Cap´ıtulo 3 Distribuciones de Probabilidad Notables

Capı́tulo 3
Distribuciones de Probabilidad
Notables
Problemas
1. La longitud (en cm.) de los calamares adultos capturados en cierta zona sigue una distribución N (23, 2). ¿Qué proporción de las capturas tendrá una talla inferior a 20 cm? ¿y
superior a 25 cm?
2. Se sabe que el peso (en kg.) de las latas de conserva producidas en una factorı́a sigue una
distribución normal , con varianza 0.0001. ¿Cuál deberı́a ser el peso medio de las latas
para que el 90 % pese al menos un kg?
3. Supongamos que la vida útil de una cierta clase de red de pesca sigue una distribución
normal. Un estudio de la producción de un fabricante de estas redes muestra que el 20 % de
las mismas se rompe antes de dos años, mientras que el 2 % dura más de 5 años. Calcular
la media y la varianza de la duración de estas redes. Hallar también la probabilidad de
que una de estas redes dure al menos 3 años. Si un barco se equipa con 5 redes nuevas
de esta clase, que irá usando sucesivamente a medida que se le vayan rompiendo, ¿cuál es
la probabilidad de que este barco no deba adquirir ninguna nueva red hasta dentro de, al
menos, 12 años?
4. Otro fabricante de la misma clase de redes del problema anterior garantiza la misma duración media que aquéllas, pero con una desviación tı́pica un 20 % menor. ¿Qué proporción
de estas redes se rompe antes de 2 años? ¿Qué proporción durará más de 5 años? ¿Qué
fabricante resulta más conveniente, éste o el del problema anterior?
5. El peso, en gramos, de las doradas adultas sigue una distribución normal de media 500
gr. y desviación tı́pica 150 gr. Para su venta en el mercado se consideran tres categorı́as:
1
CAPÍTULO 3. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD NOTABLES
Tipo A:
con peso hasta 300 gr
Tipo B:
con peso entre 300 y 700 gr.
Tipo C:
con peso superior a 700 gr.
2
Una pescaderı́a adquiere directamente de la piscifactorı́a 1000 doradas a un precio fijo
de 2 €/kg. Si vende el tipo A a 1.5 €/unidad, el tipo B a 2 €/unidad y el tipo C a 3
€/unidad, ¿cuál es el beneficio esperado de la venta de las 1000 doradas?
6. Cierto enzima se presenta en la sangre de los individuos de una especie con una distribución
normal de media 80 ppm y desviación tı́pica 25 ppm para los que habitan en regiones
tropicales, y de media 60 ppm y desviación tı́pica 15 ppm para los que habitan en regiones
frı́as. Si se toman al azar dos individuos experimentales, uno de cada región, (a) ¿cuál
es la probabilidad de que la diferencia en la concentración de esta enzima entre los dos
individuos sea inferior a 15 ppm? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo provenga
de una región tropical si presenta una concentracion de 68 ppm de esta enzima?
7. Se sabe que la concentración (en gr/cc) de sustancias contaminantes en el agua de una
playa en dı́as en que no hay contaminación sigue una distribución N (0,05, 0,03). Cuando
hay contaminación que pueda considerarse peligrosa, la concentración de contaminantes
sigue una distribución N (0,15, 0,08). En un dı́a elegido al azar se toma una muestra de agua
de 1 cc. Si no hay contaminación, ¿cuál es la probabilidad de que en esa muestra haya más
de 0,15 gr de sustancias contaminantes?. Si hay contaminación ¿Cuál es la probabilidad
de que en esa muestra haya menos de 0.05 gr. de sustancias contaminantes? Sin saber si
hay ó no contaminación, ¿a partir de qué cantidad de sustancias contaminantes en esa
muestra decidirı́as que efectivamente hay contaminación?
8. Cierta compañı́a de seguros que asegura contra el naufragio a barcos de pequeño calado,
ha observado que la probabilidad de que uno de estos barcos se hunda a lo largo de un año
es 0.001. Cada naufragio le supone a la compañı́a un coste de 20.000 €. Para el próximo
año, a esta empresa se le ha solicitado que asegure a 500 de estos barcos.
a) ¿Cuál debe la prima anual que se cobre a cada uno de estos barcos si la compañı́a
quiere estar segura en un 95 % de alcanzar en esta operación un beneficio de al menos
10.000 €?
b) Esta compañı́a puede también asegurar a los barcos contra los gastos producidos por
la reparación de averı́as. Se consideran tres clases de averı́as: pequeñas, medianas y
grandes. Se ha comprobado que las averı́as de cada una de estas clases que sufre un
barco a lo largo de un año siguen sendas distribuciones de Poisson de parámetros 5,
0.45 y 0.2, y que estas averı́as pueden considerarse aproximadamente independientes.
CAPÍTULO 3. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD NOTABLES
3
¿Cuál es la probabilidad de que un barco elegido al azar sufra este año al menos una
averı́a de cada clase? ¿Cuál es la proporción de barcos que cabe esperar que no sufran
ninguna averı́a a lo largo del año?
c) A fecha 30 de junio, un barco ha experimentado ya 3 pequeñas averı́as ¿Cuál es la
probabilidad de que llegue a final de año sin más problemas?
d ) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 100 de los 500 barcos a asegurar no sufran
ninguna averı́a el próximo año? Con una probabilidad del 90 %, ¿cuántos barcos como
máximo cabe esperar que sufran al menos una averı́a?
e) El coste que supone para la compañı́a de seguros cada averı́a es de 500 € para las
pequeñas, 2000 € para las medianas y 5000 € para las grandes. Con probabilidad
0.95, ¿cuál es el coste total por averı́as que habrá de abonar como máximo la compañı́a
el proximo año?