Números complejos

Números complejos
j = + −1
Forma cartesiana (binómica): z = x + yj
Forma polar (módulo-argumental): z = r ⋅ e jθ = r (cos θ + j sen θ )
Parte imaginaria: Im[z ] = y = r sen θ
Parte real: Re[z ] = x = r cos θ
Módulo (magnitud, amplitud, valor absoluto): mod[z ] = r = x 2 + y 2
MATLAB: r=abs(z)
Argumento (fase): arg[z ] = θ
tg θ = y / x
en radianes
MATLAB: theta=angle(z) o bien theta=atan2(y,x)
theta=atan(y/x)es un Error Frecuentemente Cometido (EFC)
Argumentos y valores principales
Para un número complejo determinado, el argumento admite un conjunto
infinito de valores, que se diferencian entre sí en 2kπ (k entero). MATLAB da el
valor principal: − π < θ ≤ π
Igualmente, para la función arco tangente calculadoras y MATLAB dan el
valor principal: − π / 2 < θ < π / 2
En el cálculo del argumento debe tenerse en cuenta el signo de la parte real:
θ = arctg( y / x ) es correcto sólo si x > 0 ; recordar (EFC)
si x = 0: θ = π / 2 si y >0, θ = −π / 2 si y <0
si x < 0: θ = arctg( y / x ) − π
Esta última expresión no da en todos los casos el valor principal indicado
antes. Pero es más adecuada en aplicaciones (sistemas de control) donde sea
preferible usar fases negativas, evitando la discontinuidad entre –π y π.
Interpretación geométrica: el plano complejo
El número complejo se representa en el plano como un punto (x,y) o un vector
desde el origen hasta el punto (x,y), de módulo r y fase θ. La suma es como la
suma de vectores; pero el producto no es el producto escalar ni el vectorial.
LPH
8/10/2004
Desigualdad triangular
El módulo de la suma no es la suma de módulos (EFC); normalmente es menor:
mod[z1 + z 2 ] ≤ mod[z1 ] + mod[z 2 ]
Sumas y restas – mejor la forma cartesiana
z1 + z 2 = ( x1 + x 2 ) + ( y1 + y 2 ) j
z1 − z 2 = ( x1 − x 2 ) + ( y1 − y 2 ) j
Productos, cocientes, potencias y raíces - mejor la forma polar
z1 ⋅ z 2 = r1 ⋅ r2 ⋅ e jθ1 +θ 2
z1 / z 2 = r1 / r2 ⋅ e jθ1 −θ 2
z n = r n ⋅ e jnθ
z 1 / n = r 1 / n ⋅ e j (θ + 2 kπ ) / n
Nótese que hay n raíces; el valor principal es para k = 0.
Complejos conjugados
El conjugado de z = x + yj = r ⋅ e jθ es z* = x − yj = r ⋅ e − jθ
z ** = z
(z1 / z 2 )* = z1 * / z 2 * si
(z1 + z 2 )* = z1 * + z 2 *
z2 ≠ 0
Re[z ] =
1
(z + z *)
2
(z1 ⋅ z 2 )* = z1 * ⋅z 2 *
Im[z ] =
1
(z − z *)
2
Referencias
A. García y otros, “Cálculo I. Teoría y problemas de Análisis Matemático en
una variable”. 2ª edición, CLAGSA, 1994.
Capítulo 1, apartado 5. Números complejos.
Test de autoevaluación, 13-22
Problemas resueltos, 13-16
Problemas propuestos, 12-15
M.R. Spiegel y otros, “Fórmulas y tablas de Matemática aplicada”. 2ª edición,
serie Schaum, McGraw Hill, 1999.
25- Números complejos. Páginas 95-97
Buena parte de 14- Funciones exponenciales y logarítmicas. Páginas 61-62