distribución t de Student
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ESTADtSTICA ESPAÑOLA
Vol. 36, Núm. 137, 1994, págs. 389 a 402
Distribuciones multivariantes
con distribuciones condicionadas t
de Student (*)
por
JOSE MARIA SARABIA
Departarnento de Economía
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad de Cantabria
RESUMEN
En el siguiente trabajo se ofrece una nueva versión multivariante
de la t de Student mediante especificación condicional, en la li nea
de Arnold, Castillo y Sarabia (1992). Se estudian algunos modelos
de interés en el caso bidimensional. Se establecen teoremas que
permiten caracterizar la t de Student n-dimensional clásica mediante
hipótesis condicionales.
Pa/abras c/ave: distribución t de Student n-dimensional clásica, especificación condicional, caracterización.
Clasificación AMS: 62 H 05, 62 E 10 .
(*) Trabajo parcialmente subvencionado por la DGICYT, proyecto PB92-0500. EI autor agradece los comentarios de los evaluadores anónimos, de un editor asociado y del editor, que han
contribuido en la mejora de una versión preliminar del presente trabajo.
F•.ti^I AF)i^,`i l(° ^ F-.tiP;^tit )l..A
1,
INTRODUCCION
^os sistemas de ecuaciones lineales simultáneas son de uso habitual en la
práctica econométrica. En la estimación de los parámetros de estos sistemas se
supone que el término de error sigue una distribución normal n-dimensional. Sin
embargo, en ocasiones parece más conveniente trabajar con distribuciones multivariantes cuyas colas sean más pesadas que la normal, y que contengan a
ésta corno caso particular. Resulta bien conocida la sensibilidad de la eficiencia
asintótica de los estimadores deducidos bajo la hipótesis de normalidad. En
este sentido, Prucha y Kelejian (1984) proponen la estimación de ecuaciones simultáneas con errores gobernados por 1a distribución t de Student n-dimensional. Lange, Little y Taylor (1989} utilizan la distribución t como base para la estimación robusta en una gran variedad de problemas, incluyendo modelos de regresión lineal y no lineal. Par otro lado, esta distribución surge en estadística
bayesiana como la distribución posterior de las columnas del vector de parámetros, en el modelo de regresión multivariante, con distribuciones a priori no informativas [véase, por ejemplo, Press (1989), pp. 131 y ss.]. En 1o que sigue, diremos que un vector aleatorio X sigue una distribución t de Studen# n-dimensional
clásica, y lo denotaremos por X^#n (a ;^,^), si su función de densidad viene
dada par:
fx ( x)=
r {(a + n )12)
(^I^^2 (c^c,n)n^2 T' (tx12)
1 +1
a
(X_^), ^-, (x-.^)
-(a+n)/2
dande E( X) _^ si a> 1 y Cov (.X ) = oc ^/(oc - 2) si a> 2. 4tras formas de
distribuciones t muftivariantes, junto con aplicaciones, pueden encontrarse en el
clásico Johnson y Kotz {1972). Para el estudio de esta distribución en el contexto de las distribuciones simétricas multivariantes puede consultarse Fang, Kotz
Y N9 {^ 99^).
En el siguiente trabajo se ofrece una nueva versión multivariante de la t de
Student mediante especificación condicional, en la línea de Arnold, Castillo y
Sarabia ( 1992). La distribución obtenida cubre un amplio espectro de distribuciones, además de contener como caso particular la distribución t de Student ndimensional clásica. En el caso bidimensional, las curvas de regresión son no
lineales, y la varianza condicionada no es necesariamente cuadrática. Se establecen teoremas que perrniten caracterizar la t de Student n-dimensional clásica mediante hipótesis condicionales. Comenzaremos por el caso de dos dimensiones.
l)IST'RIHUC'IONE:S MUI."T"IVARIAN'I'I-:S C'ON DISTRIE3l..IC1ONES C"C)N[)1("IOtiADAS r I)f: STl'I)EN'I
2.
iy ^
EL CASO BIDIMENSI4NAL
Supongamos una variable aleatoria unidimensional Ua con distribución t de
Student (Ua ^ t, (a ; 0, 1)), con función de densidad (a > 0):
{
f u^ u) =^
I^ ((oc + 1) / 2)
1+ 1
(an}^^2 I'(a/2}
-(a+^^i2
u2
a
si-^< u<^
Estamos interesados en identificar la clase de variables aleatorias bidimensionales (X , Y ) tales que:
X/ Y= Y~ µ, ( Y)+ a, ( Y) Ua
[2.1 aJ
Y/X= x^ µ2 ( x) + a2 (X) Ua
[2.1b]
donde µy ( y), µ2 ( x), a^ ( y), a2 ( x) son funciones reales a determinar, que representan los parámetros de localización^ y escala condicionales, donde cs^ ( x),
a2 ( y) > 0 para todo x, y.
Si denotamos por fX ( x), fY ( y) las correspondientes funciones de densidad
marginales, y escribimos la función de densidad conjunta como producto de
marginales y condicionadas, según [2.1 ], se obtiene que (c constante) :
f ( x ^Y) = c fX(x)
62 ( x )
f ( x ^Y)
_
fy (Y)
c 6^ {Y)
1+ 1
°^
1
1
+a
Y
µ2(x) 2
^2 ( x )
x- µ^(Y) 2
cs ^ (Y)
[2.2a]
(a + 1) I 2
[2-2bJ
Las expresiones [2.2] son potencias del mismo grado de expresiones del tipo
a(x) + b(x) y+ c(x) y2 y u( y) + v( y) x+ w(y) x2 , respectivamente, y deben coincidir. La primera tiene derivada segunda con respecto a y que no depende de y, y ocurre lo mismo con la segunda. Por tanto, a( x), b( x) y c( x)
son polinomios de segundo grado. Por simetría, u ( y), v( y) y w( y) tarnbién
son polinomios de segundo grado. Se verifica, entonces, que la función de densidad buscada, caso de existir, ha de ser de la forma:
f(x, y) a(A + Bx + cy + Dx2 + Ey2 + Fxy + Gxy2 + Hx2y + Jx2y2
[2.3]
F.^T.^DiS^^T1t'A E^;F'A^+t^)LA
El razonam^ento realizado establece que f( x, y} no puede ser de otro
modo. Usando [2.2a] y[2.3], mediante identificación se obtiene que:
fh,{X)
c^2(x)
-21 (cY+ 1)
u2 (x)
2
1 +
= A + Bx + Dx
[2.4a]
= C + Fx + Hx 2
[2.4b]
aa2 (x)
fX{X)
-2 c
c
-21(cx+1)
6 2 (x}
fx(x)
µ^(x)
a62 (x)
-21(^x+>>
cs2 (x)
1
^ ^2 (x).
=E+Gx+Jx2
[2.4c]
Fórmulas simétricas se obtienen considerando [2.2b] y[2.3]. Ahora, utilizando [2.4] y las correspondientes #órmulas simétricas, se obtiene que (suponiendo
en todo mornento la existencia):
_ _ 1
=E X/Y =
µ' { Y )
{
2
y)
x = E Y/X =x = _ 1
2
µ2 { )
(
)
B+Fy+Gy2
D+ Hy + Jy2
[ 2 5 a]
D+Fx+Hx2
E + Gx + Jx2
[
2 . 5b
^
y si a, > 2, ias varianzas condicionadas (supuesta la existencia
4{A + Gy+ Ey2) (D+ Hy+ Jy^) -{8+ Fy+ Gy2)2
1
=
a
2
°^
V{ X/Y-Y) _ a-2 ^ {Y) a_2
4 (D+ Hy+ Jy2)2
[2.6a]
V (Y/X = x) _
°^ 62 (x) - 1
a-2
a-2 2
4(A + Bx+ Dx2) (E+ Gx+ Jx2) -(G+ Fx+ Hx2,^^
4 (E+ Gx+ Jx2)2
[2.6b]
La función de densidad de X, caso de existir, toma la forma:
I)IS"fR1K[^('1ONE^.S MCILTIVARIAN'fE;S ('ON f)tS'IRlHUC'1ONE:S (^ONI)1('1(:)ti,-^1),aS r UI-, 5Tl"^)F-:?^ I
(E+ Gx+ Jx^)<<x-' ^ ,^ ^
[(A+ Bx+ Dx^) (E+ ,^x+ Jx^) --(C+ Fx+ Hx^}^ l 4
c,rr2
^y^
[2.7a]
Análogamente:
(D+ Hy+ Jy2)(a-1) l 2
fy (y) °`
^{A+ Cy+ Ey2) (D+ Hy+ Jy2) -- (B+ Fy+ Gy2)2 / 4] «/ 2
[2.7b]
Existe ^an modo alternativo de obtener estos resultados resolvienda la ecuación funcional i nducida por [2.2]. La aplicación de esta técnica a diversos tipos
de distribuciones puede encontrarse en Arnold, Castillo y Sarabia ( 1992).
A continuación tenemos que elegir los valores de los parámetros tales que
[2.3] sea no negativa e integrable. Consideramos dos tipos de modelos, J= 0 y
J^O.
Modelo 1: J = 0. Este hecho implica que, necesariamente, G= H= 0. Efectivamente, como condición necesaria para asegurar la no negatividad de [2.3]
para valores grandes de ^ x ^, el coeficiente de x 2 debe ser siempre positivo para
todo valor de y, es decir, D+ Hy > 0, lo que implica que H = 0 y D> 0. Notar
que el coeficiente de x 2 no puede ser igual a cer©. Si ahora nos fijamos en el
coeficiente de y 2, obtenemos que G = 0 y E> 0. Por tanto, la función de densidad conjunta, caso de que exista, ha de ser de la forma:
f(x,y)^(1 +Bx+Cy+Dx2+Ey2+Fxy)-^^+^)^2
[2.8]
que siernpre podemos parametrizar como:
f(x^ Y) °^ 1+
1
a-1
( x- µ1, y- µ2)' ^-1 ^ x - µ> > y - µ2)
-((x+ 1)/2
[2.9]
donde a> 1 y^ ha de ser una matriz definida positiva para tener una función
de densidad genuina. Este modelo corresponde a la distribución t de Student bidimensional clásica [1.1 ]. Notar que [2.9] es la única función de densidad de la
forma [2.8].
Mode/o 2: J^ 0. Comenzamos estudiando la no negatividad de [2.3]. Esta
condición es suficiente con estudiarla respecto a una de las dos variables, puesto que si son no negativas las secciones de f( x, y) para cada x fijo, lo mismo
^iy4
E'STA[)ISTIC`A F;Sf'r^ÑC)I.A
tiene que ocurrir con 1as seccianes para cada y fijo. Si escribimos la parte entre
Ilaves como un polinomio de grado dos en y {respec#ivamente en x) cuyos coeficientes dependen de x (respectivamente de y) para asegurar que sea no negativo, el término independiente ha de ser no negativo y el discriminante negativo o cero. La primera de las condiciones conduce a tas restricciones:
{A>_0, C2^4AE} v{A>0, B^<4A©}
jun#o con la positividad de los polinomios:
4
q(x) = 4(E+ Gx+ Jx2) (A+ Bx+ Dx2) -(C+ Fx+ Hx2)2 = ^[3k Xk > O
k- 0
4
p(y) - 4(D+ Hy+ Jy2) (A + Gy+ Ey2) -(B+ Fy+ Gy2)2 =^ CXk }/k > 0
k=0
donde los valores de ak , j3k , k= 0, 1, 2, 3, 4 vienen dados por:
a,o=4AD-B2, a.
4 GD+4AH-2BF, 0^2=4 DE+4 GH+4AJ-2BG-F2
a3= 4 CJ+4 EH-2FG, cx4=4 EJ-G2
Ro-4AE-c2, R,
=4AG+4 BE-2CF, J32=4AJ+4 BG+4 DE-2CH-F2
[i3=4 BJ+4 DG--2FH, [i4=4 DJ-H2
[2.1U]
Los polinomios p y q antes definidos no pueden ser igual a cero, puesto que
entonces se anularían [2.6]. Notar que estas condiciones aseguran la positividad de los denaminadores de las funciones de densidad marginales [2.7] y de
las varianzas condicionadas [^.6]. Ahora, puesto que los numeradores de [2.7]
deben ser positivos (nuevamente no es posible que sean cero), se ha de verificar:
{E>0, G2<4EJ}^{D>0, H2<4DJ}
y, por tanto, a4 > 0, ^34 > 0. Por otro lado, Ios parámetros ao y [3a no pueden ser
igual a cero, puesta que si lo fueran, los polinomios p y q presentarian un cambio de signo. Estas condiciones conducen inmediatamente a que ei parámetro A
debe ser estrictamente positivo. Las condiciones de positividad de q y p equivalen a las restricciones sobre los parámetros:
(R^, R2, Q1, ^p } V(oc3, a^, a,1, ao ) E H4
donde H^ viene definido en el Apéndice. Notar que H4 es invariante frente a
cambios de escala. La integrabilidad de [2.3] requiere el estudio de la integrabili-
3y5
I)IS"t'RIHIJC'IUNES Mlll_TIVARIANTES CON UISTRIBUCIONFS C'ON[:)I('1ONAt)AS r[)t-: S"Tl'UE^N^f
dad de una de las funciones de densidad marginales [2.7] (haciendo uso del
teorema de Tonelli}. Puesto que no existe ningún valor que anule los denominadores de [2.7], se trata de estudiar la convergencia de integrales impropias de
primera especie. Se verifica que !ím y p fy (y ) es finito si y sólo si p< a+ 1(al
y^^
ser J^ 0) y para que la integral sea convergente (aplicando un conocido criterio
de convergencia} se ha de cumplir que p> 1 que conduce a a> 0, que es la
condición de partida.
En resumen, en el caso de J^ 0, [2.3] es una función de densidad genuina si
y sólo si oc > 0 y se verifican las siguientes condiciones:
{A>0, C2<4AE, E>o, G2<4EJ, H2<4DJ, (R
J32, (3, , ^ia ) E H^ } ^
lJ{A>0, B2<4AD, D>0, G2<4EJ, H2<4DJ, ( a3, a2, a^, ao) ^ H4} [2.11]
donde ak , Rk , vienen definidos en [2.10]. En la práctica, puesto que los dos conjuntos que componen [2.11 ] deben de conducir a condiciones equivaientes, basta con chequear uno de los dos.
Nótese que las funciones de densidad marginales no son, en general, distribuciones t de Student. Sin embargo, es fácil obtener funciones de densidad
marginales de tipo t sin más que exigir homocedasticidad. Efectivamente, según
[2.6a], si V( Y/X = x)= 6? constante, entonces X^ t^ (oc ; ^,, T) (para ciertos valores ^,, ^) y, del mismo modo, en la otra dirección. Nótese, sin embargo, que esta
situación no implica que [2.3] sea de la forma [2.9], como ocurre en el caso de la
distribución normal. Según demuestran Castillo y Galambos ( 1989), normalidad
condicional en ambas direcciones y homocedasticidad en una sola dirección caracteriza la distribución normal bidimensional clásica [ver Bischoff y Fieger
(1991) para la extensión de este resultado al caso multidimensional].
La función de densidad general obtenida [2.3] incluye como caso particular
la distribución bivariante más general, cuyas distribuciones condicionadas son
de tipo Cauchy al hacer oc = 1, distribución que ha sido estudiada por Arnold,
Castillo y Sarabia {1992). EI propio mecanismo de construcción de estas distribuciones permite concluir que:
X - µ^( Y)
; 0, 1) e independiente de Y
[2.12a]
a ^ 0 1 e inde pendiente de X
Y - µ2( X) ^ t^(„)
[ 2.12b ]
cs1 ( Y }
y, análogamente:
a(x}
z
f^.ST.^I[)Iti"11(',> ^:5^'r^Ñl )1..^^
^^f>
Caracterizaciones bidimensionates
2.1.
EI apartado anterior proporciona la clase de distribuciones bidimensionales
cuyas distribuciones condicionadas son t de Student con idéntico parámetro de
forma. Esta clase contiene camo caso particular la distribución t de Student bidimensional clásica [1.1 ]. Resulta, por tanto, evidente que esta distribución no viene caracterizada por el hecho de que las condicionadas unidimensionales sean
distribuciones t de Student.
EI siguiente teorema permite una caracterización simple de esta distribución,
a partir de condiciones sobre Ca media y la varianza condicional.
Teorema 1. Una variable aleatoria (X, Y) sigue una distribución t de Student
bivariada clásica si y sólo si todas las distribuciones condicionadas X/ Y= y e
Y/ X= x son t de Student con idéntico parámetro a(en el sentido [2.1 a] y[2.1 b]}
y se verifica una de las siguientes condiciones:
E(X / Y= y) o bien E( Y/ X= x } es lineal;
i)
ii)
V(X / Y= y) o bien V{ Y/ X= x) es una función cuadrática.
Demostración. Si la variable (X, Y} verifica [2.1 a] y[2.1 b], entonces la fun-
ción de densidad conjunta viene dada por [2.3]. Si E{X / Y= y} [respectivamente, E{ Y/ X= x)] es lineai, por [2.5a] {respectivamente [2.5b]} se ha de verificar
G= H= J= 0, que según hemos visto conduce a la distribución t de Student clásica. Si V(X / Y= y) o bien V ( Y/ X= x) es una función cuadrática por [2.6aJ o
[2.6b], nuevamente ^ = H = J = 0.
3.
RARAMETRIZACIONES DE INTERES
EI excesivo número de parámetros de la función de densidad [2.3] puede resultar un obstáculo para su manejo práctico. Distinguiremos entonces dos parametrizaciones de interés.
3.1.
Modelo estandarizado
Puesto que A> 0, elegimos A= 1. Después de adecuadas transformaciones de
localización y escala podemos tomar D= E= 1 y G= H= 0. Llamando B= 2B ,
C= 2C, se obtiene 1a función de densidad conjunta (a > 0}:
f(x, y)« (1 +2Bx+2Cy+Fxy+x2+y2+Jx2y2}-<<X+2>i2
[3.1]
^ ^) 7
C^IS"fFt1F3UC`I(^NES MUL"1'1V^1RIA!V^T`E;4 ('(") N [)IS^I'RIHI'^C'It)NF=ti (^ONL)I('IC1tiI1^13^^5 r i)F 5^1^( ^C^^E.N'f
donde ahora las restricciones sobre los parámetros son:
J>OY{^C^<1,(Í^3^R2,R^^Ro}E H4}^...^{IBI<1,(a3,a2,a^,ao)E H^} [3.2]
Los valores de los al#a y beta en [3.2] están definidos a partir de las nuevas
expresiones de A , . . . , J.
3.2.
Modelo centrado
Supongamos ahora que estamos interesados en la distribución bivariante
con distribuciones condicionadas t, tal que µ^ ( y)= µ2( x)= o para todo x, y. En
estas condiciones, B=^= F= G= H= 0. Ahora, Ilamando b= D/ A, r^ - E 1 A,
^= J/A se obtiene la función de densidad (a > 1):
f (x, y} « {1 + S x2 + r^ y2 + ^ xz y2 ) - ^^x +'^ ^2
[3.3]
donde b, r^ > 0 y cp ? 0. La condición ^= b r^ garantiza la independencia entre X
e Y. Notar que en este tipo de distribuciones el coeficiente de correlación lineal
es siempre cero. Las funciones de densidad marginales vienen dadas por:
fx ( X )^
(^
+
^ X2 )
1/2
1
(
1+ s x 2
}
a/2
;f Y(y) a
(
S +
t
^y) ( ^y}
2 1/2 1^„
2 cx/2
[
3.4 ]
y las varianzas condicionadas {a > 2):
1+óx2
1+r^y2 ^
V(X/ Y=Y} = 1
V Y/X= x= 1
(
)
a-2 b+^y2
a-2 ^ +^x2
[3.5]
A partir de las relaciones [2.12a] y[2.12b] es posible obtener relaciones sencillas entre los momentos de las variables X e Y. Si n es un número par y a> n
se verifica que:
E(Xn)-E(V^)E[^^(Y) ^
[3.6a]
E(Yn) = E(UCX) E[62 (X)]
[3.6b]
an/2 E[X^ (Ó+ ^Y21n/2]
E (U^ ) E [(1 + xt Y2}^ ^ 2 ^
[3.7a]
ani2 E[Yn(^ +^X2}^i2^ = E(Ux) E[(1 +SX2)^izl
[3.7b]
hS'T aDIS^T"IC^^a ^^WANC^[.a
E (X^ Ym ) = E (U x ) E [Ymts^ (Y)] = E (Um) E [Xncs2 (X)]
[3.$]
donde si n es un número par:
E{U^) = E(t (a;0, 1)) = ocn^2
°`
1
B((n+1}/2, (a- n)/2)
B(1 /2, t^c/2)
si oc> n
y E( U á) = 0 si n es impar. Mediante las cansideraciones anteriores es ,posible
obtener estimadores consistentes para los parámetros S, r^ y^ por el método de
los momentos. Usando [3.7a] y[3.7b] con n= 2 y n= 4 se Obtiene que:
b x2 + cp x2 y2 = 1
a-2
^
(1 +^ y2 )
1
^
^y2+^X2y2= a-2
^
^
k
4+rIY4+^ (x4Y2+x2Y4}=
a2
[3.9]
[3.10]
(2+2bx2+2r^y2+ó2x4+r^2 y^) [3.11]
donde k= E( U á} = 3a 2/((a - 2) (a -- 4)), siempre que a> 4, que canduce a un
sistema no lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas. Notar que la última reiación ha sido obtenida sumando [3.7a] y[3.7b] con n= 4, con objeto de obtener
una relación simetrizada.
4.
EXTENSIONES MULTIVARiANTES
Los rnodelos de distribuciones obtenidas pueden generalizarse al caso n-dimensional. Supongamos X vectar aleatorio n-dimensional y denotamos por .X ^; )
el vector X con la coordenada i-ésima borrada. Si suponemos que todas las distribuciones condicionadas unidimensionales de X verifican {i = 1, 2, ..., n):
X^ l X^i) = X{i) ~ ^.li (X(i) ) + 6J (
t^ ) ) U^
[4.1 ]
la función de densidad conjunta de X supuesta la existencia es de la forma:
1
n
+a
^ss^Xs;
S E ^, n
-{cx+ n) /2
[4.2]
[)IS"t"kINIJC'1ONFS !^11^1.'I IVARIAN"1'E:S C't)1^ [)IS'i'RIBC`C'tt)NFS l'ONt>It'It)tiAt),1S ^[)f.. ti"f f'[)t:N"1
^yy
siendo ^„ el conjunto de todos los vectores de componentes 0, 1 y 2 de dimensión n y s^ 0, donde además los valores de bS se han de elegir de modo que
[4.2] sea no negativa e integrable.
4.1.
Car^cterizaciones multiv^ariantes
EI siguiente resultado extiende de modo inmediato el teorema 1 al caso n-dimensional.
Teorema 2. Sea X vector aleatorio n-dirnensional tal que para cada i= 1, 2,
..., n y para cada x(; ^ E l R ^^' se verifica [4.1 ]. Supongamos, además, que se
cumple una de las das condiciones:
i)
ii)
E( X; l X(; ^= x(; })= a; + b; x t; ^
V(X; l X^;^ - x(;^ )= a; + b; x(;^ + c; x2( ^^
[4.3J
[4.4.]
para cada i= 1, 2, ..., n y para cada x(; ^^ l R ^^' . Entonces X sigue una distribución t de Student n-dimensional clásica.
En un reciente teorema, Arnold, Castillo y Sarabia (1994) prueban cómo la
normal n-dimensional clásica viene caracterizada por la normalidad (bidimensional clásica} de todas las distribuciones condicionadas bidimensionales. La similitud de las propiedades condicionales de las distribuciones normal y t de Student
n-dimensional permite enunciar un teorema similar, al no estar involucrados los
momentos.
Denotemos ahora por X(;,i^ el vector X con las coordenadas i, j borradas.
Se verifica entonces el siguiente teorema.
Teorema 3. Supongamos que para cada i, j y para cada x^; , ^ ^ E lR ^-2 la
distribución condicional:
(X^ ^ Xi ) l x^%,i^ - X^%,i) ~ t^ (a + n- 2; ^u (_x^;,i^ ) , ^ (Xc%,i^ })
[4.5]
Entonces, X sigue una distribución t de Student n-dimensianal clásica.
Demostración. La distribución t2 (cx; ..^ ,^) clásica tiene distribuciones condicionadas t1 (oc + 1; µ*, 6* )(notar que es un caso particular de [2.8]). Par tanto,
las distribuciones unidimensionales [4.5] son:
X;l X^;^ = x(;^ ^ t1 (a + n-- 1 ; µ* (x^;^ )^ ^* (X(;^ ))
^(N 1
E^^S^^l^,-^[)IS^I`It',A [-aPA!VOLA
A la vista de esto, la distribución n-dimensional de X es de 1a forma [4.2].
A continuación, si a una densidad de la forrna [4,2] se le exige que todas las
distribuciones condicionadas bidimensionales (X; ,^c'^ )/ X(; , ^ ^ sean de la forma
[4.5], entonces todos los coeficientes S^ deben ser cero salvo los correspondientes a una forma cuadrática del tipo (x -^)' ^(x -^.^}, lo que conduce a la densidad [1.1 ]. La prueba detallada de este último hecho (que, con cambios mínimos, se puede apficar aquí) se halla en el citado artículo de Arnold, Castillo y
Sarabia ( 1994).
Apéndice
En el siguiente apéndice se incluyen las condiciones necesarias y suficientes
que deben satisfacer los coeficientes de un polinomio de grado cuatro para que
éste sea estrictamente positivo para tado valor de la variabie. Estas condiciones
se basan en la secuencia de Sturm-Habicht y la demostración (para polinomios
de cualquier grado) se encuentra en González-Vega (1993}.
Considerernos el polinomio mónico de grado cuatro:
P4ta,x}=x4+a3x3+a2x2+a, x+ao
Entonces, b x, P4 ( a, x )> 0 si y sólo si ao > 0, y a E H4 , donde:
H4={aE /R4:S2<O,S^^O,So>0}^{aE IR4:S2=0,S1<_O,So>0}^
^{^E IR4: S2>0, S^ <0, So>0}^{aE 1R4: S2>0, S^ =o}
siendo:
S2=3a3-8a2
S^ =2a2 a3-8a2+32a2ao+28a1 a2a3-12a3 ao-6a^ a3-36a?
S^=-27a^ -4a^ aj + 18a2a^a3-6a3 aoa1 +144a2aoa?+a2 a3 a^ -4a2 a1 --192a3aó a1 +18aoa2a3 a^-80aaa2 a3a1 +256aó- 27 a^ aó + 144 a2 a3 aó - 128 a2 aó - 4 a2 a3 ao + 16 a2 ao
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