Hoja 6

Matemática Discreta - Ing. Informática de Gestión - Curso 2005/2006
Hoja 6 de problemas
1. Dados cuatro conjuntos A, B, C, D, demuestra:
(a) C 6= ∅ y (A × C) ⊆ (B × C) ⇒ A ⊆ B.
(b) C 6= ∅ y (C × A) ⊆ (C × B) ⇒ A ⊆ B.
(c) (A × B) \ (C × D) = ((A \ C) × B) ∪ (A × (B \ D)).
2. Considera el conjunto A = {a, b, c} y las relaciones binarias sobre A definidas como: R = {(a, b), (b, c), (c, a)}
y S = {(a, c), (b, a)}.
(a) Calcula R ◦ S, S ◦ R, R ◦ R y S ◦ S.
(b) Comprueba que R ◦ (S ◦ R) = (R ◦ S) ◦ R y que (R ◦ S)−1 = S −1 ◦ R−1 .
3. Dada una relación binaria R sobre un conjunto A, las potencias de R se definen recursivamente como:
0
n+1
R
= Rn ◦ R, para n ≥ 0. Dada la relación S = {(a, c), (b, a)}, calcula: S 0 , S 1 , S 2 , S 3 ,
S =n id, R
{S | n ≥ 0}
4. Considera la función f : Z → Z definida por f (x) = −x.
(a) Indica el dominio, codominio y rango.
(b) Razona si es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
(c) Indica si tiene inversa, y de ser ası́ calcúla la función inversa (y demuestra que lo es).
5. Sean f, g, h : R → R definidas por f (x) = x + 1, g(x) = 2x, h(x) = x2 . Calcula definiciones explı́citas de
las funciones compuestas g ◦ f , h ◦ f , f ◦ g, h ◦ g, f ◦ h y g ◦ h.
6. Demuestra que las dos funciones que se definen a continuación son biyecciones:
½
n + 1 si n es par
a) f : N → N donde f (n) =
n-1
si n es impar
| n |
b) g : Z → Z donde g(n) = (−1)
∗n
7. Sea X un conjunto fijado. Para cada subconjunto A ⊆ X, la función caracterı́stica de A se define como
la función χA : X → {0, 1} definida por:
½
χA (x) =
0
1
si x ∈
/A
si x ∈ A
Para X = {a, b, c}, determina todos los subconjuntos de X y sus funciones caracterı́sticas.
8. Demuestra que las funciones caracterı́sticas verifican las propiedades siguientes:
a) χA∪B (x) = max(χA (x), χB (x)) = χA (x) + χB (x) − χA (x) ∗ χB (x)
b) χA∩B (x) = min(χA (x), χB (x)) = χA (x) ∗ χB (x)
c) χ\A (x) = 1 − χA (x)
En los apartados anteriores, se supone que A, B ⊆ X y que \A = X \ A, siendo X un conjunto fijado de
antemano.
9. Sea A un alfabeto. Dadas dos palabras u = u0 u1 · · · un−1 ∈ A∗ , v = v0 v1 · · · vm−1 ∈ A∗ , definimos:
La concatenación de u y v como: u · v =def u0 u1 · · · un−1 v0 v1 · · · vm−1
La imagen especular o inversa de u como: uR =def u = un−1 un−2 · · · u1 u0
Explica de modo más preciso como serı́an las definiciones de u · v y de uR , teniendo en cuenta que las
palabras son sucesiones finitas de sı́mbolos de A, y razona por qué son ciertas las propiedades siguientes:
(a) u · ε = ε · u = u ( ε es neutro)
(b) (u · v) · w = u · (v · w) ( · es asociativa)
(c) εR = ε
(d) (uR )R = u
(e) (u · v)R = v R · uR
10. Sea A = {a, b, c} un alfabeto y sea A∗ el conjunto de todas las palabras que se pueden escribir con letras
de A. Definimos la función l : A∗ → N tal que l(x) es el número de letras que tiene la palabra X, es decir
la longitud o tamaño de x. La palabra vacı́a la escribimos ².
(a) ¿La función l es inyectiva, biyectiva, suprayectiva?
(b) Calcula el conjunto l−1 (3) ¿cuántos elementos tiene?
(c) Demuestra que para todo n ∈ N el conjunto l−1 (n) es finito.
(d) Demuestra que para todo n, m ∈ N, n 6= m, l−1 (n) ∩ l−1 (m) = ∅.
(e) Demuestra que A = l−1 (0) ∪ l−1 (1) ∪ l−1 (2) ∪ . . . .
11. Sea A = {a, b} un alfabeto y sea A∗ el conjunto de todas las palabras que se pueden escribir con letras
de A. Definimos la función l : A∗ → N como en el apartado anterior, además de una nueva función
f : A∗ → N que a cada palabra x le hace corresponder el número de veces que aparece el sı́mbolo a en x.
(a) Usando las funciones l y f define una función g : A∗ → N que a cada palabra x le haga corresponder
el número de veces que aparece el sı́mbolo b en x.
(b) Razona si f, g son inyectivas, biyectivas o suprayectivas.
(c) Calcula las relaciones f −1 (3), g −1 (3).
(d) Los conjuntos f −1 (n), g −1 (m) con n, m ∈ N ¿son siempre finitos?