Word Pro - ESTADISTICA-probabilidad (simplificada

TEMA I. PROBABILIDAD
I.1. La Probabilidad. El Origen.
Francia, 1654. A mediados del siglo XVI la alta sociedad francesa, ociosa y sin
ocupación, tenia en los juegos de azar una de sus principales diversiones. Así fue como cierto
día de ese año, Antoine Gombard, Caballero de Mère, gran aficionado a las cartas y a los
juegosde azar, durante un viaje en compañia de otro francés, Blaise Pascal, amigo del
primero y uno de los más eminentes matemáticos del siglo, planteó a este último un par de
problemas que le tenían preocupado desde hacía algún tiempo. El primero era lo que
podíamos llamar
La apuesta interrumpida:
Dos jugadores A y B apuestan a cara o cruz, tirando una moneda. El jugador que primero llega a 5
puntos gana la apuesta. Por razones de necesidad, la apuesta se interrumpe cuando el jugador A tiene 4
puntos y el jugador B, 3. ¿Cómo deben repartirse las cantidades apostadas para ser justos?
El segundo,
El problema de los dados:
El Caballero de Mère sabía por experiencia que era ventajoso apostar por sacar al menos un seis en una
serie de cuatro lanzamientos de un dado. Sin embargo, cuando apostaba por obtener un doble seis en una
serie de 24 lanzamientos la ventaja -muy ligera- correspondia ahora a la posibilidad complementaria, es
decir no obtener un doble seis en ninguno de los 24 lanzamientos. Según su razonamiento si los resultados
posibles con un dado son 6 y con dos dados son 36, la probabilidad de éxito al lanzar un dado 4 veces
deberían ser las mismas que al lanzar dos dados 24 veces, ya que las razones 4 a 6 y 24 a 36 son
equivalentes.
Parece ser que Pascal, a la vez que su amigo Pierre de Fermat (abogado de profesión,
pero gran aficionado a las matemáticas, y con quien mantenia frecuente correspondencia)
dieron ambos y por separado con la solución correcta a estos problemas, iniciando el estudio
sitemático y formal de los juegos de azar y de la probabilidad.
I.2. Probabilidad. Conceptos asociados.
Supongamos que desde cierta altura dejamos caer un objeto y nos proponemos medir
la velocidad con la que llega al suelo o que lanzamos un dado al aire y nos fijamos en la cara
del dado que sale. En ambos casos se dice que hemos hecho un experimento. En el primer
caso el experimento es determinista, puesto que conocidas las condiciones iniciales y
ambientales es posible determinar con exactitud la velocidad de caída del objeto; en el
segundo caso el experimento es aleatorio, puesto que no es posible determinar, aun cuando
se den las mismas condiciones, el resultado del experimento.
-1-
Ejemplos de experimentos aleatorios:
De entre la familias con hijos, observar qué lugar ocupa el primer hijo varón
Contar el número de piezas defectuosas que hay en una caja de 50 piezas.
Extraer bolas de una bolsa, devolviéndola a la misma, hasta que aparezca una de un color
determinado.
Elegir una persona al azar y medir su altura.
Observar la cotización en bolsa de las acciones de una compañía el jueves de cada semana.
Se denomina suceso elemental o simple a cada uno de los resultados posibles de un
experimento.
Se denomina suceso compuesto al que se compone de dos o más sucesos simples.
Se denomina espacio de sucesos o espacio muestral (E ) al conjunto formado por
todos los sucesos elementales de un experimento.
Por ejemplo: en el experimento de lanzar un dado, son:
Sucesos simples: que salga 1 ; que salga 2 ; que salga 3 ; etc.
Sucesos compuestos: que salga 1, 2 o 3 ; que salga par ; etc.
Espacio de sucesos: resultados posibles del experimento E = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Ejercicio:
Halla los espacios muestrales de los siguientes experimentos. De cada uno de ellos
extrae un suceso elemental y otro compuesto.
(a) Tirar dos monedas y anotar sus resultados.
(b) Tirar un dado y una moneda.
(c) Hacer tres extracciones con reemplazamiento de una urna que contiene dos bolas
blancas y dos rojas.
(d) Número de piezas defectuosas de una caja de 50 piezas.
I.3. Sucesos. Operaciones con sucesos.
Todo subconjunto del espacio muestral constituye un suceso. Como ya se vio, este
puede ser simple o compuesto.
Los sucesos suelen donotarse con letras mayúsculas: A, B, ...
Se denomina suceso imposible a aquel que no puede ocurrir. Se denota por Se denomina suceso complementario de un suceso A a aquel que está formado por
todos los sucesos elementales que no son de A. Se le denota por A o A c . Gráficamente:
-2-
E
Ac
A
Por ejemplo: Sea el experimento consistente en lanzar dos monedas.
Son sucesos de dicho experimento, entre otros, los siguientes:
A = sacar una cara y una cruz = CX, XC
B = sacar al menos una cruz = CX, XC, XX
Es un suceso imposible: C
= sacar tres cruces = XXX = Son sucesos complementarios de A
y B, respectivamente:
A c = sacar dos caras o dos cruces = CC, XX
B c = no sacar cruces = CC
La operaciones entre sucesos de un experimento se muestran en la siguiente tabla:
A4B
Es el suceso formado por todos
los elementos de A y todos los
elementos de B
A3B
Es el suceso formado por todos
los elementos que son, a la vez, de
A y de B.
DIFERENCIA
A−B
Es el suceso formado por todos
los elementos de A que no son de
B.
SUCESO
CONTRARIO
A =E−A
UNION
INTERSECCIÓN
c
B
A
A
Es es suceso formado por todos
los elementos del espacio de
resultados que no son de A.
Dos sucesos se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común, es
decir cuando A 3 B = (A y B son disjuntos).
-3-
Ejemplos:
1º.- Supongamos entre los habitantes de Coria los sucesos:
mujer. Entonces:
H, ser hincha del Coria C.F. y M, ser
H 4 M es el suceso ser hincha del Coria C.F., ser mujer o ambas cosas, es decir, ser una mujer
hincha del Coria C.F.
H 3 M es el suceso formado exclusivamente por la mujeres que son hinchas del Coria C.F.
H − M es el suceso formado por todos los hinchas del Coria C.F. que no son mujeres. Es decir, todos
los hombres hinchas del Coria C.F.
c
es el suceso formado por todos los habitantes de Coria (hombres y mujeres) que no son
H
hinchas del Coria C.F.
2º.-Supongamos la experiencia lanzar tres monedas al aire y ver el resultado, y sean los sucesos:
A = sacar más caras que cruces y B = sacar una o dos cruces . Entonces:
A 4 B = sacar más caras que cruces o sacar una o dos cruces = {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX,
XXC}
A 3 B = CCX, CXC, XCC
A − B = CCC
A c = sacar más cruces que caras = XXX, XXC, XCX, CXX
Las operaciones de unión, intersección, diferencia y complementación (contrario) de
sucesos verifican las propiedades que se recogen en la siguiente tabla:
Unión
Intersección
A4B=B4A
A3B=B3A
1. Conmutativa
A 4 (B 4 C ) = (A 4 B ) 4 C
A 3 (B 3 C ) = (A 3 B ) 3 C
2. Asociativa
A4A=A
A3A=A
3. Idempotente
A 4 (B 3 A ) = A
A 3 (B 4 A ) = A
4. Simplificación
A 4 (B 3 C ) = (A 4 B ) 3 (A 4 C ) A 3 (B 4 C ) = (A 3 B ) 4 (A 3 C )
5. Distributiva
A 4 E = E Ac
A3=
6. Elemento neutro
A estas debemos añadir las Leyes de Morgan:
El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus
suscesos contrarios:
A4B=A3B
El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus
sucesos contrarios.
A3B=A4B
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Ejercicios y Problemas:
1.- Hallar los espacios muestrales de los siguientes experimentos:
a) Tirar un dado y una moneda y anotar sus resultados.
b) Hacer tres extracciones de una urna que contiene dos bolas blancas y dos rojas, en
los siguientes casos:
La bola extraída no se repone.
Después de cada extracción se devuelve la bola a la urna.
c)Lanzamiento simultáneo de tres monedas.
2.- Sea el experimento aleatorio: “contar piezas defectuosas en cajas de 50 piezas”. Se pide:
a) Espacio muestral, E
b) Indicar si los siguientes sucesos son simples o compuestos:
A = extraer una caja con 7 piezas defectuosas
B = extraer una caja con menos de siete piezas defectuosas
C = Extraer una caja con un número de piezas defectuosas comprendido entre 5 y10
3.- En una urna hay 3 bolas negras y 2 rojas. Sea el experimento aleatorio: “número de
extracciones que debemos hacer hasta sacar una bola roja”. Se pide:
a) Espacio muestral, E
b) Escribir dos sucesos compuestos.
4.- Sea el experimento aleatorio: “lanzar tres monedas y anotar los resultados”. De dicho
experimento se consideran los sucesos:
A = sacar más caras que cruces y B = sacar una o dos cruces
Obtén los siguientes sucesos:
a) A c y B c
d) A − B
b) A 4 B
e) A 3 B c
c) A 3 B
f) A − (A 4 B )
5.- Una urna contiene dos bolas blancas y dos rojas. Se hacen cuatro extracciones con
reemplazamiento. Encuentra los sucesos:
a) A = sólo ha salido una bola roja y B = la segunda extracción es bola roja
b) A 4 B, A 3 B c y B − (A 4 B )
6.- Si los sucesos A, B y C representan:
A = llueva hoy
B = llueva mañana
-5-
C = llueva pasado mañana
a) Expresa mediante operaciones con sucesos las siguientes situaciones:
Llueva uno de esos tres días por lo menos.
Llueva hoy, pero no mañana ni pasado mañana.
No llueva ninguno de los tres días.
Llueva, como máximo, dos de esos tres días.
Llueva hoy, pero no mañana.
b) Explica el significado de:
(A 3 B ) − C
(A 4 B ) − C
A 4 B 4 Cc
(A 3 B ) 4 (C 3 A )
A4B
7.- A un instituto llegan tres periódicos A, B y C. El 30 % de los profesores lee A, el 20 %, B y
el 15 % C; el 12 % lee A y B, el 9 %, A y C y el 6 % B y C. Finalmente el 3 % lee A, B y C.
Se pide:
a) El porcentaje de profesores que leen al menos uno de los tres periódicos
b) El porcentaje de profesores que lee sólo A.
c) El porcentaje que leen B o C, pero no A.
d) El porcentaje de profesores que no lee ningún periódico.
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I.4. Definición de probabilidad. Propiedades.
Las siguientes difiniciones de probabilidad son todas equivalentes, y es utilizada una u
otra según las características del experimento que estemos estudiando. La deficinición
axiomática es una formalización de las definiciones frecuencialista y de Laplace.
1ª. Definición frecuencialista. Fue enunciada por primera vez por Bernouilli y está
basada en la Ley de los Grandes Números, que dice que: “cuando un experimento es repetido
muchas veces la frecuencia relativa de un suceso tiende a un valor fijo”. Así, si A es un
suceso de dicho experimento, su probabilidad de ocurrencia será:
P(A ) =
número de casos en los que ha ocurrido el suceso A
= f r (A)
número de veces que se realizó el experimento
f r (A) es la frecuencia relativa del suceso A
Esta definición tiene el incoveniente de que para determinar el valor de P(A ) con
cierta exactitud es necesario realizar muchas veces el experimento, y aún así no es posible
obtener nunca el valor exacto de P(A ).
2ª. Definición de Laplace. Cuando los sucesos elementales de un experimento son
todos equiprobables, por ejemplo en el lanzamiento de un dado, o de una moneda, extracción
de una bola de una bolsa en la que hay 10 de ellas numeradas, etc, la probabilidad de
ocurrencia de uno de estos sucesos elementales es:
P(A ) = número de casos favorables al suceso A
número de casos posibles
3ª. Definición Axiomática. Su enunciado se debe al matemático ruso, Kolmogorov
quién consideró la relación entre la frecuencia absoluta de un suceso y su probabilidad cuando
el número de veces que se realiza el experimento es muy grande. Esta definición parte de tres
axiomas que se toman como ciertos:
1º. Cualquier que sea el suceso A, P(A ) m 0
2º. Si dos sucesos son incompatibles la probabilidad de la unión es igual a la
suma de las probabilidades:
A 3 B = e P(A 4 B ) = P(A ) + P(B )
3º. La probabilidad del espacio muestral, E es igual a 1: P(E ) = 1.
-7-
De la definición axiomática de probabilidad pueden deducirse, entre otras,
siguientes propiedades
las
1ª. En cualquier experimento, los sucesos A y su complementario, A c son siempre
incompatibles, y además A 4 A c = E . Así es que:
P(A ) + P(A c ) = P(E ) = 1 e P(A ) = 1 − P(A c )
2ª. Para dos sucesos cualesquiera A y B , no necesariamente disjuntos, se tiene que:
P(A 4 B ) = P(A ) + P(B ) − P(A 3 B )
Observaciones:
Para hacer el conteo del número de casos favorables y del número de casos
posibles disponemos de dos técnicas fundamentalmente: Los diagramas de árbol
y la combinatoria
En ocasiones, la probabilidad se da o se pide en tantos por ciento. Así, una
probabilidad P(A) = 0.15 equivale en % a P(A) = 0.15 % 100 = 15 %
Ejercicios:
1º. En el lanzamiento de dos dados evaluar las siguientes probabilidades:
(a) Probabilidad de ambas caras sean números pares.
(b) Probabilidad de que la suma de las caras sea 9.
2º. En el experimento de lanzar tres monedas, halla la probabilidad de los siguientes
sucesos:
(a) A = sacar más caras que cruces
(b) B = sacar al menos una cruz
(c) C = sacar como máximo dos cruces
3º. Las probabilidades de los sucesos son:
P(A) = 1/3
P(B) = 2/5
P(A 3 B) = 1/15
Con estos datos, calcula las siguientes probabilidades:
(a) De que se cumpla alguno de los sucesos A o B
(b) De que no se cumpla A y si B
(c) De que se cumpla uno solamente.
(d) De que no se cummpla ni A ni B.
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4º. En un banco hay dos alarmas A y B. En caso de atraco, la probabilidad de que se
activen A, B o ambas es:
P(A ) = 0.75
P(B) = 0.85
P(A y B) = 0.65
Calcular la probabilidad de que:
(a) Se active alguna de las dos.
(b) Se active sólo una de ellas.
(c) No se active ninguna.
I.5. Probabilidad Condicionada.
Definición:
Sean A y B dos sucesos. Llamamos probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a
la probabilidad de B teniendo en cuenta que con anterioridad ha ocurrido el suceso
A.
De manera análoga de define la probabilidad de A condicionada a B, P(A/B.)
Por ejemplo, supongamos que extraemos dos cartas consecutivas sin reposición de una baraja española (40
cartas) y consideramos los sucesos:
A = la primera carta es copas y B = la segunda carta es bastos
La probabilidad de que la 1ª carta sea copas es P(A) =
10 = 1
40 4
La interpretación que damos a la probabilidad P(B/A) es la de que “la 2ª carta sea bastos sabiendo que
la 1ª ha sido copas”, y esta probabilidad es:
P(B/A) = 10
39
Otro más. Supongamos que un instituto hay matriculados 42 alumnos en 2º de Bachillerato de las CC SS, 54
en 2º de Ciencias de la Naturaleza y 15 en 2º del Tecnológico. Siendo el número de alumnas en cada
modalidad, respectivamente, 30, 35 y 5. Considera los sucesos:
M = ser alumna de segundo de bachilleratoy
CS = hacer segundo por la modalidad de ciencias sociales
Si extraemos un alumno al azar, ¿cuáles son las probabilidades P(M) y P(M/CS)?
En el primer caso,
P(M) = número de alumnas = 30 + 35 + 5 = 70
42 + 54 + 15 111
total de alumnos
En el segundo caso, P(M/CS ) =
alumnas de segundo de las CC SS
= 30 = 5
total de alumnos de segundo de las CC SS 42 7
Interpreta la probabilidad P(CS/M) y calcúlala...
-9-
Pues bien, supongamos los sucesos A y B dentro del espacio de sucesos, E.
E
B
A
Y supongamos que ha ocurrido el suceso B. Gráficamente:
E
A
B
¿Cuál es la probabilidad P(A/B )?...
Pues observa que de todos los casos posibles -los que están en B- los favorables a A se
encuentran en la intersección de A y B. Así:
P(A/B) =
elementos de A 3 B P(A 3 B )
=
elementos de B
P(B )
De manera análoga se llega a que P(B/A) =
P(A 3 B)
P(A)
Despejando P(A 3 B ) se llega a los siguientes importantes resultados:
P(A 3 B) = P(A ) $ P(B/A )
P(A 3 B ) = P(B ) $ P(A/B )
Si los sucesos son tres:
P(A 3 B 3 C) = P(A ) $ P(B/A ) $ P(C/A 3 B )
Esta misma expresión se generaliza para la intersección de cualquier número de
sucesos.
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I.6. Sucesos dependientes e independientes.
Definición:
Se dice que el suceso A es independiente del suceso B cuando la ocurrencia del
suceso A no se encuentra afectada por la ocurrencia de B. Es decir:
P(A/B) = P(A)
Ejemplos:
En el nacimiento de los hijos, el sexo del primer hijo no afecta al del segundo.
Si extraemos una carta de una baraja y la devolvemos a la baraja, la segunda extracción no
queda afectada por la primera.
De acuerdo con la definición, para sucesos independientes:
P(A 3 B) = P(A ) $ P(B )
Y en general:
P(A 3 B 3 C...) = P(A ) $ P(B ) $ P(C ) $ ...
I.7. Tablas de Contingencia y Diagramas de Árbol.
En los problemas de probabilidad y en especial en la probabilidad condicionada
resulta muy práctico organizar la información en tablas de contingencia o diagramas de árbol.
Por ejemplo la siguiente tabla muestra los datos hipotéticos de alumnos y alumnas
matriculados en 1º y 2º de bachillerato de las ciencias sociales:
1º
2º
totales
alumnos
28
18
46
alumnas
32
30
62
totales
60
48
108
En clave de sucesos y probabilidades, si A = ser alumno , A = ser alumna
B = ser de primero y B = ser de segundo
B
B
Total
A
P(A 3 B)
P(A 3 B)
P(A)
A
P(A 3 B)
P(A 3 B)
P(A )
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Total
P(B)
P(B)
1
La tabla anterior adopta la forma del diagrama de árbol siguiente:
P(A)
P(A)
P(B/A)
A3B
P(B/A)
A3B
P(B/A)
A3B
P(B/A)
A3B
A
A
Ejercicios:
1. Si de una urna que contiene 3 bolas blancas y 4 negras hacemos tres extracciones
sin reposición, calcula la probabilidad del suceso A = sacar exactamente dos bolas blancas
2. Un opositor se sabe 35 temas de los 50 de que consta el temario. La prueba consiste
en responder a dos temas elegidos al azar. Calcula la probabilidad que tiene el opositor de
aprobar la oposición si para ello debe contestar correectamente a los dos temas.
3. Se extraen, simultaneamete, tres cartas de una baraja española. Halla la
probabilidad de obtener:
(a) tres copas
(b) dos copas y un oro
(c) al menos una copa
4. Un tirador tiene una probabilidad de 0.8 de dar en el blanco. Si realiza cuatro
disparos, calcula la probabilidad de haber hecho diana:
(a) Con algún disparo
(b) con tres disparos.
5. Se estima que el porcentaje de hombres de 40 años que llegan a la edad de 65 es del
76 %. Si tres amigos se reúnen para celebarar su cuadragésimo cumpleaños, halla la
probabilidad de que en su 65 aniversario:
(a) vivan los tres amigos
(b) los tres hayan fallecido
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(c) viva alguno de ellos
I.8. Probabilidad Total
Supongamos que en un experimento el espacio muestral E puede descomponerse
como suma (más propiamente, unión) de n sucesos A i (desde i = 1 hasta n ) incompatibles
entre sí, tal como se muestra en la figura:
E
A1
A2
A3
A4
A6
A8
A7
A5
Es decir (ver figura de abajo), tales que:
A i 3 A j = y A 1 4 A 2 4 .... 4A n = E
Sea ahora un suceso B que contenga elementos de algunos (o todos) los sucesos A i , tal
y como se muestra en siguiente figura:
E
A1
A2
A3
A4
B A6
A8
A7
A5
Entonces, como B = B 3 E se tiene que:
B = B 3 (A 1 4 A 2 4 .... 4A n ) = (B 3 A 1 ) 4 (B 3 A 2 ) 4 ..... 4(B 3 A n )
Y como los sucesos B 3 A i son todos incompatibles entre sí, podemos escribir:
P(B) = P(B 3 A 1 ) + P(B 3 A 2 ) + .... +P(B 3 A n )
Y aplicando la relación P(B 3 A i ) = P(A i ) $ P(B/A i ) a cada sumando, se llega a la
expresión final:
P(B) = P(A 1 ) $ P(B/A 1 ) + P(A 2 ) $ P(B/A 2 ) + ..... +P(A n ) $ P(B/A n )
La fórmula anterior permite calcular la probabilidad del suceso B conociendo las
probabilidades de los sucesos A i , y recibe el nombre de probabilidad total del suceso B.
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Ejercicios:
1. En cierta población, un 20 % de los trabajadores lo hace en la agricultura (A), un 25 % en
la industria (I) y el resto en el sector servicios (S). Un 63 % de los que trabajan en el campo
son mayores de 45 años, siendo ese procentaje del 38 % y el 44 % en los otros dos
sectores. Seleccionado un trabajador al azar, ¿qué probabilidad hay de que tenga menos de
45 años?
2. La población estudiantil de un IES se reparte entre 3º y 4º de secundario y 1º y 2º de
bachillerato, según el 32 %, 30 %, 17 % y 21 %, respectivamente. Los porcentajes de
alumnas en esos cursos son: 52 %, 55 %, 59 % y 64 %. Elegido un alumno al azar, ¿qué
probabilidad hay de que sea varón?
3.- En un instituto se va a hacer una excursión a una estación de esquí con dos autobuses, uno
grande y otro pequeño. Las dos tercera partes de los alumnos apuntados a la excursión irán
en el autobús grande y el resto en el pequeño. Se sabe que todos los alumnos que viajarán
en le autobús pequeño saben esquiar y el 40 % de los que lo harán en el otro autobús no
saben. Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sepa esquiar?
I.10. Teorema de Bayes
La probabilidad total resuelve la cuestión del cálculo de la probabilidad de los efectos
a partir de las causas que los originan. El Teorema de Bayes aborda la cuestión desde el punto
de vista contrario, es decir, conocido un efecto se plantea determinar la probabilidad de la
causa que lo creó.
Por ejemplo:
En el primero de los problemas anteriores nos preguntábamos por la probabilidad de que elegido un
trabajador al azar éste fuera menor de 45 años. Esto lo resuelve la probabilidad total. Ahora bien, supongamos
que hemos elegido un trabajador y ha resultado ser menor de 45 años, ¿cuál es la probabilidad de que provenga,
por ejemplo, del sector de la industria?... Esto lo resuelve el Teorema de Bayes.
Otro más. En el problema 3. nos preguntábamos por la probabilidad de que elegido un alumno al azar
éste supiera esquiar. Bien, y si hemos elegido un alumno y ha resultado saber esquiar, ¿cuál es la probabilidad de
que viaje, por ejemplo, en el autobús pequeño?... Esto también corresponde al Teorema de Bayes.
Conocemos el efecto, ¿cuál es la probabilidad e la causa?...
El teorema de Bayes puede expresarse de la siguiente manera:
Sean B y A i sucesos que verifican las condiciones antes dichas para la probabilidad
total. Es decir, tales que los A i son disjuntos y su unión es el espacio muestral E, y B es
un suceso que contiene elementos de algunos o todos los A i . Como antes,
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E
A1
A2
A3
A4
B A6
A8
A7
A5
Con estas condiciones, la probabilidad de un suceso cualquiera A i , dado que ocurrió el
suceso B (y sin entrar en demostraciones)
, se determina a partir de la fórmula:
P(A i /B) =
P(A i ) $ P(B/A i )
P(A 1 ) $ P(B/A 1 ) + P(A 2 ) $ P(B/A 2 ) + ..... + P(A n ) $ P(B/A n )
Conocida como Teorema de Bayes.
Ejercicios.
1.- Determina la probabilidad de que si como resultado del experimento del ejercicio
1 anterior ha salido un trabajador menor de 45 años, éste provenga del sector de la industria.
2.- Determinar la probabilidad de que si ha salido un alumno que sabe esquiar en el
problema 3. anterior, éste viaje en el autobús pequeño.
Problemas de Selectividad en Extremadura
1. Los equipos de baloncesto de las ciudades A y B se han clasificado para la final de un torneo. La
final se disputa al mejor de 5 partidos, en consecuencia el equipo vencedor será el que primero
gane 3 partidos. Por la experiencia acumulada entre ambos equipos se sabe que de cada 10
partidos que juegan, 7 los gana el equipo A y 3 los gana el equipo de la ciudad B. Determinar
justificando la respuesta:
(a) La probabilidad de que la final la gane el equipo de la ciudad B al finalizar el tercer
partido.
(b) La probabilidad de que la final la gane el equipo de la ciudad A al finalizar el cuarto
partido.
(Septiembre de 2009)
2. Un joyero compra los relojes a dos casas comerciales (A y B). La casa A le proporciona el 40 % de
los relojes, resultando defectuosos un 3 % de ellos. La casa B le suministra el resto de los relojes,
resultando defectuosos un 1 % de ellos. Cierto día, al vender un reloj el joyero observa que está
defectuoso. Determinar la probabilidad de que dicho reloj proceda de la casa comercial B.
Justificar la respuesta. (Junio de 2009)
3. El 40 % de los residentes en cierta Comunidad Autónoma son varones. A partir de un estudio
realizado en dicha Comunidad, se ha determinado que 45 de cada 100 varones y 75 de cada 100
mujeres suelen ver el canal autonómico de televisión. Determinar la probabilidad de que
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seleccionado al azar un residente en esa comunidad, sea de los que suelen ver el canal autonómico
de televisión. Justificar la respuesta. (Sept de 2008)
4. En una pobblación se ha determinado que de cada 100 aficionados al fútbol, 25 son abonados del
equipo A, 45 son abonados del equipo B y el resto son abonados de C. Sabiendo que el 30 % de
los abonados de A, el 40 % de los abonados de B, y el 50 % de los abonados de C, tienen menos
de 30 años, determinar la probabilidad de que seleccionado al azar un aficionado al fútbol en esa
población sea menor de 30 años. Justificar la respuesta. (Junio de 2008)
5. Una empresa se dedica a la fabricación de calefactores. Cada calefactor, antes de ser enviado al
mercado para su venta, ha de superar tres controles de calidad: C1, C2 y C3 en ese orden. Si no
supera alguno de ellos es rechazado. por la experiencia acumulada, se sabe que un 95 % de los
calefactores superan C1, que en C2 se rechaza un calefactor con probabilidad 0.02 y que 90 de
cada 100 calefactores superan C3. Determinar, justificando la respuesta, la probabilidad de que un
calefactor elegido al azar en la producción de esa empresa sea rechazado. ( Sept de 2007).
6. Se sabe que 3000 de los 20000 estudiantes matriculados en cierta universidad hacen uso del
comedor universitario y acuden a sus clases en transporte público. A partir de la información
proporcionada por una amplia muestra de estudiantes universitarios, se ha estimado que uno de
cada cuatro universitarios que utilizan el transporte público para acudir a sus clases hacen también
uso del comedor universatirio. Determinar, justificando la repsuesta, la probabilidad de que
seleccionado al azar un estudiante en esa universidad resulte ser de los que utilizan el transporte
público para acudir a sus clases. ( Junio de 2007)
7. En un instituto hay 250 alumnos cursando estudios de bachilerato, 110 de ellos son alumnos del
segundo curso. El director pregunta a todos si están de acuerdo en realizar determinada actividad
cultural. Obtiene respuesta (afirmativa o negativa) de los 250 alumnos. Un 30 % de los alumnos
del primer curso le contestan que están de acuerdo y un 40 % de los alumnos del segundo curso le
contestan que no están de acuerdo. Si seleccionamos al azar un alumno entre los 250 determinar,
justificando la respueta:
(a) La probabilidad de que sea un alumno del segundo curso de los que están de acuerdo en
realizar la actividad cultural.
(b) La probabilidad de que sea un alumno de los que no están de acuerdo en realizar la
actividad cultural.
(c) Sabiendo que el alumno seleccionado pertence al primer curso, la probabilidad de que sea
de los que están a favor de realizar la actividad cultural.
(sept de 2006)
8. El Congreso de Diputados de cierto Estado está constituido por tres grupos parlamentarios: A, B y
C con 140, 150 y 60 diputados, respectivamente. Una propuesta sometida a votación es rechazada
por un 25 %, un 42 % y un 5 % de los diputados de los grupos A, B y C, respectivamente. Los
diputados restantes aceptan la propuesta. Finalizada la votación, un medio de información
entrevista a un diputado elegido al azar. Se pide, justifiando la respueta:
(a) La probabilidad de que el diputado entrevistado sea miembro del grupo C y haya
rechazado la propuesta.
(b) La probabilidad de que el diputado entrevistado haya aceptado la propuesta.
(c) Sabiendo que el diputado entrevistado es miembro del grupo B, la probabilidad de que
haya rechazado la propuesta.
(Junio de 2006)
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9. En un Instituto hay 800 personas. De ellas, 680 son alumnos, 90 son profesores y el resto personal
de administración y servicios. El director del Instituto les pregunta si están a favor o en contra de
realizar determinada reforma en el Instituto. Sabiendo que un 40 % de los alumnos, un 30 % de los
profesores y un 10 % del personal de administración y servicios cotestan que están a favor de
dicha reforma y el resto contesta eu no está a favor de la reforma, determinar la probabilidad de
que seleccionada una persona al azar entre las 800:
(a) resulte ser un alumno de los que han contestado que están a favor de la reforma.
(b) Resulte ser una persona de la s que han contestado que están en contra de la reforma.
Justificar las respuestas.
(Sept de 2005)
10. En cierta ciudad residen 10000 personas, de ellas 4000 son mayores de 50 años. Como resultado
de una encuesta realizada en dicha ciudad, se ha determinado que 70 de cada 100 personas
mayores de 50 años no se hacen ninguna revisión dental anual. Determinar la probabilidad de que
elegida al azar una persona en esa ciudad, resulte ser mayor de 50 años y de las que se hace una
revisión dental anual. Justificar la respuesta. (Junio de 2005)
11. Cierto meteorólogo ha comprobado en determinada ciudad:
1º) Que si un día llueve, con probabilidad 0.6 también llueve al día siguiente.
2º) Que si cierto día no llueve, hay un 30 % de posibilidades de que llueva al día siguiente.
Sabiendo que en esa ciudad ha llovido el lunes, determinar la probabilidad de que llueva el
miércoles de esa misma semana. Justificar la respuesta. (Sept de 2004)
12. En el segundo curso de bachcillerato de cierto instituto se han matriculado el doble de mujeres
que de varones. Sabiendo que un 25, 5% de las mujeres fuman y que no lo hacen un 60 % de los
varones, determinar la probabilidad de que seleccionada al azar una persona en el segundo curso
de bachillerato de ese instituto resulte ser una persona fumadora. Justificar la respuesta. (Junio de
2004)
13. Se sabe que un 10 % de las empresas del sector automovilístico de cierto país cotizan en bolsa y
exportan más de la mitad de su producción, y que un 40% de las empresas que exportan más del
50 % de su producción cotizan en bolsa. Determinar la probabilidad de que seleccionada al azar
una empresa de dicho sector, sea un de las que xportan más de la mitad de su producción.
Justificar la respuesta. (Sept de 2003)
14. En una empresa hay un total de 500 trabajadores, de los cuales 350 son obreros, 120 son
administrativos y el resto es personal directivo. El gerente de la empresa pregunta a todos si están
a favor o en contra de donar un 2 % de sus ingresos mensuales para una causa benéfica. Sabiendo
que obtiene respuesta (a favor o en contra) de todo el personal de la empresa y que se manifiestan
a favor un 30 % del personal obrero, un 50 % del personal administrativo y un 60 % del personal
directivo, determinar la probabilidad de que seleccionado al azar un trrabajador de dicha empresa:
a) Resulte ser un directivo de los que se han manifestado a favor de la propuesta.
b) Resulte ser de los que se han manifestado en contra de la propuesta.
Justificar las respuestas. (Junio de 2003)
15. Tras varios años de seguir a su equipo de fútbol, un aficionado ha comprobado que si en
determinada jornada del campeonato su equipo gana un partido entonces en la siguiente jornada
gana con probabilidad 0.3 y empata con probabilidad 0.5, que si en determinada jornada empata
entonces en la jornada siguiente con probabilidad 0.5 vuelve a empatar y gana con probabilidad
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0.25. Sabiendo que en la jornada 36 su equipo ha empatado, ¿qué probabilidad hay de que en la
jornada 38 no empate? Justificar la respuesta. (Sept de 2002)
16. Un examen de inglés consta de tres pruebas. En primer lugar se hace una prueba de gramática que
suele ser superada por el 85 % de los alumnos que se presentan. Esta primera prueba es
eliminatoria y los alumnos que no la superan suspenden la asignatura. La segunda prueba es de
fonética y 7 de cada 10 alumnos que la realizan la superan. Esta segunda prueba tiene
recuperación y es conocido que el 50 % de los alumnos que se presentan a dicha recuperación la
superan. La última prueba es oral y a ella acceden los alumnos que han superado las dos pruebas
anteriores. La prueba oral se supera con probabilidad 0.55. Sabiendo que la asignatura se aprueba
cuando se han suerado las tres pruebas, determinar la probabilidad de que un alumno apruebe el
inglés. Justificar la respuesta. (Junio de 2002)
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