Teoría de Juegos, curso 2011-12.

CUESTIONARIO I
Teoría de Juegos, curso 2011-12.
JUEGOS SIMULTÁNEOS CON INFORMACIÓN COMPLETA
1) Dos individuos deben decidir independiente y simultáneamente qué cantidad de
recursos xi dedicar a luchar contra el otro individuo y cúanto dedicar a la producción. Si
cada individuo i dedica xi a luchar, entonces la producción total es y = 6 – x1 –x2. Cada xi
puede adoptar los valores {0, 1, 2}. Se apropia de toda la producción aquél que dedique
más recursos a luchar, es decir por ejemplo, si x1 > x2 entonces el individuo 1 se queda
toda la producción. Si x1 = x2 entonces cada uno se queda la mitad de la producción.
a) Represente este juego en forma matricial. Calcule las funciones de mejor respuesta de
los jugadores. Resuelva este juego por eliminación sucesiva de acciones dominadas.
b) Suponga que el gobierno penaliza la lucha de forma que ahora cada x i tiene un coste
para el jugador i de ci = 3xi. Repita el análisis de la sección anterior y comente el
resultado obtenido. Suponga ahora que ningún jugador sabe que el otro jugador es
racional (aunque ambos lo son). ¿Cúal sería su predicción en esta situación?
2) Dos jugadores eligen simultáneamente un número entre uno de estos tres posibles
valores: 2, 10 o 40. Gana aquel que se acerca más a la mitad de la media de ambas
elecciones. El jugador que pierde paga al otro la cantidad que eligió el ganador. En caso
de empate el pago de ambos es cero.
a) Represente este juego matricialmente. Resuelva este juego por eliminación sucesiva
de acciones dominadas.
b) Suponga que ambos jugadores son racionales. Si el jugador 1 no sabe que el jugador
2 es racional, ¿qué acciones está justificado que eliminemos? En caso de que el jugador
1 sepa que el jugador 2 es racional, pero el jugador 2 no sepa que el jugador 1 sabe que
el jugador 2 es racional, ¿cuáles estaría justificado eliminar? Razone su respuesta.
3) Un motorista y un peatón pueden verse envueltos en un accidente. Cada uno de ellos
puede tener cuidado o no tenerlo. El coste de tener cuidado es de 10 euros. El daño
producido al peatón en caso de accidente es de 100 euros. El motorista no sufre ningún
daño. Basta con que uno de ellos no tenga cuidado para que se produzca con seguridad el
accidente. Pero incluso si ambos tienen cuidado, existe un 10% de probabilidad de tener
un accidente.
a) Represente este juego simultáneo matricialmente. Calcule las funciones de mejor
respuesta de los jugadores. ¿Existen acciones dominadas? Calcule los equilibrios Nash.
Discuta su eficiencia.
b) Suponga que en caso de accidente el motorista debe pagar los daños al peatón con
independencia de quien tuvo la culpa (es decir, en todos los casos). Represente y analice
este nuevo juego. Suponga alternativamente que el motorista sólo pagaría en caso de no
haber tenido cuidado. Analice esta segunda situación y compare las dos posibles reglas de
responsabilidad civil planteadas en esta sección. ¿Cúal considera mejor desde el punto de
vista social?
4) Dos trabajadores deben elegir, ignorando la elección del rival, entre dos posibles
niveles de esfuerzo, ei  {1, 2}. El coste individual del esfuerzo viene dado por las
funciones c(ei) = 2ei . La función de ingresos totales es I = 6 min{e1, e2}. Los ingresos
derivados de su producción conjunta se reparten a partes iguales.
a) Represente este juego matricialmente. Calcule las funciones de mejor respuesta de los
jugadores y los equilibrios Nash. Si existe multiplicidad, discuta cual será la solución
del juego.
b)Suponga que el equipo de producción aumenta a n trabajadores con los mismos
niveles de esfuerzo factibles, funciones de costes y regla de reparto, pero con ingresos
totales I = (3n)min{e1, e2,....en}. ¿cúales son los equilibrios Nash? ¿cúal será la solución
del juego? Razone su respuesta, por ejemplo, para n = 4. Discuta el efecto que tiene el
aumento del número de trabajadores.
5) Cuatro individuos con dotaciones iniciales de 100 euros cada uno, deben decidir
simultáneamente su contribución a un bien público. Las contribuciones individuales xi ,
sólo pueden adoptar tres valores: 0, 50 o100, donde i = 1,2,3,4. La función de pagos de
cualquiera de ellos, dada una combinación de contribuciones es ui = 100 – xi + 0.5 (x1 +
x2 +x3 + x4 ).
a) Describa este juego en forma estratégica. Calcule las funciones de mejor respuesta
de los jugadores. ¿Tienen éstos acciones dominantes? Calcule los equilibrios Nash.
Discuta su eficiencia.
b) Suponga que se acuerda el siguiente método de decisión. Cada uno anuncia su
contribución en un sobre cerrado. Si la suma total alcanza los 400 euros el bien
público se provee. Pero, si dicha suma total es menor no se provee ninguna cantidad
de bien público y se devuelve el dinero a los individuos. Compruebe si se alcanza
como equilibrio Nash el resultado eficiente.
6) Una empresa tiene dos departamentos. Cada uno de sus managers son pagados de
acuerdo con el esfuerzo que realizan promoviendo la productividad en sus
departamentos. Pero el esfuerzo es juzgado en comparación con el esfuerzo del otro
manager. Si ambos realizan esfuerzo alto cada uno recibe un pago monetario de 150. Si
ambos eligen esfuerzo bajo cada uno recibe 100. Pero si uno de los managers realiza
esfuerzo alto y el otro bajo, el primero recibe 150 más una prima de 50, mientras que el
segundo recibe un salario reducido de 80. Los managers toman sus decisiones
simultáneamente y el esfuerzo alto tiene un coste de 60 unidades monetarias.
a) Represente este juego en forma matricial. Calcule sus equilibrios Nash. ¿De qué tipo
de juego se trata? Discuta la eficiencia del resultado para los jugadores (los managers) y
para la empresa.
b) Suponga que ambos managers fueran aversos a la desigualdad, con una función de
utilidad, Ui(xi,xj)=xi-0.9max{xi-xj,0}, donde xi y xj son los pagos materiales que
obtienen el manager i y j respectivamente. Es decir, ambos son aversos a la desigualdad
a su favor. Realice el mismo análisis que en el apartado anterior. ¿De qué tipo de juego
se trata en estas condiciones?
7) Dos trabajadores deben elegir, ignorando la elección del rival, entre dos posibles
niveles de esfuerzo, ei  {1, 2}. El coste individual del esfuerzo viene dado por las
funciones c(ei) = 3ei . La función de ingresos totales es I = 4(e1 + e2). La empresa fija
por contrato que los trabajadores se repartirán los ingresos a partes iguales, siempre que
los ingresos sean superiores o iguales a 12. Si fueran menores que 12, ambos
trabajadores serían despedidos sin pagarles nada (porque supone evidencia suficiente
ante un juzgado de que ambos han realizado esfuerzo bajo (e = 1)).
a) Represente este juego matricialmente. Calcule las funciones de mejor respuesta de los
jugadores. ¿Existen acciones dominadas? Calcule los equilibrios Nash. Discuta su
eficiencia.
b) Suponga que es conocimiento público que el trabajador 1 tiene preferencias egoístas,
pero el trabajador 2 es averso a la desigualdad en su contra. Su función de utilidad es
U2(x1, x2) = x2 - 2max{x1 –x2,0}, donde x1 y x2 son los pagos materiales que obtienen
el jugador 1 y 2, respectivamente. Realice el mismo análisis que en el apartado anterior.
Suponga ahora que también el jugador 1 es averso a la desigualdad en su contra con la
misma función de utilidad que la del jugador 2. Realice el mismo análisis.