Introduccibn a la Lbgica de Primer Orden

Introducción a la Lógica de Primer Orden
Mara Manzano
USAL
Curso 2009-2010
Mara Manzano (USAL)
LPO
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Introducción
2
Análisis lógico del lenguaje natural
3
Lenguaje formal LPO
4
Inducción y Recursión
5
Formalización
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Introducción
Objetivos compartidos con la lógica proposicional:
1
2
3
Lógica = estudio de la consecuencia (razonamientos válidos o
correctos)
Lógica = estudio de los conjuntos de creencias consistentes
Lógica = Gramática + Semántica (+ Cálculo)
Nuevo: aumento capacidad expresiva
1
2
Se analizan los enunciados atómicos
Aparecen los cuanti…cadores
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¿Por qué necesitamos la Lógica de Primer Orden?
α = Sólo los niños y los borrachos dicen la verdad.
β = María Manzano no es una borracha ni es una niña.
LUEGO:
γ = María Manzano miente.
En lógica proposicional α, β y γ se formalizan como letras proposicionales
(por ejemplo, p, q y r ) y por lo tanto fp, q g 2 r
En un lenguaje de primer orden se podría formalizar:
α 8x (:Mx ! (Bx _ Nx ))
β :Ba ^ :Na
LUEGO:
γ Ma
VAL(PL) VAL(FOL)
La lógica de primer orden contiene a la proposicional
VAL(PL) VAL(FOL)
Pero es más potente.
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Análisis lógico del lenguaje natural
Términos
I
Pequeño recorrido por el “mundo subatómico”.
Designadores. Segmentos de la cadena sonora que se re…eren (o designan)
a un individuo.
1
nombres propios son los más cortos, sencillos, unívocos e
independientes del contexto y constituyen el paradigma de designador.
2
pronombres personales — yo, mi, me, etc.— también son
designadores, pero no son independientes del contexto.
3
deícticos son también designadores, actúan señalando al objeto al que
se re…eren en un entorno conocido.
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Análisis lógico del lenguaje natural
Términos
II
Functores. Expresiones lingüísticas que junto a designadores constituyen
un designador.
1
Un functor que sólo requiere de un designador para formar un nuevo
designador es un functor monádico — o unario— .
2
Cuando hacen falta dos designadores para formar un designador, se
trata de un functor binario.
3
En general, cuando hacen falta n designadores para formar un
designador, el functor es n ario.
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Análisis lógico del lenguaje natural
Sentencias
I
Las sentencias son expresiones lingüísticas de las que tenga sentido
preguntarse si son verdaderas o falsas. Esto es, los enunciados
— aseverativos— de la lengua natural, que se componen entre sí para
formar enunciados complejos exactamente igual que en la lógica
proposicional.
Relatores. Los relatores se parecen a los functores porque también
combinan designadores, pero aquí el resultado es una sentencia.
1
Un relator que sólo requiere de un designador para formar un
enunciado es un relator monádico — o unario— .
2
Cuando hacen falta dos designadores para formar una sentencia, se
trata de un relator binario.
3
En general, cuando hacen falta n designadores para formar un
enunciado, el relator es n ario.
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Análisis lógico del lenguaje natural
Sentencias
II
Conectores. Usamos los mismos conectores que en la lógica proposicional
:
^
_
!
$
y con el mismo signi…cado que allí.
Variables. Las variables constituyen un recurso muy útil a la hora de
formalizar enunciados complejos, especialmente como vehículo de
cuanti…cación.
Cuanti…cadores. Las expresiones lingüísticas que nos sirven para decir algo
de todos los objetos de una determinada clase son los cuanti…cadores
universales, los cuanti…cadores existenciales se emplean para destacar que
al menos un objeto tiene una cierta propiedad.
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Lenguaje formal LPO
Alfabeto
El alfabeto de un lenguaje cualquiera L1 de lógica de primer orden
contiene dos tipos de signos:
los comunes a todos los lenguajes de primer orden:
1
2
3
4
conectores :, _, ^, !, $ ,
los cuanti…cadores 8 y 9
las variables individuales x, y , z, u, v , w , x0 , x1 , x2 ,..., y0 , y1 , y2 , ...
y la igualdad =
los peculiares de cada lenguaje de primer orden:
1
2
3
relatores R n , S n , T n , R0n , R1n , R2n ,... como relatores n-arios,
los functores f n , g n , hn , f0n , f1n , f2n ,... como functores n-arios
las constantes individuales a, b, c, a0 , a1 , a2 , ...
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Lenguaje formal LPO
Términos
De…nition
El conjunto de los términos de L1 — al que llamamos TERM(L1 ), o
simplemente TERM— es el menor conjunto que se puede generar
mediante las reglas:
Paso Básico: (T1) Las variables y constantes individuales son
términos.
Paso Inductivo: (T2) Si τ 1 , ..., τ n son términos, f n τ 1 ...τ n es un
término. (También podemos escribir, f n (τ 1, ..., τ n )).
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Lenguaje formal LPO
Fórmulas
De…nition
El conjunto de las fórmulas de L1 (al que llamamos FORM(L1 ), o
simplemente FORM, cuando esté claro por el contexto) es el menor
conjunto que se puede generar a partir de las reglas siguientes:
Paso Básico: (F1) Si τ 1 , ..., τ n son términos, R n τ 1 ...τ n es una
fórmula. (También podemos escribir, R n (τ 1, ..., τ n ).)
en especial:
Si τ 1 y τ 2 son términos, τ 1 = τ 2 es una fórmula.
Pasos Inductivos: (F2) Si A y B son fórmulas, también lo son: :A,
(A ^ B ), (A _ B ), (A ! B ), (A $ B ).
Pasos Inductivos: (F3) Si A es una fórmula, también lo son: 8xA y
9xA.
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Demostraciones por inducción semiótica
Términos y Fórmulas
Si queremos demostrar que todos los términos tienen una determinada
propiedad, tenemos que demostrarlo en dos pasos:
Paso Básico: (1) Todos los términos atómicos la tienen.
Pasos inductivos: (2) Los términos complejos la heredan de sus
componentes.
Si queremos demostrar que todas las fórmulas de primer orden tienen una
determinada propiedad, tenemos que demostrarlo en tres pasos:
Paso Básico: (1) Todas las fórmulas atómicas la tienen.
Paso Inductivo: (2) Las fórmulas compuestas la heredan de sus
componentes, si se usan conectores.
Paso Inductivo: (3) Las fórmulas compuestas, obtenidas con
cuanti…cadores la heredan de sus componentes.
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De…niciones recursivas para primer orden
Si queremos de…nir un concepto para todos los términos, tenemos que
de…nirlo en dos pasos:
Paso Básico: (1) Lo de…nimos para todos los términos atómicos
Pasos Inductivos: (2) Lo de…nimos para términos functoriales en
función de sus componentes
Si queremos de…nir un concepto para todas las fórmulas, tenemos que
de…nirlo en tres pasos:
Paso Básico: (1) Lo de…nimos para fórmulas atómicas.
Pasos Inductivos: (2) Se de…ne para las fórmulas compuestas en
función de sus componentes, si se usan conectores.
Pasos Inductivos: (3) Se de…ne para fórmulas cuanti…cadas en
función de la de…nición hecha para el núcleo.
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Formalización
Las cinco primeras son como en LP, las otras dos son nuevas
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Negación. La negación de un enunciado verdadero será falsa y la de
uno falso será verdadera.
Conjunción. La conjunción de dos enunciados es verdadera si y sólo si
ambos lo son.
Disyunción. La disyunción de dos enunciados es verdadera si al menos
uno de ellos lo es.
Condicional. Un enunciado condicional es falso cuando el antecedente
es verdadero y el consecuente falso, en el resto de los casos es
verdadero.
Bicondicional. Un enunciado bicondicional es verdadero cuando y sólo
cuando sus dos miembros son simultáneamente verdaderos o falsos.
Generalización. Una generalización es verdadera cuando se veri…ca
para todos los individuos del universo.
Particularización. Una particularización es verdadera cuando se
veri…ca para al menos un individuo del universo.
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Formalización
Lanzarote del Lago
Universo de discurso: personajes de la novela de Chrétien de Troyes
a := Arturo
i := Ginebra
e := Lanzarote
Axy := x es amigo de y
Qxy := x ama a y
Oxy := x odiar a y
Lanzarote ama a la reina Ginebra, pero ella no ama a todos los que la
aman.
Qei ^ :8x (Qxi ! Qix )
Lanzarote no ama a ninguno de sus amigos.
8x (Axe ! :Qex )
Los amigos de Lanzarote odian a aquellos a quienes Arturo ama.
8x (Axe ! 8y (Qay ! Oxy ))
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Formalización
Tragicomedia de Calisto y Melibea
Universo de discurso: Todo (Seres humanos y tiempo están incluidos)
a := Calisto
e := Melibea
i := Segismundo
Px : x es una persona
Tx : x es un instante de tiempo
Axyz : x ama a y en el instante z
En lógica temporal la formalización sería más directa, aquí lo que hacemos
es tomar un universo de discurso que incluye el tiempo.
a.
Alguna vez amó Calisto a Melibea
9x (Tx ^ Aaex )
b.
El amor de Melibea por Calisto fue siempre correspondido
8x (Tx ! (Aeax ! Aaex ))
c.
Melibea no amaba a Calisto en el mismo instante en que Calisto
amaba a Melibea
9x (Tx ^ :Aeax ^ Aaex )
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