El núcleo y sus radiaciones

Modelos nucleares
Laura C. Damonte
2014
Introducción
 Núcleos: sistema de muchos cuerpos
matemática
complejidad
Modelos estadísticos (gota líquida, un volumen de gas, etc) o
sistema central de fuerzas (el sistema planetario, un átomo pesado,
etc)
 En los últimos 50 años distintos modelos para la descripción de
diferentes propiedades
modelos de partícula independiente: donde los nucleones
interactúan débilmente
modelo de gas de Fermi
modelo de capas
modelos colectivos: nucleones fuertemente correlacionados
modelo de la gota líquida
modelo rotacional-vibracional.
modelo unificado
Modelo de gas de Fermi
Propuesto por H. Bethe en 1935: Si se desprecian las fuerzas entre
pares de nucleones y se toma en cuenta una fuerza promedio sobre
cada nucleón representada por el hecho de que todos estos están
contenidos en una esfera de volumen Ω y radio R= r0 A1/3, entonces
el núcleo puede tratarse como un gas cuántico.
Cada nucleón se mueve en un potencial neto atractivo, que
representa el promedio de los efectos de sus interacciones con otros
nucleones del núcleo.
El potencial neto tiene una profundidad constante dentro del núcleo,
dado que la distribución de los nucleones es constante en esta
región; afuera del núcleo el potencial se va a cero en una distancia
igual al rango de las fuerzas nucleares.
El potencial neto es aproximadamente como un pozo
cuadrado finito de tres dimensiones de radio un poco más
grande que el radio nuclear.
Modelo de gas de Fermi…
En el estado base del núcleo, sus nucleones, que son todos
fermiones y tienen todos espín intrínseco s=1/2, ocupan los niveles
de energía del potencial neto, de tal manera que minimizan la
energía total sin violar el principio de exclusión de Pauli.
Dado que los protones
son distinguibles de los
neutrones, el principio
de exclusión opera
independientemente
para los dos tipos de
nucleones:
Modelo de gas de Fermi…
Para conocer la profundidad del pozo necesitamos conocer la energía
típica de Fermi εF para un núcleo, que es la energía del nivel lleno
mas alto del sistema, medida desde el fondo del pozo de potencial
(pozo cuadrado en tres dimensiones).
Está relacionada con la masa M del nucleón y su densidad ρ, por:
Para un gas de Fermi la energía
para los protones y neutrones:
Modelo de gas de Fermi…
Para r0=1.2, la constante C=53.09 MeV, considerando un núcleo
Z=N=A/2, la
EF= 33.44 MeV y sabiendo EB= 8MeV , las partículas, p y n, se
mueven en un pozo de 41MeV de profundidad.
La energía cinética media por nucleón:
¿Cuál es el núcleo mas estable?
Si definimos
Por lo que se deduce que energéticamente la situación más favorable
es aquella con N = Z .
Modelo de la gota líquida
Nucleones fuertemente correlacionados propuesto por N. Bohr en 1935.
De acuerdo al modelo, los nucleones se comportan como las moléculas
de una gota líquida pues éstos interaccionan fuertemente unos con los
otros, tal como las moléculas en una gota líquida.
El modelo esta basado en dos propiedades que son comunes a todos
los núcleos, excepto para los muy pequeños.
 La densidad de masa en el interior es aproximadamente la
misma.
 La energía total de ligadura es proporcional a su masa.
M(A, Z ) =mpZ +mn (A- Z) - B(A,Z);
B/A ≈ cte
Modelo de la gota líquida…
El modelo de la gota predice la energía de ligadura de un núcleo en
términos del número de protones y neutrones.
Tiene cinco términos que corresponden a:
 La cohesión de todos los nucleones debido a la fuerza nuclear
 La repulsión electrostática entre los protones
 Un término de energía superficial
 Otro término de asimetría, proporcional a la diferencia entre el
número de neutrones y el de protones
 Un término de apareamiento entre pares de protones o de neutrones
fórmula semiempírica de masas o fórmula de Weizsaeker
Fórmula de Bethe-Weizsaeker
Valle de estabilidad como consecuencia de la competencia entre
el término coulombiano y el de asimetría.
Término de volumen
debido a la fuerza
nuclear entre nucleones
Término de superficie
Término coulombiano
Término de asimetría
Término de
apareamiento
Isobaros con:
A impar un nucleido estable
A par, 2 o 3 miembros
estables
Los nucleídos inestables son
mayoritariamente emisores b
Valle de la estabilidad:
Zestable
M
Z
Z estable
0
A
k2

2k3
M ( Z , A)  k1 A  k 2 Z  k3 Z 2
Parábolas de masa
Parábolas de masa
M ( Z , A)  k1 A  k 2 Z  k3 Z 2
k2
Z estable  
2k3
Parábolas de masa
Modelo de capas
El modelo de capas se basa en la idea de que los constituyentes del
núcleo se mueven de manera independiente.
El modelo de la gota líquida implica justamente lo contrario, que en la
gota de un líquido incompresible, el movimiento de cualquiera de sus
constituyentes está correlacionado con el movimiento de todos sus
vecinos.
El conflicto entre estas ideas enfatiza que un modelo provee
solo una descripción limitada de todo el conjunto de
fenómenos, sin incluir la existencia de modelos contrarios que
describen otro conjunto de características.
Permitió entender diversos procesos tales como fisión, fusión,
numerosos decaimientos nucleares, etc.
Sin embargo, fines de 1940 gran cantidad de datos experimentales
(masas, momentos magnéticos, etc.) indicaban que diversas
propiedades nucleares presentaban discontinuidades para ciertos
valores de N o Z.
Energías de ligadura
Energías de separación de neutrón
S(N,Z )= B(N,Z )− B(N −1,Z )
Estabilidad inusual para ciertos “números mágicos” Z, N =
2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 (capas electrónicas!!)
Números mágicos
Varios intentos se han hecho para poder deducir estos números
teóricamente, al escoger expresiones para potenciales que
promedien los potenciales intrínsecos en el núcleo, escogiendo por
simplicidad matemática potenciales de pozos esféricos finitos o
infinitos, como el potencial de un oscilador armónico en 3
dimensiones.
La ecuación de Schrödinger en tres dimensiones:
pozo esférico infinito:
2, 8, 18, 20, 34, 40, 58,
oscilador armónico:
1, 8, 20, 40, 70, 112,
Potencial de Wods-Saxon
Potencial spin-órbita
Mayer, Haxel, Suess y Jensen propusieron un potencial espín-órbita
para obtener la separación correcta entre capas:
El momento total angular es
Dependiendo de si el espín y el momento angular orbital son
paralelos o antiparalelos,
entonces la energía que separa los elementos de un mismo nivel es
Estructura
de capas
obtenida del
último
potencial.
A la derecha
se muestra
el efecto de
la adición
del potencial
spin-órbita
Llenado de las capas en 15O y 17O. Las propiedades
del estado base son determinadas por el neutron impar.
Modelo colectivo
El modelo de capas se basa en la idea de que los
constituyentes del núcleo se mueven de manera
independiente.
El modelo de la gota líquida implica justamente lo
contrario, dado que en la gota formada de un líquido
incompresible, el movimiento de cualquiera de sus
constituyentes está correlacionado con el movimiento de
todos sus vecinos.
El conflicto entre estas ideas enfatiza que un modelo
provee solo una descripción limitada de todo el
conjunto de fenómenos, sin incluir la existencia de
modelos contrarios que describen otro conjunto de
características.
Modelo colectivo
El modelo más exitoso en este aspecto es el modelo
colectivo del núcleo, que combina ciertas características
del modelo de capas y del de la gota incluyendo el
movimiento del núcleo completo considerando rotaciones y
vibraciones.
Fue Aage Bohr junto con Ben Mottelson quien planteó el
modelo como tal y desarrollo la mayoría de los resultados.
Modelo colectivo
Estas deformaciones representan la correlación, o
colectividad, del movimiento de los nucleones en la base
del núcleo que está asociado con el modelo de la gota.
Esta aproximación explica los momentos cuadrupolares
eléctricos, y predice también la estructura de baja energía de
los niveles del espectro nuclear, asociadas al movimiento
rotacional y vibracional.
Entonces es posible, al permitir cierta interacción entre
los dos tipos de movimiento, el presentar un cuadro
unificado del movimiento nuclear en donde las
características del modelo de capas y del colectivo
aparezcan.