MMAF: Espacios normados y espacios de Banach

MMAF: Espacios normados y espacios de Banach
Licenciatura en Estadı́stica
R. Álvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla
Curso 2011/2012
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
MMAF: Espacios normados y espacios de Banach
Espacios vectoriales
Definición
Sea V un conjunto de elementos sobre el cual están definidas las
operaciones suma “+” de dos elementos x, y de V y
multiplicación “·” de un escalar (número real) α por un elemento
de V . V es un espacio vectorial si
1 ∀x, y ∈ V , el vector suma, w = x + y ∈ V y se cumple que:
1
2
3
4
2
x +y =y +x
(x + y ) + z = x + (y + z)
Existe un elemento “nulo” de V , tal que x + 0 = 0 + x = x
Cualquiera sea el vector x de V , existe el elemento (−x)
“opuesto” a x, tal que x + (−x) = (−x) + x = 0.
∀x ∈ V , el vector w = α · x ∈ V y se cumple que:
1
2
3
4
α · (x + y ) = α · x + α · y
(α + β) · x = α · x + β · x
α · (β · x) = (αβ) · x
1·x =x
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Ejemplos de espacios vectoriales
1
2
3
El conjunto de los vectores de Rn cuando la suma de dos
vectores y la multiplicación por un escalar es la estándard.
El conjunto Rm×n de las matrices m × n cuando la suma de
dos matrices y la multiplicación por un escalar es la estándard.
El conjunto Pn de los polinomios de grado a lo sumo n
Pn = {pn (t) = a0 +a1 t+· · ·+an t n ,
a0 , ..., an números reales.},
donde definimos
p(t) = a0 + a1 t + · · · + an t n ,
q(x) = b0 + b1 t + · · · + bn t n ,
(p + q)(t) ≡ p(t) + q(t) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )t + · · · + (an + bn )t n ,
(α · p)(t) ≡ α p(t) = (αa0 ) + (αa1 )t + · · · + (αan )t n .
4
Además, pn = 0, si y sólo si a0 = a1 = · · · = an = 0.
El conjunto C[a,b] de las funciones continuas en [a, b]
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Subespacios vectoriales
Definición
Sea V un espacio vectorial. Diremos que un subconjunto H de
elementos de V es un subespacio vectorial de V si H es a su vez
un espacio vectorial respecto a las mismas operaciones suma “+” y
multiplicación “·” que V .
Ejemplos.
1
Dado un espacio vectorial V , son subespacios vectoriales
“triviales” los subespacios H = {0} (conjunto que tiene como
único elemento, el nulo) y H = V (el mismo espacio
vectorial).
2
Para V = C[a,b] , H = Pn es un subespacio vectorial, para
cualquier n = 0, 1, 2, ... entero.
3
Para V = Pn , H = Pk es un subespacio vectorial para todo
k < n.
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Subespacios vectoriales
Teorema
Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial
de V si y sólo si se cumple que
Para todos x e y , vectores de H y α, β ∈ R el vector
w = αx + βy también es un vector de H.
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Subespacios vectoriales
Teorema
Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial
de V si y sólo si se cumple que
Para todos x e y , vectores de H y α, β ∈ R el vector
w = αx + βy también es un vector de H.
Al vector v = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp , x1 , . . . , xp ∈ R,
se le denomina combinación lineal de los vectores v1 , v2 , ..., vp .
Sea span (v1 , v2 , ..., vp ) el conjunto de todas las combinaciones
lineales de los vectores v1 , v2 , ..., vp ∈ V
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Subespacios vectoriales
Teorema
Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial
de V si y sólo si se cumple que
Para todos x e y , vectores de H y α, β ∈ R el vector
w = αx + βy también es un vector de H.
Al vector v = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp , x1 , . . . , xp ∈ R,
se le denomina combinación lineal de los vectores v1 , v2 , ..., vp .
Sea span (v1 , v2 , ..., vp ) el conjunto de todas las combinaciones
lineales de los vectores v1 , v2 , ..., vp ∈ V
Teorema
span (v1 , v2 , ..., vp ) es un subespacio vectorial de V .
Dicho subespacio vectorial comúnmente se denomina subespacio
generado por los vectores v1 , v2 , ..., vp .
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Conjuntos linealmente independientes
Definición
Un conjunto de vectores v1 , v2 , ..., vp de un espacio vectorial V se
denomina linealmente independiente si la ecuación vectorial
x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0,
x1 , x2 , · · · , xp ∈ R
tiene como única solución la trivial x1 = · · · = xp = 0.
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Conjuntos linealmente independientes
Definición
Un conjunto de vectores v1 , v2 , ..., vp de un espacio vectorial V se
denomina linealmente independiente si la ecuación vectorial
x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0,
x1 , x2 , · · · , xp ∈ R
tiene como única solución la trivial x1 = · · · = xp = 0.
Definición
Un conjunto de vectores v1 , v2 , ..., vp se denomina linealmente
dependiente si existen x1 , x2 , · · · , xp ∈ R no todos iguales a cero
tales que se verifique la ecuación vectorial
x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0.
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Importancias de los vectores li: Bases
Definición
Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V . El conjunto
de vectores B = {b1 , b2 , ..., bp } de V es una base de H si
i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes
ii) H = span (b1 , b2 , ..., bp ), o sea, B genera a todo H.
En particular si H coincide con V , entonces B es una base de todo
el espacio vectorial V .
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Importancias de los vectores li: Bases
Definición
Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V . El conjunto
de vectores B = {b1 , b2 , ..., bp } de V es una base de H si
i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes
ii) H = span (b1 , b2 , ..., bp ), o sea, B genera a todo H.
En particular si H coincide con V , entonces B es una base de todo
el espacio vectorial V .
Ejemplo 1: Las n columnas a1 , ..., an de una matriz invertible
n × n, son li y además Rn = span (a1 , ..., an ). Por tanto
B = a1 , ..., an es una base de Rn . Si A = In , es la matriz identidad
n × n, las columnas e1 , e2 , ..., en de la misma son la base canónica
de Rn .
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Importancias de los vectores li: Bases
Definición
Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V . El conjunto
de vectores B = {b1 , b2 , ..., bp } de V es una base de H si
i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes
ii) H = span (b1 , b2 , ..., bp ), o sea, B genera a todo H.
En particular si H coincide con V , entonces B es una base de todo
el espacio vectorial V .
Ejemplo 1: Las n columnas a1 , ..., an de una matriz invertible
n × n, son li y además Rn = span (a1 , ..., an ). Por tanto
B = a1 , ..., an es una base de Rn . Si A = In , es la matriz identidad
n × n, las columnas e1 , e2 , ..., en de la misma son la base canónica
de Rn .
Ejemplo 2: El conjunto de vectores S = {1, t, t 2 , ..., t n } ∈ Pn es
li, además span (1, t, t 2 , ..., t n ) = Pn . Luego S es una base de Pn
(canónica).
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Bases y dimensión del espacio
Teorema
Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores
B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con más de n
vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio
vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces
cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V .
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Bases y dimensión del espacio
Teorema
Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores
B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con más de n
vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio
vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces
cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V .
El menor número de vectores linealmente independientes que
generan un espacio vectorial es una propiedad intrı́nseca de dicho
espacio y se denomina dimensión del espacio vectorial.
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Bases y dimensión del espacio
Teorema
Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores
B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con más de n
vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio
vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces
cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V .
El menor número de vectores linealmente independientes que
generan un espacio vectorial es una propiedad intrı́nseca de dicho
espacio y se denomina dimensión del espacio vectorial.
IUn espacio vectorial V es de dimensión finita n si V está
generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n.
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Bases y dimensión del espacio
Teorema
Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores
B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con más de n
vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio
vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces
cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V .
El menor número de vectores linealmente independientes que
generan un espacio vectorial es una propiedad intrı́nseca de dicho
espacio y se denomina dimensión del espacio vectorial.
IUn espacio vectorial V es de dimensión finita n si V está
generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n.
IEl espacio nulo {0} tiene dimensión 0.
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Bases y dimensión del espacio
Teorema
Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores
B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con más de n
vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio
vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces
cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V .
El menor número de vectores linealmente independientes que
generan un espacio vectorial es una propiedad intrı́nseca de dicho
espacio y se denomina dimensión del espacio vectorial.
IUn espacio vectorial V es de dimensión finita n si V está
generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n.
IEl espacio nulo {0} tiene dimensión 0.
ISi V no puede ser generado por una base finita, entonces V es
de dimensión infinita: dim V = ∞.
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Bases y dimensión del espacio
Teorema
Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores
B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con más de n
vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio
vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces
cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V .
El menor número de vectores linealmente independientes que
generan un espacio vectorial es una propiedad intrı́nseca de dicho
espacio y se denomina dimensión del espacio vectorial.
IUn espacio vectorial V es de dimensión finita n si V está
generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n.
IEl espacio nulo {0} tiene dimensión 0.
ISi V no puede ser generado por una base finita, entonces V es
de dimensión infinita: dim V = ∞.
Ejemplos: dim Rn = n, dim Pn = n + 1, dim C[a,b] = ∞.
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Espacios normados y de Banach
Definición
Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo
x ∈ X existe un número real denominado norma, y que
denotaremos por kxk, que cumple con las condiciones
1
∀x ∈ X, kxk ≥ 0 y si kxk = 0 entonces x = 0.
2
∀x ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk.
3
∀x, y ∈ X, se tiene la des. triang. kx + y k ≤ kxk + ky k.
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Espacios normados y de Banach
Definición
Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo
x ∈ X existe un número real denominado norma, y que
denotaremos por kxk, que cumple con las condiciones
1
∀x ∈ X, kxk ≥ 0 y si kxk = 0 entonces x = 0.
2
∀x ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk.
3
∀x, y ∈ X, se tiene la des. triang. kx + y k ≤ kxk + ky k.
Si en un espacio normado X definimos la func. ρ(x, y ) = kx − y k,
esta satisface los axiomas de la definición de espacio métrico, i.e.,
todo espacio normado es un espacio métrico. La ρ anterior se
denomina métrica inducida por la norma.
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Espacios normados y de Banach
Definición
Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo
x ∈ X existe un número real denominado norma, y que
denotaremos por kxk, que cumple con las condiciones
1
∀x ∈ X, kxk ≥ 0 y si kxk = 0 entonces x = 0.
2
∀x ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk.
3
∀x, y ∈ X, se tiene la des. triang. kx + y k ≤ kxk + ky k.
Si en un espacio normado X definimos la func. ρ(x, y ) = kx − y k,
esta satisface los axiomas de la definición de espacio métrico, i.e.,
todo espacio normado es un espacio métrico. La ρ anterior se
denomina métrica inducida por la norma.
Definición
Un espacio normado completo (en la métrica inducida por la
norma) se denomina espacio de Banach.
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Ejemplos
Ejemplo
X = Rn (Cn ), con la norma kxk =
Banach.
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pPn
2
k=1 |xk | ,
es un espacio de
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Ejemplos
Ejemplo
X = Rn (Cn ), con la norma kxk =
Banach.
pPn
2
k=1 |xk | ,
es un espacio de
Ejercicio
¿Qué ocurre con X = Rn (Cn ) si usamos las normas
P
kxk = ( nk=1 |xk |p )1/p , p ≥ 1? ¿Y con la norma
kxk = maxk=1,...,n |xk |?
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Ejemplos
Ejemplo
X = Rn (Cn ), con la norma kxk =
Banach.
pPn
2
k=1 |xk | ,
es un espacio de
Ejercicio
¿Qué ocurre con X = Rn (Cn ) si usamos las normas
P
kxk = ( nk=1 |xk |p )1/p , p ≥ 1? ¿Y con la norma
kxk = maxk=1,...,n |xk |?
Ejemplo
R
1/p
b
Sea X = C[a,b] y definamos la norma kf k = a |f (x)|p
,
p ≥ 1. Este espacio es un espacio normado pero no de Banach
(¿por qué?).
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Ejemplos
Ejemplo
Sea X = C[a,b] . Definamos la norma kf k = maxx∈[a,b] |f (x)|. Este
espacio es un espacio de Banach.
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Ejemplos
Ejemplo
Sea X = C[a,b] . Definamos la norma kf k = maxx∈[a,b] |f (x)|. Este
espacio es un espacio de Banach.
Ejemplo
Sea ahora X el espacio de todas lasPsucesiones
p
x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) reales t.q. ∞
k=1 |xk | < +∞ con la norma
P∞
kxk = ( k=1 |xk |p )1/p , p ≥ 1. Dicho espacio lo denotaremos por
lp y es un espacio de Banach.
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Ejemplos
Ejemplo
Sea X = C[a,b] . Definamos la norma kf k = maxx∈[a,b] |f (x)|. Este
espacio es un espacio de Banach.
Ejemplo
Sea ahora X el espacio de todas lasPsucesiones
p
x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) reales t.q. ∞
k=1 |xk | < +∞ con la norma
P∞
kxk = ( k=1 |xk |p )1/p , p ≥ 1. Dicho espacio lo denotaremos por
lp y es un espacio de Banach.
Ejercicio
Decide si el espacio X de todas las sucesiones reales
x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) acotadas con la métrica kxk = supk∈N |xk |,
es un espacio de Banach.
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¿Todo espacio métrico es normado?
Sea X el espacio de todas las sucesiones reales
x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) con la métrica
ρ(x, y ) =
∞
X
1 |xj − yj |
.
2j 1 + |xj − yj |
j=1
Esta métrica no puede ser inducida por ninguna norma ya que de
ella nunca podremos obtener la propiedad x∀ ∈ X y λ ∈ R,
kλxk = |λ|kxk, de la norma.
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¿Todo espacio métrico es normado?
Sea X el espacio de todas las sucesiones reales
x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) con la métrica
ρ(x, y ) =
∞
X
1 |xj − yj |
.
2j 1 + |xj − yj |
j=1
Esta métrica no puede ser inducida por ninguna norma ya que de
ella nunca podremos obtener la propiedad x∀ ∈ X y λ ∈ R,
kλxk = |λ|kxk, de la norma.
Lema
Sea X un espacio normado. Entonces, la métrica ρ inducida por la
norma satisface las condiciones
1
ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y ),
2
ρ(λx, λy ) = |λ|ρ(x, y ).
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Espacios normados vs Espacios métricos
En los espacios normados podemos definir la conv. de sucesiones,
suc. de Cauchy, etc. Basta considerarlos como espacios métricos
con la métrica ρ inducida por la norma: ρ(x, y ) = kx − y k.
Algunas definiciones son algo más sutiles:
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Espacios normados vs Espacios métricos
En los espacios normados podemos definir la conv. de sucesiones,
suc. de Cauchy, etc. Basta considerarlos como espacios métricos
con la métrica ρ inducida por la norma: ρ(x, y ) = kx − y k.
Algunas definiciones son algo más sutiles:
Definición
Sea X un espacio normado y sea M un subespacio vectorial de X.
Si M es un espacio normado con la norma de X restringida a M se
dice que M es un subespacio de X. Si M es cerrado en X entonces
se dice que es un subespacio cerrado.
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Espacios normados vs Espacios métricos
En los espacios normados podemos definir la conv. de sucesiones,
suc. de Cauchy, etc. Basta considerarlos como espacios métricos
con la métrica ρ inducida por la norma: ρ(x, y ) = kx − y k.
Algunas definiciones son algo más sutiles:
Definición
Sea X un espacio normado y sea M un subespacio vectorial de X.
Si M es un espacio normado con la norma de X restringida a M se
dice que M es un subespacio de X. Si M es cerrado en X entonces
se dice que es un subespacio cerrado.
Definición (En los espacios normados podemos definir las series:)
Sea una suc. (xn )n de un espacio normado X definiremos la
n
X
sucesión (sn )n de sumas parciales por sn =
xk ,
∀n ∈ N. Si
k=1
sn → s ∈ X (en norma), diremos que la serie es P
converge en X y s
es su suma. La serie converge absolutamente si nk=1 kxk k < +∞.
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Series en espacios normados
Teorema
Sea X un espacio de Banach (normado y completo). Entonces
toda serie absolutamente convergente es convergente.
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Series en espacios normados
Teorema
Sea X un espacio de Banach (normado y completo). Entonces
toda serie absolutamente convergente es convergente.
El teorema anterior no es cierto si X no es completo.
Ejercicio
Prueba que si X es un espacio normado, entonces toda serie
absolutamente convergente es convergente si y sólo si X es
completo.
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Series en espacios normados
Teorema
Sea X un espacio de Banach (normado y completo). Entonces
toda serie absolutamente convergente es convergente.
El teorema anterior no es cierto si X no es completo.
Ejercicio
Prueba que si X es un espacio normado, entonces toda serie
absolutamente convergente es convergente si y sólo si X es
completo.
Teorema (¡Todo espacio normado se puede completar!)
Sea (X, k.k) un espacio normado. Entonces existe un espacio de
b y una isometrı́a A de X en W ⊂ X,
b tal que W es denso
Banach X
b Además, X
b es único excepto isometrı́as.
en X.
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Base de Schauder
Definición
Sea X un espacio normado y sea M un subespacio vectorial de X.
Si M es un espacio normado con la norma de X restringida a M se
dice que M es un subespacio de X. Si M es cerrado en X entonces
se dice que es un subespacio cerrado.
Definición
Sea X un espacio normado. Sea (en )n una sucesión de elementos
de X tal que, para todo x ∈ X, existe una única sucesión de
n→∞
escalares (αn )n tales que kx − (α1 e1 + · · · + αn en k −→ 0. Dicha
sucesión se denomina base de Schauder.
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Base de Schauder y separabilidad
Ejemplo
Sea X el espacio l p de las sucesiones y sea (en )n la sucesión
ek = δi,k , i.e., la sucesión de vectores de l p con 1 en la posición
k y 0 en el resto. Probemos que dicha sucesión es una base de
p tenemos
Schauder. En efecto, para todo x ∈ lP
x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . ). Sea sn = nk=1 xk ek . Como x ∈ l p ,
entonces
!1/p
∞
X
n→∞
p
−→ 0.
lim ksn − sk = lim
|xk |
n→∞
n→∞
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k=n+1
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Base de Schauder y separabilidad
Ejemplo
Sea X el espacio l p de las sucesiones y sea (en )n la sucesión
ek = δi,k , i.e., la sucesión de vectores de l p con 1 en la posición
k y 0 en el resto. Probemos que dicha sucesión es una base de
p tenemos
Schauder. En efecto, para todo x ∈ lP
x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . ). Sea sn = nk=1 xk ek . Como x ∈ l p ,
entonces
!1/p
∞
X
n→∞
p
−→ 0.
lim ksn − sk = lim
|xk |
n→∞
n→∞
k=n+1
Ejercicio
Prueba que si un espacio normado X tiene una base de Schauder,
entonces es separable.
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Espacios normados de dimensión finita
Lema (Lema técnico)
Sean n vectores cualesquiera x1 , . . . , xn linealmente independientes
de un espacio normado X. Entonces, existe un número real c > 0
tal que cuales quiera sean los escalares α1 , . . . , αn ,
kα1 x1 + · · · + αn xn k ≥ c(|α1 | + · · · + |αn |).
Demostración: Sea s = |α1 | + · · · + |αn |. Si s = 0 el lema es
trivial ası́ que asumiremos s > 0. Dividiendo por s 2 se sigue que 2
es equivalente a probar que si x1 , . . . , xn son linealmente
independientes, entonces existe un número real c > P
0 tal que
cuales quiera sean los los escalares β1 , . . . , βn , con nk=1 |βk | = 1
kβ1 x1 + · · · + βn xn k ≥ c.
La prueba será por reducción al absurdo.
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Prueba del Lema técnico
Entonces ha de existir (¿por qué?) una sucesión (ym )m ⊂ X tal que
(m)
(m)
ym = β1 x1 + · · · + βn xn ,
n
X
m→∞
(m)
|βk | = 1, y kym k −→ 0.
k=1
P
(m)
De la condición nk=1 |βk | = 1 se sigue que las n sucesiones
(m)
numéricas (βk )m , k = 1, . . . , n, son acotadas.
(m)
Sea la sucesión (β1 )m acotada, entonces por el T de B-W de ella
(mj ) j→∞
se puede extraer una subsucesión convergente β1
−→ β1 .
(m)
Escojamos de cada una de las sucesiones restantes (βk )m ,
k = 2, . . . , n, las subsucesiones definidas por los ı́ndices mj .
(mj )
Entonces (β2
)j es acotada y por B-W y podemos extraer una
(j ) l→∞
subsucesión convergente β2 l −→ β2 . Además, si escogemos los
(j )
l→∞
ı́ndices jl definidos, la subsucesión (β1 l )j −→ β1 (¿por qué?).
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Prueba del Lema técnico
Continuando este proceso n veces V ∃ una subsucesión de ı́ndices
(l ) i→∞
li t.q. βk i −→ βk , ∀k = 1, 2, . . . , n. Además, dicha sucesión de
ı́ndices define una subsucesión (yli )i de (ym )m t.q.
yli =
n
X
(l )
βk i xk ,
(l ) i→∞
βk i −→ βk
V lim yli =
i→∞
k=1
n
X
βk xk := y ,
k=1
n
X
|βk | = 1.
k=1
De lo anterior se sigue que no todos los βk = 0 al mismo tiempo.
Como los vectores x1 , . . . , xn son li Vy 6= 0 (¿por qué?). La
norma es una aplicación continua V
lim yli = y
i→∞
V
lim kyli k = ky k,
i→∞
m→∞
pero como kym k −→ 0, entonces limi→∞ kyli k = 0, luego
ky k = 0 de donde se sigue que y = 0 lo cual es una contradicción.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
MMAF: Espacios normados y espacios de Banach