Integral curvilínea

Lección
6
Integral curvilínea
Iniciamos aquí el desarrollo de la teoría local de Cauchy, cuyo resultado más llamativo será
la equivalencia entre analiticidad y holomorfía. La herramienta imprescindible en esta teoría es
una integral muy concreta para funciones complejas, llamada integral curvilínea. Como paso
previo, extendemos la integral de Cauchy al caso en que el integrando toma valores complejos.
Comprobadas las propiedades básicas de la integral curvilínea, la usamos para probar el primer
resultado de la teoría de Cauchy, una caracterización de la existencia de primitiva, que puede
entenderse como la versión compleja del teorema fundamental del Cálculo.
6.1.
Integral de Cauchy
En lo que sigue fijamos a, b ∈ R con a < b . De forma bastante rutinaria, extendemos la
definición y las propiedades básicas de la integral de Cauchy, bien conocidas para funciones
continuas de [ a, b ] en R , viendo que son válidas cuando el integrando toma valores complejos.
Por tanto, la integral quedará definida en el espacio de Banach complejo C [ a, b ] de todas las
funciones continuas de [ a, b ] en C , cuya norma viene dada por
def
k f k∞ = máx | f (t) | : t ∈ [ a, b ]
∀ f ∈ C [ a, b ]
Para f ∈ C [ a, b ] definimos su integral como cabe esperar:
Z b
I( f ) =
def
Z b
f (t) dt =
a
Z b
Re f (t) dt + i
a
Im f )(t) dt
a
Las propiedades de la integral, conocidas cuando f [ a, b ] ⊂ R , se extenderán con facilidad al
caso general.
Linealidad. Para f , g ∈ C [ a, b ] y λ, µ ∈ C se tiene:
Z b
Z
λ f + µ g (t) dt = λ
a
a
67
b
Z b
f (t) dt + µ
g(t) dt
a
6. Integral curvilínea
68
Sabiendo que esta igualdad es cierta para escalares reales y funciones con valores reales, basta
hacer la siguiente observación. Si para f ∈ C [ a, b ] tomamos u = Re f y v = Im f , se tiene:
I(i f ) = I(−v + i u) = −I(v) + i I(u) = i I(u) + i I(v) = i I( f )
Recordemos la positividad (o crecimiento) de la integral para funciones con valores reales:
si f , g : [ a, b ] → R son continuas y f (t) 6 g(t) para todo t ∈ [ a, b ] , entonces I( f ) 6 I(g) .
Esta propiedad, que por supuesto usaremos siempre que convenga, no nos da información para
funciones con valores complejos. Pero de ella se deduce que | I( f ) | 6 I | f | ) 6 (b − a)k f k∞ ,
desigualdad que, sustituyendo valores absolutos por módulos, sí es válida en general, lo que nos
da la continuidad del funcional I .
Continuidad. Para f ∈ C [ a, b ] se tiene:
Z b
Z b
6
f
(t)
dt
| f (t) | dt 6 (b − a) k f k∞
a
a
Escribimos | I( f ) | = λ I( f ) con λ ∈ T y tenemos claramente:
| I( f ) | = λ I( f ) = Re λ I( f ) = Re I λ f = I Re (λ f ) 6 I | λ f | = I | f |
La tercera propiedad básica de la integral es completamente evidente:
Aditividad. Para f ∈ C [ a, b ] y c ∈ ] a, b [ se tiene:
Z b
Z c
f (t) dt =
a
Z b
f (t) dt +
a
f (t) dt
c
El teorema fundamental del Cáculo también es válido para funciones complejas, pero no
vamos a usarlo. Mencionamos dos consecuencias: la regla de Barrow y la fórmula de cambio
de variable.
Regla de Barrow. Si f ∈ C [ a, b ] y F : [ a, b ] → C es una función derivable en [ a, b ]
tal que F 0 (t) = f (t) para todo t ∈ [a, b] , entonces:
Z b
f (t) dt = F(b) − F(a)
a
Puesto que (Re F) 0 = Re f y (Im F) 0 = Im f , basta usar la misma regla para funciones con
valores reales.
Fórmula de cambio de variable. Sea J un intervalo cerrado y acotado, ϕ : J → [ a, b ]
una función de clase C 1 y α, β ∈ J tales que ϕ(α) = a y ϕ(β) = b . Entonces, para
f ∈ C [ a, b ] se tiene:
Z b
Z β
f (t) dt =
f ϕ(s) ϕ 0 (s) ds
(1)
a
α
Nótese que puede muy bien ocurrir β < α , típicamente cuando ϕ es decreciente. Entonces
la integral del segundo miembro de (1) debe entenderse con el convenio habitual: la integral
cambia de signo al intercambiar los límites de integración. En cualquier caso, usando que (1)
es cierta para las funciones Re f y Im f , y aprovechando que ϕ 0 (s) ∈ R para todo s ∈ J ,
comprobamos inmediatamente que f también verifica (1) .
6. Integral curvilínea
6.2.
69
Curvas en el plano
Como su nombre indica, la integral curvilínea será una integral a lo largo de una curva, así
que de algún modo vamos a sustituir el intervalo [ a, b ] , que hemos usado para la integral de
Cauchy, por una curva en el plano complejo. La noción de curva es una de las más ambiguas que
existen en Matemáticas, pues la palabra “curva” se usa para designar objetos matemáticos muy
diversos, aunque siempre respondan a la misma idea intuitiva. Aquí adoptaremos la definición
que suele hacerse en Topología, pero en realidad sólo usaremos tipos muy particulares de curvas.
Para evitar tediosas repeticiones, cuando escribimos [ a, b ] se entiende que a, b ∈ R y a < b .
Así pues, llamaremos curva a toda función continua ϕ : [ a, b ] → C . La imagen de una
curva ϕ se denota por ϕ ∗ , es decir,
ϕ ∗ = ϕ(t) : t ∈ [ a, b ]
Es claro que ϕ ∗ es un subconjunto compacto y conexo de C . En él destacamos el punto ϕ(a) ,
llamado origen de la curva ϕ , y el punto ϕ(b) , que es el extremo de ϕ . Cuando ϕ(a) = ϕ(b)
se dice que ϕ es una curva cerrada.
La nomenclatura ya indica la interpretación intuitiva que usaremos: una curva describe un
movimiento en el plano, durante un intervalo de tiempo [ a, b ] , de forma que en cada instante
t ∈ [ a, b ] , el móvil ocupa la posición ϕ(t) , con lo que ϕ ∗ es la trayectoria recorrida, ϕ(a)
la posición inicial y ϕ(b) la final. Decimos que, cuando t recorre el intervalo [ a, b ] , la curva
ϕ recorre su imagen ϕ ∗ desde el origen ϕ(a) hasta el extremo ϕ(b) . En casos sencillos, se
representa gráficamente una curva ϕ dibujando el conjunto ϕ ∗ ⊂ C , si acaso con una flecha
que indica el sentido en que se recorre, pero esto es muy ambiguo. Es claro que curvas muy
diferentes pueden tener la misma imagen, por lo que no debemos confundir la curva ϕ , que es
una función, con su imagen ϕ ∗ , que es un subconjunto de C .
Pasamos a definir una operación con curvas que, por una razón que se verá más adelante,
llamaremos “suma” de curvas, pero no se trata de sumar funciones, sino que debe entenderse
como una yuxtaposición o encadenamiento. La suma de dos curvas ϕ y ψ será una curva que
describe el mismo movimiento que ϕ seguido del descrito por ψ . Para que esto pueda hacerse
sin perder la continuidad, el extremo de ϕ deberá coincidir con el origen de ψ . Además, si las
curvas están definidas en intervalos no consecutivos, debemos trasladar uno de ellos.
Consideremos pues dos curvas ϕ : [ a, b ] → C y ψ : [ c, d ] → C , tales que ϕ(b) = ψ(c) .
Definimos la suma de curvas ϕ + ψ , como la función γ : [ a, b + d − c ] → C dada por
γ(t) = ϕ(t) ∀t ∈ [ a, b ]
y
γ(t) = ψ(c + t − b) ∀t ∈ [ b, b + d − c ]
(2)
La condición ϕ(b) = ψ(c) hace que γ esté bien definida en el punto b y, junto con el carácter
local de la continuidad, asegura que γ es continua, es decir, γ es una curva. En [ a, b ] vemos
que γ coincide con ϕ , mientras que la restricción de γ al intervalo [ b, b + d − c ] es ψ ◦ τ donde
τ(t) = c + t − b para todo t ∈ [ b, b + d − c] , así que τ es la traslación que lleva el intervalo
[ b, b + d − c ] a [ c, d ] . Cuando t recorre el intervalo [ b, b + d − c ] es claro que s = τ(t) recorre
el intervalo [ c, d ] y, como γ(t) = ψ(s) , γ recorre ψ ∗ igual que ψ . Esto explica la idea de
encadenar o yuxtaponer dos movimientos que habíamos mencionado. En particular se tiene
claramente ( ϕ + ψ )∗ = ϕ ∗ ∪ ψ ∗ , el origen de ϕ + ψ es el de ϕ y su extremo es el de ψ .
6. Integral curvilínea
70
Consideremos por un momento el caso particular b = c , con lo que ϕ y ψ están definidas
en dos intervalos consecutivos: [ a, b ] y [ c, d ] = [ b, d ] . Entonces γ está definida en [ a, d ] y
la traslación τ es la identidad, luego ϕ y ψ son las restricciones de γ a los intervalos [ a, b ] y
[ b, d ] respectivamente. Por tanto, cuando un intervalo [ a, d ] se subdivide en dos subintervalos
consecutivos [ a, b ] y [ b, d ] con a < b < d ,toda curva
γ : [ a, d ] → C resulta ser la suma de sus
restricciones a dichos subintervalos: γ = γ [ a, b ] + γ [ b, d ]
Volviendo al caso general, deducimos claramente que
ϕ + ψ = γ = γ [ a,b ] + γ | [ b, b+d−c ] = ϕ + ψ ◦ τ
Esto nos dice que la suma de dos curvas cualesquiera, siempre que tenga sentido, se puede
expresar también como suma de dos curvas definidas en intervalos consecutivos, sin más que
sustituir la segunda por su composición con la traslación adecuada.
Se comprueba rutinariamente que la suma de curvas es asociativa. Más concretamente, si
ϕ1 , ϕ2 y ϕ3 son curvas tales que los extremos de ϕ1 y ϕ2 coinciden respectivamente con los
orígenes de ϕ2 y ϕ3 , se tiene: (ϕ1 + ϕ2 ) + ϕ3 = ϕ1 + (ϕ2 + ϕ3 ) , algo intuitivamente muy claro.
Podemos por tanto considerar sumas de curvas con un número arbitrario de sumandos. Para
n ∈ N escribiremos Jn = {k ∈ N : k 6 n} . Sea pues n ∈ N con n > 2 y, para cada k ∈ Jn ,
sea ϕk : [ ak , bk ] → C una curva. Cuando ϕk (bk ) = ϕk+1 (ak+1 ) para todo k ∈ Jn−1 , podemos
considerar la curva suma:
n
γ = ϕ1 + ϕ2 + . . . + ϕn =
∑ ϕk
(3)
k=1
Lo demostrado para la suma de dos curvas, mediante una obvia inducción, se traslada a este
caso más general. Es claro que
!∗
n
∗
γ =
∑ ϕk
=
k=1
n
[
ϕk∗
k=1
el origen de γ es el de ϕ1 y su extremo es el de ϕn . Nótese que γ está definida en el intervalo
n
[ a, b ] dado por a = a1 y b = a +
∑ (bk − ak ) .
k=1
k
Si para cada k ∈ Jn , escribimos tk = a +
∑ (b j − a j )
y t0 = a , tenemos una subdivisión
j=1
a = t0 < t1 < . . . < tn = b del intervalo [ a, b ] , tal que tk − tk−1 = bk − ak para todo k ∈ Jn .
Además, también para todo k ∈ Jn , vemos que γ [tk−1 ,tk ] = ϕk ◦τk , donde τk es la traslación que
lleva el intervalo [tk−1 ,tk ] al [ ak , bk ] . De hecho τ1 es la identidad, ya que [t0 , t1 ] = [ a1 , b1 ] .
Por tanto, podemos escribir
n
γ = ∑ ϕ [tk−1 ,tk ] =
k=1
n
∑ ϕk ◦ τk
(4)
k=1
En (3) teníamos γ como suma de curvas definidas en intervalos arbitrarios, mientras en (4) la
hemos expresado como suma de curvas definidas en intervalos dos a dos consecutivos.
6. Integral curvilínea
71
Finalmente, la curva opuesta de una curva ϕ : [ a, b ] → C , que se denotará por −ϕ , está
definida en el mismo intervalo que ϕ y viene dada por
(−ϕ)(t) = ϕ(a + b − t)
∀ t ∈ [ a, b ]
Cuando t recorre el intervalo [ a, b ] , es claro que s = a + b − t también lo recorre, pero en
sentido opuesto, luego (−ϕ)(t) = ϕ(s) recorre el conjunto ϕ ∗ en sentido opuesto al de ϕ .
En particular tenemos (−ϕ) ∗ = ϕ ∗ y podríamos decir que −ϕ describe el movimiento que
consiste en desandar el descrito por ϕ . Obsérvese que las sumas ϕ + (−ϕ) = ϕ − ϕ y −ϕ + ϕ
tienen sentido, y ambas son curvas cerradas, pero son distintas. La conmutatividad de la suma
de curvas no siempre tiene sentido, pero incluso cuando lo tiene, puede no verificarse.
6.3.
Arcos y caminos
El concepto topológico de curva que hasta ahora hemos manejado es muy general, da lugar
a situaciones que para nada están de acuerdo con la intuición geométrica o física. Baste citar el
ejemplo hallado por Peano de una curva cuya imagen tiene interior no vacío. A partir de ahora
nos limitamos a considerar curvas con cierta regularidad, aunque no tanta como la que suele
usarse en Geometría Diferencial o en Física.
Llamamos arco a una curva de clase C 1 , es decir, una función σ : [ a, b ] → C , derivable
en [ a, b ] con σ 0 ∈ C [ a, b ] . Comentemos que un arco es algo mucho más intuitivo que una
curva en general, para lo cual conviene verlo como una función con valores en R2 . Para cada
t ∈ [ a, b ] que verifique σ 0 (t) 6= 0 tenemos la recta tangente a σ ∗ en el punto σ(t) , cuyo vector
de dirección es σ 0 (t) . Si Re σ 0 (t) 6= 0 , el teorema de la función inversa nos permite expresar
la intersección de σ ∗ con un entorno de σ(t) como la gráfica de una función real de variable
real, que es de clase C 1 . Lo mismo ocurre cuando Im σ 0 (t) 6= 0 , pero intercambiando los ejes
de coordenadas. Físicamente, σ 0 (t) es el vector velocidad en cada instante t ∈ [ a, b ] .
La suma de dos arcos no tiene por qué ser un arco. Con la notación usada en (2) para
la suma de dos curvas, cuando ϕ y ψ son arcos vemos claramente que γ es de clase C 1
en [a, b + c − d] \ {b} , pero puede no ser derivable en b , de hecho tiene derivadas laterales
γ 0 (b−) = ϕ 0 (b) y γ 0 (b+) = ψ 0 (c) , pero puede ocurrir que ϕ 0 (b) 6= ψ 0 (c) . Por tanto, es
natural considerar una familia de curvas que contenga a los arcos y sea estable por sumas, cosa
que es bien fácil, como vamos a ver.
Decimos que una curva γ : [ a, b ] → C es un camino cuando se puede expresar como suma
de arcos, con lo que toda suma de caminos es un camino, pero debemos aclarar qué tipo de curva
n
es un camino. Si γ : [ a, b ] → C es un camino y lo escribimos γ =
∑ σk , suma de arcos, existen
k=1
puntos a = t0 < t1 < . . . < tn = b tales que, para cada k ∈ Jn se tiene γ [tk−1 ,tk ] = σk ◦ τk
donde τk es una traslación, luego γ [tk−1 ,tk ] es de clase C 1 . Recíprocamente, si existen puntos
a = t0 < t1 < . . . < tn = b tales que γ [tk−1 ,tk ] es de clase C 1 para todo k ∈ Jn , basta escribir
n γ = ∑ γ [t ,t ] para tener γ expresada como suma de arcos. En resumen:
k=1
k−1 k
6. Integral curvilínea
72
Una curva γ : [ a, b ] → C es un camino si,
y sólo si, existe un conjunto finito de puntos
a = t0 < t1 < . . . < tn = b , tales que γ [tk−1 ,tk ] es un arco, para todo k = 1, 2, . . . n.
6.4.
Ejemplos
Vamos a presentar los arcos y caminos que usaremos con más frecuencia. Dados z, w ∈ C ,
el segmento de origen z y extremo w es el arco σ : [ 0, 1 ] → C dado por
σ(t) = (1 − t) z + t w
∀ t ∈ [ 0, 1 ]
que se denotará por [ z, w ] . Nótese que σ 0 (t) = w − z para todo t ∈ [ 0, 1 ] , así que tenemos
un móvil que se desplaza en línea recta del punto z al w , a velocidad constante, lo que en
Física suele llamarse un movimiento rectilíneo y uniforme. Observamos también que la imagen
σ ∗ = [ z, w ] ∗ es el “segmento” de extremos z y w , visto ahora como un subconjunto de C .
La coincidencia de nomenclatura no es problema, gracias a la diferente notación: el segmento
[ z, w ] es una función definida en [ 0, 1 ] mientras el segmento [ z, w ] ∗ es un subconjunto de C .
Obsérvese que el arco opuesto de [ z, w ] viene dado por
(−σ)(t) = σ(1 − t) = t z + (1 − t) w
∀t ∈ [ 0, 1 ]
que es claramente el segmento de origen w y extremo z . Así pues tenemos −[ z, w ] = [ w, z ]
y en particular [ z, w ]∗ = [ w, z ]∗ . A decir verdad, sí hay un leve problema de notación: para
a, b ∈ R con a < b , el intervalo cerrado y acotado de extremos a y b se seguirá denotando
por [ a, b ] , como no podía ser de otra forma, pero ahora es la nomenclatura la que ayuda, basta
distinguir entre el intervalo [ a, b ] y el segmento [ a, b ] . Por ejemplo, el segmento [ b, a ] tiene
sentido, es un arco cuya imagen es el intervalo [ a, b ] , mientras el intervalo [ b, a ] es vacío.
Al sumar dos segmentos no alineados, o incluso a veces estando alineados, encontramos
el ejemplo más sencillo de una suma de arcos que no es un arco: si z0 , z1 , z2 ∈ C el camino
[ z0 , z1 ] + [ z1 , z2 ] es un arco si, y sólo si, z1 − z0 = z2 − z1 . Llamaremos poligonal a toda suma
de segmentos. Naturalmente, el extremo de cada segmento que aparezca en dicha suma deberá
coincidir con el origen del siguiente, para que la suma tenga sentido. Por tanto:
Dados n ∈ N y z0 , z1 , . . . , zn ∈ C , llamamos poligonal de vértices z0 , z1 , . . . , zn al camino
definido por
n
[ z0 , z1 , . . . , zn ] =
∑ [ zk−1, zk ]
k=1
Es claro que tenemos un camino cerrado si, y sólo si, z0 = zn . Naturalmente, la nomenclatura
está inspirada en los vértices de un polígono. Por ejemplo, suele decirse que la poligonal cerrada
[ z0 , z1 , z2 , z0 ] = [ z0 , z1 ] + [ z1 , z2 ] + [ z2 , z0 ] es un triángulo.
Por otra parte, dados z ∈ C y r ∈ R+ , llamaremos circunferencia de centro z y radio r , y
denotamos por C(z, r) al arco cerrado τ : [−π, π ] → C definido por
τ(t) = z + r e it
∀ t ∈ [−π, π ]
6. Integral curvilínea
73
La imagen del arco τ = C(z, r) es la “circunferencia” de centro z y radio r , entendida como
subconjunto del plano: τ ∗ = C(z, r)∗ = {w ∈ C : | w − z | = r}. Vemos que τ 0 (t) = i r e it , y
por tanto | τ 0 (t) | = r , para todo t ∈ [−π, π] , luego el arco C(z, r) describe el movimiento que
consiste en recorrer la circunferencia C(z, r)∗ en sentido positivo, con origen y extremo z − r ,
y con velocidad angular constante, un movimiento circular uniforme.
6.5.
Integral curvilínea
n
En lo que sigue, fijamos un camino γ : [ a, b ] → C , que se expresa como γ =
para k ∈ Jn , σk : [ ak , bk ] → C es un arco. Sabemos que γ ∗ =
n
[
∑ σk , donde
k=1
σk∗ , el origen de γ es el de
k=1
σ1 y el extremo de γ es el de σn . Usaremos también los puntos a = t0 < t1 < . . . < tn = b tales
que γ | [tk−1 ,tk ] = σk ◦ τk donde τk : [tk−1 ,tk ] → [ ak , bk ] es una traslación, para todo k ∈ Jn .
Puesto que γ ∗ es compacto, consideramos el espacio de Banach complejo C(γ ∗ ) de todas
las funciones continuas de γ ∗ en C con la norma dada por
k f k∞ = máx | f (z) | : z ∈ γ ∗
Pues bien, para f ∈ C(γ ∗ ) definimos la integral de f sobre el camino γ por:
Z b
Z
f (z) dz =
f (γ(t)) γ 0 (t) dt
(5)
a
γ
La integral del segundo miembro precisa un comentario. Cuando γ es un arco, el integrando
es una función continua en [ a, b ] y tenemos una integral de Cauchy, ya estudiada. Pero en
general, hay un subconjunto finito de [ a, b ] en el que γ 0 puede no estar definida.
El propio Cauchy se ocupó de salvar este escollo, probando que el método usado para definir
su integral se puede aplicar a cualquier función acotada en el intervalo [ a, b ] que tenga sólo un
conjunto finito de puntos de discontinuidad, como es nuestro caso. Se obtiene así una definición
de integral ligeramente más general, que podemos llamar integral de Cauchy generalizada, y
mantiene la mayor parte de sus propiedades, en particular la aditividad con respecto al intervalo
de integración, que es la única que necesitamos, como se verá enseguida. Por supuesto, podemos
considerar nociones de integral aún más generales, como la integral de Riemann, o incluso la
de Lebesgue, pero no será necesario.
De la aditividad de la integral de Cauchy generalizada deducimos que
n
Z
f (z)dz =
γ
∑
Z tk
f (γ(t)) γ 0 (t) dt
(6)
k=1 tk−1
y esto resuelve nuestro problema, pues para todo k ∈ Jn , la restricción de γ al intervalo [tk−1 ,tk ]
es una función de clase C 1 , luego las integrales que aparecen en el segundo miembro de (6)
son integrales de Cauchy, ya sin necesidad de generalización alguna.
6. Integral curvilínea
74
Pero además, fijado k ∈ Jn , para todo t ∈ [tk−1 ,tk ] tenemos γ 0 (t) = σk0 (τk (t)) , luego el
cambio de variable s = τk (t) , teniendo en cuenta que τk0 (t) = 1, nos da
Z tk
Z tk
0
f (γ(t)) γ (t) dt =
tk−1
tk−1
Z
0
f σk (τk (t)) σk (τk (t)) dt =
bk
ak
f (σk (s)) σk0 (s) ds
∀ k ∈ In
Obsérvese que el último miembro de la igualdad anterior es, por definición, la integral de f
sobre el arco σk , que tiene perfecto sentido, puesto que f es continua en σk∗ ⊂ γ ∗ . Por tanto, al
sumar miembro a miembro las n igualdades anteriores obtenemos
n
Z
f (z) dz =
γ
Z
f (z) dz
∑
(7)
k=1 σk
que nos da la integral de f sobre el camino γ como suma de las integrales sobre los arcos cuya
suma es γ , todas ellas integrales de Cauchy de funciones continuas.
La igualdad (7) explica la razón por la que hemos llamado “suma” a la operación con arcos
que venimos manejando. Los arcos nos interesan para integrar sobre ellos, y (7) nos da la
integral sobre una suma de arcos como suma de integrales.
La ventaja de la igualdad (7) con respecto a (6) es que podemos ya olvidar la forma en
que se define la suma de arcos, la subdivisión del intervalo [ a, b ] y las traslaciones necesarias,
basta recordar la condición para que la suma tenga sentido. Para cada k ∈ Jn , la integral de f
sobre el arco σk se obtiene directamente a partir de la definición de σk en el intervalo [ ak , bk ] ,
y entonces la integral sobre el camino γ se calcula usando (7) .
Obsérvese que podríamos haber definido en primer lugar la integral sobre un arco, que es
una integral de Cauchy, y acto seguido usar la igualdad (7) como definición de integral sobre
un camino. El único inconveniente hubiera sido tener que comprobar que dicha definición no
depende de la forma de expresar un camino como suma de arcos, expresión que obviamente no
es única. Esa comprobación, que es engorrosa pero no difícil, es lo que hemos ahorrado usando
la aditividad de la integral de Cauchy generalizada.
6.6.
Propiedades de la integral curvilínea
Al estudiar estas propiedades aprovechamos la igualdad (7) , comprobándolas primero para
un arco, para luego extenderlas rutinariamente al caso de un camino. Abreviando la notación,
para f ∈ C(γ ∗ ) escribimos
Z
Λ( f ) =
Z
f (z) dz
Λk ( f ) =
y
γ
n
f (z) dz ∀ k ∈ Jn
con lo que
σk
Λ=
∑ Λk
k=1
I.1. Linealidad. Para cualesquiera α, β ∈ C y f , g ∈ C(γ ∗ ) se tiene:
Z
Z
Z
α f + β g (z) dz = α f (z) dz + β f (z) dz
γ
γ
γ
La linealidad de la integral de Cauchy nos hace ver claramente que Λk es lineal para todo
k ∈ Jn , luego Λ es lineal como suma de aplicaciones lineales.
6. Integral curvilínea
75
La misma rutina se usará para probar la continuidad de Λ . Para k ∈ Jn tenemos claramente
| Λk ( f ) | 6
Z bk ak
Z
f σk (t) σ 0 (t) dt 6 k f k∞
k
bk
ak
| σk0 (t) | dt
(8)
La última integral es, por definición, la longitud del arco σk . Así pues, la longitud de un arco
σ : [ c, d ] → C se define por
Z d
l(σ) =
| σ 0 (t) | dt
c
No vamos a detenernos a explicar que está definición está de acuerdo con la idea intuitiva de
longitud. Simplemente comprobamos que la longitud de un segmento y la de una circunferencia
son las que cabe esperar. Para cualesquiera z, w ∈ C y r ∈ R+ es claro que:
l [ z, w ] = | w − z |
y
l C(z, r) = 2 π r
Usando la desigualdad (8) , tenemos claramente
n
| Λ( f ) | 6
n
∑ | Λ k ( f ) | 6 k f k∞
∑ l(σk )
k=1
k=1
(9)
Es natural definir la longitud de un camino γ como la suma de las longitudes de los arcos cuya
suma es γ :
n
l(γ) =
∑ l(σk )
k=1
Para comprobar que esta definición es correcta, es decir, no depende de la forma de expresar γ
como suma de arcos, se puede usar como antes una integral de Cauchy generalizada:
Z b
l(γ) =
| γ 0 (t) | dt
a
Enunciamos la continuidad del funcional Λ , obtenida en (9) :
I.2. Continuidad. Para toda función f ∈ C(γ ∗ ) se tiene:
Z
f (z) dz 6 k f k∞ l(γ)
γ
Usaremos a menudo esta propiedad, teniendo en cuenta que la convergencia en el espacio
de Banach C(γ ∗ ) es la uniforme en γ ∗ . Aprovechando también la linealidad de la integral, lo
enunciamos para series:
∞
Sea fn ∈ C(γ ∗ ) para todo n ∈ N ∪ {0} , supongamos que la serie de funciones
∑ fn
n=0
converge uniformemente en γ ∗ y sea f ∈ C(γ ∗ ) la suma de dicha serie. Entonces:
∞
Z
f (z) dz =
γ
∑
n=0
Z
fn (z) dz
γ
6. Integral curvilínea
76
Vamos con la tercera propiedad importante de la integral curvilínea, que describe la forma
en que depende del camino sobre el que se integra:
I.4. Aditividad. Sean ϕ y ψ dos caminos tales que el extremo
de ϕ coincide
con el origen
∗
∗
∗
de ψ . Entonces, para toda función f ∈ C (ϕ + ψ) = C ϕ ∪ ψ se tiene:
Z
Z
Z
f (z) dz =
ϕ+ψ
f (z) dz +
ϕ
f (z) dz
(10)
ψ
Además, para toda función f ∈ C(ϕ ∗ ) , se tiene también:
Z
Z
f (z) dz = −
f (z) dz
−ϕ
(11)
ϕ
Para la igualdad (10) expresamos ϕ y ψ como sumas de arcos, numerando los de la segunda
n
suma consecutivamente a los de la primera: ϕ =
n+m
∑ σk
y ψ=
k=1
σk . Por hipótesis el
∑
k=n+1
extremo de σn coincide con el origen de σn+1 y la expresión de ϕ + ψ como suma de arcos
n+m
está bien clara: ϕ + ψ =
∑ σk .
k=1
Entonces, aplicando tres veces la igualdad (7) obtenemos el resultado:
n+m Z
Z
f (z) dz =
ϕ+ψ
∑
f (z) dz
∑
f (z) dz +
k=1 σk
n Z
=
n+m
k=1 σk
Z
Z
f (z) dz =
∑
k=n+1 σk
Z
f (z) dz +
ϕ
f (z) dz
ψ
Para probar (11) empezamos considerando un arco σ : [ a, b ] → C . Por definición del arco
opuesto, para f ∈ C(σ ∗ ) tenemos (−σ) 0 (t) = −σ 0 (a + b − t) para todo t ∈ [ a, b ] . Por tanto
Z
f (z) dz = −
−σ
Z b
Z
0
f σ(a + b − t) σ (a + b − t) dt =
a
=−
a
f σ(s) σ 0 (s) ds
b
Z b
f σ(s) σ 0 (s) ds = −
Z
a
f (z) dz
σ
donde hemos usado el cambio de variable a + b − t = s .
n
Finalmente, si expresamos el camino ϕ =
σk como suma de arcos, se comprueba sin
k=1
(−σn−1 ) ◦ τn−1 + . . . + (−σ1 ) ◦ τ1 , donde para cada k ∈ Jn ,
∑
dificultad que −ϕ = (−σn ) ◦ τn +
τk es una traslación que no afecta a la integral, luego aplicando lo ya probado tenemos
n
Z
f (z) dz =
−ϕ
∑
Z
k=1 −σk
n
f (z) dz = − ∑
Z
k=1 σk
f (z) dz = −
Z
f (z) dz
ϕ
Además de reencontrar la razón por la que la suma de caminos se llama así, queda claro también
por qué el opuesto de un camino ϕ se denota por −ϕ .
Pasamos a probar la propiedad de la integral curvilínea que la hace útil para el problema que
nos interesa: construir, cuando sea posible, primitivas de una función.
6. Integral curvilínea
77
I.4. Regla de Barrow. Sea Ω un abierto de C y f ∈ C(Ω) . Supongamos que f admite una
primitiva en Ω , es decir, que existe F ∈ H(Ω) tal que F 0 (z) = f (z) para todo z ∈ Ω .
Entonces, para todo camino γ : [ a, b ] → Ω se tiene:
Z
f (z) dz = F γ(b) − F γ(a)
γ
En el caso de un arco σ : [ a, b ] → Ω , aplicamos la regla Barrow para la integral de Cauchy:
Z b
Z
f (z) dz =
a
σ
b
Z
0
f σ(t) σ (t) dt =
0
F ◦ σ (t) dt = F γ(b) − F γ(a)
a
n
Para el caso general, escribimos como siempre γ =
arco para todo k ∈ Jn y, lo que ahora es esencial:
γ(a) = σ1 (a1 ) ,
γ(b) = σn (bn )
y
∑ σk
donde σk : [ ak , bk ] → Ω es un
k=1
σk (bk ) = σk+1 (ak+1 ) ∀ k ∈ Jn−1
Usando lo ya probado para el caso de un arco concluimos que
n
Z
f (z) dz =
γ
n
Z
∑
f (z) dz =
k=1 σk
∑
F σk (bk ) − F σk (ak )
k=1
n−1 = F σn (bn ) − F σ1 (a1 ) + ∑ F σk (bk ) − F σk+1 (ak+1 )
k=1
= F γ(b) − F γ(a)
como queríamos demostrar.
Para abreviar, si un camino γ verifica, como en el resultado anterior, que γ ∗ ⊂ Ω donde
Ω es un abierto de C , diremos simplemente que γ es un camino en Ω . Hemos obtenido una
condición necesaria para que una función f ∈ C(Ω) admita una primitiva en Ω : su integral
sobre cualquier camino en Ω sólo depende del origen y extremo del camino, o lo que es lo
mismo, las integrales de f sobre dos caminos con origen y extremo comunes han de ser iguales.
Dicho de forma más llamativa, la integral de f sobre cualquier
camino cerrado γ en Ω ha de
anularse, puesto que γ(b) = γ(a) , luego F γ(b) − F γ(a) = 0 .
Por ejemplo, supongamos que para algún r ∈ R+ se tiene C(0, r)∗ ⊂ Ω ⊂ C ∗ . Entonces
dz
=
C(0,r) z
Z
Z π
i r e it dt
−π
r e it
= 2 π i 6= 0
y deducimos que la función continua z 7→ 1/z no admite una primitiva en Ω cosa que ya
sabíamos. Pero ahora no hemos tenido que usar ningún resultado sobre logaritmos holomorfos,
argumentos o raíces cuadradas continuas ni nada por el estilo, simplemente hemos calculado
una integral sobre un arco cerrado, bien sencilla por cierto.
6. Integral curvilínea
6.7.
78
Existencia de primitiva
Nuestro próximo objetivo es probar que, la condición necesaria recién obtenida para que
una función continua en un abierto admita una primitiva, también es suficiente.
Teorema (Caracterización de la existencia de primitiva). Sea Ω un abierto no vacío de C
y f ∈ C(Ω) . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) Existe F ∈ H(Ω) tal que F 0 (z) = f (z) para todo
Z z ∈ Ω.
(ii) Para todo camino cerrado γ en Ω se tiene que
f (z) dz = 0 .
γ
Demostración. Ya sabemos que (i) ⇒ (ii) y, para probar el recíproco, empezamos por
reducir el problema al caso en que Ω es un dominio.
(a). Supongamos demostrado el teorema para dominios. Sea entonces Ω abierto y supongamos
que f ∈ C(Ω) verifica (ii) . Para cada
componente conexa U de Ω sabemos que U es un
dominio y es claro que la restricción f U verifica también (ii) , puesto que todo camino cerrado
en U es un camino cerrado en Ω . Por tanto existirá FU ∈ H(U) tal que FU0 (z) = f (z) para todo
z ∈ U . Para cada z ∈ Ω definimos entonces F(z) = FU (z) donde U es la única componente
conexa de Ω tal que z ∈ U . Tenemos así F U = FU para toda componente conexa U de Ω .
Por el carácter local del concepto de derivada deducimos que F ∈ H(Ω) con F 0 (z) = f (z)
para todo z ∈ Ω . Así pues, suponemos a partir de ahora que Ω es un dominio.
(b). Fijamos en lo que sigue un punto α ∈ Ω , pues la idea es construir la función F integrando
f sobre caminos con origen en α que nos lleven a cualquier punto de Ω . Nuestro próximo
paso es probar que efectivamente podemos llegar desde α a cualquier punto de Ω mediante un
camino, de hecho mediante una poligonal. Comprobamos por tanto que Ω verifica la siguiente
forma fuerte de conexión:
Para todo z ∈ Ω existe un camino γz en Ω con origen α y extremo z .
Para probarlo consideramos el conjunto A ⊂ Ω de los puntos que verifican la propiedad buscada.
Es obvio que A 6= 0/ luego bastará probar que A es abierto y también que es cerrado relativo a
Ω , para concluir que A = Ω como queremos.
Dado a ∈ A tomamos r ∈ R+ tal que D(a, r) ⊂ Ω . Por hipótesis tenemos un camino γa en Ω
con origen α y extremo a . Para cada z ∈ D(a, r) podemos entonces tomar γz = γ(a) + [ a, z ] ,
suma que está bien definida pues el extremo de γa coincide con el origen de [ a, z ] . Además
tenemos γa∗ ⊂ Ω y [ a, z ]∗ ⊂ D(a, r) ⊂ Ω luego γz es un camino en Ω con origen en α y
extremo en z . Esto prueba que z ∈ A , luego D(a, r) ⊂ A y A es abierto.
Sea ahora z ∈ A ∩ Ω que es el cierre de A relativo a Ω . Tomamos otra vez r ∈ R+ tal que
D(z, r) ⊂ Ω y encontramos a ∈ A ∩ D(z, r) . De nuevo existe un camino γa en Ω con origen
α y extremo a , y de nuevo tomamos γz = γa + [ a, z ] que es un camino en Ω con origen α y
extremo z . Esto prueba que z ∈ A , luego A es cerrado relativo a Ω .
Nótese que en los dos razonamientos anteriores, γz es una poligonal cuando γa lo es. Por tanto,
la misma prueba nos dice que, para cada z ∈ Ω existe de hecho una poligonal en Ω con origen
α y extremo z .
6. Integral curvilínea
79
(c). Definimos ya la función F que buscamos, escribiendo, para cada z ∈ Ω ,
Z
F(z) =
f (w) dw
γz
donde γz es cualquier camino en Ω con origen α y extremo z , pero debemos asegurarnos
de que la integral no depende del camino γz elegido. Sean pues ϕz y ψz dos caminos que
cumplan las condiciones exigidas a γz . Como z es el extremo de ϕz y también el origen de
−ψz , podemos considerar el camino ϕz − ψz . Puesto que (ϕz − ψz )∗ = ϕz∗ ∪ ψz∗ ⊂ Ω , tenemos
un camino en Ω , pero α es su origen y también su extremo, luego se trata de un camino cerrado.
Aplicando la hipótesis (ii) tenemos que
Z
Z
0=
f (w) dw =
ϕz −ψz
f (w) dw −
ϕz
Z
f (w) dw
ψz
como queríamos comprobar. Así pues la función F está bien definida en todo punto z ∈ Ω .
(d). Destacamos la propiedad clave de F , de la que se deducirá que es una primitiva de f :
Para todo a ∈ Ω existe
r ∈ R+ tal que D(a, r) ⊂ Ω y
Z
F(z) = F(a) +
f (w) dw
∀ z ∈ D(a, r)
[ a,z ]
En efecto, tomamos r ∈ R+ tal que D(a, r) ⊂ Ω y si γa es cualquier camino que usemos
para definir F(a) , para cada z ∈ D(a, r) usamos γz = γa + [ a, z ] . La igualdad buscada es
consecuencia evidente de la aditividad de la integral curvilínea:
Z
F(z) =
Z
Z
f (w) dw +
f (w) dw = F(a) +
f (w) dw
[ a,z ]
γa
[ a,z ]
Para probar que F es una primitiva de f sólo usaremos ya la propiedad de F recién obtenida.
Como quiera que más adelante nos encontraremos en situaciones análogas, recogemos el resto
de la demostración en forma de lema, que podremos usar cuando sea conveniente, sin tener que
repetir el razonamiento.
Lema (Construcción de primitivas). Sea f ∈ C(Ω) donde Ω es un abierto de C , y sea
F : Ω → C una función verificando que, para todo a ∈ Ω existe r ∈ R+ tal que D(a, r) ⊂ Ω y
Z
F(z) = F(a) +
f (w) dw
∀ z ∈ D(a, r)
[ a,z ]
Entonces F ∈ H(Ω) con F 0 (z) = f (z) para todo z ∈ Ω .
Demostración. Fijamos a ∈ Ω , r ∈ R+ dado por la hipótesis, y ε > 0 . Por ser f continua
en a , existe δ > 0 , y podemos suponer δ < r , tal que
w ∈ Ω , | w − a | < δ =⇒ | f (w) − f (a) | < ε
Para z ∈ Ω con 0 < | z − a | < δ se tiene
1
F(z) − F(a)
− f (a) =
z−a
z−a
Z
[ a,z ]
f (w) dw − f (a) =
Z
[ a,z ]
f (w) − f (a) dw
6. Integral curvilínea
80
En la última igualdad, hemos usado la regla de Barrow, pues la función constantemente
igual a f (a) tiene, en todo el plano, una primitiva obvia: w 7→ f (a) w .
Para w ∈ [ a, z ]∗ se tiene claramente | w − a | 6 | z − a | < δ , luego | f (w) − f (a) | < ε . De
la continuidad de la integral curvilínea deducimos que
Z
F(z) − F(a)
ε
l
[
a,
z
]
1
− f (a) =
f (w) − f (a) dw <
=ε
z−a
| z − a | [ a,z ]
|z−a|
lo que prueba que F es derivable en a con F 0 (a) = f (a) . Puesto que a ∈ Ω era arbitrario, esto
concluye la demostración del lema, y con ella la del teorema principal.
El teorema anterior puede verse, no sólo como la versión compleja del teorema fundamental
del Cálculo, sino como una auténtica generalización del mismo. Sustituyendo formalmente C
por R , este teorema nos diría que una función continua f : Ω → R , donde Ω es un abierto
de R , admite una primitiva si, y sólo si, su integral sobre cualquier camino cerrado γ en Ω se
anula. Ocurre que un camino cerrado en Ω ha de ser “trivial”, en el sentido de que sólo puede
ser una suma de segmentos que se recorren en ambos sentidos. Entonces, la integral de cualquier
función continua sobre tal camino ha de anularse, luego toda función continua en un abierto de
R admite una primitiva, que es lo que nos asegura el teorema fundamental del Cálculo.
6.8.
Ejercicios
1. Sean α ∈ C y r ∈
Z r
Z
R+ .
Probar que
f (z) dz =
f (α + s) ds para cualquier
[ α,α+r ]
0
función f ∈ C [ α, α + r ]∗ . ¿Cual es la igualdad análoga para un segmento vertical?
z2 ez
z dz
y
J(r)
=
dz donde γr = C(0, r)
2. Para r ∈] 1, +∞ [ se define I(r) =
3
σr z + 1
γr z + 1
y σr = [−r, −r + i ] . Probar que lı́m I(r) = lı́m J(r) = 0 .
Z
Z
r→+∞
r→+∞
π
log (1 + z)
dz = 0 y deducir que
3. Probar que
log (1 + r 2 + 2r cos t) dt = 0 ,
z
C(0 , r)
0
para todo r ∈ ] 0, 1 [ .
4. Sea f ∈ H D(0, 1) verificando que | f (z) − 1 | < 1 para todo z ∈ D(0, 1) . Admitiendo
Z
f 0 (z)
0
dz = 0 para todo r ∈ ] 0, 1 [ .
que f es continua, probar que
C(0 , r) f (z)
Z
Z
5. Sean Ω = C \ {i, −i} y f ∈ H(Ω) dada por f (z) = 1/(1 + z 2 ) para todo z ∈ Ω . Probar
que f no admite una primitiva en Ω .
dz
= 0 , donde σ(t) = cos t + (i/2) sen t para todo t ∈ [ 0, 2 π ] .
2
σ 1+z
Z
6. Probar que