GUIA Nº1 grado 11º

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INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA
GUIA Nº 1: INTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO
GRADO: 11º
AREA: MATEMÁTICAS
PROFESORA: Eblin Martínez M.
ESTUDIANTE: ______________________________PERIODO: I
DURACIÓN: 20 Hrs
LOGRO: Resuelve problemas de tipo matemático a través de la aplicación de las propiedades
del valor absoluto y las desigualdades.
INDICADORES DE LOGRO:
Identifico y grafico intervalos de números reales.
Aplico las propiedades de las desigualdades.
Comprendo el concepto de valor absoluto y aplico sus propiedades.
COMPETENCIA: Resuelvo y propongo situaciones matemáticas que tengan solución a través
del valor absoluto y las desigualdades en los números reales.
Recordemos que los números naturales N son los utilizados para contar, enumerar, etc. Los
Enteros Z, son un conjunto más extenso cuyo nombre significa completos, este conjunto incluye a
los números naturales negativos. Los Racionales Q, compuestos de fracciones p/q, donde p y q son
enteros y q distinto de cero, los cuales representan decimales finitos o aquellos que contengan
cifras que se repiten indefinidamente (periódicos). Por último, tenemos a los Irracionales I, que
representan decimales cuya expansión no repite indefinidamente el mismo bloque de números
(No periódicos). Ej. √2 y π. De manera que, el conjunto de los números reales es el que contiene
tanto a los racionales como a los irracionales.
Ningún número real puede ser a su vez racional e irracional
El conjunto de los números reales además es denso y continuo, es decir, que entre dos números
reales cualesquiera existen infinitos números reales y al llevarlos sobre la recta se completan.
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R
Consulta: ¿Qué conjunto numérico es aún más grande que los números reales? ¿Qué
características tiene dicho conjunto?
El nacimiento de los números imaginarios cambió por completo la faz de las matemáticas
y aumentó enormemente su potencia. El nuevo número descubierto era la raíz cuadrada
de menos 1 (√-1), lo que por mucho tiempo había parecido imposible, ya que el cuadrado
de cualquier número siempre era positivo. Por lo tanto, se creía que los números
negativos no podían tener raíces cuadradas. Hoy en día este número se introduce en
términos de la ecuación cuadrática x2 + 1 = 0.
Sean a y b números reales. Entonces tenemos que:
a > b si y sólo si a – b > 0
(a – b es positivo)
a  b si y sólo si a > b o a = b
a < b si y sólo si b > a y a su vez a – b < 0
(a – b es negativo)
a  b si y sólo si a < b o a = b.
Ejemplos:
a) 7 > 2 porque 7 – 2 > 0
b) – 8 > - 12 porque (-8) – (-12) = - 8 + 12 = 4 y 4 > 0
c) – 5 < - 2 porque (- 5) – (-2) = - 5 + 2 = - 3 < 0
Propiedades de las Desigualdades: Sean a, b y c números reales:
>
>
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Ley de Tricotomía:
Si a, b ℮ R, se cumple una y sólo una de las siguientes relaciones:
a<bóa=bóa>b
Inversos Multiplicativos:
Si a > 0, entonces 1/a >0
a < 0, entonces 1/a < 0 siendo a un número real
Desigualdad de un Producto:
a.b > 0 si y sólo si
a  0  b  0

.......
a  0  b  0

(signos iguales)
a.b < 0 si y sólo si
a  0  b  0

.......
a  0  b  0

(signos opuestos)
Los intervalos son subconjuntos de números reales, es decir, todo conjunto de puntos que
pertenezcan a la recta metrizada. Los intervalos se clasifican y se representan de la siguiente
forma:
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I. Dibujar los siguientes intervalos en la recta real, clasifícalos como abiertos, cerrados o
semiabiertos y exprésalos en forma de conjunto:
A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ; C = [-1, 4] ; D = (-4, 5]; E = ( - , 2]; F= (- 6 , )
II. Usando la notación de conjunto y de intervalo; escribir los siguientes intervalos que están
representados en la recta real:
III. Usando la notación de intervalos; escribir los siguientes intervalos que están en lenguaje de
conjunto:
1) {x  R / - 6 ≤ x < 8} = [- 6, 8)
2) {x  R / - 4 ≤ x < 0} =
3) {x  R / - 4 ≤ x < ½} =
4) {x  R / - 4 ≤ x ≤ 7} =
5) {x  R / -3 < x < 1} =
6) {x  R / -2 ≤ x ≤ 2} =
7) {x  R x / -2 ≤ x ≤ 4} =
8) {x  R / ¼ ≤ x < 1} =
INECUACIONES LINEALES
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Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el exponente de la
incógnita uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los
valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una
inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El
método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero
teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución
de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la
gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no
incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente).
Ejemplo ilustrativo1:
1. Resolver las inecuaciones:
a. 3x + 2  4
b. – 3x + 4 < 2x – 6
c. 4x – 3  2x – 8
d. x – 1 < 5
e. 2x + 7 ≥ 9
f. 7 – 2x > - 3
g. x + ½ < 2 + x/4
h. 5x – 2 < 2 – 7x
5
-3
i. (x + 2) ( x – 3)  0
j. X2 + 5x + 6  0
2. Realizar las gráficas de las soluciones de las inecuaciones anteriores y expresarlas
en lenguaje de intervalos.
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VALOR ABSOLUTO
Sea a e R, el valor absoluto de a, denotado por a , es:
a
Si a > 0

a   a Si a < 0
0
Si a = 0

Así pues, a es la distancia que existe entre el número a y el cero, la cual siempre es positiva.
Ejemplo:  2  (2)  2
Propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser
utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen
valor absoluto.
Propiedad 1
Interpretación geométrica de esta propiedad
Propiedad 2
Si
Propiedad 8
Propiedad 3
Sea una variable real y
positivo entonces:
Si
un número real
Propiedad 4
Interpretación geométrica de esta propiedad:
Propiedad 5
Si
entonces
Propiedad 9
Sea una variable real y un número real
positivo entonces:
Propiedad 6
Interpretación geométrica de esta propiedad:
Propiedad 7
Sea una variable real y un número real
positivo:
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Propiedad 10
Propiedad 11 (desigualdad
triangular)
Si
Ecuaciones que involucran valor absoluto
A continuación resolveremos algunas ecuaciones que involucran valor absoluto, para esto
utilizaremos, siempre que sea posible, algunas propiedades enunciadas anteriormente y en
los en que no sea posible aplicar alguna de dichas propiedades, resolveremos las
ecuaciones correspondientes usando la definición de valor absoluto. Además es importante
tener en cuenta que toda ecuación que involucre valor absoluto se puede resolver usando
la definición.
Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c
El valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta
numérica, esto es, │a│=│-a│. Usamos este argumento para resolver ecuaciones con valor
absoluto. Por ejemplo, si │x│= 3, entonces x = 3 ó x = -3. Por lo tanto, la solución de la
ecuación │x│= 3 es -3 y 3.
Las soluciones de una ecuación de la forma │ax + b│= c, donde a ≠ 0 y c es un
número positivo, son aquellos valores que satisfacen:
ax + b = c ó ax + b = -c.
EJERCICIO: Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones aplicando las propiedades
del valor absoluto. Observa el ejemplo de la ecuación Nº 1:
1.
2x  3  7
2. 3x  4  5
1
x 1  5
2
4. 3x  1  2  5
3.
5. x  2  x  7
Solución
1.
Por la propiedad 7
o
o
o
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INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Resolveremos inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones de la forma
,
donde y son constantes con
y es una variable real. Para esto utilizaremos la
definición de valor absoluto, y en los casos en donde sea posible usar alguna de las
propiedades estudiadas las aplicaremos, con el fin de facilitar el procedimiento de resolución.
Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│ c y │ax + b│ c
¿Qué significa │x│< 2 ? Significa que x es un número menor que 2 unidades desde cero a
la recta numérica. La recta numérica nos ayuda a visualizar la situación. Dibuja la recta
numérica.
Observa que los valores que satisfacen la expresión │x│< 2 están entre -2 y 2. Es decir, que
estos valores están en el intervalo entre -2 y 2, esto es, -2 < x < 2.
Propiedad 12: │ax + b│ c y c  0, si y sólo si –c  ax + b  c.
Propiedad 13: │ax + b│ c si y sólo si ax + b  c  ax + b  - c.
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones. Observa el ejemplo de la
inecuación 1:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
3 5x

2
2 3
x 1
2
10.
x 1
OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES
9.
En consecuencia el conjunto solución