Aritmética Objetivo general - Instituto de Matemáticas

An
tioq
uia
Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Instituto de Matemáticas
Semilleros de Matemáticas
Aritmética
Matemáticas
Operativas
Taller 1
2012 − 1
ive
Objetivo general
rsid
ad
de
La aritmética es una de las disciplinas más antiguas de las matemáticas, es
utilizada en todo el mundo en una gran varidead de tareas que van desde actividades cotidianas de conteo hasta avanzados cálculos numéricos. La palabra
aritmética proviene de los términos griegos αριθµoς (arithmos) que significa
número y τ εχνη (téchne) que significa arte, habilidad. La aritmética o “arte
de contar” estudia los números y las operaciones que podemos realizar con
estos.
El hueso de Ishango (figura 1) constituye uno de los registros más antiguos
que tenemos de actividades aritméticas; con una edad estimada de 20.000 años,
contiene inscrito marcas que revelan una clara concepción de las operaciones
de suma y resta. En las culturas egipcia y babilónica, los registros más antiguos
de operaciones aritméticas elementales datan del año 2.000 a. C. El Papiro de
Ahmes, por ejemplo, es un documento egipcio escrito aproximadamente en
1650 a. C. que contiene 87 problemas matemáticos con cuestiones aritméticas,
entre otras.
El desarrollo moderno de la aritmética inicia en la antigua Grecia con el trabajo
Figura 1
de Euclides alrededor del 300 a. C. El sistema de numeración griego, derivado
del sistema egipcio, era un sistema no posicional como el romano, que hacı́a
complejo realizar las operaciones aritméticas elementales. El surgimiento del sistema de numeración
posicional indo-arábigo (el sistema en base 10 que actualmente utilizamos), permitió la representación
de números muy grandes y pequeños y del cero, ası́ como la implementación de modernos algoritmos
de cálculo.
A pesar de lo elemental que pueda parecer, el sistema de numeración indo-arábigo, y toda la aritmética realizada con éste, es la culminación de miles de años de esfuerzo y desarrollo matemático. ¿Qué son
los números? Los números los utilizamos para contar cosas pero no son cosas, los denotamos por
medio de sı́mbolos pero no son sı́mbolos. Los números son construcciones mentales [2] y sin importar
lo abstractas que sean las ideas en que se fundamentan, la sociedad actual en que vivimos no serı́a
posible sin números.
Emplear con habilidad las propiedades básicas del sistema de numeración decimal para enfrentar
diversas situaciones problema que surgen en aritmética.
Objetivos especı́ficos
Un
1. Efectuar con destreza las operaciones aritméticas básicas.
2. Identificar algunos principios fundamentales aritméticos que aparecen en problemas de aplicación.
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2
1.
Sistemas de numeración
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Los sistemas de numeración nos proporcionan un conjunto de sı́mbolos y reglas para representar
números. En el sistema decimal (indo-arábigo) que aprendemos en el colegio, el valor de cada dı́gito
(unidades, decenas, centenas, etc.) depende de su posición y se diferencia de sistemas no posicionales
como el romano en el que sus sı́mbolos tienen siempre el mismo valor.
1.1.
Sistema decimal
El sistema decimal es un sistema posicional en el que los números se representan utilizando como
base un conjunto de 10 sı́mbolos:
Sı́mbolo
0
1
2
3
4
5
Nombre
cero
uno
dos
tres
cuatro
cinco
6
7
8
9
seis
siete
ocho
nueve
En este sistema, el valor de cada sı́mbolo depende de la posición que ocupa, como se muestra a
continuación:
Valor representado
tres
unidad
treinta
decena
trescientos
centena
3 000
tres mil
millar
30 000
tres mil
decena de millar
trescientos mil
centena de millar
tres millones
millón
3
30
300
300 000
3 000 000
El número 468, por ejemplo, representa 4 centenas, 6 decenas y 8 unidades (468 = 400 + 60 + 8) y se
lee “cuatrocientos sesenta y ocho”;
el número 357 009 se lee “trescientos cincuenta y siete mil nueve”; el
número 7 273 569 se lee “siete millones doscientos setenta y tres mil
quinientos sesenta y nueve”.
de
Nombre
ad
Número
Actividad 1.1. Escribe el nombre o el número según corresponda:
5. Ocho billones1 doce millones ciento tres.
1. 235 057
6. 89 057 123 001
rsid
2. Quinientos ocho mil uno
7. 938 600 007
3. 4 000 009
4. Quinientos ocho mil uno
8. Ocho billones doce millones ciento tres
ive
Cuando el sı́mbolo del número se desplaza de
derecha a izquierda, su valor se multiplica por diez
por cada desplazamiento, como se muestra en la
tabla anterior: 3, 30, 300, etc.
Para representar números menores que 1, utilizamos el punto decimal y el número se divide por
diez, por cada desplzamamiento hacia la derecha
realizado, como se muestra a continuación:
Número
0.7 =
7
10
7
0.07 = 100
7
0.007 = 1000
7
0.0007 = 10000
7
0.00007 = 100000
Nombre
siete décimas
siete centésimas
siete milésimas
siete diezmilésimas
siete cienmilésimas
El número 3.14, por ejemplo,
Un
3.14 = 3 + 0.1 + 0.04
representa 3 unidades, 1 décima y 4 centésimas, o también representa 3 unidades y 14 centésimas
(3.14 = 3 + 0.14). El número 3.14 se lee “tres unidades, catorce centésimas” o simplemente “tres punto
catorce”.
Actividad 1.2. Escribe el nombre o el número según corresponda:
1 En Colombia y demás paises de lengua española, un billón se define como un millón de millones; en Estados Unidos
un billón se define como un millar de millones.
3
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1. Mil ocho unidades, treinta y cuatro centésimas.
4. Un millón veinte unidades, cuartenta y dos
cienmilésimas.
2. 0.99
5. 0.08208
3. 1.4142
6. 22.4136
1.2.
Relaciones entre números
5
50
Los decimales 10
y 100
, representan el mismo número: 0.5. Cuando dos números a y b representen
el mismo número, escribimos a = b. El sı́mbolo “=” se llama igualdad.
Proposición 1.3 (Igualdad). La igualdad es una relación que satisface las siguientes propiedades:
1. Propiedad reflexiva:
a=a
2. Propiedad simétrica:
a=b
implica
3. Propiedad transitiva:
y
b=c
implica
a=c
de
a=b
b=a
Cuando dos números a y b no sean iguales escribiremos “a 6= b”. En tal caso podemos establecer
una relación entre estos llamada desigualdad.
Observación 1. Si a 6= b, se pueden presentar las siguientes situaciones:
1. a > b si a es mayor que b.
3. a ≥ b si a es menor que b (a < b) ó a = b.
4. a < b < c si a < b y b < c.
ad
2. a < b si a es menor que b.
Actividad 1.4. Escribe en cada cı́rculo, el sı́mbolo (=, <, >) que corresponda:
4
10
4
100
4. 0.5 0.50 0.5001
7.
2. 1 2 3
5. 0.666 0.6666
8. 2.7183 2.71829
6. a b
9. 7 8
3. 1 0.99999
2.
rsid
1. 2 1
Operaciones aritméticas
2.1.
Suma
ive
Las operaciones básicas de la aritmética son la suma, la resta, la multiplicación y la división. Otras
operaciones aritméticas son la potenciación, radicación y los logarı́tmos. Todas estas operaciones gozan
de ciertas propiedades y deben ser ejecutadas respetando un orden (de operaciones).
Un
La suma o adición es la operación aritmética que representa el acto de combinar
o juntar dos colecciones de objetos en una colección mayor. La suma la denotamos
con el sı́mbolo “+”. Al juntar por ejemplo 2 manzanas con 3 manzanas obtenemos 5
manzanas (figura 2) y esto lo denotamos por 2 + 3 = 5. De manera similar 3 + 2 = 5,
Figura 2
1 + 4 = 5, etc.
)
6
Si a y b son números, el número c = a + b es la suma de a y b.
sumandos
+ 3
A los números a y b se le denominan sumandos. Por ejemplo:
9
suma
4
Actividad 2.1. Realizar las siguientes sumas:
1472
539
+
16
13
+ 46
32.7
+ 9.8
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0.21
+628.0
0.99
+0.99
La suma es una operación con las siguientes propiedades.
Ley 2.2 (Uniforme). La suma de dos números siempre tiene el mismo valor.
Ejemplo 2.1 (unicidad de la suma). Si sumamos
miembro a miembro dos igualdades, el resultado
obtenido es otra igualdad:
1 = 1
+ 2 = 2
a = a′
+ b = b′
y
a + b = a′ + b ′
3 = 3
Ejemplo 2.2. Para sumar más de tres sumandos,
3 + 6 + 2 + 5 = 3 + 6 + 2 + 5 = 9 + 7 = 16 y
| {z } | {z }
9
7
de
Ley 2.3 (Asociativa). Para sumar tres sumandos, sustituimos dos sumandos cualesquiera por su
suma, y sumamos los dos sumandos resultantes. NO importa los sumandos que elijamos, el resultado
es siempre el mismo:
(a + b) + c = a + (b + c).
3 + 6 + 2 + 5 = 3 + 6 + 2 +5 = 3 + 8 +5 = 11 + 5 = 16
| {z }
| {z }
8
11
ad
Ley 2.4 (Conmutativa). El orden de los sumandos no altera la suma:
a + b = b + a.
rsid
Ejemplo 2.3. 1 + 2 + 3 = 2 + 1 + 3 = 2 + 3 + 1 = 3 + 2 + 1 = 3 + 1 + 2 = 6.
Ley 2.5 (Monotonı́a para la suma). Al sumar miembro a miembro una igualdad y una desigualdad,
obtenemos una desigualdad del mismo sentido; si sumamos dos desigualdades del mismo sentido,
obtenemos otra desigualdad del mismo sentido.
Actividad 2.6. Realiza las operaciones indicadas:
2.2.
Resta
ive
3 = 3
+ 5 > 2
4 = 4
a < b
+ c = d
s
1
a+b
+
5
=
<
<
<
3
2
c
d
+
0.33 < 0.333
1 = 1
Un
La resta o sustracción es la operación inversa de la suma y la denotamos con el
sı́mbolo “−”. Esta operación representa el acto de sustraer de una colección de objetos, un número dado de objetos. Al sustrear (restar) por ejemplo 2 manzanas de una
colección de 5 manzanas, obtenemos 3 manzanas (figura 3) y esto lo denotamos por
5 − 2 = 3.
Figura 3
Si a y b son números, el número c = a − b es la resta de a y b. Al número a se
le denomina el minuendo y a b se le denomina sustraendo. Observemos que la resta c = a − b es un
número que al sumárselo al sustraendo b nos da el minuendo a.
5
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8 ← minuendo
Por ejemplo al restar 5 de 8 obtenemos 3 (la resta) y
− 5 ← sustraendo
resta + sustraendo = 3 + 5 = 8 = minuendo.
3 ← resta
Actividad 2.7. Realizar las siguientes restas:
841
− 237
57
− 14
48.3
− 6.7
496.21
−213.03
La resta es una operación con las siguientes propiedades.
Ley 2.8 (Uniforme para la resta). La resta de dos números siempre tiene el mismo valor.
Ejemplo 2.4 (unicidad de la resta). Si restamos
miembro a miembro dos igualdades, el resultado
obtenido es otra igualdad:
y
a = a′
− b = b′
a − b = a′ − b ′
1 = 1
de
Ley 2.9 (Monotonı́a para la resta). .
6 = 6
− 5 = 5
1. Al restar miembro a miembro de una desigualdad, una igualdad, obtenemos una desigualdad
del mismo sentido:
ad
2. Al restar miembro a miembro de una igualdad, una desigualdad, obtenemos una desigualdad
de sentido contrario:
3. Al restar miembro a miembro de una desigualdad, otra desigualdad de sentido contrario, obtenemos una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad inicial:
a < b
− c = d
3 = 3
− 5 > 2
2.3.
rsid
Actividad 2.10. Realiza las operaciones indicadas:
Multiplicación
a+b < c
−
5 < d
0.33 < 0.333
−
1 = 1
Un
ive
La multiplicación o producto es la operación aritmética por medio de la cual un número se suma
consigo mismo un determinado número de veces. Por ejemplo, la multiplicación de 2 y 3 da como
resultado 6 porque 2 + 2 + 2 = 6. La multiplicación se denota con el sı́mbolo “×”.
Si a y b son números, el número c = a × b se denomina producto de a y b. A los números a y b se
le denominan factores. El número a × b se lee “a por b” o “a veces b”. Por ejemplo:
)
4
factores
× 2
(1)
8
producto
y por consiguiente 4 y 2 son factores de 8. La multiplicación se puede denotar también por medio
de un punto medio “·”, un asterisco “∗”, dejando un espacio entre un número y una letra, dejando un
espacio entre dos letras o por medio de paréntesis:
3 · 7,
4 ∗ 6,
2 a,
a b,
...
6
Observación 2 (sobre el producto). .
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1. Al multiplicar un número por 1 (resp. por 0), el producto es igual al número (resp. a 0):
34 × 1 = 34,
256 × 1 = 257,
7 × 0 = 0,
39 × 0 = 0,
etc.
2. El producto de un número por sı́ mismo repetidas veces lo denotamos por:
32 = 3 × 3 = 9,
105 = 100 000,
2 ∧ 3 = 2 × 2 × 2 = 8,
etc.
3. Al multiplicar un factor por 10 (100, 1000, etc.), el producto obtenido es el factor añadiéndole
uno (dos, tres, etc.) ceros:
6 × 10 = 60,
39 × 100 = 3 900,
540 × 1000 = 540 000,
etc.
Si el factor es un decimal, el punto decimal se corre a la derecha tantos lugares como ceros:
0.5 × 10 = 5,
0.3287 × 100 = 32.87,
9.3 × 1000 = 9 300,
etc.
621
×4
2484
y
de
4. Cuando los últimos dı́gitos de uno de los factores son ceros, multiplicamos sólo el número sin los
ceros y añadimos los ceros al final. Para mutliplicar 621 × 40 000 , por ejemplo:
621 × 40 000 = 24 840 000
Actividad 2.11. Realizar las siguientes multiplicaciones:
14 .84
×
5 .3
24 .571
×
3 .64
ad
362
× 749
184
× 26
La multiplicación es una operación con las siguientes propiedades.
rsid
Ley 2.12 (Uniforme). La multiplicación de dos números siempre tiene el mismo valor.
2 = 2
× 3 = 3
a = a′
× b = b′
y
a × b = a′ × b ′
6 = 6
ive
Ejemplo 2.5 (unicidad de la multiplicación). Si
multiplicamos miembro a miembro dos igualdades,
el resultado obtenido es otra igualdad:
Ley 2.13 (Asociativa). Para mutliplicar tres factores, sustituimos dos factores cualesquiera por
su producto, y multiplicamos los dos factores resultantes. NO importa los factores que elijamos, el
resultado es siempre el mismo.
Un
Ejemplo 2.6. Para multiplicar más de tres factores,
× 5} = 6 × 20 = 120 y
3 × 2 × 4 × 5 = |3 {z
× 2} × |4 {z
6
20
3 × 2 × 4 × 5 = 3 × |2 {z
× 4} ×5 = |3 {z
× 8} ×5 = 120
8
24
Para indicar los factores que vamos a multiplicar, se acostumbra a utilizar paréntesis. La ley asociativa
afirma entonces
(a × b) × c = a × (b × c).
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Ley 2.14 (Conmutativa). El orden de los factores no altera el producto:
a × b = b × a.
Ejemplo 2.7. 2 × 3 × 4 = 3 × 2 × 4 = 3 × 4 × 2 = 4 × 3 × 2 = 4 × 2 × 3 = 24.
Ley 2.15 (Monotonı́a para la multiplicación). Al multiplicar miembro a miembro una igualdad y
una desigualdad, obtenemos una desigualdad del mismo sentido; si multiplicamos dos desigualdades
del mismo sentido, obtenemos otra desigualdad del mismo sentido2
Ley 2.16 (Distributiva). Esta ley es muy importante, nos permite relacionar las operaciones suma,
resta y producto:
(a + b) c = a c + b c
y
(a − b) c = a c − b c
Actividad 2.17. Realiza las operaciones indicadas:
=
<
<
<
1
2
w
3
de
6 = 6
m < n
× p = q
4 = 4
× 5 > 2
2.4.
t
s
u+v
×
2
División
3.1416 > 3.14159
×
2 = 2
rsid
ad
La división es la operación inversa a la multiplicación: si conocemos el producto y uno de los
factores, la división nos permite hallar el factor restante.
Esta operación representa el acto de dividir una colección finita de objetos en
grupos de igual tamaño. Por ejemplo, al dividir una colección de 20 manzanas en 4
grupos de igual tamaño, obtenemos como resultado 5 manzanas por grupo (figura 4).
Observemos que 5 es el factor que hace que 5 × 4 = 20 y por eso 20 dividido entre 4
es igual a 5.
Al producto conocido se le denomina dividendo y al factor conocido divisor, el
resultado de la operación (el factor desconocido) se denomina cociente. La división se
denota con el sı́mbolo “÷”. Por ejemplo, 12 ÷ 4 = 3 porque 3 × 4 = 12. Otros sı́mbolos
Figura 4
para denotar el cociente de a y b son:
a/b ,
ive
a
,
b
a : b,
a
b
En los ejemplos anteriores las divisiones son exactas. En algunos casos las divisiones no son exactas
(quedan “sobrando manzanas”) y el residuo de la división no es cero, por ejemplo:
dividendo → 21 7 ← divisor
residuo → 0 3 ← cociente
y
dividendo → 14 3 ← divisor
residuo → 2 4 ← cociente
Un
La primera división es exacta: 7 veces 3 es exactamente 21. La segunda división no es exacta: 3
veces 4 no es 14, quedan faltando 2 para completar 14: 3 × 4 + 2 = 14. En general,
divisor × cociente + residuo = dividendo
Observación 3 (sobre la división). .
1. El divisor no puede ser cero (no está permitido dividir por cero).
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2. Cuando el dividendo es igual al divisor, el cociente es 1:
4 ÷ 4 = 1,
68/68 = 1,
237 : 237 = 1,
a
= 1,
a
etc.
3. Cuando el divisor es 1, el cociente es igual al dividendo (dividir por 1 deja igual las cosas):
3 ÷ 1 = 3,
17/1 = 17,
23 : 1 = 23,
0
= 0,
1
etc.
4. Cuando dividimos por 10 (100, 1000, etc.), el resultado obtenido es el dividendo desplazándole el
punto decimal uno (dos, tres, etc.) lugares a la izquierda:
52.3 ÷ 10 = 5.23,
123 ÷ 1000 = 0.123,
6470 × 10 = 647,
etc.
Si el factor es un decimal, el punto decimal se corre a la derecha tantos lugares como ceros:
0.5 ÷ 10 = 5,
0.3287 ÷ 100 = 32.87,
Actividad 2.18. Realiza las siguientes divisiones:
32.5 0.3
32.5 0.3
9.3 ÷ 1000 = 9 300,
32.5 0.3
etc.
32.5 0.3
La división es una operación con las siguientes propiedades.
de
Ley 2.19 (Uniforme). La división de dos números siempre tiene el mismo valor.
Ejemplo 2.8 (unicidad de la división). Si dividimos miembro a miembro dos igualdades, el resultado
obtenido es otra igualdad:
2 = 2
2.5.
Orden de operaciones
y
a = a′
÷ b = b′
ad
6 = 6
÷ 3 = 3
a ÷ b = a′ ÷ b ′
Signo
Nombre
paréntesis
[ ]
corchetes
{ }
llaves
ive
( )
rsid
Cuando una expresión matemática consta de muchos términos, podemos utilizar signos de agrupación para especificar el orden en que debemos realizar las operaciones:
4 + (5 − 3) 2 = ?
(4 + 5) − 3 · 2 = ?
[(4 + 5) − 3] · 2 = ?
Cuando la expresión no contiene signos de agrupación, como por ejemplo 2 + 3 − 4 · 5, existe un
orden (o jerarquı́a) de operaciones que especifica el orden en que debemos realizar las operaciones:
Operador
Orden
(mayor)
∧
↓
Un
Signos de agrupación
×, ÷
↓
+, −
(menor)
4+5−3·2 = 4+5−3·2 = 4+5−6= 9−6= 3
24/3/2 = 24/3/2 = 8/2 = 4
1+4×3÷6 = 1+4 × 3÷6 = 1+12 ÷ 6 = 1 + 2 = 3
18 ÷ 32 × 6 = 18 ÷ 32 × 6 = 18 ÷ 9 × 6 = 2 × 6 = 12
Cuando las operaciones tienen la misma jerarquı́a, es decir, están en una misma fila de la tabla
como × y ÷, las operaciones se realizan de izquierda a derecha.
Actividad 2.20. Realiza las operaciones indicadas:
1. 5 + 4 − 3 × 2 ÷ 3 ∧ 2
5. 3[(4 + 6) − 5] − 15
2. 72/3/2/6/1/2
6. 48 − 3{2[(1 + 2)2 − 5] − 1}
3. 2 ∧ 2 ∧ 1 + 2
2
× 2 + 23
4.
2 + 23
7. 2{(1 + 2)[(1 + 2)2 − 6 : 3] − 1} − 27
3.
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8. 1/10 + 1/100 + 1/1000
Divisibilidad
En algunas situaciones es posible determinar si un número divide a otro exactamente sin realizar
la división. Los siguientes criterios o reglas nos dicen cómo.
3.1.
Criterios de divisibilidad
Criterio 3.1 (Divisibilidad por 2). Un número es divisible por 2 si termina en cifra par o cero.
Ejemplo 3.1. Números divisibles por 2: 2, 8, 10, 46 y 62371230.
de
Criterio 3.2 (Divisibilidad por 3). Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un
múltiplo de 3.
Ejemplo 3.2. 45138 es divisible por 3 porque 4 + 5 + 1 + 3 + 8 = 21 que es múltiplo de 3.
ad
Criterio 3.3 (Divisibilidad por 4). Un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras con ceros
o forman un múltiplo de 4.
Ejemplo 3.3. 300 es divisible por 4 también 7312 porque 12 que es múltiplo de 4.
rsid
Criterio 3.4 (Divisibilidad por 5). Un número es divisible por 5 si su última cifra es cero ó 5.
Ejemplo 3.4. Núimeros divisbles por 5: 15, 240, 12345, etc.
ive
Criterio 3.5 (Divisibilidad por 7). Un número es divisible por 7 cuando, al separar la última cifra
de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es
un múltiplo de 7. Este procedimiento se repite si es necesario hasta que se pueda determinar con
facilidad si la diferencia es 0 o múltiplo de 7.
Ejemplo 3.5. 154 es múltiplo de 7 porque 15 − 2 × 4 = 7 es múltiplo de 7.
Un
Criterio 3.6 (Divisibilidad por 9). Un número es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras es
un múltiplo de 9.
Ejemplo 3.6. 86274 es divisible por 9 porque 8 + 6 + 2 + 7 + 4 = 27 es múltiplo de 9.
Criterio 3.7 (Divisibilidad por 10). Un número es divisible por 10 cuando termina en cero.
10
3.2.
Descomposición en factores primos
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Los números primos juegan un papel muy importante en matemáticas y resultan de gran utilidad
para realizar operaciones aritméticas.
Definición 3.1 (número primo). Un número eso primo si sólo es divisible por sı́ mismo y por la
unidad.
Observación 4. Los números primos son infinitos, los primeros son 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . Por convención
el 1 no se considera primo. Todo número que no sea primo se denominan compuesto.
Teorema 3.8. Todo número distinto de 1 se puede descomponer en producto de factores primos.
Para descomponer un número en sus factores primos buscamos todos sus divisores primos.
Ejemplo 3.7 (Descomposición en factores primos). .
10 = 2 × 5
21 = 3 × 7
18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 32
de
Observación 5. La descomposición en factores primos la podemos obtener dividiendo el número por
el menor de sus diviores primos, el cociente obtenido se divide también por el menor de sus divisores
primos y ası́ sucesivamente hasta obtener un cociente que sea un número primo divisible por sı́ mismo.
Ejercicio 3.1. Halla la descomposición en factores primos de 36 y 60.
2
2
3
3
60
30
15
5
1
⇒ 36 = 22 × 32
y
2
2
3
5
⇒ 36 = 22 × 3 × 5
rsid
36
18
9
3
1
ad
Solución. .
Definición 3.2 (m.c.d). El máximo común divisor o m.c.d. de varios números es el número más
grande que es divisor de todos ellos. Si el m.c.d es 1, se dice que los números son primos relativos.
ive
Observación 6. El m.c.d. de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores
primos de los dos números y multiplicando los factores comunes elevados a la menor potencia.
Ejemplo 3.8. Por la observación anterior (6) y la descomposición en factores primos obtenida en el
ejercicio (3.1), el m.c.d. de 36 y 60 es mcd(36,60) = 22 × 3 = 12.
Un
Definición 3.3 (m.c.m). El mı́nimo común múltiplo o m.c.m de varios números es el número más
pequeño que es divisible por todos ellos.
Observación 7. Para calcular el m.c.m., se descomponen los números en sus factores primos y se toman
todos los factores (comunes y no comunes) con mayor exponente.
Ejemplo 3.9. Por la observación anterior (7) y la descomposición en factores primos obtenida en el
ejercicio (3.1), el m.c.m de 36 y 60 es mcm(36,60) = 22 × 32 × 5 = 180.
11
4.
An
tioq
uia
Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, Universidad de Antioquia
Ejercicios
[Problemas (1)-(7)] Realiza las operaciones mental
o manualmente (sin calculadora):
10. La ley de la suma que afirma que “a = b y
c > d implica a + c > b + d” es:
1. 3.01 + 2.11 − 3.25 + 5.83 es igual a:
a) 6.7
c) 7.7
b) 7..2
d ) 7.9
c) 0.368
b) 3680
d ) 0.0368
d ) monótona
a) 728
a) 30
c) 0.3
b) 3
d ) 0.03
b) 4.8
d ) 12
b) 0.9
d ) 0.999
6. 3 + 2 ∗ 2 + 6/3 ∗ 10 es igual a:
c) 47
b) 32
d ) 53
a) 12
c) 128
b) 64
d ) 256
b) 2401
d ) 1331
a) 547
ive
[Problemas (8)-(10)] Selecciona la respuesta correcta.
8. En una suma, los términos que se suman se
denominan:
b) 479
a) 26
b) 49
c) 523
d ) 567
b) 15 y 48
c) 32 y 67
d ) 10 y 100
17. Al descomponer en factores primos el número 504 se obtiene:
a) 23 × 32 × 5
b) 23 × 32 × 7
c) 22 × 33 × 5
d ) Dividendos
18. El m.c.d. de 28 y 42 es:
a) Factor
c) Dividendo
b) Divisor
d ) Cociente
d ) 137
a) 9 y 33
d ) 23 × 32 × 11
9. En una división, el número que se divide se
denomina:
c) 476
16. De las siguientes números, los únicos que son
primos relativos son:
c) Sumandos
Un
d ) 660
15. De los siguientes números el único que es primo es:
rsid
a) 27
c) 528
c) 344
ad
c) 0.99
d ) 520
14. De los siguientes números es divisible por 9:
5. 0.33 + 0.33 + 0.33 es igual a:
a) 0.09
b) 169
a) 169
de
c) 9
c) 582
13. De los siguientes números es divisible por 7:
4. (1.2 + 3.6) × 2.5 es igual a:
a) 3
b) 169
12. De los siguientes números es divisible por 5:
3. 0.75 ÷ 2.5 es igual a:
b) Divisores
b) asociativa
a) 520
a) 368000
a) Factores
c) uniforme
11. De los siguientes números es divisible por 3:
2. 368 × 0.00001 es igual a:
7. 2 ∧ 2 ∧ 3 es igual a:
a) conmutativa
a) 2
b) 14
c) 76
d ) 84
c) 78
d ) 156
19. El m.c.m. de 52 y 78 es:
a) 8
b) 56
12
An
tioq
uia
Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, Universidad de Antioquia
pensiones $475 000. Determina el costo de la
venta.
[Problemas (20)-(25)] Resuelve los siguientes problemas.
20. Determina el perı́metro de la figura:
23. En un supermercado, por cada 200 pesos en
compras, se realiza un descuento de 30 centavos. Si alguien realiza una compra de 32 500
pesos, ¿cuánto es el valor a pagar?
22. Con el fin de pagar una deuda, una persona
pide prestado a un banco $10 000 000, vende
su moto por $4 525 000 y retira del fondo de
Referencias
[1] M. Sánchez, Aritmética, editorial Playor, 1983.
25. Un jarra contiene 10 mL de limonada. La
concentración de limón puro en la jarra es
de 30 %, esto significa que por cada 100 mL
de limonada, 30 mL son de limón puro. Determina la cantidad de limón puro que es
necesario agregar para aumentar la concentración de limón puro al 50 %.
de
21. Cuatro bultos de papa, cuyos pesos en kg son
23.1, 58.3, 58.6 y 78.3, van a ser transportados de Medellı́n a Monterı́a. Transportar
cada kg tiene un costo de $54.2. Determina
el costo toal del transporte.
24. Un comerciante compra 12 cerdos por 4 millones de pesos. Los alimenta por dos semanas, gastando 120 000 pesos diarios y los vende a 350 000 cada uno. Determina la ganancia obtenida.
[2] I. Stewart, Historia de las matemáticas. Crı́tica, 2008.
Un
ive
rsid
ad
[3] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Álgebra y Trigonometrı́a con Geometrı́a Analı́tica, undécima edición,
editorial Thomson, 2006.