Ejercicios. Aplicaciones lineales y diagonalizacion

Escuela Politécnica Superior.
Álgebra. Más ejercicios 1.2: Aplicaciones lineales y Diagonalización.
1. Determina si las siguientes aplicaciones son lineales:
a)
b)
c)
d)
2. De
que
una
aplicación lineal
. Halla
y
se
sabe
que
3. Sea la aplicación lineal
;
f respecto de las bases B y B’ en los siguientes casos:
a)
y
Halla la matriz de
b)
c)
4. Halla la matriz del endomorfismo
definido en
por
respecto de la base canónica y calcula matricialmente la imagen del vector
endomorfismo .
por el
5. Sea la aplicación lineal
dada por
.
a) Halla la matriz asociada a respecto de las bases canónicas de ambos espacios vectoriales.
b) Halla la matriz de respecto de las bases
6. Dada la aplicación lineal
matriz del endomorfismo,
respecto de las bases
definida por
y
y respecto de las bases
y
7. Se considera la aplicación lineal
Calcula la matriz de
. Halla la
.
definida por
en la base canónica.
8. Dado el endomorfismo
, cuya matriz respecto a la base canónica es
.
Determina matricialmente la matriz del endomorfismo respecto de la base
9. Dado el endomorfismo
es
respecto de la base canónica
, cuya matriz respecto a las bases
. Halla matricialmente la matriz del endomorfismo
y
10. Sea
la aplicación lineal cuya matriz respecto de las bases
y
es
respecto de las bases
. Halla la matriz de
y
.
11. Halla una base del núcleo y otra de la imagen de las siguientes aplicaciones lineales:
a)
b)
c)
12. Dada la siguiente aplicación lineal
a) Halla la matriz respecto de las bases canónicas correspondientes
b) Halla una base del núcleo y otra de la imagen. Clasifica
c) Halla las ecuaciones cartesianas y paramétricas del
y de
d) Sea el subespacio vectorial de
,
.halla una base de
e) Determina
13. Sea la aplicación lineal
a) Halla la matriz respecto de las bases canónicas correspondientes
b) Determina una base del núcleo y otra de la imagen de . Clasifica
c) Halla las ecuaciones cartesianas y paramétricas del
y de
d) Halla una base de
e) ¿Pertenece
siendo
al subespacio imagen? ¿Y
14. Dado el endomorfismo
en
. Se pide:
?
definido por las ecuaciones
a) Da las ecuaciones cartesianas, una base y la dimensión de
b) Da las ecuaciones paramétricas, una base y la dimensión de
c) ¿Es inyectiva? ¿Y sobreyectiva?
d) Da
siendo
15. Dada la aplicación lineal
en función de los valores del parámetro a.
16. Sea un endomorfismo f en
, cuya matriz respecto de la base canónica es
. Clasifícala
.
Clasifica el endomorfismo para los distintos valores del parámetro a.
17. Calcula los valores propios y vectores propios del endomorfismo cuya matriz asociada es
a)
b)
18. Consideremos el endomorfismo
caracterizado por la matriz
cuando la base seleccionada en
es la canónica:
a) Determina los valores y vectores propios de f.
b) Calcula las dimensiones y una base de los subespacios propios asociados a los valores
propios.
c) ¿Es posible caracterizar el endomorfismo
mediante una matriz diagonal?
19. Dada la matriz
20. En el espacio vectorial
. Estudia si se puede diagonalizar.
se define el endomorfismo f tal que
a) Calcula sus valores propios, subespacios propios y una base de vectores propios, si es
posible.
b) ¿Es diagonalizable el endomorfismo? En caso afirmativo da la matriz diagonal que lo
caracteriza
21. En el espacio vectorial
se define un endomorfismo f tal que
:
a) Halla una matriz A que caracterice a f respecto de la base canónica.
b) Halla una matriz diagonal que caracterice a f.
c) Representando por D a la matriz del apartado anterior, halla una matriz regular P tal que
.
22. Sea un endomorfismo
definido por la matriz
respecto de
la base canónica
a) Calcula sus autovalores.
b) Determina, si es posible, una base de autovectores.
c) Halla, si es posible, la matriz asociada a f respecto a la base .
d) Relaciona la matriz A con la matriz determinada en el apartado anterior.
23. Sea
un endomorfismo en
cuya matriz asociada respecto de la base canónica es
.
a) Calcula los autovalores
b) Averigua para que valor de es
diagonalizable.
c) Halla, en el caso en que sea posible, una base de autovectores B, de
d) Da una matriz diagonal D que caracterice a respecto de la base B.
24. Sea
un endomorfismo en
.
cuya matriz asociada respecto de la base canónica es
.
a) Averigua para que valor de es
diagonalizable.
b) En el caso en que sea posible, halla una base de autovectores .
c) Da una matriz diagonal que caracterice a respecto de la base
d) ¿Qué relación existe entre las matrices y ?
e) Usa la relación anterior para calcular
25. a) Prueba que si
b) Prueba que si
26. Sea
es autovalor de
es autovalor de
el endomorfismo en
entonces, si existe
entonces,
,
es autovalor de
cuya matriz asociada es
.
es autovalor de
.
=
.
a) Averigua el valor de “a” para el que
es diagonalizable.
b) Halla, en el caso en que sea posible, una base de vectores propios de
.
c) Da los autovalores de
y los autovectores asociados a dichos autovalores.
27. Se considera la matriz
, siendo a y b números reales.
a) Calcula el polinomio característico de
y sus autovalores
b) ¿Para qué valores de a y b es diagonalizable la matriz ?
28. Se considera la matriz
, siendo a y b números reales.
a) Calcula el polinomio característico de
y sus autovalores
b) ¿Para qué valores de a y b es diagonalizable la matriz ?
29. Sabemos que la matriz
admite como vectores propios
. Hallar los elementos de dicha matriz y calcular sus autovalores.
.