,P2,…Pk, se tiene
la inclusión estricta:
Convex (P1, P2…Pk) Aff(P1, P2,…Pk)
La inclusión es estricta porque siempre será posible encontrar puntos
que son combinación lineal afín sin ser combinación lineal convexa.
Por ejemplo, el punto P=5P2 - 4P1, pertenece al subespacio afín
Aff(P1, P2,…Pk), pero no pertece al conjunto Convex (P1, P2,…Pk).
Ejemplos:
1) Para un conjunto de 2 puntos, P1 y P2, la envoltura convexa es el
segmento de recta que une a ambos puntos. La recta L(P1,P2) que
contiene a ambos puntos, P1 y P2, es su envoltura afín, es decir, el
conjunto de los puntos P tales que P= 1 P1+ 2 P2, siendo 1 y 2
tales que 1+ 2=1. La clausura convexa del conjunto {P1,P2}, o
segmento que une a ambos puntos, es el subconjunto s(P1,P2) de la
recta L(P1,P2) formado por los puntos P= 1 P1+ 2 P2 tales que,
además de ser 1 + 2=1 se cumple que 0 i 1 para i {1,2}.
2) Para un conjunto de 3 puntos P1,P2 y P3, tales que ninguno de
ellos pertenece al segmento que une a los otros dos, esto es, ninguno
11
de los tres es combinación lineal convexa de los otros dos, la clausura
convexa es el triángulo plano determinado por ellos. Dicho triángulo es
subconjunto del plano determinado por los tres puntos, que es su
envoltura afín, esto es, el conjunto de todos los P tales que
P= 1 P1+ 2 P2 + 3 P3, donde 1+ 2 + 3 =1, sin que necesariamente se
tenga que 0 i 1.
Concepto de conjunto Convexo: Diremos que un subconjunto C, del
espacio euclidiano Rn, es convexo, si es un conjunto unitario, o si,
dados dos puntos cualesquiera P y Q, que pertenecen a C, el
segmento s(P,Q), que une a ambos puntos está contenido en C.
De acuerdo con la anterior definición, la envoltura convexa de un
conjunto finito de puntos { P1,P2,…Pk} no es más que el menor
subconjunto convexo del espacio euclidiano Rn, que contiene a los k
puntos P1,P2,…Pk.
Independencia afin: Diremos que los k puntos P1,P2,…Pk son
afinmente independientes si ninguno de ellos es combinación lineal
afin de los k-1 restantes. Un conjunto unitario, esto es, de un solo
elemento, será también considerado como afinmente independiente.
Nótese, como la independencia lineal usual implica a la
independencia afín, aunque no ocurre a la inversa. Por ejemplo, tres
puntos, no colineales, en el plano, son afinmente independientes,
pero no son linealmente independientes.
Independencia convexa: Diremos que los k puntos P1,P2,…Pk son
convexamente independientes si ninguno de ellos es combinación
lineal convexa de los restantes, esto es, ninguno de ellos pertenece a
la envoltura convexa del conjunto de los k-1 restantes. Un conjunto
unitario será también considerado convexamente independiente.
Nótese como la independencia afín implica la independencia
convexa, aunque no a la inversa. Por ejemplo, 4 puntos del plano,
tales que ninguno de ellos pertenece al triángulo determinado por los
otros tres, forman un conjunto que es convexamente independiente,
pero que no es afinmente independiente.
Dimensión de un conjunto convexo: Se llama dimensión de un
conjunto convexo a la dimensión del menor subespacio afin que lo
contiene.
Ejercicio: Demuestre que la dimensión de la envoltura convexa de
un conjunto de k+1 puntos, que son afinmente independientes, es
igual a k.
12
Definición de Politopo convexo: Se llama politopo convexo, a la
clausura convexa de cualquier conjunto finito de puntos del espacio
Rn. Un conjunto unitario será considerado un politopo convexo .
Un hipercubo (Z2)n, visto como subconjunto del espacio euclidiano Rn,
determina un politopo convexo n dimensional, ya que el número
máximo de puntos que son afinmente independientes es n+1. Por
ejemplo, los n+1 puntos e1, e2,…en, e12,…n=(1,1,…1) forman un conjunto
afinmente independiente, tal que cualquiera de sus subconjuntos
propios es linealmente independiente. Luego, el menor subespacio
afin que contiene al hipercubo es el propio Rn.
Identificando cada vector =( 1, 2,... n) con el número n( ) que él
representa en el sistema binario de numeración, es decir, n( )=
n-1
n-2
podemos representar los 2n vértices del
12 + 22 +… n-12+ n
hipercubo como P0, P1,…P 2 . Entonces, los puntos del politopo
convexo asociado
al hipercubo son los P de la forma
0P0+ 1P1+… 2 P 2 , donde
0+ 1+… 2 =1, siendo, para cada
subíndice i, i 0. En particular, cuando uno de los i es igual a 1, lo
cual implica que los demás son nulos, el punto es uno de los vértices
del hipercubo.
Concepto de punto interior: Dado un politopo convexo C, clausura
convexa del conjunto de puntos P1,P2,…Pk, decimos que un punto P
es interior si el mismo puede representarse como P= 1P1+ 2P2… k Pk,
con la condición 0
1, para todo i, donde ninguno de los
i
coeficientes
i es igual a 0. Los puntos P1,P2,…Pk, a los que
llamaremos vértices del politopo, no son puntos interiores del mismo.
Ejemplo: El punto P= (1/k)P1+(1/k)P2 …+(1/k)Pk es un punto interior
del politopo C, al que se llama baricentro o centro de gravedad de C.
n 1
n 1
n 1
n 1
Hipercaras de un politopo convexo: Se llama hipercara de un
politopo convexo al propio politopo convexo o a todo subconjunto
propio que sea también un politopo convexo y que no contenga
puntos interiores.
Ejemplo: En el politopo convexo C, determinado por los puntos P1,P2,
P3 y P4, convexamente independientes, donde los segmentos,
s(P1,P2), s(P2,P3), s(P3,P4) y s(P4,P1), no tienen puntos interiores
comunes, los mismos son hipercaras de C. Si suponemos además que
los cuatro puntos son coplanares, es decir, si C es de dimensión 2, lo
cual significa que son afinmente dependientes, diremos que el mismo
es un cuadrilátero plano. En este caso, los segmentos s(P1,P3) y
13
s(P2,P4), a los que llamaremos segmentos diagonales del cuadrilatero,
no son hipercaras, pues ambos contienen puntos interiores. Por
ejemplo, los puntos P=(1/2)P1 + (1/2)P3
y Q= (1/2)P2+(1/2)P4 son
puntos interiores, los baricentros,
de s(P1,P3) y s(P2,P4),
respectivamente. En cambio, si C es de dimensión 3, lo cual significa
que los cuatro puntos no son coplanares, es decir, que son afinmente
independientes, los seis segmentos son hipercaras uno-dimensionales
y los cuatros subconjuntos ternarios determinan caras que son
triángulos planos. A este tipo de politopos es al que llamamos
usualmente tetraedro y también se le llama a veces un simplex
tridimensional.
Las hipercaras de dimensión 1 reciben el nombre de aristas del
politopo y las de dimensión 2 reciben el nombre de caras. Como ya
dijimos antes los subconjuntos unitarios son las hipercaras de
dimensión 0. El propio politopo, de dimensión n, es su única hipercara
de dimensión n .
No es difícil notar que las hipercaras del politopo convexo que es la
clausura convexa del hipercubo (Z2)n son las envolturas convexas de
las hipercaras de dicho hipercubo.
Politopos regulares. Paralelotopos y ortotopos.
Entre los politopos convexos se distinguen los llamados
politopos regulares, los cuales constituyen una importante familia
a la cual pertenecen los hipercubos.
Concepto de politopo regular:
Definición: Diremos que un politopo convexo es regular si todas
sus aristas son iguales, o congruentes, dos a dos, y además, los
ángulos entre dos aristas adyacentes, situadas en una misma cara,
son iguales.
Se puede probar que la anterior definición implica que en todo
politopo regular dos hipercaras de una misma dimensión son iguales o
congruentes.
Concepto de paralelismo:
Definición: Decimos que dos hipercaras H1 y H2 de un mismo
politopo, son iguales y paralelas, si existe un vector v de Rn tal que H2=
{v}+ H1.
Concepto de paralelogramo: Se llama paralelogramo a todo
cuadrilátero plano, determinado por puntos P1,P2,P3 y P4 tales que los
segmentos s(P1,P2) y s(P3,P4) son iguales y paralelos, lo cual implica
14
que son también iguales y paralelos s(P1,P3) y s(P2,P4). Es decir, es
un cuadrilátero plano en el que las aristas disjuntas son iguales y
paralelas.
Concepto de paralelotopo: Se llama paralelotopo a todo politopo
unitario y a todo politopo k-dimensional, con k>1, que tiene dos
hipercaras, paralelas y congruentes entre sí, ambas de dimensión k-1.
Como se ve, quedan incluidos en el concepto, los segmentos y los
paralelogramos. Los paralelotopos 3-dimensionales son los
comúnmente llamados paralelepipedos.
Concepto de ortotopo: Un paralelotopo se llama ortotopo si el
ángulo entre cada dos aristas adyacentes, situadas en una misma
cara, es un ángulo recto o de 90 grados. Esto significa que dos aristas
adyacentes, situadas en una misma cara, son ortogonales .
Son ejemplos de ortotopos los rectángulos planos y los prismas
rectangulares, llamados también cajas,(boxes).
Las anteriores definiciones implican que todo politopo convexo, que
es la envoltura convexa de un hipercubo n-dimensional, es regular y,
al mismo tiempo un ortotopo.
El teorema generalizado de Euler-Cauchy, se cumple también para
los politopos convexos, que no son
clausuras convexas de
hipercubos.
Si como en el caso del hipercubo n-dimensional, denotamos por P
al número de hipercaras de dimensión par y por I al número de las que
tienen dimensión impar, sin contar al propio politopo, que es la única
hipercara de dimensión n, se obtiene también que:
P=I+2 si n es impar
y
P=I
si n es par.
Para ver la demostración general de este notable teorema
recomendamos al lector el libro [3].
Bibliografía:
[1] Mundo de la Matemáticas/Vol5n1.Jun2004/node11.
http://www.cidse.itcr.uc.cr/revistamate
[2] http://www.mat.ucm.es/deptos
[3].Banko Grunbaum, Convex Polytopes, Springer Verlag,
New York, 2003, (Second Edition).
15
16