Problema 501. Probar o refutar las siguientes proposiciones: (a) En todo triángulo ABC, al menos uno de los radios de las circunferencias exinscritas ra , rb , rc es mayor o igual que una de sus alturas ha , hb , hc y recı́procamente. (b) En todo triángulo ABC se pueden elegir, al menos, dos radios de las circunferencias exinscritas ra , rb , rc cuyo producto sea mayor o igual que el producto de dos de sus alturas ha , hb , hc . Propuesto por Vicente Vicario Garcı́a, I.E.S. El Sur, Huelva Soluzione di Ercole Suppa. Adottiamo le notazioni usuali, ossia denotiamo con a, b, c i lati BC, CA, AB, con A, B, C gli angoli, con R il raggio della circonferenza circoscritta, con r il raggio della circonferenza inscritta, con ri , hi , mi , wi , (i = a, b, c) i raggi delle circonferenze exinscritte, le altezze, le mediane, le bisettrici interne, con s il semiperimetro e con ∆ l’area del triangolo 4ABC. Per dimostrare le proposizioni (a), (b) utilizzeremo le seguenti formule, la cui dimostrazione viene lasciata per esercizio. R= abc 4∆ (1) ∆2 = s(s − a)(s − b)(s − c) = rra rb rc wa = A 2bc cos b+c 2 (2) (3) (a) Tenuto conto della (1), della (2) e della nota disuguaglianza R ≥ 2r abbiamo: ha hb hc = 2∆ 2∆ 2∆ 4∆ 2r · · = rra rb rc = ra rb rc ≤ ra rb rc a b c abc R (4) A questo punto la validità della proposizione (a) si può dimostrare per assurdo; infatti se la (a) fosse falsa si avrebbe: ra < ha , rb < hb , rc < hc =⇒ ra rb rc < ha hb hc contraddicendo la (4). Pertanto la proposizione (a) è dimostrata. (b) Dalla (3), usando la disugualianza tra la media aritmetica e la media geometrica (GM ≤ AM), discende che: r 2bc A 2bc s(s − a) p wa = cos ≤ √ = s(s − a) (5) b+c 2 bc 2 bc 1 ed analoghe disuguaglianze valgono per wb , wc . Dalla (5) e dalla disuguaglianza GM ≤ AM, tenuto conto che ha ≤ wa , hb ≤ wb , hc ≤ wc , abbiamo: X p ha hb + hb hc + hc ha ≤ wa wb + wb wc + wc wa = s (s − a)(s − b) ≤ cyclic X 2s − a − b X c ≤s =s = s2 2 2 cyclic (6) cyclic D’altra parte le formule sui raggi delle circonferenze exinscritte implicano che: ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ · + · + · = s−a s−b s−b s−c s−c s−a = s(s − c) + s(s − a) + s(s − b) = s2 ra rb + rb rc + rc ra = (7) Dalla (6) e la (7) otteniamo che: ha hb + hb hc + hc ha ≤ ra rb + rb rc + rc ra (8) Ora, come abbiamo fatto per la proposizione (a), possiamo dimostrare la proposizione (b) ragionando per assurdo; se la (b) fosse falsa si avrebbe: ra rb < ha hb , rb rc < hb hc , rc ra < hc ha =⇒ ra rb + rb rc + rc ra < ha hb + hb hc + hc ha contraddicendo la (8). Pertanto la proposizione (b) è dimostrata. 2