programa a código abierto en visual basic con entorno excel, de

“PROGRAMA A CÓDIGO ABIERTO EN VISUAL BASIC CON
ENTORNO EXCEL, DE ELEMENTOS FINITOS TIPO TRIÁNGULO,
PARA PROBLEMAS DE ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL”
Farfán Eduardo Daniel
Ingeniero Civil
Universidad Autónoma Juan Misael Saracho
[email protected]
RESUMEN
La aplicación del método de los elementos finitos sólo cobra real importancia
cuando es usado en un lenguaje de programación, por lo cual se hace necesario
generar una herramienta didáctica para su uso en las materias teóricas de
elementos finitos y afines.
Este trabajo de investigación versa en la creación de un programa de análisis
estructural a código abierto, en el lenguaje de programación Visual Basic con
entorno Excel, mediante el método de los elementos finitos, usando solamente al
elemento triangular lineal para determinar las deformaciones y esfuerzos de un
medio continuo para un material lineal, homogéneo e isótropo en elasticidad
bidimensional, en una condición plana de esfuerzos y de deformaciones.
El aporte científico del presente trabajo de investigación, es la particularidad que
tiene el programa en organizar la matriz de rigidez de cada elemento y a la matriz
ensamblada como tal, en función a los grados de libertad desconocidos y conocidos.
Se da validez de la confiabilidad y eficiencia que tiene el programa al demostrar la
semejanza de los resultados con soluciones analíticas preestablecidas.
ABSTRACT
The application of the finite element method takes real importance only when it is
used in a programming language, so it is necessary to generate a teaching tool for
use in theoretic subject related finite elements.
This research deals with the creation of a structural analysis program to open
source in the programming language Visual Basic with Excel environment by finite
element method, using only the lineal triangular element to determine the strains and
stresses of a continuous medium for a lineal, homogeneous and isotropic twodimensional elasticity, in a flat condition of effort and strain material
The scientific contribution of this research is the special feature that has the
program organizing the stiffness matrix of each element and the joined matrix as
such, according to the known and unknown degrees of freedom.
Validity of the reliability and efficiency that has the program by demonstrating
similarity of the results with analytical solutions is given preset.
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PLANTEAMIENTO
La potencia y funcionalidad del método de los elementos finitos lo ha convertido
en una herramienta importante para la investigación teórica y experimental en
aplicaciones de la mecánica de sólidos. De igual forma, el método participa cada vez
más en la ingeniería de diseño y construcción, principalmente en la Ingeniería
Estructural.
La intervención del computador como medio para la aplicación del método de los
elementos finitos en la simulación de problemas con muchos grados de libertad,
exige que el estudiante, además de comprender el método, programe y automatice
el procedimiento de cálculo.
La investigación propuesta busca mediante la aplicación del lenguaje de
programación Visual Basic, enriquecer la base conceptual de programación y el
criterio para el análisis de elementos estructurales mediante el método de los
elementos finitos.
Para lograr el cumplimiento de los objetivos de estudio, se acude a la creación de
un programa informático o software didáctico a código abierto bajo el método de los
elementos finitos tipo triángulo, que expresen el comportamiento más lógico y real
de un elemento estructural.
Esta investigación propuesta ayudara a la mayor parte de los proyectistas
estructurales y usuarios a ser partícipes activamente del proceso de aprendizaje en
el tema, observando, entendiendo y desarrollando progresivamente cada una de las
etapas de cálculo en forma analítica y con el software, para la determinación de los
esfuerzos y deformaciones en una condición plana de esfuerzos o de deformaciones
de manera eficiente y rápida.
OBJETIVOS
Los objetivos desarrollados en el presente trabajo de investigación son:
General.- El objetivo general es:
Crear un programa de análisis estructural a código abierto en Visual Basic con
entorno Excel, de elementos finitos tipo triángulo, para problemas de
elasticidad bidimensional.
Específicos.- Entre los objetivos específicos citamos:
Determinar las deformaciones y esfuerzos de un sólido sometido a fuerzas
estáticas en condición plana de esfuerzos o de deformaciones, en los vértices
del elemento finito tipo triángulo, considerando que el material es elástico,
lineal, homogéneo e isótropo.
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Motivar, estimular y facilitar el aprendizaje del método de los elementos finitos
en el campo de la ingeniería civil, a través del uso de subrutinas
preestablecidas.
Analizar cada procedimiento y desarrollar nuevos procesos de cálculo que le
permitan al usuario una transparencia y flexibilidad del programa.
Generar una herramienta didáctica para su uso en las materias teóricas de
elementos finitos y afines, ya que la aplicación del método de los elementos
finitos sólo cobra real importancia cuando es usado en un lenguaje de
programación.
Generar una línea de investigación en análisis numérico, empleando una
metodología preestablecida, como el lenguaje de programación y el entorno
de la entrada y salida de datos.
ESTADO DEL ARTE
Concepto de mecánica del medio continuo: La mecánica del medio continuo o
simplemente mecánica del continuo estudia el comportamiento mecánico de los
sólidos y los fluidos en una escala macroscópica, ignorando la naturaleza
discontinua del material, el cual se considera uniformemente distribuido en la
totalidad del cuerpo.
Elemento finito triangular lineal: El elemento triangular lineal es un elemento
finito bidimensional de aproximación lineal de 3 nudos, cuya función de aproximación
o interpolación está definida por:
(1)
Donde:
→
Coordenadas de cualquier punto interno.
→
Valor correspondiente al punto interno.
→
Constantes a definir del plano que pasa por los valores nodales.
La expresión (1) se conoce como un polinomio lineal completo en dos variables
independientes, porque contiene todos los términos posibles de grado menor o igual
a uno. Las tres constantes independientes
pueden determinarse si se
especifican tres valores de , lo cual explica por qué el triángulo de tres nodos es el
elemento lineal ‘’natural’’ en dos dimensiones.
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Figura 1. Elemento finito triangular lineal.
La función de aproximación puede ser escrita como:
(2)
Donde:
→
Valores nodales conocidos.
Tabla 2: Funciones de forma.
Donde
es el área del elemento triangular lineal,
son
denominadas funciones de forma y donde las constantes
están en función de
las coordenadas del triángulo (Figura 1) definidas por:
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Tabla 3: Constantes a,b,c del elemento finito triangular.
En formato matricial la función de aproximación es:
(3)
El operador nabla afectado por la función de aproximación resulta:
Donde se define a la matriz de operadores diferenciales
como:
Matriz constitutiva
del sólido elástico: El comportamiento mecánico real de
los materiales es bastante complejo, sin embargo es posible establecer la relación
entre el esfuerzo y la deformación mediante modelos matemáticos denominados
modelos constitutivos.
Escribiendo en un formato matricial la relación existente entre los esfuerzos y
deformaciones resulta:
(6)
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Donde la matriz
está definida por:
Tabla 4: Componentes de la matriz constitutiva de un sólido elástico
bidimensional.
Método de los elementos finitos aplicado a la teoría de la elasticidad: Del
planteamiento de los trabajos virtuales aplicable a la mecánica del medio continuo y
el análisis estructural, se define a la matriz de rigidez del elemento finito triangular
lineal como:
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Donde:
Tabla 5: Componentes de la matriz de rigidez del elemento finito triangular.
Conocida la matriz de rigidez y el vector de fuerzas de cada elemento, se procede
a ensamblar las matrices y vectores globales de la forma:
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Donde
es la matriz de rigidez y
el vector de fuerzas ensamblado, lo que
permite encontrar el vector de desplazamientos desconocidos
de la expresión:
(11)
Una vez resuelto el sistema de ecuaciones lineales, se determina el
, para luego determinar el vector de
desplazamiento nodal de cada elemento
deformaciones
como:
(12)
Siendo:
Donde:
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
A continuación se analizará dos tipos de ejercicios de aplicación usando el
programa desarrollado. En el primer ejercicio se muestra una aplicación de la
mecánica de suelos, con la finalidad de obtener la distribución de esfuerzos
verticales que se producen debido a la acción de una cimentación continua sobre el
suelo, comparando los resultados obtenidos con la teoría de Boussinesq.
Posteriormente en el segundo ejercicio se analizara la distribución de esfuerzos
horizontales de una viga simplemente apoyada el cual presenta un agujero
concéntrico rectangular, y está sometido a una carga uniforme de superficie, más su
peso propio.
Ejercicio N°1: Se tiene un suelo de arena fina (Figura 5.1), cuyas dimensiones
para fines de este ejercicio son: 15 m de ancho ,12 m de profundidad y 1 m de largo.
Estas dimensiones se adoptaron de modo que se pueda apreciar de manera clara y
precisa el bulbo de presiones. La cimentación continua descansa sobre una sección
unitaria de 1 m por 1 m, cuya fuerza de superficie aplicada al suelo es de
. El
suelo presenta un módulo de elasticidad o módulo de Young
coeficiente de Poisson de
y un
.
Figura 6: Suelo de arena fina.
Para analizar los esfuerzos verticales del programa con la teoría de Boussinesq,
usaremos la ecuación de Terzagui y Carothers, definidas como:
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Donde:
Ángulo formado entre los lados
y
, en
Ángulo formado con la vertical y el lado
, en
Ángulo formado con la vertical y la recta que forma
con el lado
, en
En la Figura 7 se muestra las variables presentes de la ecuación de Terzagui y
Carothers:
Figura 7: Distribución de esfuerzos bajo una carga rectangular de longitud infinita.
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Para el programa se definió dos tipos de malla de elementos finitos, las cuales
describiremos a continuación:
Malla No1: En la figura 8 se muestra a la malla de elementos finitos con 403
nudos y 720 elementos, dividida por elementos tipo triángulo:
Figura 8: Malla No 1 de elementos finitos.
Comparando los valores de la ecuación (17) con los del programa respecto de la
sección de estudio tenemos:
Tabla 9: Datos obtenidos con el programa (Malla No1) y la teoría de Boussinesq.
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Malla No2: En la figura 10 muestra la malla de elementos finitos con 775 nudos y
1440 elementos, dividida por elementos tipo triángulo:
Figura 10: Malla No 2 de elementos finitos.
Comparando los valores de la ecuación (17) con los del programa respecto
respecto de la sección de estudio tenemos:
Tabla 11: Datos obtenidos con el programa (Malla No2) y la teoría de Boussinesq.
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A continuación se presenta la distribución de esfuerzos verticales generadas en
las dos mallas:
Figura 12: Distribución de esfuerzos verticales
Malla No 1.
Figura 13: Distribución de esfuerzos verticales
Malla No 2
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Ejercicio N°2: Una viga simplemente apoyada el cual presenta un agujero
concéntrico rectangular de 0,25m x 0.10m Figura 14 se encuentra sometida a una
carga de superficie uniformemente distribuida de
además de su peso propio.
El elemento es de Hormigón, con peso específico
elasticidad longitudinal
y coeficiente de Poisson
, con módulo de
.
Figura 14: Viga simplemente apoyada con agujero concentrico rectangular.
Malla No1: La malla de elementos finitos está comprendida por 224 nudos y 376
elementos, dividida por elementos tipo triángulo:
La distribución de esfuerzos generados en toda la viga a través del programa en
la malla de elementos finitos es:
Figura 15: Distribución de esfuerzos
(KN/m2)
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CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Conclusiones.- Las conclusiones al finalizar el trabajo de investigación es:
El programa desarrollado tiene por finalidad realizar el análisis estructural de
cualquier tipo de sólido bidimensional, que goce de las condiciones de un
material lineal, homogéneo e isótropo en una condición plana de esfuerzos y
de deformaciones.
Nos permite hacer un análisis en todo el continuo del sólido.
El método de los elementos finitos (M.E.F) es el método más utilizado y
exacto en la actualidad para el análisis estructural, cobrando real importancia
solamente cuando es escrito en un lenguaje de programación.
El (M.E.F) nos permite hacer un análisis de todo el continuo del sólido y se
pudo evidenciar la versatilidad que tiene el método en una condición plana de
esfuerzos o deformaciones aplicable en cualquier tipo de geometría.
En aquellos lugares donde exista cambio brusco de sección o concentración
de esfuerzos, es necesario hacer más finita la malla de elementos finitos.
Se logró dar validez, de la confiabilidad y eficiencia que tiene el programa al
demostrar la semejanza de los resultados con soluciones analíticas
preestablecidas.
Se pone en evidencia que en aquellos lugares en los cuales existe un cambio
brusco de sección existe una concentración grande de esfuerzos, como así
también en la zona de apoyo los esfuerzos disminuyen de forma
considerable, aspectos que son de importancia a la hora de diseño.
Este programa también es aplicable a aquellos sólidos los cuáles presenten
una sección variable o hueca, debido a que la matriz de rigidez creada en el
programa es la matriz de rigidez del medio continuo, por lo tanto se podrá
analizar el sólido sin importar la geometría que presente.
Recomendaciones.- Las recomendaciones de este presente trabajo de
investigación son:
No se puede ingresar datos de momentos puntuales, sino como un par de
fuerzas.
Aproximar la solución del problema elástico, aumentando el número de
elementos finitos.
En el ingreso de datos, las fuerzas de superficie deben ser necesariamente
uniformes.
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El programa solo permite ingresar datos de las componentes de fuerzas que
estén contenidas en el plano de estudio y no así aquellas componentes de
fuerzas que estén fuera del plano.
Usar este programa en aplicaciones didácticas, como una herramienta en las
materias teóricas de elementos finitos y afines.
COLABORADORES
Tutor: Ing. MsC. Fabián Cabrera Exeni.
BIBLIOGRAFIA
La bibliografía consultada en el presente trabajo de investigación es el siguiente:
R. K. LIVESLEY “Elementos finitos introducción para ingenieros”, Editorial
Limusa, S.A, México D.F.
O. C. ZIENKIEWICZ “El método de los elementos finitos”.
CELIGUETA LIZARZA JUAN TOMÁS “Método de los Elementos Finitos para
Análisis Estructural” Tercera edición, Septiembre 2008.
LINERO S. DORIAN y GARZÓN A. Diego “Elementos de la mecánica del
medio continuo para cuerpos sólidos” Volumen 1, Universidad Nacional de
Colombia Bogotá 2010.
ANDREW Pytel y FERDINAND L. Singer “Resistencia de materiales”, Cuarta
edición.
RUSSELL C. HIBBELER “Análisis Estructural“, Tercera edición.
JUÁREZ BADILLO, RICO RODRÍGUEZ “Mecánica de suelos”, Tomo 2 Teoría
y Aplicaciones de la Mecánica de Suelos, LIMUSA Noriega Editores.
DELGADO VARGAS MANUEL, “Interacción suelo – estructura”, Editorial
Escuela Colombiana de Ingeniería. Colombia 1999.
P. JIMENEZ MONTOYA, A. GARCIA MESEGUER y F. MORAN CABRE
“Hormigón Armado”, Tomo I 13.a Edición (Ajustada a la Instrucción EH-91).
HWEI P. HSU “Análisis Vectorial” Fondo educativo Interamericano, S.A.
LUIS A. SANTALÓ “Vectores y Tensores Con Sus Aplicaciones”, Editorial
Universitaria de Buenos Aires EUDEBA.
LOUIS LEITHOLD “El cálculo”, Séptima edición.
HOWARD ANTON “Introducción al álgebra lineal” Segunda edición, Limusa
Noriega Editores.
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FOTOGRAFÍA
Nombre y Apellidos: Farfán Eduardo Daniel
Profesión: Ingeniero Civil
País: Bolivia
Edad: 25 años
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