Igualación Suavizador de error cuadrá%co medio mínimo

Igualación Suavizador de error cuadrá3co medio mínimo Luca Mar3no Apuntes-­‐Laboratorio no revisados (cuidado!!!) Modelo discreto •  Se considere el siguiente modelo discreto de la señal observada (3 maneras de escribir lo mismo) N −1
1) conjugado y n = ∑ hi* x n −i + gn
Ruido. i=0
2) €
3) €
y n = h0* x n + h1* x n −1 + ...+ hN* −1 x n −N +1 + gn
* 
y n = h x n + gn

h = [ h0 ,h1,...,hN −1 ]
€
Coeficientes complejos que describen el efecto del canal (que asumimos conocidos). €
⎡ x n
⎤
⎢
⎥
⎢ x n −1 ⎥

x n = ⎢.... ⎥
⎢
⎥
⎢.... ⎥
⎢⎣ x n −N +1 ⎥⎦
Suavizador •  Se considere ahora un conjunto de observaciones (pasadas y futuras) ⎧ y n +d = h0* x n +d + h1* x n +d −1 + ...+ hN* −1 x n +d −N +1 + gn +d
⎪
⎪....
⎪
⎨ y n = h0* x n + h1* x n −1 + ...+ hN* −1 x n −N +1 + gn
⎪
⎪....
⎪⎩ y n −d = h0* x n −d + h1* x n −d −1 + ...+ hN* −1 x n −d −N +1 + gn −d
€

 
y n = Ax n + gn
Se puede escribir en forma vectorial…. Ahora vamos a ver como. €
Sistema de ecuaciones •  Vamos a considerar el siguiente sistema de ecuaciones (sin ruido) 2d +1
Ecuaciones ⎧ y n +d = h0* x n +d + h1* x n +d −1 + ...+ hN* −1 x n +d −N +1
⎪
*
*
*
y
=
h
x
+
h
x
+
...+
h
⎪ n +d −1
0 n +d −1
1 n +d −2
N −1 x n +d −N
⎪⎪...
⎨
*
*
*
y
=
h
x
+
h
x
+
...+
h
⎪ n
0 n
1 n −1
N −1 x n −N +1
⎪...
⎪
⎪⎩ y n −d = h0* x n −d + h1* x n −d −1 + ...+ hN* −1 x n −d −N +1
N + 2d incógnitas x n −d −N +1, x n −d −N +2 ,..., x n , x n +1,..., x n +d
€
n + d − (n − d − N +1) +1 =
= n + d − n + d + N −1+1 = N + 2d
Matriz A •  Escribimos la matriz A N + 2d
N
2d +1
€
€
⎡ y n +d ⎤
⎢
⎥ ⎡h0* h1* ... hN* −1 0
€
⎢ y n +d −1 ⎥ ⎢
*
*
*
h
... N −1
⎢...
⎥ €⎢ 0 h0 h1*
*€ ...
=
0
0
h0 h1
⎢
⎥ ⎢
y
⎢ n
⎥ ⎢ ... ... ... ... ...
⎢...
⎥ ⎢
*
0
0
0
0
h
0
⎢
⎥ ⎣
⎣ y n −d ⎦
2d
matriz A
2d +1
€
€
€
€
⎡ x n +d
⎤
⎢
⎥
0
0
0 ⎤⎢ x n +d −1 ⎥
⎥⎢...
⎥
0
0
0 ⎥
⎢
⎥ N + 2d
*
0
0
hN −1
⎥⎢ x n
⎥
... ... ⎥⎢ x n −1
⎥
...
€
*
* ⎥ ⎢
⎥
h1 ... hN −1 ⎦ ...
⎢
⎥
N
⎢⎣ x n −d −N +1 ⎥⎦
2d
€
Ejemplo d=2; N=3 •  Escribimos el sistema para este caso par3cular N + 2d = 3 + 4 = 7
⎡ x n +2 ⎤
⎡ y n +2 ⎤ ⎡h0* h1* h2* 0 0 0 0 ⎤⎢ x n +1 ⎥
⎢
⎥
⎥
⎢
⎥ ⎢
*
*
*
y
0
h
h
h
0 0 0 ⎥⎢ x n ⎥
+1 ⎥
0
1
2
⎢
⎢ n€
⎢
⎥
*
*
*
⎢
⎥
⎢
⎥
2d +1 = 5 y n = 0 0 h0 h1 h2 0 0 ⎢ x n −1 ⎥
⎥
⎢
⎥ ⎢
*
*
*
⎢ y n −1 ⎥ ⎢ 0 0 0 h0 h1 h2 0 ⎥⎢ x€n −2 ⎥
⎢⎣ y n −2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 0 h0* h1* h2* ⎥⎦⎢ x n −3 ⎥
⎢
⎥
c d +1
d +1 = 3
⎢⎣ x n −4 ⎥⎦
d+N =5
N + 2d = 7
€ a x
•  La columna c d €+1 asociada n es la tercera contando desde la €
izquierda o la quinta contando desde la derecha. €
€
Ejemplo (casi) con la notación de Joaquín d=2; N=3 •  Escribimos el sistema para este caso par3cular ⎡ y n −2 ⎤ ⎡h2*
⎢
⎥ ⎢
⎢ y n −1 ⎥ ⎢ 0
⎢ y n ⎥ = ⎢ 0
⎢
⎥ ⎢
⎢ y n +1 ⎥ ⎢ 0
⎢⎣ y n +2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
h1*
h2*
0
h0*
h1*
h2*
0
h0*
h1*
0
0
h0*
0
0
0
0
0
0
0
h2*
0
h1*
h2*
h0*
h1*
d+N =5
€
Esta es la matriz H H
€
c d +N
d +1 = 3
€
€
⎡ x n −4 ⎤
⎢
⎥
⎤
0 ⎢ x n −3 ⎥
⎥
0 ⎥⎢ x n −2 ⎥
⎢
⎥
⎥
0 ⎢ x n −1 ⎥
⎥
0 ⎥⎢ x n ⎥
⎥
* ⎢
⎥
h0 ⎦⎢ x n +2 ⎥
⎢⎣ x n +3 ⎥⎦
€
Ejemplo d=2; N=2 •  Escribimos el sistema para este caso par3cular N + 2d = 2 + 4 = 6
⎡ x n +2 ⎤
*
*
⎡ y n +2 ⎤ ⎡h0 h1 0 0 0 0 ⎤⎢
⎥
⎥⎢ x n +1 ⎥
⎢
⎥ ⎢
*
*
y n +1 ⎥ ⎢ 0 h0 h1 0 0 0 ⎥
⎢€
⎢ x n ⎥
*
*
2d +1 = 5 ⎢ y n ⎥ = ⎢ 0 0 h0 h1 0 0 ⎥⎢
⎥
⎥⎢ x n −1 ⎥
⎢
⎥ ⎢
*
*
⎢ y n −1 ⎥ ⎢ 0 0 0 h0 h1 0 ⎥⎢ x€ ⎥
⎢⎣ y n −2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 0 h0* h1* ⎥⎦⎢ n −2 ⎥
c d +1
⎣ x n −3 ⎦
N + 2d = 6
d +1 = 3
d+N =4
•  La columna c d +1 € asociada a€ x n sigue siendo la tercera contando €
desde la izquierda pero ahora es la cuarta contando desde la €
derecha. €
Ejemplo (casi) con la notación de Joaquín d=2; N=2 •  Escribimos el sistema para este caso par3cular ⎡ y n −2 ⎤ ⎡h
⎢
⎥ ⎢
⎢ y n −1 ⎥ ⎢ 0
⎢ y n ⎥ = ⎢ 0
⎢
⎥ ⎢
⎢ y n +1 ⎥ ⎢ 0
⎢⎣ y n +2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
*
1
*
0
*
1
h
h
0
h0*
0
0
0
0
0
0
h1*
0
h0*
h1*
0
h0*
0
0
0
h1*
d+N =4
d +1 = 3
€
€
€
Esta es la matriz H H
c d +N
€
⎡ x n −3 ⎤
0 ⎤⎢
⎥
x
⎥⎢ n −2 ⎥
0 ⎥
⎢ x n −1 ⎥
0 ⎥⎢
⎥
x
⎥⎢ n ⎥
0 ⎥
⎢ x n +1 ⎥
* ⎥
h0 ⎦⎢
⎥
⎣ x n +2 ⎦
Filtro FIR de mínimo error cuadrá3co medio 
•  Podemos encontrar un filtro FIR con 2d
+1
coeficientes w
: 
xˆ n = wy n
€
•  La solución op3ma es €

w1 = σx2 AA H + σg2 I
(
)
−1
Hay que tener en cuenta que son vectores ordenados el manera dis3ntas... 2
x d +1
σc
€

w 2 = σx2 H H H + σg2 I
(
•  donde I es una matriz iden3dad 2d
+1
× 2d
+1
. €
)
−1
σx2c d +N