UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO CALCULO II TIRO PARABOLICO

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO
CALCULO II
TIRO PARABOLICO
WILLIAM EDUARDO PALMER ALFONSO
2005-2
TIRO PARABOLICO.
El tiro parabólico es la composición de dos movimientos:
•
•
Uniforme a lo largo del eje X.
Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y.
Para resolver un problema de tiro parabólico es necesario seguir los siguientes
pasos:
1.-Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y los ejes horizontal X,
y vertical Y.
2.-Determinar el valor y el signo de la aceleración vertical.
3.-Las componentes de la velocidad inicial (incluido el signo).
4.-La posición inicial.
5.-Escribir las ecuaciones del movimiento.
6.-A partir de los datos, hallar las incógnitas.
Como el tiro parabólico es la composición de dos movimientos:
• movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo del eje X
• uniformemente acelerado a lo largo del eje Y
Las componentes de la velocidad son:
Así que las ecuaciones de movimiento bajo aceleración constante son:
Eliminado el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e y,
obtenemos la ecuación de la trayectoria, que tiene la forma:
y=ax2 +bx +c
Obtenemos la altura máxima, cuando la componente vertical de la velocidad Vy
es cero; el alcance horizontal x cuando el cuerpo retorna al suelo y=0.
Ejemplos del Tiro Parabólico.
1. Apuntar un cañón para dar en un blanco fijo.
2. Bombardear un blanco móvil desde un avión.
3. Otros casos, que involucran tiro parabólico.
Apuntar a un blanco fijo
Conocidas las coordenadas del blanco x e y, y la velocidad de disparo v0, se
despejará el ángulo de tiro θ.
Las componentes de la velocidad inicial son:
Las ecuaciones del movimiento del proyectil son:
Conocida la posición (x, y) del blanco, tenemos un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas t y θ. Eliminando t, y empleando la relación trigonométrica:
Nos queda una ecuación de segundo grado en tan θ.
La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, por tanto, dos ángulos de
tiro dan en el blanco.
Bombardeo desde un avión.
Cuando el avión deja caer la bomba, esta sale con la misma velocidad
horizontal que el avión, de modo que las componentes de su velocidad inicial
son v0x=v0 y v0y=0.
Conocida la altura a la que vuela el avión y su velocidad mediante las
ecuaciones del tiro parabólico se puede hallar fácilmente el alcance horizontal
de la bomba, es decir, la distancia desde el punto en que la dejó caer el piloto y
el impacto sobre el suelo.
Sea xa la posición del avión y sea xb la posición del móvil en el momento en el
que el piloto suelta la bomba. Para destruirlo, la distancia entre el avión y el
blanco deberá ser xa+vat=xb+vbt
tal como se ve en la figura. Donde t es el tiempo que tarda la bomba en
descender la altura h=gt2/2
A partir de estas relaciones, obtenemos la posición del avión xa en el momento
en el que tiene que soltar la bomba para acertar en el blanco, conocidos los
datos de la altura h, velocidad del avión va, la posición inicial del blanco x0b y
su velocidad vb.
Tiros a Canasta.
En este caso, sucede como en el basketball se tiene una distancia en x0 y en
y0, además de que se requiere que el objeto llegue a cierta altura.
Tiro parabólico a un blanco móvil.
En este caso tenemos un móvil que se acerca un M.U.R hacia el origen de
nuestro tiro parabólico, y por medio de las ecuaciones del tiro parabólico se
determina con que ángulo, velocidad se debe lanzar el proyectil para acertar en
el móvil.
Parábola de Seguridad.
El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.
Su valor máximo se obtiene para θ =45º, teniendo el mismo valor para
θ=45+a , que para θ =45-a . Por ejemplo, tienen el mismo alcance los
proyectiles disparados con ángulos de tiro de 40º y 60º, ya que
sen(2·40)=sen(2·60).
La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con vy=0.
Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º.
La envolvente de todas las trayectorias descritas por los proyectiles cuyo ángulo
de disparo está comprendido entre 0 y 180º se denomina parábola de
seguridad.
Esta denominación hace referencia al hecho de que fuera de esta parábola
estamos a salvo de los proyectiles disparados con velocidad v0.
Se trata de la parábola simétrica respecto del eje Y de ecuación y=-ax2+b que
pasa por los puntos (x=v02/g, y=0), y (x=0, y=v02/(2g)) tal como se ve en la
figura.
La ecuación de dicha parábola es:
Tiro parabólico a grandes velocidades.
Los cuerpos al ser lanzados hacia enfrente tienden a caer en un tiro parabólico,
pero cuando son lanzados a velocidades cercanas a la luz, rompen su
trayectoria parabólica y esta se convierte en una línea recta.
El Cálculo y El Tiro Parabólico.
La relación entre el cálculo y el tiro parabólico aparece en distintas ocasiones;
En las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración del movimiento uniforme
acelerado.
Mediante integración se puede conocer el área de acción de un tiro parabólico,
en el caso de aspersores, aviones cisterna en los incendios forestales, armas
químicas.
Y si estas últimas se colocan en plataformas giratorias por medio de sólidos de
revolución se puede determinar el volumen de acción de dichos eventos.
Bibliografía.
Encarta 2000. Microsoft Corporation.
FISICA. Ing. Constantino de Llano. Editorial Progreso. 1994. México D.F.
Calculo Diferencia e Integral. Granville. Limusa Editores. 2003. México D.f.
Versión en Español.