Integrales Trigonométricas (II) Potencias

Integrales Trigonométricas (II)
Potencias Trigonométricas (IV)
Para la sección IV y V, usaré las mismas reglas de antes. Las reglas de la tangente se aplicarán a
la cotangente y las reglas de secante se aplicarán a la cosecante. Puedo decir que no hay casi nada
nuevo al momento de trabajar con cotangente y cosecante.
IV.) Potencias de la Cotangente y la Cosecante (Separadas)
Para el primer ejemplo resolveré una integral de la forma
Z
cotn (x)dx
Recuerda, trataré los exponentes de la cotangente como trataba los exponentes de la tangente.
Z
Ejemplo 11: Resuelve
cot3 (θ)dθ
Usaré el mismo método que con la tangente. Separaré un factor cot2 (θ) y transformaré este factor
a csc(θ) usando la identidad cot2 (θ) = csc2 (θ) − 1.
Z
cot(θ)[cot2 (θ)dθ] =
Z
=
Z
cot(θ)[csc2 (θ) − 1]dθ
cot(θ)csc2 (θ)dθ −
Z
cot(θ)dθ
En la primera integral usa la sustitución u = cot(θ) → du = −csc2 (θ)dθ. Sin más procedimientos
llego a la respuesta
=−
cot2 (θ)
− ln|sen(θ)| + K
2
1
Para el siguiente ejemplo resolveré una integral de la forma
Z
cscn (x)dx
Para este caso recuerda que debo hacer integración por partes. Separaré un factor csc2 (x) y diré
dv = csc2 (x)dx → v = −cot(x). La u será lo que queda.
Z
csc3 (x)dx
Ejemplo 12: Evalúa
Separo un factor csc2 (x)
Z
csc(x)[csc2 (x)dx]
Aplicando integración por partes, dv = csc2 (x)dx → v = −cot(x) y u = csc(x) → du =
−csc(x)cot(x)dx, usando la fórmula conocida
Z
csc3 (x)dx = −csc(x)cot(x) −
Z
csc(x)cot2 (x)dx
En la integral que tengo, separo un factor csc(x)cot(x)
Z
= −csc(x)cot(x) −
2