¿QUÉ BACHILLERATO ES EL MEJOR PARA EL APRENDIZAJE DE

¿QUÉ BACHILLERATO ES EL MEJOR PARA EL
APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN
ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES?
Álvarez Martínez, Pedro
Corcho Sánchez, Paula
Guerrero Manzano, Mª del Mar
Facultad de Ciencias. Económicas y Empresariales
Universidad de Extremadura
Avda. de Elvas s/n
06071 Badajoz
e-mail: [email protected], [email protected] y [email protected]
ABSTRACT:
En los últimos años los profesores de Matemáticas de las Facultades de CC. EE
y Empresariales (LADE, LE, ...) venimos observando una discordancia entre los niveles
de Matemáticas exigidos en estas titulaciones y la formación matemática que han
adquirido estos alumnos en los centros de Enseñanza de Secundaria. La existencia de
tres tipos de bachilleratos (CC. Sociales, CC. de la Naturaleza y de la Salud, y
Tecnológico) suscita el interrogante de cuál de ellos es el más idóneo para cursar
estudios universitarios en las ramas de economía.
Los contenidos de las matemáticas de los tres Bachilleratos que se imparten en
la Comunidad Autónoma de Extremadura, recogidos en el decreto 86/2002, sirven de
base para analizar “el impacto” de los mencionados contenidos con los del programa de
Matemáticas impartido en la Facultad de CC EE y Empresariales de la Uex,
considerando el término “impacto” como la coincidencia de ambos contenidos. Este
trabajo muestra que el Bachillerato de mayor “impacto” es el de CC. De la Naturaleza y
de la Salud, seguido del de CC. Sociales y por último el Tecnológico.
Palabras clave: Bachillerato, Ciencias Económicas y Empresa, Comparación,
Contenidos, Matemáticas.
1. INTRODUCCIÓN
La adquisición de conocimientos matemáticos es un proceso lento, laborioso,
cuyo comienzo debe ser una prolongada actividad sobre elementos concretos, con
objeto de crear intuiciones que son un proceso previo al proceso de formalización. Este
proceso, de carácter continuado, se lleva a cabo en todas las etapas educativas. El
estudio de las matemáticas se inicia en Primaria, y se continúa en algunas modalidades
de Secundaria, y posteriormente, en algunas carreras universitarias.
En este trabajo vamos a analizar la relación existente entre los contenidos
matemáticos del bachillerato con los contenidos de Matemáticas en las titulaciones
vinculadas a la Economía en el ámbito de la Comunidad Autónoma extremeña.
La etapa del bachillerato comprende el intervalo de edad entre los 16 y los 18
años, por lo general coincidente con el final de la adolescencia y el tránsito a la
juventud, que permite encauzar los gustos y los intereses de cada alumno con una
adecuada orientación. Como etapa educativa que forma parte de la educación
secundaria, el bachillerato requiere una conexión con la Educación Secundaria
Obligatoria (E.S.O). que le precede, y, al mismo tiempo, culminar el proceso formativo
de los jóvenes para afrontar los retos académicos y profesionales de una sociedad en
continua evolución.
En la E.S.O. los alumnos se han aproximado a varios campos del conocimiento
matemático que cuando accedan al Bachillerato están en condiciones de asentar y
utilizar. Ésta será la base sobre la que se apoyará el desarrollo de capacidades tan
importantes como la abstracción, la de razonamiento en todas sus vertientes, la de
resolución de problemas de cualquier tipo, la de investigación y la de analizar y
comprender la realidad.
Es pues el momento, al acabar este ciclo, de introducir el conocimiento de
nuevas herramientas matemáticas necesarias para el aprendizaje científico que el
alumno necesita en el bachillerato y para sus posteriores estudios técnicos o científicos.
Las Matemáticas en bachillerato desempeñan un triple papel:
-
instrumental
-
formativo y
-
de fundamentación teórica
En su papel instrumental, proporcionan técnicas y estrategias básicas, tanto para
otras materias de estudio como la actividad profesional. Es preciso pues, atender a esta
dimensión, proporcionando a los alumnos instrumentos matemáticos básicos a la vez
que versátiles y adaptables a diferentes contextos y a necesidades cambiantes.
En su papel formativo, las Matemáticas contribuyen a la mejora de estructuras
mentales y a la adquisición de aptitudes cuya utilidad y alcance trasciende el ámbito de
las propias Matemáticas. En particular, forman al alumno en la resolución de problemas
cuya dificultad está en encuadrarlos y en establecer una estrategia de resolución
adecuada, generando en él actitudes y hábitos de investigación, a la vez que
proporcionándoles técnicas útiles para enfrentarse a situaciones nuevas.
El conocimiento matemático en el bachillerato debe tener un cierto respaldo
teórico. Las definiciones, demostraciones y los encadenamientos conceptuales y lógicos,
en tanto que dan validez a las intuiciones y confieren solidez y sentido a las técnicas
aplicadas, deben ser introducidos en estas asignaturas. Sin embargo, éste es el primer
momento en que el alumno se enfrenta con cierta seriedad a la fundamentación teórica
de las Matemáticas, y el aprendizaje por tanto, debe ser equilibrado y gradual.
El Bachillerato tiene cuatro modalidades diferentes, que se han establecido para
atender tanto a la diversidad de estudios posteriores como a la variedad de intereses,
capacidades y actitudes que poseen los jóvenes de estas edades. Las cuatro modalidades
son las siguientes:
•
Artes
•
Ciencias de la Naturaleza y de la Salud
•
Humanidades y Ciencias Sociales
•
Tecnología
Dentro de las modalidades hay opciones, y en algunos casos la opción permite la
elección alternativa entre dos asignaturas. El conjunto de asignaturas de los diversos
tipos que el alumno cursa constituye su itinerario propio. Los centros ofrecen,
normalmente, un número elevado de itinerarios como combinaciones razonables del
conjunto de asignaturas que en ellos se imparten. Las materias que se cursan en cada
una de las modalidades son de tres tipos:
o Materias Comunes: Para todos los alumnos con independencia de la
modalidad elegida. Pretenden contribuir a la formación general del
alumnado.
o Materias Propias: Caracterizan a cada una de las modalidades establecidas y
contribuyen por ello, a conseguir que el alumno obtenga una formación
específica ligada a la modalidad elegida. Dada su importancia, el alumno ha
de cursar necesariamente, seis materias propias.
o Materias optativas: Amplían la posibilidad de elección del alumno que ha de
cursar, obligatoriamente una materia optativa en primero y dos en segundo.
Todo lo expuesto anteriormente justifica la importancia que tiene el bachillerato
en el proceso educativo, y en futuro profesional de los jóvenes. Dentro de éste, de las
cuatro modalidades existentes, las Matemáticas aparecen en tres de ellas: Ciencias de la
Naturaleza y la Salud, Ciencias Sociales y Tecnológico. Por lo tanto, la asignatura de
Matemáticas tiene su relevancia en el bachillerato y en la formación universitaria.
En las siguientes secciones, se va a efectuar la comparación entre las
Matemáticas del bachillerato con las que se imparten en las Titulaciones en Economía y
Empresa de la Universidad de Extremadura, para ver cuál de las modalidades del
bachillerato es más idóneo para los alumnos que vayan a estudiar estas carreras.
Este trabajo tiene la siguiente estructura: la sección 2 presenta brevemente la
regulación del bachillerato en Extremadura, describiendo las matemáticas impartidas en
las respectivas modalidades. La sección 3 presenta los programas de Matemáticas de
cada modalidad de bachillerato y los que se imparten en la Facultad de Ciencias
Económicas y empresariales de la Universidad de Extremadura, comparándolos. Por
último la sección 4 recoge las conclusiones del análisis realizado.
2. EL BACHILLERATO EN EXTREMADURA
La Ley Orgánica 1/1983, de 25 de febrero, de Estatuto de Autonomía de
Extremadura, en su artículo 12.1 establece que corresponde a la Comunidad Autónoma
la competencia de desarrollo legislativo y ejecución de la enseñanza en toda su
extensión, niveles y grados, modalidades y especialidades, de acuerdo con lo dispuesto
en el artículo 27 de la Constitución y Leyes Orgánicas que conforme al apartado 1 del
artículo 81 de la misma lo desarrollen, y sin perjuicio de las facultades que atribuye al
Estado el número 30 del artículo 149, y de la Alta Inspección para su cumplimiento y
garantía.
El artículo cuarto de la Ley Orgánica 1/1990 de 3 de octubre, de Ordenación
General del Sistema Educativo establece que los objetivos, contenidos, métodos
pedagógicos y criterios de evaluación de cada uno de los niveles, etapas, ciclos, grados
y modalidades en los que se organiza la práctica educativa, constituyen elementos
integrantes del currículo. Dispone también que corresponde al Gobierno fijar los
aspectos básicos del currículo que constituirán las enseñanzas mínimas para todo el
Estado, mientras que corresponde a las administraciones educativas competentes
establecer el currículo del que formarán parte, en todo caso, las enseñanzas mínimas.
El bachillerato, de acuerdo con lo establecido en el Título I, Capítulo III de la
Ley Orgánica 1/1990, forma parte de la educación secundaria, junto a la etapa de
secundaria obligatoria y la formación profesional específica. En desarrollo de la Sección
Segunda del Capítulo III, Título Primero de la citada Ley Orgánica, el Real Decreto
1.700/1991, de 29 de noviembre, determina la estructura del bachillerato, mientras que,
por su parte, el Real Decreto 1.178/1992, de 2 de octubre, establece las enseñanzas
mínimas del bachillerato, señalando en su artículo 5º la responsabilidad de las
administraciones educativas competentes en el establecimiento del currículo, y en su
artículo 11º la responsabilidad de establecer las materias optativas y su número.
El Real Decreto 3.474/2000, de 29 de diciembre, ha modificado el Real Decreto
1.700/1991, de 29 de noviembre, relativo a la estructura del bachillerato, y el Real
Decreto 1.178/1992, de 2 de octubre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas
del bachillerato.
Por otra parte, el Artículo 12 del Estatuto de Autonomía de Extremadura asigna
a la comunidad autónoma la competencia de desarrollo legislativo y ejecución de la
enseñanza en toda su extensión, niveles y grados, modalidades y especialidades.
En vista de todo lo expuesto, una vez traspasadas a la Comunidad Autónoma de
Extremadura, funciones y servicios en materia de enseñanza no universitaria, por Real
Decreto 1.801/1999, de 26 de noviembre, procede establecer el currículo y demás
elementos relativos a la estructura del bachillerato, al que deberán ajustar sus
enseñanzas todos los centros educativos de la Comunidad Autónoma de Extremadura
que impartan esta etapa educativa.
El modelo educativo que plantea la Junta de Extremadura se basa en un
desarrollo adecuado de las enseñanzas reguladas en la L.O.G.S.E., adaptado a las
peculiaridades de nuestra comunidad autónoma.
El bachillerato se estructura atendiendo a diferentes ámbitos de saber y de
profesionalización en las cuatro modalidades ya comentadas: Artes, Ciencias de la
Naturaleza y de la Salud, Humanidades y Ciencias Sociales y Tecnología.
Centrándonos en la asignatura de Matemáticas, vamos a ubicarla dentro de cada
modalidad.
Así, en la modalidad de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud, aparecen las
matemáticas como materias propias en:
a.- Primer curso: Matemáticas I
b.- Segundo curso:
- Opción de Ciencias e Ingeniería: Matemáticas II
- Opción de Ciencias de la Salud: Matemáticas II.
En la modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales:
a.- Primer curso:
- Opción de Ciencias Sociales: Matemáticas aplicadas a las Ciencias
Sociales I.
b.- Segundo curso:
- Opción de Ciencias Sociales: Matemáticas aplicadas a las Ciencias
Sociales II.
- Opción de Ciencias Sociales, Administración y Gestión: Matemáticas
aplicadas a las Ciencias Sociales II.
En la modalidad de Tecnología:
a.- Primer curso: Matemáticas I.
b.- Segundo curso:
- Opción de Ciencias e Ingeniería: Matemáticas II.
En la modalidad de Artes no hay asignatura de matemáticas por lo que no la
consideramos en nuestro estudio.
Los contenidos de todas estas asignaturas corresponden a los campos de
Aritmética y Álgebra y Análisis.
Como nuestro objetivo es efectuar la comparación entre los contenidos de estas
asignaturas, por modalidad, con la que se viene impartiendo en las titulaciones de
carácter económico y empresarial en la Universidad de la misma Comunidad
Autónoma, los resultados obtenidos nos proporcionarán información para ver si
realmente el bachillerato recomendado1 (Ciencias sociales) es el más idóneo para
estudiar estas carreras.
3. COMPARACIÓN BACHILLERATO-TITULACIONES ECONÓMICAS
En las siguientes tablas2 aparecen en la columna izquierda el programa de
Matemáticas de cada modalidad de bachillerato, y en la columna derecha, aparece el
programa de Matemáticas que se imparte en primer curso de las titulaciones relativas a
Economía y Empresa.
Tabla 1: CC. De la naturaleza y la Salud
CIENCIAS DE LA NATURALEZA Y DE LA SALUD.
FACULTAD CC. ECONÓMICAS Y
MATEMÁTICAS I y II
EMPRESARIALES
I. ÁLGEBRA LINEAL
I. ÁLGEBRA. SUCESIONES Y SERIES
- Matrices de números reales. Operaciones con matrices. - Matrices: Concepto, clasificación, operaciones con
- Rango de una matriz. Matriz inversa. Obtención por el
matrices. Determinantes: Concepto y propiedades.
método de Gauss.
Cálculo simplificado.
- Determinantes. Cálculo de determinantes. Propiedades.
Dependencia e independencia lineal. Matriz
ortogonal.
- Sistemas de ecuaciones lineales: Concepto y cálculo de
- Sistemas de ecuaciones lineales. Expresión matricial.
- Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones (Méto rango de una matriz. Sistemas de ecuaciones lineales:
de Gauss y Teorema de Rouché –Frobenius).
discusión, teorema de Rouché-Frobenius y resolución.
Sistemas lineales homogéneos.
- Resolución e interpretación geométrica de inecuaciones Inecuaciones:
primer y segundo grado.
Sistemas de inecuaciones.
Conjuntos convexos.
- Diagonalización de matrices: Matrices semejantes.
Valores
y
vectores
propios.
Propiedades.
Diagonalización de matrices cuadradas.
- Formas cuadráticas. Concepto y clasificación. Signo.
Diagonalización de las formas cuadráticas.
- Sucesiones numéricas. Límite de una sucesión. El - Sucesiones de números reales. Concepto. Sucesiones
monótonas. Sucesiones acotadas. Límite de una
número e.
sucesión de números reales. Sucesiones convergentes y
divergentes. Infinitésimos e infinitos. El número e.
- Series numéricas. Concepto. Condición necesaria
suficiente de convergencia. Series de términos positiv
series alternadas. Suma de series.
II. FUNCIONES
II FUNCIONES REALES DE VARIABLES REALES
- Función real de variable real. Límites y continuidad:
- Funciones reales de variable real. Clasificación y
Funciones reales de una variable real. Dominio. Límite
características básicas. Dominio, recorrido, simetrías,
de una función: límites laterales. Funciones continuas:
periodicidad. Operaciones con funciones. Función
requisitos y clases de discontinuidad.
inversa.
- Límite de una función en un punto. Límites laterales.
Límites en el infinito. Cálculo de límites sencillos.
Asíntotas horizontales y verticales.
- Continuidad
de
una
función.
Estudio
de
discontinuidades.
Funciones reales de varias variables reales. Dominio.
Superficies y curvas de nivel. Límites y continuidad.
- Derivabilidad de una función. Cálculo de derivadas. - Cálculo diferencial de una y varias variables: Concepto
e interpretación de la derivada. Tasa de variación.
Propiedades de funciones derivables. Función
Función derivada. Cálculo de derivadas.
derivada.
Derivadas
de
orden
superior.
Elasticidad.
Continuidad y derivabilidad. Diferencial, reglas de
diferenciación. Regla de L'Hopital. Derivadas
parciales. Interpretación gráfica. Diferenciales.
Gradiente.
- Desarrollos de Taylor: Series de potencias. Teorema
de Taylor, desarrollos y aplicaciones.
- Crecimiento y decrecimiento de una función. - Optimización: Definiciones básicas: máximos y
Optimización. Máximos y mínimos.
mínimos.
- Cálculo de máximos y mínimos absolutos y relativos.
Funciones convexas y cóncavas. Puntos de inflexión.
Máximos y mínimos de funciones de varias variables
independientes. Condiciones necesarias y suficientes.
Extremos condicionados: condiciones necesarias y
suficientes. Método de los multiplicadores de
Lagrange.
- Funciones compuestas, implícitas y homogéneas:
Definiciones y propiedades. Derivadas y diferenciales
de funciones compuestas y de funciones implícitas.
Funciones homogéneas: Teorema de Euler.
- Primitiva de una función. Cálculo de integrales indefinid- Cálculo integral. Definición de integral indefinida,
inmediatas por cambio de variable, por partes o p Funciones primitivas y métodos de integración.
métodos sencillos.
Definición de integral definida, propiedades, teorema
- Integrales definidas. Regla de Barrow. Cálculo de
fundamental del cálculo y reglas de integración.
áreas de regiones planas.
Integrales impropias. Integración múltiple.
III. DINÁMICA ECONÓMICA
- Ecuaciones diferenciales. Concepto. Clases de
ecuaciones diferenciales. Métodos de resolución.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Soluciones. Estabilidad y Equilibrio.
- Ecuaciones en diferencias finitas. Concepto. Clases
de ecuaciones en diferencias finitas. Métodos de
resolución. Sistemas de ecuaciones lineales en
diferencias. Soluciones. Estabilidad y Equilibrio.
Tabla 2: Tecnológico
FACULTAD CC. ECONÓMICAS Y
EMPRESARIALES
TECNOLÓGICO. MATEMÁTICAS I y II
I. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
- Sistemas de ecuaciones lineales con más de dos
incógnitas. Método de Gauss.
- Resolución
e
interpretación
geométrica
inecuaciones de primer y segundo grado.
- Sucesiones numéricas. El número e.
II. FUNCIONES
de
I. ÁLGEBRA. SUCESIONES Y SERIES
- Matrices: Concepto, clasificación, operaciones con
matrices. Determinantes: Concepto y propiedades.
Cálculo simplificado.
Dependencia e independencia lineal. Matriz
ortogonal.
- Sistemas de ecuaciones lineales:
Concepto y cálculo de rango de una matriz. Sistemas
de ecuaciones lineales: discusión, teorema de
Rouché-Frobenius y resolución. Sistemas lineales
homogéneos.
Inecuaciones:
Sistemas de inecuaciones.
Conjuntos convexos.
- Diagonalización de matrices: Matrices semejantes.
Valores
y
vectores
propios.
Propiedades.
Diagonalización de matrices cuadradas.
- Formas cuadráticas. Concepto y clasificación. Signo.
Diagonalización de las formas cuadráticas.
- Sucesiones de números reales.
Concepto. Sucesiones monótonas. Sucesiones
acotadas. Límite de una sucesión de números reales.
Sucesiones convergentes y divergentes. Infinitésimos
e infinitos.
El número e.
- Series numéricas. Concepto. Condición necesaria
suficiente de convergencia. Series de términos positiv
series alternadas. Suma de series.
II FUNCIONES REALES DE VARIABLES REALES
- Función real de variable real. Límites y continuidad:
- Funciones reales de variable real. Clasificación y
características básicas. Dominio, recorrido, simetrías,
periodicidad. Operaciones con funciones. Función
inversa.
- Límite de una función en un punto. Límites laterales.
Límites en el infinito. Cálculo de límites sencillos.
Asíntotas horizontales y verticales.
- Continuidad
de
una
función.
Estudio
de
discontinuidades.
Funciones reales de una variable real. Dominio. Límite
de una función: límites laterales. Funciones continuas:
requisitos y clases de discontinuidad.
Funciones reales de varias variables reales. Dominio.
Superficies y curvas de nivel. Límites y continuidad.
- Cálculo diferencial de una y varias variables: Concepto
- Derivada de una función en un punto. Aplicaciones
e interpretación de la derivada. Función derivada.
geométricas y físicas. Función derivada. Introducción
Cálculo de derivadas.
al cálculo de derivadas.
Tasa de variación. Derivadas de orden superior.
Elasticidad. Continuidad y derivabilidad. Diferencial,
reglas de diferenciación. Regla de L'Hopital.
Derivadas
parciales.
Interpretación
gráfica.
Diferenciales. Gradiente.
- Desarrollos de Taylor: Series de potencias. Teorema
de Taylor, desarrollos y aplicaciones.
- Optimización: Definiciones básicas: máximos y
- Crecimiento y decrecimiento de una función. Máximos
mínimos.
y mínimos.
Cálculo de máximos y mínimos absolutos y relativos.
Funciones convexas y cóncavas. Puntos de inflexión.
Máximos y mínimos
de funciones de varias
variables independientes. Condiciones necesarias y
suficientes. Extremos condicionados: condiciones
necesarias y suficientes. Método de los
multiplicadores de Lagrange.
- Funciones compuestas, implícitas y homogéneas:
Definiciones y propiedades. Derivadas y diferenciales
de funciones compuestas y de funciones implícitas.
Funciones homogéneas: Teorema de Euler.
- Cálculo integral. Definición de integral indefinida,
Funciones primitivas y métodos de integración.
Definición de integral definida, propiedades, teorema
fundamental del cálculo y reglas de integración.
Integrales impropias. Integración múltiple.
III. DINÁMICA ECONÓMICA
- Ecuaciones diferenciales. Concepto. Clases de
ecuaciones diferenciales. Métodos de resolución.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Soluciones. Estabilidad y Equilibrio.
- Ecuaciones en diferencias finitas. Concepto. Clases
de ecuaciones en diferencias finitas. Métodos de
resolución. Sistemas de ecuaciones lineales en
diferencias. Soluciones. Estabilidad y Equilibrio.
Tabla 3: CC. Sociales
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS
FACULTAD CC. ECONÓMICAS Y
SOCIALES I y II
EMPRESARIALES
I. ÁLGEBRA
I. ÁLGEBRA. SUCESIONES Y SERIES
- Las matrices como forma de representación de tablas y - Matrices: Concepto, clasificación, operaciones con
grafos. Clasificación. Operaciones con matrices.
matrices. Matriz inversa.
Matriz inversa. Obtención de matrices inversas
sencillas por el método de Gauss. Resolución de
ecuaciones y sistemas de ecuaciones matriciales
sencillos. Interpretación del significado de las
operaciones con matrices en el contexto de problemas
extraídos de la realidad.
Determinantes: Concepto y propiedades. Cálculo
simplificado. Dependencia e independencia lineal.
Matriz ortogonal.
- Sistemas de ecuaciones lineales. Utilización del
método Gauss en la discusión y resolución de un
sistema de ecuaciones lineales. Resolución de
problemas con enunciados relativos a las Ciencias
Sociales y a la Economía.
- Interpretación y resolución gráfica de inecuaciones y
sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Iniciación a la programación lineal bidimensional
por métodos gráficos. Aplicación de la programación
lineal bidimensional a la resolución de problemas de
contexto real.
II. FUNCIONES Y GRÁFICAS. ANÁLISIS
- Funciones reales de variable real.
- Límite y continuidad de una función en un punto. Ideas
intuitivas.
- Tasa de variación media. Derivada de una función en
un punto. Aproximación al concepto e interpretación
geométrica como pendiente de una curva y como
variación de una función. Cálculo de derivadas de
funciones conocidas.
- Sistemas de ecuaciones lineales: Concepto y cálculo de
rango de una matriz.
Sistemas de ecuaciones lineales: discusión, teorema
de Rouché-Frobenius y resolución. Sistemas lineales
homogéneos.
Inecuaciones: Sistemas de inecuaciones.
Conjuntos convexos.
- Diagonalización de matrices: Matrices semejantes.
Valores
y
vectores
propios.
Propiedades.
Diagonalización de matrices cuadradas.
- Formas cuadráticas. Concepto y clasificación. Signo.
Diagonalización de las formas cuadráticas.
- Sucesiones de números reales. Concepto. Sucesiones
monótonas. Sucesiones acotadas. Límite de una
sucesión de números reales. Sucesiones convergentes
y divergentes. Infinitésimos e infinitos. El número e.
- Series numéricas. Concepto. Condición necesaria
suficiente de convergencia. Series de términos positiv
series alternadas. Suma de series.
II FUNCIONES REALES DE VARIABLES REALES
- Función real de variable real. Límites y continuidad:
Funciones reales de una variable real. Dominio. Límite
de una función: límites laterales. Funciones continuas:
requisitos y clases de discontinuidad.
Funciones reales de varias variables reales. Dominio.
Superficies y curvas de nivel. Límites y continuidad.
- Cálculo diferencial de una y varias variables: Concepto
e interpretación de la derivada. Tasa de variación.
Función derivada. Cálculo de derivadas.
Derivadas
de
orden
superior.
Elasticidad.
Continuidad y derivabilidad. Diferencial, reglas de
diferenciación. Regla de L'Hopital. Derivadas
parciales. Interpretación gráfica. Diferenciales.
Gradiente.
- Desarrollos de Taylor: Series de potencias. Teorema
de Taylor, desarrollos y aplicaciones.
- Aplicación del cálculo de derivadas elementales a - Optimización: Definiciones básicas: máximos y
mínimos.
problemas de optimización relacionados con las
Ciencias Sociales y la Economía.
Cálculo de máximos y mínimos absolutos y relativos.
Funciones convexas y cóncavas. Puntos de inflexión.
Máximos y mínimos de funciones de varias variables
independientes. Condiciones necesarias y suficientes.
Extremos condicionados: condiciones necesarias y
suficientes. Método de los multiplicadores de
Lagrange.
- Funciones compuestas, implícitas y homogéneas:
Definiciones y propiedades. Derivadas y diferenciales
de funciones compuestas y de funciones implícitas.
Funciones homogéneas: Teorema de Euler.
- Cálculo integral. Definición de integral indefinida,
Funciones primitivas y métodos de integración.
Definición de integral definida, propiedades, teorema
fundamental del cálculo y reglas de integración.
Integrales impropias. Integración múltiple.
III. DINÁMICA ECONÓMICA
- Ecuaciones diferenciales. Concepto. Clases de
ecuaciones diferenciales. Métodos de resolución.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Soluciones. Estabilidad y Equilibrio.
- Ecuaciones en diferencias finitas. Concepto. Clases
de ecuaciones en diferencias finitas. Métodos de
resolución. Sistemas de ecuaciones lineales en
diferencias. Soluciones. Estabilidad y Equilibrio.
Analizado el contenido de estas tablas, se observa que la modalidad de
Bachillerato3 de mayor coincidencia para los posteriores estudios económicos y
empresariales es el que corresponde al Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y de la
Salud.
Gráficamente, estos resultados los podemos representar de la siguiente forma:
GRÁFICO 1: CONTENIDO MATEMÁTICO DE LOS
BACHILLERATOS
CC. Naturaleza y la
Salud
CC. Sociales
Tecnológico
Artes
El gráfico 1 hace referencia a la cuantificación de los contenidos matemáticos
impartidos en cada modalidad de bachillerato. En él se observa que el bachillerato de
Ciencias de la Naturaleza y de la Salud es el que mayor número de conocimientos
matemáticos aporta al alumnado.
GRAFICO 2: COINCIDENCIA DE LAS
MATEMÁTICAS DEL BACHILLERATO CON LAS
DE LADE Y LE
23%
45%
32%
CC. Naturaleza y Salud
CC. Sociales
Tecnológico
El gráfico 2 muestra que el bachillerato que posee mayor grado de coincidencia
con las matemáticas que se imparten en las Licenciaturas (LE y LADE) es el de
Ciencias de la Naturaleza y de la Salud, un 45%, es decir, cuando accedan a cualquiera
de estas carreras, en la asignatura de Matemáticas, gran parte del programa ya lo
conocen, con el consiguiente beneficio en su aprendizaje.
Le sigue en segundo lugar, el bachillerato de Ciencias Sociales con un 32%, lo
cual sorprende en cuanto a que es la opción recomendada para estas titulaciones, y por
último, la modalidad de bachillerato Tecnológico con un 23%. No se ha incluido el
bachillerato en la modalidad de Artes, ya que en éste no se imparten matemáticas.
4. CONCLUSIONES
La aportación de las matemáticas al área económico-empresarial le cataloga
como una asignatura que presta su servicio a las disciplinas que componen el
mencionado área4. Esta contribución ha experimentado un crecimiento espectacular en
los últimos años. Como consecuencia los contenidos de Matemáticas en los programas
de la Diplomatura de Empresariales (DCCEE), Licenciatura de Administración y
Dirección de Empresas (LADE) y de la Licenciatura de Economía (LE), en los primeros
cursos, presentan una falta de adecuación con los contenidos matemáticos del
Bachillerato de CC. Sociales, recomendado para cursar posteriormente en la
Universidad los estudios de Economía y Empresa.
Por tanto, la formación matemática de los alumnos procedentes de este
Bachillerato no es la adecuada para matricularse en las titulaciones de DCCEE, LADE y
LE, como se refleja en la existencia de un tapón de alumnos repetidores de matemáticas
en los primeros años en dichas titulaciones5. Esta experiencia ha sido constatada y
tratada a escala nacional en el foro de ASEPUMA (Asociación Española de Profesores
de Universidad de Matemáticas en la Economía y la Empresa).
Analizado el contenido de estas tablas, se observa que la modalidad de
Bachillerato3 de mayor coincidencia para los posteriores estudios económicos y
empresariales es el que corresponde al Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y de la
Salud.
Esta falta de información provoca un fracaso escolar en las asignatura de
Matemáticas para los alumnos que vayan a realizar estudios universitarios en el área
económica-empresarial y hayan cursado el bachillerato en la modalidad de Ciencias
Sociales, que teóricamente es la opción recomendada.
La conclusión a la que hemos llegado no es la proposición de reivindicar un
nuevo bachillerato para los estudios universitarios referentes a la economía y empresa,
sino considerar la terminología económico-empresarial como un área de conocimiento
con entidad propia, que engloba a todas las titulaciones identificadas con esta rama del
saber, al igual que se ha hecho con la terminología de Naturaleza, Salud, Ciencia y
Tecnología que aparece en los distintos bachilleratos. De esta forma este bachillerato
también sería opción para aquellos alumnos que teniendo la intención de realizar
estudios universitarios en economía o empresa, adquieran la formación matemática
adecuada e imprescindible, y evitar así un futuro fracaso escolar.
1
Cuando decimos bachillerato recomendado, nos estamos refiriendo realmente a las matemáticas que se
imparten en dicha modalidad.
2
En color rojo y cursiva aparecen los contenidos que no son coincidentes entre los programas
comparados.
3
Ver nota a pie de página 1. Las Matemáticas que se imparten en Ciencias de la Salud son las que
deberían impartirse en la modalidad de Ciencias Sociales.
4
Introducir asepuma 2000 y 2001
5
asepuma 2002
3
Ver nota a pie de página 1. Las Matemáticas que se imparten en Ciencias de la Salud son las que
deberían impartirse en la modalidad de Ciencias Sociales.
BIBLIOGRAFÍA
Real Decreto 86/2002 de 25 de junio, por el que se establece el currículo de Bachillerato en Extremadura.
ÁLVAREZ, P. et al. (2000): “Determinación de los contenidos docentes matemáticos en económicas”. Ed.
ASEPUMA, (pp 3 – 13). Sevilla, 2000.
ÁLVAREZ, P., CORCHO, P. y GUERRERO, M. (2001): “Una forma eficiente de elaborar un programa
de matemáticas en LADE y LE”. Ed. ASEPUMA, (pp 53). Las Palmas de Gran Canaria.
ÁLVAREZ, P., CORTÉS, G. y GUERRERO, M. (2002): “El rendimiento académico de las Matemáticas
en las titulaciones en Economía y Empresa”. Ed. ASEPUMA, Madrid, 2002.