Itescham INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES QUINTO SEMESTRE

Itescham
INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
QUINTO SEMESTRE
MATEMÁTICAS V (ACM-0407)
Ecuaciones diferenciales
Subtema 3.13
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCIÓN DELTA
DIRAC
3.13 Transformada de Laplace de la función
Delta Dirac.
Otras definiciones
Definición [Función delta de
Dirac]
La función delta de Dirac esta dada por
Observación: la función delta de Dirac, no es una función, realmente es lo que
se conoce como una función generalizada (o distribución).
Teorema [Propiedades de la función delta]
La función delta de Dirac satisface las siguientes propiedades
El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la función delta
de Dirac.
Definición [Transformada de delta]
Para
Demostración
Para iniciar la prueba debemos escribir la función impulso unitario en términos
de la función escalón unitario
De donde tenemos que
Con lo cual
Observación: a partir de
es razonable concluir que
. Esto reafirma el hecho de que
puesto que se espera que
cuando
no es una función ordinaria,
.
Figura 1: Esta es una manera de visualizar la Función
Delta de Dirac.
Figura 2: Por que es difícil dibujar algo que es infinitamente alto, nosotros
representamos la Delta de Dirac con una flecha centrada en el punto donde es
aplicada. Si queremos escalarla, podemos escribir el valor de escalamiento a
un lado de la flecha. Este es un muestreo unitario (no tiene escala).
1.0. Definición intuitiva.
La definición que a continuación expongo de la Delta de Dirac es la que
normalmente se expone en una carrera de ingeniería. Es una definición que
parte de una "abstracción física": un choque o golpe en mecánica o un
"chispazo"
en
electricidad.
Supongamos que tenemos que empujar un objeto: para ello podemos aplicarle
una fuerza durante un periodo de tiempo t. Si queremos comunicarle una
determinada energía cinética la fuerza f aplicada nos determina la duración t
para alcanzar dicha energía cinética. Si aumentamos f el tiempo necesario será
menor. En el límite cuando t tiende a 0 tendremos que aplicarle una fuerza
infinita. Sería el equivalente físico a un "martillazo": un golpe instantáneo de
gran
fuerza.
De esta forma definimos la Delta de Dirac como una "función" que vale 0 en
todos los puntos salvo en el origen que vale infinito y cuya area (integral de infinito a +infinito) vale 1:
Gráficamente la Delta de Dirac se dibuja como una flecha vertical en el lugar en
que toma el valor infinito.
Los matemáticos más "teóricos" en el tema consideran un sacrilegio
matemático el referirse a la Delta de Dirac como una función. Nótese que una
función es una aplicación de un conjunto en otro y para definir una función
basta con dar la imagen que tiene cada elemento del dominio (conjunto sobre
el que está bien definida nuestra función). Sin embargo para la Delta de Dirac
no es suficiente con dar el valor de sus imágenes: es necesario indicar que su
area vale 1. De hecho la función Delta y la función 2*Delta toman los mismos
valores y sin embargo las consideraremos funciones distintas. Así mismo en
determinados contextos se suele decir que dos funciones son iguales para casi
todo t si sólo difieren en un conjunto finito o numerable de elementos del
dominio. En nuestro caso no aplicaremos esta relación de equivalencia nunca,
ya que entonces la función Delta y la función identicamente nula ( f(t)=0 )
serían equivalentes y no tendríamos entonces nada de que hablar.
Igual como se define la Delta tendremos que 2*Delta vale 0 en todos los
puntos, infinito en el origen y tiene area 2, -Delta vale 0 en todos los puntos
menos en el origen en que vale - infinito y tiene area -1 y Delta(t-a) toma el
valor infinito en t=a. Notemos además que la Delta es una "función" par.
2.0. Propiedades inmediatas.
En este apartado se expondrán las propiedades que hacen del conocimiento de
la Delta de Dirac algo necesario en el estudio del procesado de señal. Muchas
de estas propiedades aparecen en algunos textos como la definición de la delta
( "La Delta es la función que cumple una determinada propiedad, como por
ejemplo ser elemento neutro del producto de convolución" ). De hecho en el
apartado 4 de este documento se definirá la Delta de Dirac de una forma más
rigurosa basándose en una de estas propiedades:
Propiedad 1: Propiedad de muestreo integral.
Propiedad 2: Elemento neutro de la Convolución.
(La convolución puede tener intervalos distintos según el uso que se haga de
ésta: en el documento "La transformada de Laplace" se habla de la convolución
entre 0 y t ya que todas las funciones allí utilizadas se suponen nulas para t <
0.)
Propiedad 3: La Delta es la Derivada de un escalón.
Propiedad 4: La Transformada de Laplace y de Fourier de la Delta es la función
unidad f(t)=1.
LA DELTA DE DIRAC
3.0. Distribuciones.
A partir de este apartado vamos a considerar la Delta de Dirac de una forma
más
rigurosa.
De momento nos interesa saber cual es la derivada de la función escalón u(t).
Sabemos que esta función no es derivable en el origen por su discontinuidad
de salto, y sabemos que antes dijimos, de una forma bastante informal, que su
derivada era la Delta. Para solucionar este problema vamos a definir un
conjunto mayor que el de las funciones tradicionales en el cual cualquier
elemento
de
dicho
conjunto
admita
una
derivada.
Sea V un R-espacio vectorial. Se define el dual de V como V* :El conjunto de
las aplicaciones lineales de V en R. Se puede demostrar con facilidad que V*
es
otro
espacio
vectorial.
Sea L2(R,R) el conjunto de las funciones de R en R de cuadrado integrable en
un cierto intervalo (a,b) (con a<0 y b>0 ).Dichas funciones además se anularán
en a y en b.Este conjunto es un espacio vectorial de dimensión infinita.
L2(R,R), por ser un espacio vectorial, tiene un espacio dual. Lo llamaremos L*
para simplificar la notación. Además se tiene que en L2 podemos definir el
siguiente producto escalar:
Al conjunto L* lo llamaremos conjunto de distribuciones y a los elementos de
dicho
conjunto
distribuciones.
Definiremos ahora una aplicación que asocie a cada función una distribución:
De esta manera tenemos que cada función tiene asociada una única
distribución asociada. La gracia del invento radica en que hay más
distribuciones que funciones. En efecto ahora tenemos distribuciones sin
ninguna función asociada:
Como puede comprobarse su función asociada es la delta de Dirac pero hemos
quedado
en
que
no
era
una
función.
Ahora nos interesaremos en definir una derivación en el espacio de
distribuciones. Esta definición deberá de ser compatible con la derivación de
funciones:
Para ello definimos, por fin, la derivada de una distribución como:
No deberína resultar rara para el lector esta definición: Para definir la aplicación
lineal derivada de otra damos el método para calcular cualquier imagen de
dicha aplicación. La justificación de que tomemos esa definición es la siguiente:
Notese que a partir de esta definición toda distribución admite una derivada.
Notemos además que a partir de las definiciones anteriores hemos aprendido a
manipular analíticamente las distribuciones; esto no significa, como ya hemos
visto, que las distribuciones sean todas ellas funciones.
4.0. La delta de Dirac como distribución.
Ya hemos visto unos conceptos básicos sobre distribuciones. Si el lector quiere
más información sobre el tema existe mucha bibiografía referente a este tema.
Nosotros ahora nos centraremos en la Delta de Dirac que es tema principal de
este
artículo.
Entre muchas de las propiedades habiamos visto que la delta era la derivada
de
un
Veámoslo:
Veamos como ejemplo cual sería la derivada de una delta:
escalón.
Así podemos ver que la derivada de la delta es una distribución que 'muestrea'
derivadas.