clase ix tránsito de avenidas - Universidad Nacional Agraria La Molina

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
CLASE IX
TRÁNSITO DE AVENIDAS
1. Definición
El tránsito de avenidas es un procedimiento matemático para predecir el
cambio en magnitud, velocidad y forma de una onda de flujo en función del
tiempo (Hidrograma de Avenida), en uno o más puntos a lo largo de un
curso de agua (Cauce o canal).
El curso de agua puede ser un río, una quebrada, un canal de riego o
drenaje, etc, y el hidrograma de avenida puede resultar del escurrimiento
producto de la precipitación y/o deshielo, descargas de un embalses etc.
En 1871, Barré de Saint Venant formuló la teoría básica para el análisis
unidimensional del flujo transitorio o no permanente, sin embargo para
obtener soluciones factibles que describan las características más
importantes de la onda de flujo y su movimiento, es necesario realizar
simplificaciones de dichas ecuaciones.
Los métodos de tránsito de flujo se pueden clasificar en agrupados (lumped)
o distribuidos (distributed). En el tránsito de flujo agrupado o tránsito
hidrológico el flujo se calcula como una función del tiempo para todo un
tramo a lo largo de un curso de agua. En el tránsito de flujo distribuido o
tránsito hidráulico, el flujo se calcula también como una función de tiempo
pero de manera simultánea en varias secciones transversales a lo largo del
curso de agua. (Ver Figura 1).
Punto de ingreso del
flujo
Condiciones Aguas
Arriba Q(t),h(t)
Secciones
transversales
Condiciones Aguas
Abajo Q(t),h(t),Q(h)
Punto de salida del
flujo
Tránsito Hidrológico
Tránsito Hidráulico
Figura N°1
1
11/04/08
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
2. Tránsito de flujo del tipo agrupado (Tránsito hidrológico)
Considerando flujo no permanente a lo largo de un curso de agua (Figura N°1),
en el cual la descarga de entrada I(t) en el extremo aguas arriba y la descarga
de salida Q(t) en el extremo aguas abajo del curso de agua están en función
del tiempo. Se aplica el principio de la conservación de la masa igualando la
diferencia entre las descargas con el cambio de almacenamiento S en el
intervalo de tiempo entre los extremos:
I (t ) − Q (t ) =
dS
(1)
dt
Generalmente los diversos métodos existentes relacionan el almacenamiento S
con I y/o Q mediante una función denominada de almacenamiento y del tipo
empírica.
Entre las relaciones más simple se tiene S=f(Q) ó S=f(h), esto último implica la
existencia de una relación directa entre la superficie de agua y el caudal o nivel
a lo largo del cuerpo de agua, usualmente esta relación se utiliza en los casos
de tránsito de flujo a través de un lago o reservorio.
La solución de la ecuación (1), es relativamente simple en comparación con los
métodos de tránsito distribuido debido a que existen técnicas gráficas y
matemáticas bastante conocidas.
Las limitaciones que tienen éstos métodos son la no posibilidad de describir el
efecto de remanso así como también no son lo suficientemente exactos para
transitar hidrogramas de rápido ascenso o lo largo de ríos con poco pendiente
o para grandes embalses.
Entre los principales tipos de modelos, se pueden citar los siguientes:
Tipo de Modelo
Nombre
Puls,Goodrich
Modified Puls
Para reservorios
Runge-Kutta
Iterative trapezoidal integration
Kalinin-Miljukov
Lag and Route
Tránsito del almacenamiento Muskingum
SSARR
Tatum
Linear reservoir
SOSM
Sistemas Lineales
Linearized St.Venant
Multiple linearized
CLS
2
11/04/08
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
2.1Tránsito a través de reservorios
Esta técnica asume que el reservorio tiene una superficie de agua lo
suficientemente horizontal a lo largo de toda su longitud, similar al nivel de
una piscina (Level pool).
Se asume que los cambios de la elevación de la superficie de agua h con el
tiempo h(t) y la salida de agua desde el reservorio tienen relación directa.
Este es el caso de reservorios con vertederos de demasías de descarga
libre. También se puede realizar el cálculo para vertederos con compuerta o
controlados sin embargo debe tenerse en cuenta que el caudal de salida
por el vertedero (outflow) sólo debe ser función de h, por lo que se debe
considerar completamente abierta las compuertas.
2.1.1 Método iterativo de integración trapezoidal
La solución del método consiste en utilizar la regla trapezoidal para integrar la
ecuación de la conservación de la masa.
La tasa de variación temporal del almacenamiento es producto del área del
reservorio y del cambio de la elevación de la superficie de agua h en el paso de
tiempo j.
dS 0.5( Sa j + Sa j +1 )(h j +1 − h j )
=
dt
∆t j
Se asumen que se conoce las curvas características del embalse h-vol-área o
se tiene tablas con la relación entre la superficie Sa y h.
Usando valores promedio para I(t) y Q(t) en el intervalo de tiempo ∆t, se tiene:
0.5( I j + I
j +1
) − 0.5(Q j + Q j +1 ) −
0.5( Sa j + Sa j +1 )(h j +1 − h j )
∆t j
=0
Los términos conocidos son: I en j y j+1, Qj (Se tiene la ecuación de descarga del
vertedero Q=f(h) y las curvas características del embalse para determinar Saj).
Los términos no conocidos serán: hj+1, Qj+1, Saj+1, en vista que los dos últimos
son función de hj+1, puede ser resuelto en términos de hj+1 mediante el método
iterativo de Newton Raphson.
3
11/04/08
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
Procedimiento para calcular el hidrograma de salida de un embalse con una superficie de agua horizontal
S j +1
∫
( j +1) ∆t
dS =
∫
j∆t
Sj
( j +1) ∆t
I (t )dt −
S j +1 − S j =
∫ Q(t )dt
j∆t
I j + I j +1
2
∆t −
Q j + Q j +1
2
∆t
Flujo de
Entrada
Ij+1
2
Flujo de
Salida
Ij
Qj+1
Qj
S j +1
∆t
+ Q j +1 = I j + I j +1 + (
2S j
∆t
− Qj )
J=1 TO n
∆t
Función Almacenamiento – Caudal de Salida del Embalse
Q
Q
IF J=1
Si
2
S2
+ Q2 = I 2
∆t
 S

2 S∆2t − Q2 =  2 2 + Q2  − 2Q2
 ∆t

H
2
S
S
+Q
∆t
S
 S

I j + I j +1 +  2 j − Q j  = 2 j +1 + Q j +1
t
∆t
∆


2
 S

− Q j +1 =  2 j +1 + Q j +1  − 2Q j +1
∆t
 ∆t

S j +1
H
ECHV-2005
4
11/04/08
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
2.2 Tránsito a lo largo de cauces - Método Muskingum
Se asume la siguiente ecuación cinemática tipo descarga - almacenamiento:
S = K [XI + (1 − X )Q ]
{[
][
dS S j +1 − S j K XI j +1 + (1 − X )Q j +1 − XI j + (1 − X )Q j
=
=
dt
∆t j
∆t j
]}
(2)
Sustituyendo la ecuación 2 en 1 y resolviendo se determina que:
Q j +1 = C1I j +1 + C2 I j + C3Q j
C1 =
∆t − 2 KX
2 K (1 − X ) + ∆t
C2 =
∆t + 2 KX
2 K (1 − X ) + ∆t
C3 =
2 K (1 − X ) − ∆t
2 K (1 − X ) + ∆t
Donde C1 + C2 + C3 = 1 y K/3 <= ∆t <=K
K y X son determinados mediante calibración de hidrogramas observados de
entrada y salida de un tramo del río.
K=
[
0.5∆t I j +1 + I j − (Q j +1 + Q j )
X (I
j +1
5
j
− I ) + (1 − X )(Q
11/04/08
j +1
]
− Q j)
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
Ejemplo: Supongamos que se dispone de los registros de los hidrogramas de
entrada y salida de un tramo de río.
[
Definiendo Numerador = 0.5∆t I
X (I
j +1
j
− I ) + (1 − X )(Q
j +1
j +1
]
I j − (Q j +1 + Q j ) y Denominador =
j
−Q )
t (días)
I (m3/s)
O (m3/s)
Numerador
Suma
Numerador
Denominador
Suma
Denominador
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
59
93
129
205
210
234
325
554
627
526
432
252
203
158
130
105
90
80
68
59
59
42
70
76
142
183
185
213
293
397
487
533
481
371
252
196
161
143
112
95
83
75
20
38
58
45
38
80.5
186.5
245.5
134.5
-31
-165
-198.5
-131
-80
-61
-54.5
-42.5
-29.5
-25.5
-20
20
58
116
161
199
279.5
466
711.5
846
815
650
451.5
320.5
240.5
179.5
125
82.5
53
27.5
7.5
29.2
12
68
33.8
6.4
40.6
109.8
97.8
51.8
18
-77.6
-97.8
-104.2
-50.4
-33
-17.4
-26.8
-16
-11.4
-6.4
29.2
41.2
109.2
143
149.4
190
299.8
397.6
449.4
467.4
389.8
292
187.8
137.4
104.4
87
60.2
44.2
32.8
26.4
Se encuentra para )t = 1 día, los valores de X = 0.2 y K = 1.834, según la
siguiente figura:
Suma Numerador
Cálculo de X y K
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
y = 1.8339x - 43.127
2
R = 0.9865
0
100
200
300
Suma Denominador
6
11/04/08
400
500
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
Los valores de C1, C2 y C3 serán:
C1
C2
C3
I (m3/s)
118.0
186.0
258.0
430.5
441.0
491.4
682.5
1274.2
1442.1
1209.8
993.6
655.2
527.8
410.8
338.0
273.0
126.0
112.0
95.2
82.6
82.6
O(m3/s)
118.0
122.6
159.7
221.4
328.4
389.0
454.0
610.2
959.1
1188.9
1184.9
1064.7
847.9
677.3
536.9
431.4
340.9
230.7
169.2
130.7
106.3
Transito de la onda de avenida mediante el método de
Muskingum
I (m3/s)
O(m3/s)
1600
1400
1200
Q(m3/s)
t (días)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.068
0.441
0.492
1000
800
600
400
200
0
0
1
7
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Tiempo (días)
11/04/08
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
3. Tránsito de flujo del tipo distribuido (Tránsito hidráulico)
3.1 Método de la Onda cinemática
-
Ecuación de continuidad (Ecuación de almacenamiento)
∂A ∂Q
+
=q
∂t
∂x
-
(3)
Ecuación de cantidad de movimiento
Q = αy β
(4)
La ecuación (3) es integrada de acuerdo a la regla trapezoidal en un esquema
implícito de diferencias finitas. La integral es expresada en términos de gasto al
tiempo t j-1 y de la misma incógnita al tiempo t j.
El enfoque de la integración numérica es el Euleriano, el cual consiste en
analizar los intercambios de masa y energía a través de las fronteras de una
región de estudio fija (volumen de control) en el sistema coordenado x-t.
Este sistema es de estructura rectangular, compuesto por celdas o volúmenes
de control trapezoidales para las cuales se introducen los subíndices i y j para
denotar el espacio y tiempo respectivamente. La principal deformación del perfil
de la corriente durante el tránsito del escurrimiento ocurre en el frente o
frontera de aguas abajo en la fase de avance de tal manera que después de
cada intervalo de tiempo se determina en función del gasto calculado en la
estación (i-1) la longitud de avance desde dicha estación. La cual si es mayor
que la longitud de la celda se procede a calcular el gasto que pasa por la
estación (i) de lo contrario se simula otro intervalo de tiempo.
La siguiente ecuación de almacenamiento :
Ve - Vs = ∆Valm + ∆Vinf
(5)
Ve
: Volumen de entrada al plano de escurrimiento
Vs
: Volumen de salida del plano de escurrimiento
∆Valm
: Cambio del volumen almacenado = Vj - Vj-1
∆Vinf
: Cambio del volumen infiltrado = Vinf j - Vinf j-1
La ecuación anterior puede ser expresada como :
8
11/04/08
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
tj
tj
∫Q
i −1dt −
t
j −1
xi
xi
i
t
xi
xi
∫ Q dt = ∫ A(x,t )dx + ∫ A (x,t )dx + ∫ A (x,t )dx − ∫ A(x,t
j
j −1
z
xi −1
j
j
p
xi −1
xi −1
j −1
xi
)dx −
xi −1
∫ A (x,t
z
xi −1
j −1
xi
)dx −
∫ A (x,t
p
xi −1
Las dos integrales en el tiempo del miembro izquierdo de la ecuación anterior
representan el volumen de entrada (Ve) y salida (Vs) y son aproximados por la
expresión algebraica siguiente:
tj
∫Q
i −1dt
[
]
= Ve = w.Qi j−1 + (1 − w).Qi j−−11 .∆t
t j −1
tj
∫ Q dt = Vs = [w.Q
i
i
]
+ (1 − w).Qi j −1 .∆t
j
t j −1
El término w depende de la variación de los parámetros en el intervalo de
tiempo considerado. El criterio de aproximación común es similar al de la regla
trapezoidal que considera variación aproximadamente lineal para intervalos de
tiempos cortos.
Las aproximaciones de la demás integrales serán:
xi
∫ A( x, t
j
[
]
)dx = V .alm j = φAi j−1 + (1 − φ ) Ai j ∆x
xi −1
xi
∫ A ( x, t
z
[
]
j
)dx = V .inf j = φzA.infi −j 1 + (1 − φz ). A.infi j ∆x
j
)dx = Vpp j = L jpp ∆x
xi −1
xi
∫ A ( x, t
p
xi − 1
xi
∫ A( x, t
j −1
[
]
)dx = V .alm j −1 = φAi j−−11 + (1 − φ ) Ai j −1 ∆x
xi −1
xi
∫ A ( x, t
z
j −1
)dx = V .inf
j −1
[
]
= φzA.inf i −j −11 + (1 − φz ). A.inf i j −1 ∆x
xi −1
9
11/04/08
j −1
)dx
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
xi
∫ A ( x, t
p
j −1
j −1
)dx = Vpp j −1 = L pp
∆x
xi −1
j
Donde L pp = pp
j
L pp
=
j
(Para j=1)
pp j + pp j −1
(Para j ≥ 2)
2
Los términos φ y φz dependen de la variación de los parámetros asumidos a
través de la longitud de las celdas. En la mayoría de ellas, se asume una
variación lineal, así que φ = φz = 1/2; cuando este tipo de variación no puede
ser asumida, como en el caso del frente de la onda, en la cual se concentra la
no linealidad del perfil del flujo, los coeficientes de ponderación en el espacio
deben ser valorados apropiadamente.
Redefiniendo los términos de la ecuación (5) y considerando a Q, A, Az y Ap
unitarios (por unidad de ancho de plano) además de poner todos los términos
en función del gasto mediante la (4), tendremos:
[
Vs = [w.Q
]
Ve = w.Qi j−1 + (1 − w).Qi j−−11 .∆t
i
j
]
+ (1 − w).Qi j −1 .∆t
1
1
1

β
β
β
1


V .alm j =   φQi j−1 + (1 − φ )Qi j
 α  
[

 ∆x


]
V .inf j = φzZ .inf i −j 1 + (1 − φz ).Z .inf i j ∆x
j
Vpp j = L pp
∆x
1
V .alm
j −1
V .inf
j −1
1
1
 1  β  j −1 β
j −1 β
=   φQi −1 + (1 − φ )Qi
 α  
[

 ∆x


]
= φzZ .inf i −j −11 + (1 − φz ).Z .inf i j −1 ∆x
j −1
Vpp j −1 = L pp
∆x
10
11/04/08
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
j
j −1
Considerando que los valores de Qi −1 , Z . inf i j y Lpp ∆x , son conocidos y
que la solución en el tiempo tj-1 ha sido obtenida la incógnita a resolver es
Qi j .
La solución numérica parte de una cierta condición inicial la cual determina las
celdas en las cuales se aplicará el balance de masa mediante las ecuaciones
anteriores, obteniéndose en cada una de ellas el gasto de salida que constituye
el gasto lateral de la siguiente celda aguas abajo. En el caso de la fase de
avance si dicho gasto lateral es suficiente para alcanzar la frontera derecha de
la celda se aplica nuevamente el balance de masa, de lo contrario se simula
otro intervalo de tiempo. En la fase de almacenamiento y recesión el balance
de masa se aplica en todas las celdas para cada intervalo de tiempo.
Cada plano se divide en N celdas y N+1 nodos que no necesariamente
corresponden a las estaciones que se van determinando en la fase de avance y
como la frontera izquierda, el gasto se conoce se tendrá en general N
incógnitas que se equilibran con las N ecuaciones aplicadas en cada celda.
La naturaleza no lineal de la ecuación hace necesario resolver ésta en forma
iterativa por lo que se utilizará el procedimiento Newton-Raphson para
encontrar la solución.
Método Newton - Raphson
Qi j
k +1
k
= Qi j + δQm
δQm =
−rm
∂rm
∂Qi j
∂r
∂Qi j
1
∆x 1
= (1 − φ ) ( ) β Qi j
β α
1− β
β
+ w∆t
rm = V .em + V . ppm − V .Sm − ∆V . inf m → 0
11
11/04/08
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
Ejemplo de programa para simular el tránsito de flujo mediante el método de la
onda cinemática.
Dim alfa, beta, t1, t2, t3, t4, r, dr_dq, delta_q, qk, k As Single
Dim q(100, 2000) As Single
Dim num_est, int_de_tiempo As Integer
' Ejemplo Programa Onda Cinemática
' E. Chávarri V.
Private Sub Command1_Click()
'Crea base de datos que contiene los resultados de la
'simulación
ruta = App.Path
If Right(ruta, 1) <> "\" Then
ruta = ruta & "\"
End If
Set cp = New Connection
Set rsP = New Recordset
With cp
.Provider = "Microsoft.Jet.OLEDB.4.0"
.ConnectionString = "Data Source=" & ruta & "kinematic.mdb"
.Open
End With
rsP.CursorLocation = adUseClient
rsP.Open "Select * From RESULTADOS", cp, adOpenDynamic, adLockOptimistic
' Se borra toda información que contenga la base de datos
If rsP.RecordCount > 0 Then
rsP.MoveFirst
For m = 1 To rsP.RecordCount
rsP.Delete
rsP.MoveNext
Next
End If
alfa = (t_manning * t_base ^ 0.667 / t_pend ^ 0.5) ^ 0.6
beta = 0.6
num_est = CInt(t_long / t_delta_x) + 1
int_de_tiempo = CInt(t_tiempo / t_delta_t)
For i = 1 To num_est
q(i, 1) = 750
Next
For j = 2 To int_de_tiempo
For i = 1 To num_est
q(i, j) = 0
Next
Next
For j = 2 To num_est
q(1, j) = Sin(j) + 750
Next
12
11/04/08
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
For j = 2 To int_de_tiempo
q(2, j) = q(2, j - 1)
For i = 2 To num_est
k=1
Do
If k = 1 Then
If i = 2 Then
q(2, j) = q(2, j - 1)
Else
q(i, j) = q(i, j - 1)
End If
Else
q(i, j) = q(i, j) + delta_q
End If
k=k+1
t1 = t_delta_t * q(i, j) / t_delta_x
t2 = alfa * q(i, j) ^ beta
t3 = t_delta_t * q(i - 1, j) / t_delta_x
t4 = alfa * q(i, j - 1) ^ beta
r = t1 + t2 - t3 - t4 ' - t5
dr_dq = Val(t_delta_t) / Val(t_delta_x) + alfa * beta * q(i, j) ^ -0.4
delta_q = -r / dr_dq
qk = q(i, j) + delta_q
Loop Until Abs(qk - q(i, j)) <= 0.0001 * qk
rsP.AddNew
rsP!i = i
rsP!j = j
rsP!q = q(i, j)
rsP!r = r
rsP.Update
rsP.MoveNext
Next
Next
End
End Sub
13
11/04/08
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
3.2 Método Muskingum - Cunge
Aunque el método de Muskingum es popular y fácil de usar, incluye parámetros
que no poseen base física y son dificultosos de estimar.
El método de Muskingum - Cunge es una variación del método de Muskingum
hecha por Cunge et al, la cual consiste en cambiar la base cinemática del
método de Muskingum a un método análogo del tipo difusivo para tener la
capacidad de predecir la atenuación de la onda del hidrograma.
El modelo se basa en la solución de la ecuación de continuidad (Incluyendo
flujo lateral).
∂A ∂Q
+
=q
∂t
∂x
Además de la forma de difusión de la ecuación de momento
S f = S0 −
∂y
∂x
Combinando las dos ecuaciones anteriores, se produce la denominada
ecuación de difusión convectiva (Miller y Cunge, 1975).
∂ 2Q
∂Q
∂Q
= µ 2 + cq
+c
∂x
∂t
∂x
Donde 'c' es la celeridad de la onda y 'µ' la difusividad hidráulica.
c=
dQ
dA
y
µ=
Q
2BS0
Donde 'B' es el ancho superior de la superficie de agua.
El método Muskingum-Cunge es más efectivo al ser utilizado con técnicas
distribuidas de tránsito de flujo. La ecuación recursiva aplicable a cada ∆x para
cada ∆t es:
O j = C1I j −1 + C2 I j + C3O j −1 + C4 ( q∆x )
14
11/04/08
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
Los coeficientes serán:
C1 =
C2 =
C3 =
C4 =
∆t
+ 2X
K
∆t
+ 2(1 − X )
K
∆t
− 2X
K
∆t
+ 2(1 − X )
K
2(1 − X ) −
∆t
K
∆t
+ 2(1 − X )
K
2(
∆t
)
K
∆t
+ 2(1 − X )
K
En el método Muskingum-Cunge, K y X son calculados mediante (Cunge 1969,
Ponce 1978).
K=
X=
∆x
c
1
Q
(1 −
)
2
cBSo ∆x
Pero c, Q y B cambian con el tiempo, así que los coeficientes C1, C2, C3 y C4
deben también cambiar.
Para el método Muskingum - Cunge, la elección de los pasos de tiempo (∆t) y
distancia (∆x) son bastante críticos.
Con respecto al paso de tiempo (∆t), se ha encontrado que:
∆t ≤
Tr
M
Donde M >= 5 y Tr es el tiempo de ascenso del hidrograma.
15
11/04/08
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
El manual del HEC-HMS, señala que el ∆t debe ser el valor mínimo de lo
siguiente:
-
El paso de tiempo especificado en el 'control de especificaciones'.
El tiempo de viaje a lo largo del tramo de cauce.
M = 20
Una vez definido ∆t se calcula ∆x como: ∆x = c ∆t
Qo
1
∆
x
<
c
∆
t
+
(
)
Sin embargo ∆x tiene una restricción:
cBSo
2
Donde Q0 = QB +
1
(Q pico − QB )
2
QB : Caudal base
Qpico : Caudal pico
16
11/04/08
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
Ejemplo: Tránsito de la onda de flujo mediante el método de Muskingum - Cunge
Tr (días)
M
Delta t (días)
So
n
Qbase (m3/s)
Qpico (m3/s)
Q.lateral (m3/s)
Delta t
Delta x
t (días) B (m) I (m3/s) y (m) c (m/s)
(días)
(m)
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
2.7
4.0
5.3
6.7
8.0
9.3
10.7
12.0
13.3
14.7
16.0
17.3
18.7
20.0
21.3
22.7
24.0
25.3
26.7
28.0
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
118.0
186.0
258.0
430.5
441.0
491.4
682.5
1274.2
1442.1
1209.8
993.6
655.2
527.8
410.8
338.0
273.0
126.0
112.0
95.2
82.6
82.6
0.37
0.48
0.58
0.79
0.81
0.86
1.05
1.52
1.64
1.48
1.31
1.02
0.90
0.77
0.69
0.60
0.38
0.35
0.32
0.29
0.29
5.4
6.5
7.4
9.0
9.1
9.5
10.9
13.9
14.7
13.7
12.6
10.7
9.8
8.9
8.2
7.5
5.5
5.3
4.9
4.7
4.7
8
6
1.3
0.025
0.025
50.0
1442.1
0
Delta x
crít.(m)
K
X
c1
c2
c3
c4
O (m3/s)
31.3
27.4
25.2
22.5
22.4
22.0
21.0
20.0
20.0
20.0
20.2
21.1
21.8
22.7
23.7
24.8
30.7
31.8
33.5
35.1
35.1
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
1.33
-0.11
-0.17
-0.21
-0.29
-0.29
-0.31
-0.37
-0.48
-0.51
-0.47
-0.43
-0.36
-0.32
-0.28
-0.25
-0.22
-0.12
-0.10
-0.08
-0.07
-0.07
0.242
0.199
0.167
0.117
0.115
0.104
0.071
0.009
-0.003
0.014
0.034
0.075
0.097
0.122
0.141
0.162
0.236
0.247
0.262
0.275
0.275
0.379
0.401
0.416
0.442
0.443
0.448
0.464
0.496
0.502
0.493
0.483
0.462
0.452
0.439
0.430
0.419
0.382
0.377
0.369
0.362
0.362
0.379
0.401
0.416
0.442
0.443
0.448
0.464
0.496
0.502
0.493
0.483
0.462
0.452
0.439
0.430
0.419
0.382
0.377
0.369
0.362
0.362
0.621
0.599
0.584
0.558
0.557
0.552
0.536
0.504
0.498
0.507
0.517
0.538
0.548
0.561
0.570
0.581
0.618
0.623
0.631
0.638
0.638
118.0
145.2
199.0
308.1
381.0
436.7
554.7
912.4
1176.9
1196.9
1099.1
885.9
701.9
552.9
440.6
353.7
247.7
166.5
125.9
101.8
89.5
7.2
8.6
9.8
12.1
12.2
12.7
14.5
18.6
19.5
18.2
16.8
14.3
13.1
11.8
10.9
10.0
7.4
7.0
6.6
6.2
6.2
17
11/04/08
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
Tránsito de la onda de flujo mediante el Método de
Muskingum - Cunge
O (m3/s)
Días
18
11/04/08
21
19
17
15
13
11
9
7
5
3
1600.0
1400.0
1200.0
1000.0
800.0
600.0
400.0
200.0
0.0
1
Q(m3/s)
I (m3/s)
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS
CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS
ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE
19
11/04/08