Oferta de Trabajos Fin de Grado (Matemáticas)
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Oferta de Trabajos Fin de Grado (Matemáticas) 2014-15 Resumen Álgebra 1. Teoría algebraica de números y teoría de anillos. E. Bernal, F. Montaner. 2. El teorema de incompletitud de Gödel. C. Gómez. 3. Ampliación de teoría de grupos. C. Martínez. 4. Polinomios ciclotómicos. J. Otal. 5. Álgebra y criptografía. M. Vázquez. Análisis Matemático 1. Álgebras de Banach. J. Bernués, J.E. Galé, P.J. Miana. 2. Cuestiones de irracionalidad y trascendencia. J. Bernués, M. Pérez, F.J. Ruiz. 3. Espacios de funciones continuas y de funciones medibles. B. Cuartero, P.J. Miana, A. Peña. 4. Representación conforme: teorema de Riemann. B. Cuartero, A. Peña, M. Pérez. Astronomía 1. Algunas Formulaciones del Problema de Gyldén. A. Abad, L. Floría. 2. Órbitas keplerianas que pasan por dos puntos. Problema de Lambert. A. Abad, L. Floría. 3. Órbitas de sistemas cuasi-keplerianos. A. Abad, L. Floría. 1 Estadística e Investigación Operativa 1. Métodos de suavizado aplicados a funciones de regresión. J.T. Alcalá, J.A. Cristóbal. 2. Teoría de Ramsey para grafos. A. García. 3. Sorteos para hacer justo un mundial de fútbol. F.J. López. 4. Modelos estocásticos en Física, Medicina y Biología. G. Sanz. Física Teórica 1. Aproximación simpléctica a la mecánica cuántica. J.F. Cariñena, J. Clemente. 2. Principios de superposición no lineal de soluciones de sistemas ecuaciones diferenciales. J.F. Cariñena, J. Clemente. 3. Sistemas dinámicos Hamiltonianos. J.F. Cariñena, M. Fernández-Rañada. 4. Reglas de Kirchhoff y repartición de corrientes en un circuito. F. Falceto. Geometría y Topología 1. Implementación de objetos geométricos en programas informáticos. E. Artal, J.I. Cogolludo. 2. Teoría de nudos y Aplicaciones. E. Artal, J.I. Cogolludo, M.T. Lozano. 3. Geometría esférica e hiperbólica. M.T. Lozano. 4. Poliedros y Grupos de Homología. J.L. Navarro. 5. Transversalidad y estabilidad. A. Rodés. 6. Geometría de los grupos de Lie. L. Ugarte. Informática 1. Criptografía RSA: fundamentos y desarrollo. J.C. Ciria. 2. Técnicas de optimización de consultas a bases de datos. J. Lloret. 3. Sistemas Complejos: Estudio y Aplicaciones. R. López. 2 Matemática Aplicada 1. Análisis de modelos matemáticos en Biología. R. Barrio. 2. Simulación numérica en finanzas. F.J. Gaspar. 3. Simulación numérica en medios porosos deformables. F.J. Gaspar. 4. Simulación numérica del crecimiento tumoral. F.J. Gaspar. 5. Modelado y simulación de un ‘tippe-top’. E. Martínez. 6. Estudio y construcción de métodos de integración numérica de tipo Runge-KuttaHermite-Birkhoff. L. Rández. Multidisciplinares 1. Divulgación: Diseño y presentación de material divulgativo matemático. J. Bernués, P.J. Miana, L. Rández. 2. Ecuaciones diferenciales y singularidades: Ecuaciones diferenciales implícitas y clasificación de sus singularidades. E. Artal, E. Martínez. 3. Geometría e Ingeniería: Identificación de sustancias explosivas mediante la caracterización/parametrización de curvas planas. J. Martín, J. Martínez, L. Rández (ponente). 4. Matemática Aplicada e Ingeniería: Aplicaciones de la derivación respecto al dominio a la evaluación no destructiva de materiales. R. Celorrio, M. Hernández. 5. Matemática Aplicada e Ingeniería: Métodos de reducción de modelos. R. Celorrio, D. González. 6. Matemática Aplicada e Ingeniería: Aplicación de métodos multi-paso en algoritmos distribuidos de consenso para sistemas multi-robot. E. Montijano, J.I. Montijano. 3 Álgebra TÍTULO: Teoría algebraica de números y teoría de anillos (un trabajo cada director). DIRECTOR(ES): Eulalio Bernal Acero (Dpto. de Matemáticas, [email protected]) Fernando Montaner Frutos (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Los posibles trabajos a dirigir podrán tener carácter divulgativo o de ampliación de los temas desarrollados en la asignatura citada, o podrán tener ambas características. Se buscará un tema de teoría algebraica de números con suficiente interés divulgativo o un tema relacionado con la teoría de anillos. En cualquier caso se tratará como continuación natural de los contenidos adquiridos en las asignaturas de álgebra. MATERIA/ASIGNATURA(S): Estructuras algebraicas. 4 TÍTULO: El teorema de incompletitud de Gödel DIRECTOR(ES): Carlos Gómez Ambrosi (Dpto. de Matemáticas, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: En primer lugar, se estudiarían el cálculo proposicional y el cálculo de predicados desde el punto de vista de los sistemas formales, introduciendo los sistemas de primer orden con igualdad y en particular el sistema formal de la aritmética de Peano. A continuación, se llevaría a cabo una demostración relativamente completa del teorema de incompletitud de Gödel, a través del estudio de la recursividad y de la numeración de Gödel. Finalmente, se realizaría una breve exposición de la significación de este teorema para los fundamentos de las matemáticas. MATERIA/ASIGNATURA(S): Números y conjuntos 5 TÍTULO: Ampliación de teoría de grupos (hasta 2 trabajos por año). DIRECTOR(ES): Conchita Martínez Pérez (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Se trata de que el alumno amplíe los conocimentos sobre teoría de grupos vistos en la asignatura de Teoría de Galois. Dependiendo de los intereses concretos del alumno y también de las asignaturas optativas que haya cursado se podrían tratar temas relacionados con grupos libres, extensiones tipo HNN, acciones de grupos en grafos ó espacios clasificadores. MATERIA/ASIGNATURA(S): Teoría de Galois 6 TÍTULO: Polinomios ciclotómicos. DIRECTOR(ES): Javier Otal Cinca (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Si n ≥ 2 es un número entero, una raíz n–sima de la unidad es un número complejo x que cumple xn = 1, es decir una raíz del polinomio fn (X) = X n − 1 ∈ Q[X]. El cuerpo de escisión Kn de fn sobre Q es el n–simo cuerpo ciclotómico, sus raíces se denominan primitivas y el polinomio gn (X) ∈ C[X] cuyas raíces son exactamente las n–simo primitivas se denomina el n–simo polinomio ciclotómico. Este trabajo se dedica al estudio de la relación de estos elementos. 1. T, Hungerford, Algebra, Springer, New York, 1974. 2. S. Roman, Field Theory, Springer, New York, 1995. MATERIA/ASIGNATURA(S): Números y conjuntos, Estructuras algebráicas, Teoría de Galois 7 TÍTULO: Álgebra y criptografía. DIRECTOR(ES): Manuel Vázquez Lapuente (Dpto. de Matemáticas, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Los posibles trabajos a dirigir podrán tener carácter divulgativo o de ampliación de los temas desarrollados en la asignatura citada, o podrán tener ambas características. En cualquier caso el trabajo contendrá una parte introductoria en la que se describirá de forma sucinta la parte algebraica necesaria para el desarrollo del resto del trabajo. Por ejemplo: aritmética modular, temas de teoría de números, números primos, cuerpos finitos, grupos finitos, curvas elípticas, etc. La parte principal del trabajo consistirá en desarrollo de algún sistema criptográfico con fundamento algebraico, por ejemplo sistema RSA, logaritmo discreto o curvas elípticas. Asimismo estos sistemas criptográficos se pondrán en relación con la firma electrónica y sus generaliciones. El trabajo se concretará posteriormente de acuerdo con el alumno interesado en su realización. MATERIA/ASIGNATURA(S): Algebra aplicada y computacional. 8 Análisis Matemático TÍTULO: Álgebras de Banach DIRECTOR(ES): Julio Bernués Pardo (IUMA, [email protected]) José Esteban Galé (IUMA, [email protected]) Pedro José Miana Sanz (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: El estudio de Álgebras de Banach constituye una prolongación natural de un curso introductorio, como el de Análisis Funcional del Grado, sobre espacios de Banach y Hilbert. Los ejemplos más importantes de esta teoría son, en el caso conmutativo las álgebras de funciones continuas y las de convolución y el no conmutativo las álgebras de operadores. Para entender bien estos ejemplos es imprescindible un buen conocimiento del curso Análisis Funcional ya mencionado y del de Integral de Lebesgue. La parte central del trabajo consistiría en desarrollar la teoría de Gelfand para álgebras de Banach conmutativas que, en cierto sentido propone una aproximación a la transformada de Fourier desde otro contexto. Por ello, no estaría de más que los alumnos interesados cursaran también la asignatura Análisis de Fourier del Grado. MATERIA/ASIGNATURA(S): Análisis Funcional, Integral de Lebesgue, Análisis de Fourier 9 TÍTULO: Cuestiones de irracionalidad y trascendencia. DIRECTOR(ES): Julio Bernués Pardo (IUMA, [email protected]) Mario Pérez Riera (IUMA, [email protected]) Francisco José Ruiz Blasco (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Se trata de abordar cuestiones dentro de la parte de la Teoría de Números denominada Aproximación Diofántica. Desde un punto de vista general, se trataría de estudiar particularidades de la aproximación de un número real por números racionales que conducen a criterios de irracionalidad y trascendencia. Aquí están contenidos teoremas de Hurwitz, Liouville y Roth y la teoría de fracciones continuas. Por otro lado, se verían problemas más concretos acerca de la irracionalidad y trascendencia de números específicos y famosos de las matemáticas como e y π. El trabajo también aportaría información sobre el estado de problemas más difíciles, muchos de ellos abiertos, de la Aproximación Diofántica. MATERIA/ASIGNATURA(S): Análisis Matemático I, II 10 TÍTULO: Espacios de funciones continuas y de funciones medibles. DIRECTOR(ES): Bienvenido Cuartero Ruiz (Dpto. de Matemáticas, [email protected]) Pedro José Miana Sanz (IUMA, [email protected]), Ana Peña Arenas (IUMA, [email protected]). CONTENIDO/RESUMEN: Agrupar una clase de objetos para trabajar con ellos conjuntamente es provechoso cuando se hace de manera adecuada. En matemáticas esto es muy claro cuando se trabaja con funciones: en todas las áreas de las matemáticas nos encontramos con espacios de funciones. En particular, en teoría de la medida los espacios de funciones medibles de diferentes tipos y sus subespacios aparecen como útiles por sí mismos o por su aplicación en otras partes. Poder comparar “tamaños” y determinar la “proximidad” entre las funciones de un espacio es esencial, lo que lleva a diferentes topologías y a distintos modos de convergencia. El objeto de este trabajo es reunirlos y compararlos, mostrando las relaciones entre ellos y ampliando la idea de aproximación con resultados como los teoremas de Lusin y Egorov (principios de Littlewood segundo y tercero). MATERIA/ASIGNATURA(S): Análisis Funcional, Integral de Lebesgue 11 TÍTULO: Representación conforme: teorema de Riemann DIRECTOR(ES): Bienvenido Cuartero Ruiz (Dpto. de Matemáticas, [email protected]) Ana Peña Arenas (IUMA, [email protected]) Mario Pérez Riera (IUMA, [email protected]). CONTENIDO/RESUMEN: Geométricamente, una transformación conforme es la que conserva ángulos en tamaño y orientación. En el caso del plano, una función compleja f definida en un abierto U interpretada como transformación geométrica tiene esta propiedad si y solo si es holomorfa e inyectiva, lo que permite aplicar todos los recursos de la teoría de funciones de variable compleja a cuestiones geométricas y físicas. Un problema esencial es la determinación de la existencia de transformaciones conformes de un abierto U1 sobre un abierto U2 y la descripción de todas ellas cuando existan. Solo hay respuesta en casos particulares: el principal es el teorema de Riemann, para U1 = D (disco de centro 0 y radio 1) y U2 simplemente conexo, del que hay múltiples demostraciones. El tema de este trabajo es recoger, exponer y comparar las diferentes vías que llevan a este resultado y comentar los conocidos para otras situaciones. MATERIA/ASIGNATURA(S): Variable Compleja, Análisis Funcional 12 Astronomía TÍTULO: Algunas Formulaciones del Problema de Gyldén. DIRECTOR(ES): Alberto José Abad Medina (IUMA, [email protected]) Luis Floría Gimeno (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Un sistema de Gyldén es un sistema kepleriano en el que el parámetro gravitatorio no es constante, sino que se considera variable, como una función dependiente del tiempo. En su origen, este tipo de sistemas fue propuesto para explicar la posible influencia de una masa variable sobre los cambios que experimenta una órbita kepleriana elíptica. Sin embargo el concepto de sistema de Gyldén no apela a ninguna suposición concreta acerca de las causas de las variaciones temporales del parámetro de acoplamiento gravitatorio (sea ello debido a variaciones de masa, a variaciones de la “constante de gravitación universal”, o a una combinación de ambos efectos). Con posterioridad el modelo de Gyldén ha encontrado también aplicación en el estudio de la dinámica de sistemas estelares binarios o múltiples en los que se detecta pérdida o transferencia de masa en alguna de sus estrellas componentes; o en el caso de cuerpos celestes que ganan masa por acreción, o de cometas que pierden materia por combustión en el entorno de sus perihelios. En este Trabajo de Fin de Grado se trata de obtener diversas formulaciones del problema de Gyldén en función de algunos de los diferentes sistemas de variables orbitales de uso habitual en Mecánica Celeste y Astrodinámica. MATERIA/ASIGNATURA(S): Astronomía Matemática y Mecánica Celeste. 13 TÍTULO: Órbitas keplerianas que pasan por dos puntos. Problema de Lambert. DIRECTOR(ES): Alberto José Abad Medina (IUMA, [email protected]) Luis Floría Gimeno (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: El problema de la búsqueda de órbitas keplerianas que pasan por dos puntos es de gran interés en Astrodinámica, especialmente por sus aplicaciones, tanto en problemas de determinación de órbitas (asteroides, cometas) como en el de transferencias orbitales de satélites artificiales. Mientras que la forma clásica de abordar el cálculo de órbitas se plantea en forma de un problema de valores iniciales para las ecuaciones diferenciales ordinarias que representan el movimiento kepleriano, en este caso nos enfrentamos con la resolución de un problema de contorno, en el que se sustituye el valor del vector velocidad por una segunda posición. Este problema tiene asegurada una solución única si fijamos el tiempo de tránsito entre ambas posiciones, lo que conduce al clásico problema de Lambert, cuya resolución se puede efectuar por medio de diferentes métodos. En este Trabajo Fin de Grado se pretende que el alumno analice el problema y varios métodos de resolución del mismo, y los plasme en un software con el que se pongan de manifiesto las posibles ventajas e inconvenientes de cada tipo de tratamiento. MATERIA/ASIGNATURA(S): Astronomía Matemática y Mecánica Celeste. 14 TÍTULO: Órbitas de sistemas cuasi-keplerianos DIRECTOR(ES): Alberto José Abad Medina (IUMA, [email protected]) Luis Floría Gimeno (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Un sistema cuasi-kepleriano es un sistema kepleriano perturbado regido por una fuerza central conservativa en la que a la fuerza de atracción gravitatoria newtoniana (proporcional al recíproco del cuadrado de la distancia mutua entre las partículas) se superpone una perturbación proporcional al recíproco del cubo de dicha distancia. Este esquema de los sistemas cuasi-keplerianos incluye, como caso particular, al problema de Manev, un modelo que constituye una modificación no relativista de la Ley de Gravitación Universal de Newton que se ha usado para intentar justificar teóricamente, con rigor y exactitud, el movimiento observado de la línea de ápsides (es decir, el movimiento secular del pericentro) de algunos cuerpos celestes, al menos en el seno del Sistema Solar (por ejemplo, el avance del perihelio de los planetas interiores, o el movimiento del perigeo de la Luna), aunque ya el propio Newton, y posteriormente Clairaut, habían recurrido a esta corrección de la Ley de Gravitación Universal en sus investigaciones sobre el movimiento de la Luna. En este Trabajo de Fin de Grado se propone estudiar la precesión de las órbitas solución de un sistema cuasi-kepleriano a partir del planteamiento de las ecuaciones del problema en varios sistemas de variables orbitales generalmente utilizadas para el tratamiento de los sistemas keplerianos en Mecánica Celeste y Astrodinámica. MATERIA/ASIGNATURA(S): Astronomía Matemática y Mecánica Celeste. 15 Estadística e Investigación Operativa TÍTULO: Métodos de suavizado aplicados a funciones de regresión. DIRECTOR(ES): José Tomás Alcalá Nalváiz (Dpto. de Métodos Estadísticos, [email protected]) José Antonio Cristóbal Cristóbal (Dpto. de Métodos Estadísticos, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: En este trabajo el alumno consigue comprender los principales métodos no paramétricos para la estimación de la función de regresión; en especial los métodos de suavización de tipo núcleo, por ejemplo polinomios locales. Se aprenderá a deducir sus principales propiedades asintóticas. Se estudiarán criterios para la selección del parámetro de suavizado y finalmente, se aplicará lo aprendido a conjuntos de datos reales con ayuda de software estadístico especializado. MATERIA/ASIGNATURA(S): Estadística matemática, técnicas de regresión y teoría de la probabilidad. 16 TÍTULO: Teoría de Ramsey para grafos. DIRECTOR(ES): Alfredo García Olaverri (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: La teoría de Ramsey es un área especialmente atractiva dentro del campo de Combinatoria. Una de las formas de abordar esta teoría es a través de grafos, empezando con los teoremas de Erdós-Szakeres. El estudiante deberá trabajar, entender y saber explicar estos teoremas fundamentales. En el trabajo debería incluirse los últimos valores conocidos de lo números de Ramsey, así como las aplicaciones más conocidas com el teorema de Schur sobre sumas de enteros, y los resultados sobre puntos en posición convexa. El material básico de estudio está en el libro “Modern Graph Theory” de B. Bollobás MATERIA/ASIGNATURA(S): Grafos y Combinatoria 17 TÍTULO: Sorteos para hacer justo un mundial de fútbol. DIRECTOR(ES): Francisco Javier López Lorente (Dpto. de Métodos Estadísticos, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Cada cuatro años la FIFA organiza el mundial de fútbol, en el que se enfrentan 32 equipos. En una primera fase, los 32 equipos se organizan en 8 grupos, de cada uno de los cuales salen 2 equipos que pasan a octavos de final. Para organizar los 8 grupos, la FIFA realiza un sorteo dirigido en función de la calidad de los equipos y de criterios geográficos. Sin embargo, este sistema de sorteo es ampliamente criticado ya que da lugar a grupos muy dispares entre sí, de forma que algunos grupos son muy fáciles mientras que otros son muy difíciles. En mayo de 2014, el probabilista Julien Guyon escribió un artículo en el que puso de manifiesto las deficiencias del sistema utilizado por la FIFA, a la vez que proponía varias formas de hacer el sorteo más justas, en las que los grupos fueran de dificultades más similares. Los sistemas propuestos por Guyon son de diferente naturaleza: uno de ellos consiste en la enumeración de todas las soluciones factibles con un conjunto de restricciones geográficas dado y la elección por sorteo de de una de éstas, mientras que otro sistema se basa en un sorteo en dos fases. Este artículo tuvo una importante repercusión en los medios de comunicación (New York Times, Le Figaro, El País...) y quizá lleve a la FIFA a replantearse la forma en la que realiza el sorteo. El objetivo del trabajo es encontrar un sistema de sorteo que dé lugar a unas agrupaciones lo más homogéneas posibles, es decir, que consiga que las dificultades de los 8 grupos sean similares, cumpliendo las restricciones geográficas que marca la FIFA. Para ello, el alumno tendrá que estudiar las propiedades del sistema actual, de los sistemas propuestos por Guyon u otros que hayan aparecido en la literatura, y plantear algún sistema nuevo. A la hora de estudiar cada uno de los sistemas, deberá comprobar, en primer lugar, que siempre da una solución factible y que es equiprobable, de forma que no se beneficie injustamente a ningún país. Además, deberá comparar las propiedades de los sistemas utilizando simulación y un posterior análisis estadístico de los resultados. Dependiendo de la duración, dificultad y longitud del trabajo, se podrá pensar en su ampliación a otras competiciones, como la Eurocopa o la Liga de Campeones. MATERIA/ASIGNATURA(S): Introducción a la Probabilidad y la Estadística, Cálculo de Probabilidades, Estadística matemática, Investigación Operativa y Grafos y combinatoria 18 TÍTULO: Modelos estocásticos en Física, Medicina y Biología (Dos o tres trabajos). DIRECTOR(ES): Gerardo Sanz Sáiz (Dpto. de Métodos Estadísticos, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Con la realización de cualquiera de estos trabajos se pretende que el estudiante se inicie en los pasos preliminares del campo de los Modelos Estocásticos. La aleatoriedad intrínseca a la mayoría de los fenómenos reales, hace que los modelos estocásticos sean una herramienta básica para modelar diversos modelos de interés en Física, Medic- ina o Biología. En el primer caso los modelos se abordarán desde un punto de vista más teórico en el sentido de que se analizarán diversos mode- los estocásticos útiles para representar fenómenos físicos. Con respecto al análisis de modelos estocásticos en Medicina o Biología, se trata, en términos generales, de conocer técnicas estadísticas de gran utilidad en problemas de clasificación y predicción de diversas características relativas a la evolución enfermedades. Más específicamente, el trabajo se centrará en modelos y técnicas usados para estudiar diversos problemas relacionados con la evolución de algunos tipos de cáncer. Este trabajo complementará la formación del estudiante con el estudio de técnicas de supervivencia y de modelos de Markov usados para la evolución de enfermedades. Además, se trabajará con datos reales que permitirán validar los resultados. MATERIA/ASIGNATURA(S): Probabilidad y la Estadística, Cálculo de de Probabilidades, Estadística matemática, Técnicas de regresión y Teoría de la probabilidad. 19 Física Teórica TÍTULO: Aproximación simpléctica a la mecánica cuántica (un trabajo cada director). DIRECTOR(ES): José Fernando Cariñena Marzo (IUMA, [email protected]) Jesús Clemente Gallardo (BIFI, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: En este TFG describiremos la formulación de la mecánica cuántica en términos de la geometría simpléctica, y veremos cómo el uso de dicha geometría nos permite describir la ecuación de Schrödinger como un sistema dinámico Hamiltoniano. Para ello probaremos que el conjunto de estados del sistema tiene una estructura canónica de variedad Kähler y que la dinámica asociada a la ecuación de Schrödinger (o de Heisenberg) se corresponde con las curvas integrales de un campo vectorial hamiltoniano respecto a la parte simpléctica de la estructura Kähler que es, además, un campo de Killing respecto a la parte riemanniana. Se pretende que el alumno se familiarice con esta formulación geométrica de la Mecánica Cuántica y sea capaz de aplicarla en el estudio de casos sencillos. Potenciales aplicaciones particularmente útiles podrían ser la teoría de la información cuántica, la teoría de control de sistemas cuánticos o los sistemas integrables cuánticos. Las técnicas a utilizar son la profundización en el estudio de la Mecánica Cuántica y de la Geometría Diferencial, el estudio analítico de los ejemplos y el uso de programas de cálculo simbólico. Algunas aplicaciones podrían requerir también el uso de técnicas de simulación numérica. MATERIA/ASIGNATURA(S): Sistemas dinámicos, Variedades diferenciables 20 TÍTULO: Principios de superposición no lineal de soluciones de sistemas ecuaciones diferenciales (un trabajo cada director). DIRECTOR(ES): José Fernando Cariñena Marzo (IUMA, [email protected]) Jesús Clemente Gallardo (BIFI, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: En este TFG se estudiarán los sistemas de Lie de ecuaciones diferenciales ordinarias que son aquellos admiten principios de superposición no lineal que nos permiten escribir la solución general como una función de un cierto número de soluciones genéricas. Además del formalismo general se estudiarán ejemplos concretos con aplicaciones tanto en física como en matemáticas, y en particular en algunos ejemplos de teoría de control afín. Se pretende que el alumno se familiarice con el uso de la teoría de grupos y álgebras de Lie y otros conceptos relacionados de geometría en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Las técnicas y herramientas a utilizar son las propias de la Geometría Diferencial. Algunas aplicaciones podrían requerir también el uso de técnicas de cálculo simbólico y de simulación numérica. MATERIA/ASIGNATURA(S): Ecuaciones diferenciales ordinarias, Sistemas dinámicos, Variedades diferenciables 21 TÍTULO: Sistemas dinámicos Hamiltonianos (un trabajo cada director). DIRECTOR(ES): José Fernando Cariñena Marzo (IUMA, [email protected]) Manuel Fernández–Rañada Menéndez (IUMA, [email protected]). CONTENIDO/RESUMEN: En este TFG se aplicarán los conceptos de geometría diferencial previamente desarrollados para el estudio de sistemas dinámicos Hamiltonianos, de tanto uso en múltiples áreas de la ciencia y tecnología. Estructura simplécticas, o el caso más general de estructuras de Poisson, serán utilizadas para definir campos vectoriales Hamiltonianos cuyas curvas integrales, que representan la evolución dinámica, viene determinados por las bien conocidas ecuaciones de Hamilton. Su relación con el formalismo Lagrangiano será también objeto de estudio. Se pretende que el alumno se familiarice con el uso de las herramientas propias de la Geometría Diferencial para el estudio de sistemas de ecuaciones diferenciales. Las técnicas y herramientas a utilizar son las propias de la Geometría Diferencial. También se requieren unos conocimientos previos de Mecánica MATERIA/ASIGNATURA(S): Ecuaciones diferenciales ordinarias, Sistemas dinámicos, Variedades diferenciables, Mecanica celeste. 22 TÍTULO: Reglas de Kirchhoff y repartición de corrientes en un circuito. DIRECTOR(ES): Fernando Falceto Blecua (Dpto. de Física Teórica, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: En primer lugar se estudiará el artículo de Hermann Weyl “Repartición de corriente en una red conductora” (1923), que establece las condiciones suficientes para la existencia de solución única para la asignación de corrientes en un circuito eléctrico. Posteriormente se revisará alguna literatura más reciente sobre el tema y se considerarán circuitos que no cumplen las condiciones anteriores, estudiando los casos en que carecen de solución o en los que ésta no es única. MATERIA/ASIGNATURA(S): Física General 23 Informática TÍTULO: Criptografía RSA: fundamentos y desarrollo. DIRECTOR(ES): José Carlos Ciria Cosculluela (Dpto. de Informática e Ingeniería de Sistemas, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: El estudiante iniciará su TFG realizando una revisión de los fundamentos matemáticos en que se basa el sistema RSA. A continuación desarrollará una aplicación informática basada en dicho sistema, siguiendo las fases de análisis, diseño e implementación. La aplicación permitirá a un usuario generar un sistema de claves (pública y privada), e incluirá funciones que permitan: Que cualquier interlocutor que desee comunicarse con el usuario pueda encriptar un mensaje para transmitirlo de forma segura, usando la clave pública. Que el usuario pueda firmar mensajes y desencriptar los mensajes recibidos, haciendo uso de su clave privada. Se simulará la comunicación entre distintos actores haciendo uso de las funciones anteriores. En las fases de análisis y diseño se hará uso del lenguaje de modelización UML (por ejemplo, diagramas de clases y de secuencia). Se analizará la complejidad de los algoritmos diseñados. MATERIA/ASIGNATURA(S): Informática I e Informática II 24 TÍTULO: Técnicas de optimización de consultas a bases de datos. DIRECTOR(ES): Jorge Lloret Gazo (Dpto. de Informática e Ingeniería de Sistemas, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Un gestor de bases de datos relacional recibe consultas SQL y devuelve como resultado los datos solicitados en esas consultas. Para recuperar el resultado de los ficheros de bases de datos, el gestor dispone de varias técnicas. Llamamos optimización de consultas al proceso de encontrar la técnica más eficiente para recuperar el resultado una consulta. Una forma de medir si una técnica es más eficiente que otra en una consulta es comparar sus tiempos de respuesta y es más eficiente aquella técnica cuyo tiempo de respuesta es menor. En este trabajo fin de grado el alumno estudiará en primer lugar el álgebra relacional, que es la base matemática para expresar consultas SQL que posteriormente serán optimizadas. A continuación, revisará diversas técnicas de optimización, como por ejemplo, la aplicación de reglas heurísticas para transformar una consulta expresada en términos del álgebra relacional en otra que es más eficiente de ejecutar pero proporciona el mismo resultado que la original. MATERIA/ASIGNATURA(S): Bases de Datos I 25 TÍTULO: Sistemas Complejos: Estudio y Aplicaciones. DIRECTOR(ES): Ricardo Lopez Ruiz (Dpto. de Informática e Ingeniería de Sistemas, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Los Sistemas Complejos es un área muy activa de trabajo en los últimos años. Todos aquellos sistemas formados por una multitud de unidades que interaccionan e intercambian información entre ellas dando lugar a un comportamiento emergente pueden considerarse sistemas complejos. Desde una colonia de hormigas que transportan comida para almacenarla en su hormiguero de una manera bien característica, pasando por la maquinaria de una célula que efectúa todas sus funciones a través de una red de proteínas controlada por el ADN, hasta la sociedad humana donde los individuos y corporaciones realizan transacciones comerciales que dan lugar a una determinada distribución de la riqueza, todos ellos son sistemas complejos cuyo comportamiento colectivo no puede explicarse desde el conocimiento del comportamiento de una de las unidades y necesita del estudio de su interacción colectiva para entender los nuevos comportamientos emergentes que aparecen. Los TFG propuestos se harán de dentro de este campo en diversas líneas de trabajo: sistemas caóticos, medidas de complejidad, econo-física, etc. y todos ellos pueden conllevar una parte de estudio de la bibliografía correspondiente del tema elegido así de una parte aplicada de simulación de algún sistema particular en cuestión. Estos detalles se concretarán con los estudiantes correspondientes y según sean sus intereses y preferencias. MATERIA/ASIGNATURA(S): Informática I 26 Geometría y Topología TÍTULO: Implementación de objetos geométricos en programas informáticos. DIRECTOR(ES): Enrique Artal Bartolo (IUMA, [email protected]) José Ignacio Cogolludo Agustín (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: El objetivo de este trabajo es implementar nuevas funcionalidades geométricas en programas libres como SAGEMATH o GEOGEBRA. Su implementación supondrá dominar los objetos matemáticos a implementar así como las herramientas informáticas. A modo de ejemplos; SAGEMATH permite analizar numerosos objetos en anillos de polinomios para su uso en Geometría Algebraica. Sin embargo la implementación de esos objetos es escasa en otros ámbitos como los anillos de polinomios de Laurent. MATERIA/ASIGNATURA(S): Geometría lineal, Estructuras algebraicas, Teoría de Galois, Geometría de curvas y superficies, Topología de superficies, Curvas algebraicas, Álgebra abstracta aplicada, Informática. 27 TÍTULO: Teoría de nudos y Aplicaciones. DIRECTOR(ES): Enrique Artal Bartolo (IUMA, [email protected]) José Ignacio Cogolludo Agustín (IUMA, [email protected]) María Teresa Lozano Imízcoz (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: El objetivo de este trabajo es comprender el objeto matemático de nudo y enlace, las herramientas básicas para su estudio y clasificación así como reconocer la aparición y posibles aplicaciones de los mismos en diversas áreas del conocimiento: en geometría de curvas algebraicas, en física (electromagnetismo, órbitas), bioquímica (quiralidad, estructuras de ADN), probabilidad o arte. El trabajo a realizar se centrará en alguno de estos aspectos. Como ejemplo, se pueden estudiar los nudos y enlaces algebraicos, también conocidos como enlaces tóricos iterados: describir invariantes que permitan clasificarlos y codificarlos. Dar una fórmula recursiva para los mismos e implementarla en un programa de cálculo simbólico. MATERIA/ASIGNATURA(S): Geometría lineal, Estructuras algebraicas, Teoría de Galois, Geometría de curvas y superficies, Topología de superficies, Curvas algebraicas, Álgebra abstracta aplicada, Informática. 28 TÍTULO: Geometría esférica e hiperbólica. DIRECTOR(ES): María Teresa Lozano Imízcoz (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Se trata de trabajar algunos de los siguientes temas: Historia de las geometrías no-Euclídeas. Modelos de las geometrías hiperbólica y esférica. Cálculo de geodésicas en los diferentes modelos. Grupos de isometrías de estas geometrías. Su influencia en el arte. MATERIA/ASIGNATURA(S): Geometría Lineal, Geometría de curvas y superficies y Variedades diferenciales. 29 TÍTULO: Poliedros y Grupos de Homología. DIRECTOR(ES): José Luis Navarro Segura (Dpto. de Matemáticas, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Los espacios más interesantes (superficies, variedades diferenciales,. . . ) son poliedros, es decir son homeomorfos al espacio topológico asociado a un complejo simplicial. El objetivo de este trabajo es estudiar las propiedades topológicas de estos últimos, el grupo de aristas y su relación con el grupo fundamental, sus grupos de homología y su aplicación a teoremas de punto fijo y clasificación de superficies. También otras aplicaciones interesantes como el teorema de la dimensión, campos vectoriales en esferas y los sólidos platónicos. MATERIA/ASIGNATURA(S): Topología General y Topología de Superficies . 30 TÍTULO: Transversalidad y estabilidad. DIRECTOR(ES): Alvaro Rodés (Dpto. de Matemáticas, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: La transversalidad como generalización del concepto de regularidad. Subvariedades transversales. Homotopía y estabilidad. Teoremas de estabilidad MATERIA/ASIGNATURA(S): Variedades Diferenciables. 31 TÍTULO: Geometría de los grupos de Lie. DIRECTOR(ES): Luis Ugarte Virumbrales (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Los grupos de Lie son grupos que tienen además estructura de variedad diferenciable compatible. Esta riqueza estructural que combina álgebra y geometría los hace interesantes no sólo en matemáticas sino también por sus múltiples aplicaciones en física. En este trabajo se revisarán en primer lugar los principales resultados de la teoría de grupos de Lie (relación con las álgebras de Lie, subgrupos de Lie, acciones sobre variedades, espacios homogéneos,. . . ) con el objetivo de aplicarlos en alguna situación más concreta (geometría compleja, simpléctica, espacio hiperbólico como espacio homogéneo,. . . ). MATERIA/ASIGNATURA(S): Variedades Diferenciables 32 Matemática Aplicada TÍTULO: Análisis de modelos matemáticos en Biología (hasta 2 trabajos) DIRECTOR(ES): Roberto Barrio Gil (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Una de las ramas de las matemáticas que ha vivido un gran auge en los últimos años es la de las biomatemáticas, potenciando el análisis serio y riguroso de determinados fenómenos en biología. Es este trabajo/os se pretende estudiar de forma numérica y analítica el comportamiendo de modelos tales como Modelos de propagación de enfermedades Modelos matemáticos de neuronas Modelos de dinámica de poblaciones En todos los casos se considerarán modelos diferenciales, es decir, sistemas modelados mediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Se requerirá la solución numérica de dichos sistemas mediante software tipo OCTAVE, MATLAB o similares y el análisis de algunas propiedades cualitativas de dichos modelos que nos dan lugar a diversos comportamientos y cambios significativos en el sistema real. MATERIA/ASIGNATURA(S): Modelización Matemática, Sistemas Dinámicos 33 TÍTULO: Simulación numérica en finanzas. DIRECTOR(ES): Francisco José Gaspar Lorenz (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Este trabajo trata del modelo de Black-Scholes para la estimación del valor de una opción para la compra (call) o venta (put) de acciones en una fecha futura. En primer lugar se estudiará algunas nociones de finanzas, necesarias para una mejor comprensión del trabajo. Posteriormente se estudiarán tanto las técnicas analíticas como numéricas para la resolución de dicha ecuación. MATERIA/ASIGNATURA(S): Ecuaciones en derivadas parciales. Tratamiento numérico de las ecuaciones en derivadas parciales. 34 TÍTULO: Simulación numérica en medios porosos deformables. DIRECTOR(ES): Francisco José Gaspar Lorenz (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: El estudio de los medios porosos deformables reside en la descripción de un medio donde coexisten dos materiales muy diferentes. Por un lado tenemos una matriz sólida deformable y por el otro el fluido que ocupa los poros. En términos generales, los materiales porosos se relacionan con materiales tales como rocas, suelos, tejidos vivos, espumas, y productos de papel. Por ejemplo, para analizar el comportamiento de un suelo al extraerle agua o el análisis del comportamiento de un yacimiento de gas o petróleo durante su explotación, es necesario evaluar la interacción del fluido con la matriz porosa, por lo que el estudio de los medios porosos son de gran importancia. En este trabajo se pretende mostrar la aplicación de la simulación numérica en este contexto. En primer lugar, se estudiarán algunas nociones básicas, necesarias para una mejor comprensión del trabajo. A partir de estas nociones básicas, se estudiarán algunos de los modelos más importantes del movimiento del fluido en medios porosos. Finalmente, se estudiarán las té cnicas numéricas necesarias para su resolución, concluyendo con una implementación algorítmica en el ordenador. MATERIA/ASIGNATURA(S): Ecuaciones en derivadas parciales. Tratamiento numérico de las ecuaciones en derivadas parciales. Física General. 35 TÍTULO: Simulación numérica del crecimiento tumoral. DIRECTOR(ES): Francisco José Gaspar Lorenz (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Este trabajo trata de la simulación numérica de algunos modelos de crecimiento de tumores malignos. En primer lugar, se estudiarán modelos basados en sistemas de ecuaciones en derivadas parciales. Se considerarán técnicas numéricas necesarias para su aproximación, para finalizar el trabajo con una implementación algorítmica en el ordenador. MATERIA/ASIGNATURA(S): Ecuaciones en derivadas parciales. Tratamiento numérico de las ecuaciones en derivadas parciales. 36 TÍTULO: Modelado y simulación de un ‘tippe-top’ DIRECTOR(ES): Eduardo Martínez Fernández (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: El ’tippe-top’ es una peonza que gira en posición vertical y que, al perder velocidad, su eje de giro va cambiando hasta colocarse precisamente en sentido contrario. En términos de sistemas dinámicos la órbita que describe es claramente una órbita heteroclínica. Se trata de estudiar el modelo matemático que describe el movimiento del ’tippe-top’ y realizar simulaciones que permitan entender este comportamiento tan peculiar. MATERIA/ASIGNATURA(S): Sistemas dinámicos. 37 TÍTULO: Estudio y construcción de métodos de integración numérica de tipo RungeKutta-Hermite-Birkhoff DIRECTOR(ES): Luis Rández García (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: En este trabajo fin de grado se pretende el análisis y construcción de un tipo particular de integradores numéricos más general que los métodos Runge-Kutta. El objetivo es el desarrollo de un código de integración numérica a paso variable de este tipo de esquemas con especial atención a las propiedades de dispersión y disipación numéricas. La implementación se realizará en python. MATERIA/ASIGNATURA(S): Simulación numérica en ecuaciones diferenciales ordinarias. 38 Multidisciplinares Divulgación TÍTULO: Diseño y presentación de material divulgativo matemático. interactivo DIRECTOR(ES): Julio Bernués Pardo (IUMA, [email protected]) Pedro José Miana Sanz (IUMA, [email protected]) Luis Rández García (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Se desarrollarán tareas de diseño de material didáctico y divulgativo de tipo interactivo, aunque no exclusivamente en formato digital. En el caso de desarrollo de material digital, uno de los lenguajes de programación a usar sería el html5, próximo estándar de la web por sus numerosos avances y mejoras respecto a las versiones actuales. El objetivo de este TFG es la presentación y uso de dicho material en actividades didácticas y de divulgación del IUMA: Espacio Etopia, Pabellón de la Ciencia, Noche de los investigadores, Talleres, . . . MATERIA/ASIGNATURA(S): Todas las del grado 39 Ecuaciones diferenciales y singularidades TÍTULO: Ecuaciones diferenciales implícitas y clasificación de sus singularidades DIRECTOR(ES): Enrique Artal Bartolo (IUMA, [email protected]) Eduardo Martínez Fernández (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: En muchas ocasiones las ecuaciones diferenciales no vienen dadas en forma normal sino en forma implícita F (t, x, dx/dt) = 0. Para su estudio, se considera la superficie de ecuación F (t, x, p) = 0 y se plantea el sistema diferencial obtenido al añadir la condición dx − pdt = 0. En los puntos regulares, el método proporciona inmediatamente las soluciones locales. Sin embargo, en los puntos singulares, el comportamiento de las soluciones puede resultar muy complicado. En el trabajo se tratarán de estudiar las singularidades de las ecuaciones diferenciales implícitas, estableciendo las posibles formas normales y los tipos de soluciones que tienen, y representando gráficamente los diagramas de fases asociados a dichas formas normales. MATERIA/ASIGNATURA(S): Ecuaciones diferenciales ordinarias, Geometría de curvas y superficies. 40 Geometría e Ingeniería TÍTULO: Identificación de sustancias explosivas mediante la caracterización/parametrización de curvas planas. DIRECTOR(ES): Jorge Martín Morales (CUD, [email protected]) Javier Martínez Torres (CUD, [email protected]) PONENTE: Luis Rández García ([email protected]). Universidad de Zaragoza CONTENIDO/RESUMEN: Las señales eléctricas, electrónicas y magnéticas proporcionadas por multitud de aparatos de medida en el ámbito de la Ingeniería pueden ser aproximadas de forma precisa por una curva plana, pudiendo así abordar el problema desde un punto de vista matemático. Un caso particular de este tipo de señales es el obtenido en la experimentación de identificación de sustancias explosivas mediante un sensor basado en nanotecnología desarrollado por un grupo de investigación de reconocido prestigio como es el Instituto de Investigación de Nanociencia de Aragón, tratándose por tanto de un proyecto fin de grado con un marcado carácter interdisciplinar. Así, el objetivo principal del trabajo es codificar una familia de curvas planas dependiendo de un conjunto de parámetros cuya dimensión sea mínima, pudiendo así obtener un método para caracterizar la curva plana de tal modo que en el caso de presentarse una nueva curva, el modelo sea capaz de parametrizarla según las curvas dadas anteriormente. Mediante el desarrollo de este trabajo el alumno verá una aplicación directa de los métodos impartidos en diferentes asignaturas del grado, así como adquirir el conocimiento de un problema de gran impacto en la sociedad. MATERIA/ASIGNATURA(S): Análisis matemático I, Análisis matemático II, Análisis numérico I, Análisis numérico II 41 Matemática Aplicada e Ingeniería TÍTULO: Aplicaciones de la derivación respecto al dominio a la evaluación no destructiva de materiales (Hasta 3 TFG secuenciados). DIRECTOR(ES): Ricardo Celorrio (IUMA, [email protected]) Mónica Hernández (I3A, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Trabajo interdisciplinar: La evaluación no destructiva de materiales mediante termografía activa infrarroja se está imponiendo como sistema de control de calidad en las cadenas de producción de materiales metálicos y composites. Su baja peligrosidad, comparada con los rayos X, y el desarrollo de cámaras y videocámaras de visión infrarroja cada vez más sensibles y asequibles hacen de este sistema uno de los más atractivos a la hora de detectar grietas o inhomogeneidades subsuperciales en los materiales. El modelo matemático asociado es una ecuación elíptica en derivadas parciales en un dominio parcialmente desconocido a priori (o con propiedades térmicas parcialmente desconocidas) que se debe determinar mediante un proceso de optimización que involucra el cómputo de derivadas de Fréchet respecto del dominio de definición. Este es un problema no lineal mal puesto (ill-posed) en el sentido de Hadamard y requiere ser estabilizado mediante técnicas de regularización. A lo largo de los diferentes TFG se explorarán técnicas de regularización y de minimización y su posible implemetación numérica eficiente mediante el uso del operador adjunto. MATERIA/ASIGNATURA(S): Ecuaciones en Derivadas Parciales. Tratamiento Numérico de las Ecuaciones en Derivadas Parciales. Informática. 42 TÍTULO: Métodos de reducción de modelos. (Hasta 3 TFG secuenciados) DIRECTOR(ES): Ricardo Celorrio (IUMA, [email protected]) David González (I3A, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Trabajo interdisciplinar: Los métodos de reducción modelos o de orden (ROM por sus siglas en inglés) están ganando popularidad en todo tipo de aplicaciones (control, procesado de señal, compresión de imagen, mecánica de fluidos y estructuras y sistemas de potencia). En general estos problemas están planteados como ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales en un contexto de sistemas de muchas consultas, como son las situaciones de optimización o cuantificación de incertidumbre en procesos rápidos de entrada (parámetro)–salida (un funcional de la solución de la ecuación), que necesita ser resueltos de manera eficiente muchas veces. Mediante estas técnicas es posible generar Superficies de Respuesta para problemas definidos en espacios de dimensiones altas, o la obtención de la solución en Tiempo Real, por citar algunas de las aplicaciones más relevantes. De los múltiples MOR, en los TFG asociados a esta propuesta se abordarán los métodos de reducción de base (RBM) y de descomposición propia generalizada (PGD) aplicados a sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias y a ecuaciones elípicas simples, indagando en las matemáticas subyacentes a ambos métodos. http://www.ics.upmc.fr/modules/resources/download/ics/catalogue_des_ seminaires_calsim/calsim_2012/\urlbreakcalsim_2012_6_stamm/stamm.pdf MATERIA/ASIGNATURA(S): Ecuaciones en Derivadas Parciales. Tratamiento Numérico de las Ecuaciones en Derivadas Parciales. Informática. 43 TÍTULO: Aplicación de métodos multi-paso en algoritmos distribuidos de consenso para sistemas multi-robot. DIRECTOR(ES): Eduardo Montijano Muñoz (CUD, [email protected]) Juan Ignacio Montijano Torcal (IUMA, [email protected]) CONTENIDO/RESUMEN: Los algoritmos distribuidos de consenso tienen una gran utilidad en tareas cooperativas de equipos de robots tales como el transporte de mercancías o tareas de búsqueda y rescate cooperativas. Estos algoritmos se pueden describir mediante sistemas diferenciales lineales tiempo-variantes. Su aplicación en redes de comunicación reales requiere la utilización de discretizaciones de los mismos. Sin embargo, el tiempo de paso que suelen admitir dichas discretizaciones no es compatible con las restricciones de comunicación reales entre los robots. En este TFG se propone investigar el uso de métodos multi-paso que permitan aumentar el paso de integración, con el objetivo de conseguir que el tiempo entre iteraciones del algoritmo se adecúe a las restricciones de comunicación reales del equipo de robots. MATERIA/ASIGNATURA(S): Simulación numérica en ecuaciones diferenciales ordinarias, Análisis numérico I-II, Sistemas dinámicos. 44
