INTRODUCCI6N A LOS LAZOS ALGE BR AICOS

Revista
Colombiana
de Matematicas
Volumen VI, 1972, pags. 69.105
INTRODUCCI6N
A LOS LAZOS ALGE BR AICOS
por
E. VASCO URIBE
Carlos
1.
PRELIMINARES.
En e st a confereneia
trataremos
(A,&),
e struct ur as algebraicas
exc lus iva men te de sistemas
en donde
A
A.
fusiones,
A,
hablaremos
porsimple
abusivamente
del sistema
ic ion : ab = a&b.
yuxtapos
elemental
En algebra
goza
picdad
"operacioncs
moderna
sistema
10
por
re c ibe el nomhrc
de la propi cdad
,el
de
(A, &) se cumple
todo sistema
sistema
a hahlar
de
se llama
de
menos
grupoidc
y eo-
y d eno tarc mos la op erac ion
operado
A xA
la propiedad
en
b").
con
A,
es claru
10
c la u sura
tanto,
t iva,
en
Ese
.
mente
Si en un grupoide
s emigruoo
0
no se presre a con-
no c laus ura ti vas ",; por
se e st ud ian principal
asoc iat i va,
Cuando
"a
(Lease:
Si de li ni mos la op erac ion como una funeion
que no hay lugar
dado y l a
e s un eonjunto
merc ial " & de not a una oper ac ion bin ari a s obre
al gcbra ico s
los sistemas
cuya
op erac Ion
se cumpl e tn tnb ie n e st a pro-
. Si a dc ma s cl semigrupo
I.iene un ele-
69
men to neutro
0
unidad
e,
el sistema
se llama
versos
para eada uno de sus elementos.
sueede
si se trnta de afi adir otras
"
el sistema
propiedades
Se han estudiado
prine ipalmen te dos tipos
Si en un grupoide
se postula
. es
ecuacron
antes
de postular
tiene
(Pero
in-
que
?
[a asoeiativa
de sistemas
untcas
para
las
d e primer gra d0 "
b
a&a
ob teni do se llama
Si el euasigrupo
t ie
=
b,
cuasigrupo.
ne un elemento
la z o " (0 t.amb ie n "aro"
se llama"
grupo.
se llama
la exi s t en ci a de solueiones
a&x
el sistema
monouie , Si el m onoide
afiade la propiedad
asociat
neutro
0
unidad
e,
el sistema
; en iugle s : "loop").
iva , resulta
obten ido
Si a un lazo se
de nuevo un grupo. for
Ie
eso se podria de-
eir con una con tradicc ion sugeren te, que un lazo es un .. grupo no asociativo"
Miis exact amen te , un lazo es un cuasigrupo
EI diagrama
gebraicos
de linidos
Notese
na da s
hasta
la propiedad
grupo:.monoide
70
siguiente
visualiza
arriba
entre
conrnut at i va e sf ndependien
Si en uno de los sistemas
conmutativa.,
••••
las reJaciones
los seis
sistemas
al -
.
que la propiedad
ahora,
con unidad,
.s
el sistema
te de todas
ya definidos
se llama re spectivamen
conrn u tat ivo (0 abe li ano },
se cumple
las rne nc ioademiis
te : grupoide,
semi-
Grupoide
(Element
ueutro
)
(Elem ento
neutro
)
Grupo
Ejemplos
elementales
1.1.
naturales
Los
a&b
Los reales
pero las ecuac ion es
.a y
b sO,n ambos
x = log
1.3.
a
son
con la po te n ciac ion
dell)
•
x & a = (a
0 sea:
a&x
= b (0 sea:
mayores
-- b)'
x
aX=b)
t ien
en el
que
. un
" rc a x -- b(l / a) ;
en so I'uc IOn
tienen
que uno (0 ambos
un grupoide
so luc ion u ni ca solo
menores
que uno).
cuan-
En esos
ca-
b.
Todos
los realcs
grufJo ide con mu tati vo,
mer grado
y cuasigrupos
po s it ivo s con Ia poten c iaci on forman
to das Ias eeuac iones
sos,
(a partir
Forman un grupoide
1.2.
do
de gr.upoides
con la d ist a nnl a
~ot esc
:
a&b
que cn est e gru poide
=
todas
Ia
- b
I,
Io rman
un
las e cuac ion e s de pri _
ticn c n e xac ta me n tc dos soluciones.
71
1.4.
Los
enteros
a&x = b (0 sea:
= b
x&a
cion
con l a re st a forman
a-x = b)
(0
1.5.
2.
reales
t ie
ne
COlllO
pues
t.oda ecuaci
x = a-b,
un ie a
s ol uc ion un ie a
no es ni con mut at ivo , ni asoc iarivo
de que el cero
Los
como s olucion
a = b)
x·
sea:
Nore se que e st.e cuasigrupo
n eu tro , a pesar
t iene
un-c uas i grupo,
es un elemento
pos itivos
forman
y toda
ecua-
x = b + a.
, ni ti en e elemento
ne utro a derecha
con la division
on
•
un cuas igrupo,
UN POCO DE H1STOR1A .
La prehistoria
de los cuasigrupos
y lazos
puede
seguirse
en dos direcciones
di st in tas : la comb ina tor ia y la geometrica.
En la dire cci on c omhina tor ia puede
36 ofi cia les de Leonardo
De cuantas
comen zars e la his t or ia con el problema
Eul er, quien
man er as pueden
mur io en 1783 :
Iormars e 36 ofi cia l es de 6 divisiones
tal man er a que en cad a fila y en cada
de los
columna
haya
d is t inta s , de
uno y un solo
ofic ial de cada
division?
Estos
c uadrado s en los que en cada
num ero 0 l etra
se llaman
c uadros Latinos.
ron a e st udi ar mas detenidamente,sobre
Schonhardt
fila y en cada
e s tu dio e xhausttvamente
columna
S610 a fines
del Siglo
todo p'or Cayley
los cuadros
hay exactamente
de orden
[Ca90]
un
:%1IXse empezaI.
5 [Sc30]
En
1930
,yen
1934
-----_._------I
Las
referencias
ala
bibliografia
tor y las dos ulr im as cifras
iniciales
72
de los dos
se dan con las dos primeras
letras
del aii o de publ icac ion, Si son varios
pr irn ero s ,
del nombre
autores,
del au-
s e da n las
Fisher
y Yates
[FY 34].
cua
publ icaron
Se e ncon traron 17 tipos
dros di
columnas
nte s por
Iere
tran
comple ta de los cuadros
bastcos,
de los cual es se pu eden obte ner 9408
c ion sobre
sposf
7 [N039J.
publico
Doce
habia
la diagonal
una li st a de 146 tipos
afios
de spues
Alb ert Sade
c
de estos
un sistema
e ncoruro
Iin ito ,los
algebraico
trar todo s los cuasigrupos,
resolvieron
publ icaron
36
final:
y grupos
n a lazos
lazo) no isornorfo s corona
[BS 66].
y que en
de
dado son preci sarnen-
y grupos
Los
algebrai-
de Cayley"
de e se orden,
EI
de e ncon -
traba jos de Fisher
pero s610 en 1966 Bryant
de los 9408 cuadros
no isornorfos
0 "tablas
de orde n 6.
e l problema;
de vista
e quiva len te. al problema
hay e xacta me ntc dos que corresponden
y
y Schneider
lat inos e nc ontrado s por Fisher
a grupos
La !ista
no isomorfos,
de los 109 lazos
y 107
que
(todo
grupo
200 afios de invcst igac ion en el problema
de
los
ol ic ial e s,
La otra
En los anos
las \lamadas
[Re
parcialmente
el resultado
corrcsponde
e s un
lazos
el punto
de un orden
lazos
e s pues
de orden
7 [Sa 51] •
cuadro s lat inos
de los 36 ol ic iale s de Euler
latinos
que Ial taha un tipo,
de multiplicar"
Ie las ta hl as de mul tipl icar de los cuastgrupoe,
problema
de cua dros
lat in os desde
cuadros
co, es que s i se co nsf d eran como "tablas
y Yates
de Iil as ,
y permutaciones
bas icos
cuadr os l at inos de orden
16.942.080
Lo mas interesante
Yates
lat inos de orde n 6
y simbol os ,
En 1939 Norton
total
una l ista
linea
anteriores
a la Segunda
redes geomelricas
30] , Thomsen
cncuentran
hi st.or ica que ll evo al eSludio
triples,
[Tt. 30] , Blaschke
sistematizados
Guerra
de los lazos
Mundial
especialmente
[BI28]
fue la geomelrica
se estudiaron
profusamente
por Reidemeister
y Bol [Bo 37].
en el Torno 49 de la coleccion
Los
Springer,
•
[Re 291,
resul tados
se
escrito
por
73
los dos ult imos autores
libro clas ico de Pickerl
Una red geornetrtca
las no vacias
de line as,
cion de incidencia
I.
y en eI Torno 80 de la misma co lccc ion, que es el
[8838],
sobre
planos
proye ct ivns [Pi 55] •
tr ipl e co nst a de un conjunlo
llarnadas
uno-lineas,
de punlos,
dos-lineas
que cum pie los axiorna s siguienles
Dos line as de la mi srna clase
no inciden
II. Dos line as de d is ti nta s clases
inciden
tre s c1ases
y tres
v
disyun-
lin eas, y una rela-
:
una con ot ra,
una con o tra en uno y un solo pun-
lO.
III. En cada punto
in ciden
una con ot ra e xa c ta me n te tre s l in eas:
0
una de cada
cl ase,
Con las modiff cac ion es re sp ect ivas pueden
cuadruples
del plano
cias
(0
i
etc,
<
P
Por ejemp lo, una red doble
perforado
r
de radio
< 00)
en el origen,
con centro
de az irnut conatan
tomando
te
Para
linea
del plano
que pas an por
se rolulan
[1,3] , ...
74
[1,1]
sucesivamenle
, [1 ,a] , ....
lriples,
eSlll dada por los pun tos
-
y como dos-l inc as todos los radios
es la .. red del pescador"
con tr ian gulo s e qurlareros
ella
intere sante
dobies,
(8 = c) •
coorde nar una red lriple
(1,1) , yen
tamhi e n redes
como uno-l ine as to das las c ircunferen
en el origen,
EI ej emplo cl as ico de red triple
gulacion
def inirse
seelige
un punt o base
los punlos
una linea
a (2,1)
de la linea
ESlO delermina
es una tr ian-
de lado uni dad,
de base,
[1,1].
que se llama
se Ilama n la dos-Iine
,que
que se llama
Las otra s dos l ine as
y la lres-linea
(1,1)
los nombres
lIamandolos
de lodas
uno-
(3,1).
Luego
[1,2],
las dos-lineas
(2,a)
y las rre s-l in eas (3,a)
que pas-an por [1,a].
con (3 ,a),
de inc i den c ia de (2,1)
punta
Una vez coordenada
(3,a)
por la linea
pect.iva
hasta
hasta
co rt ar [a linea
(2,1);
de alii
arriba
induce
tivo de los enteros.
luego
el valor
c
f' r ejemplo,
sobre
los enteros
f
esta
f(x)
= x + 1
fry)
= y + 1
=
x +Y +1
=
otros
sistemas
de
[1, a]
por la uno-linea
es la segunda
res-
respecticoordenada
finito
dos lineas
puntos
c\ase
y la op er ac ion
la red del pescador
un cuasigrupo
con la coordcna-
isomorfo
por
& defi-
a] grupo adl-
:
y cuatro
I) - 1
.
in duci dos por redes
ter is ti c as pe c ul iare s , El sistema
de cada
= a&b
(x + I) + (Y+
= [(x) & fry}
hay much~s
partir
dado por
[(x + y)
I'ero
seguir
geometrica-
baj ar por la tres-linea
& puede calcularse
La operae ion
y el isomorfismo
(2,b);
definir
a y b,
para coorde nar la red triple
[orman un cuasigrupo.
Cion indicada
univo camen te
= [1,a&b].
corte[l,c]
Los num eros u t il iz ados
nida asi,
en cu estf on, es posible
: Oados
(l,I);
queda
por el
(2, y).
con
fonna
la linea
es la que pasa
[x, y]
siguiente
[a
enc on trar la dos-linea
va ha st a e ncontrar
del puntode
la red triple
& en
mente una operac ion
y el punto
(l,x)
dete rmi nado por la i inc ide noi a de
(L,«)
La linea
no trivial
triples
que pre se nta n cara c-
mas sencillo
consta
de solo
:
75
[2,2]
1""-------:--.:.....:...-----_..
(3,1)
[2,1J
(3,2)
(2,2)
[1 , 1]
Puede
comprobarse
cada
anteriormente
de cua st grupo ;el
dos,
cuya
tabla
[1,2 J
(J,1)
fac ilme ntc que esta
induce
sobre
cuasigrupo
de Cayley
red triple
el conjunto
con la op erac ion ge ometrica
de los num eros
re s ul t an te es isomorfo
es el
un ic o cuadro
1 y 2
una estructura
con el grupo ciclico
lat ino de orden
dos
indi-
de orden
:
0
2
2
Fue
t ic
una mujer,
Ruth Moufang,
ulo en el que abstraia
[lamo "cuerpo
sigrupos
y
combinatorio
Murdoch,
alternativo"
lazos
empieza
y geometrico.
Garrison
y Albert
de Frankfurt
de las redes
del Main,
triples
[M0351.
de esa
fecha
algebraica,
que
un arella
el e stud io de los cua-
indep endi enturne nte de los aspectos
Duran te la Segunda
dominan
la que en 1935 publico
una estlfuctura
A partir
a desarrollarse
[Ga 40] , [AI 2a J , [A142 b] , [A143J
76
1
Guerra
la lnve st igacion
, [A144J
•
IVlUndial,
los nombres
de
[Mu 39 J, [Mu 41aJ , [1VI1141bJ
EI ext enso art iculo de R. H. Bruck
ria de cuasrgruposi'
eSla
Bruck
en el principal
se convierte
En 1946 publica
el libro
Este
.. A Survey
sus
of Binary
Entre
res ul tados en [a leo-
lazos,
y a part ir de e nton ce s
de e st e ti po de e structur
Sist ems ", casi
t odo
[Br46]
dedicado
10
y publicaciones,
t ilulado
de di vul gacion
volumen
entre
de .. ~tudies
as [Br44J
, yen
1958
a los lazos
publica
[Br 58J •
en 1966.
las cuales
Bruck
de st.a-
cabe
.. ~ Que es un Lazo?",
in Modern
Algebra
",
\ibro
•
que apa-
editado
por
en 1963 [AI63].
los especialistas
Universidad
sobrc
a los
bas ico en la mat er ia
invesligaciones
re c io en el segundo
Albert
t e ertco
"Algunos
nue varn en te con una cornpl eta bib\iografia
car un in tere san te art icu
Adrian
en gran parle
un articulo
libro fue edirado
ha conlinuado
dedicado
de 1<)44:
Hebrea
aspectos
en lazos
de Haifa,
merece
Rafael
Arlzy,
geom e trico s y algebraicos
citar se tam bien e] profesor
quien
ha publicado
de los lazos
de la
var ios art ic ulos
[Ar53J,
[Ar59a]
, [Ar59bJ
[Ar 63].
En los Estados
sidades
de Wisconsin,
c ontraron
Wilson,
"Isotopiade
isotopias,
se ha cultivado
Missouri
los 10<) lazos
rna de las
3.
Unidos
y Vanderbilt.
no isomorfos,
Lazos",
el e s tud io de los lazos
y alii
de 1%6,
En esta
m ismo se el aboro
topic o que se vera
mas abajo,
DE LOS LAZOS
.
Estas
ras se estudian
generalmenl.e
mos (exlstenc
ia de soluciones
uni cas
fue en donde
la tesis
que es una de las obras
EL ESTUDIO
estructu
ultima
en las un ive rse en-
de Eric
L.
ha s ica s en el te-
[Wi 66] •
aiiadiendo
para ecuaciones
a los axiomas
y existencia
mini _
de una identi-
77
dad),
algiin
ax iom a mas que su st it uya en parLe la asoci at ividad,
0
la id e nti dad:
sea
x ( y z } == (xy l z .
Las
leyes
riab~es
menos
rigurosas
que se obt icn e n ide nti Ii ca ndo dos
x {xx }
La Flexibilidad
x(yx)
:
==
que
110
y de cuarto
grado,
importan te es
[a
[un dam entacl on
d io s de algebras
Springer
110
t eori
de Moufang
hornogene a s de tercer
[o
de Jordan
de Jordan,
),
grado.
f'ero
tarnb ien
iden ti dade s important.e s , homogen eas
rm as dehile s de la asociaLividad.
La mas
:
ca de la m ecanica
c uan uca,
recogidos
en el libro
y que or ig ina los exLensos
de Braun
y Koecher
esLu-
de la colec-
[BK 66] •
Una forma peculia.
Osborn:
(a derecha
asoe iat iva algunas
que represellLan
iden tidad
(a izquierda).
== (yx)x
hay mas iden ti dade.s
se conoc ian en algebra
(xy)x.
== [x x } y
y(xx)
de monoasoc
(x 2 x] x == x 2 x 2,
y de Moufang-
Bol,
10
iat ivi dad de cuarto
mismo
t amhien
(yx. z ) x == y(x.
(xy)(zx)==
grado,
que oLras idenLidades
recibieron
zx )
x(y. x z ) == (xy. x] z
78
va-
(xx) x,
x (xy)
La Al temat ivldad
cion
mas de e stas
SOli :
La MOlloasociaLividad
Es claro
0
(x.yz)x
(yx. z)x
== y(xz.
x(y.xz)
== (x.yx)y.
x)
especial
Hamada
la Ley de
similares
[l am ada s
tratarni e nto
:
Cierto
paciente
au tor e studio
todas
las iden ti da de s simi lares
repre sent an Iormas dehrl es de la asoc iat ividad
Tambien
lazos,
pues [a no asociatividad
tencia
de soluciones
configuraciones
aun sin te ner elemento
EI
inverso
ra cual quier
EI
y
inverso
ra cualquier
y
a izquierda
a derecha
es posible
neutro
con [a exis -
permite
definir
definir
inversos
a izquierda
y a de-
:
x, xt,
de
la identidad
se define
como el e lern ento que cumple
pa-
:
de
la identidad
Si se ti ene e l emento
recha
de primer grado",
y
intere aante s,
Por eje mplo, en un cuasigrupo
recha,
de los cuas igrupos
no trae solo desvcn taja s : c omhinada
un ica s para "ecuaciones
que
; su mim ero asci en de a 150. [Va 68J.
de ide nti dade s muy peculiares
hay otros tipos
de cuar to grado
x, xu,
se define
como el e1emento
que cumpl e pa-
:
neutro,la
definicion
de inver so a izquierda
y de inverso
a de-
es la us ual •
N:J se crea que la existencia
de s~luciones
xa
b
ax
b
proporci onan estos
inversos
con
s oluc ione s podrian
depender
de
a = xy
y.
para las ecuaciones
y b = y,
Tampoco
0
a = yx
se puede
y
concluir
b = y,
pues e sas
de la e.xi ste nc ia
79
de esas
solucfones
a=b
con
pues
la soluc ion en cad a caso
tular
la existenc.ia
ejemplo
tro
que ex is t a una identidad
puede
de la identidad
de los enteros
0
con [a resta
depender
de
elemento
neutro
indica
a.
a izquierda
to ambos
":'
elementos
el producto
neutros
", ed
son iguales,
a iz qui erda y a derecha:
versos
en la teoria
pero sin la asoci at iv idad la prueba
la Flexibilidad
Estas
siguientes
es suficiente
peculiaridades
a
no sucede
para probar
permiten
neutro
y por 10 tan-
de un [a zo, Es-
paral elarne nte con los
in-
se prue ba que son iguales
(es de not.ar que
identidades
como las
= x.
(x y)yd
Propiedad
inversa
a izqu ierda
x~(xy)
Propiedad
inversa
cruz ada
(xy)xd=y
Propiedad
inversa
debrl
x ( yx )d -- y d
:
=
Y
[Wi 66J , p. 14).
tipos
de sustitutos
ciatividad
de potencias
ciatividad
(toda
80
ed'
:
a derecha
p.87.
ya
neu-
y un e le mento
d
postular
inversa
Otros
EI
te ore ma en un lazo),
ese
de los inversos
e
para los lazos
Propiedad
(cr.
":
de grupos
no con cluye
pos~
de te n er un elemento
a derecha
es igual
Pero
a d ere cha,
para obt en er un l azo,
'y son el elemento
to es c ono cido en la teo ria de grupos.
0
Por eso es necesario
la posibilidad
soJo a derec ha, Pero si hay un e l emen to neutro
neutro
a izquierda
pareja
para la asociatividad,
(todo elernento
de elementos
estudiados
genera
genera
un subgrupo
un subgrupo
por Bruck,
del
son la aso-
lazo) y la diaso
del lazo).
cr. [Br66J.
-
4.
OPERACIONES
La solucion
lNVERSAS.
un ica de las ecuaciones
op eraci on es inversas
division
a & x == b
del lazo:
en un l azo
la division
x & a == b
a")
(A,&)
dos
a izquierda
y la
qlE en general
se define
pueden
definirse
grupoide
A partir
parcial mente estas
a&x == b (aX == b),
b , definido
a de
a
bajo
.. b sobre
(lease:
y
b/ a
son di s tin tos , Adem8s,
con la pote.nc iacion
la division
a y b
para
x == b / a
di vis iones aun en grupoides.
de los re al es positivos
de
(lease:
a derec ha,
a' b
los elementos
b
a iz qui erda , y
como el resul tado de I a di vision
Notese
x == a"
se define
como el res ul tado de la division
A partir de la ec uaci on
base
definir
a derecha
b")
el
&
para la operac ion
A partir de la ec uaeion
plo
permite
mayores
por e jem-
:
a izquierda
que uno,
Tomese
0
dar ia ellogaritmo
a y b
menores
en
que
uno.
A partir
o sea
de
x&a == b (xa == b)
bO/ a), que e sta siempre
& es la division
5i la operacion
A partir de
a&x == b
la division
a derecha
daria
la ra iz
a de b,
bien definida,
entre re ale s positivos
(a; x == b)
la division
a izquierda
[x : a == b)
[a di vision
a derecha
seria
x==a\ b ==
== a; b .
A partir
x ==
bl a
==
de
ab i ,
x
&a
== b
Por 10 tanto
la division
a izquierda
seria
e s el reciproco
de [a divi-
81
sian
y la division
ordinaria,
(A ,&)
sobre
nes a derecha
versas
permit.en de linir una serie
si mis mo, llam adas
D(a).
a derec ha
r/
&, \.
Las operaciones
lazo
a dere c ha es [a mu lt ipl i cac ion ordinaria.
t.raslaciones
una para cad a el eJIIe nto
I(a) [x)
=
a&x.
D(a)
=
x&a,
(x]
I (a).
a izquierda
trasl aci onc s iuvers as a izquierda
D (a) -i,
de apl icacion es del
usr!
a de
t.raslacio-
y t.raslaciones
in-
A:
I(a)"i [x) = a \x,
D(a)"i(x)
= xl a.
ESLas apl icacton es gen eran Lres grupos
ll amados
iz qui e rdo, grupo de multip llcac ion derecho
cacion
y lazos
que perm it.e n e st udi ar los cuasigrupos
y Iaci l it an muchas
ciones,
5.
pruebas
y grupo de mult ipl ic ac ion de A,
por el meto do de grupos
de Lipo computaci
de permuLa-
onal,
ISOMORFISMO E ISO TOP!A
La no ci on de isomorfism
t iva
que "preserve
(A,&)
8
c"Pero
es isomorfo
(8, #)
a
tal que para to do
por que elegir
0
entre
la operacion"
x
lazos
es la ordinaria:
una Iunc ion
[
hiyec-
:
si y solo si exist e una hiyecc ion
[
en Ire
A y
y para tod o y:
[(x) # fry)
82
re spe ct ivame nte grupo de mu lt iplt-
= [(x &y)
las tre s veces
la misma
•
funcion
[?
iQue
sucede
si en vez
de
[se
utiliza
una tripla
que para todo
x y
para to do
isotOpicoa
teoria
de algebras
Schonhardt
isotopla , y se d ice que
se Barna
(A,&)
se debe a
y cuasigrupos;
s i rnis mo, y
A. Albert
ya hahia
sj
(I, s- h) e sta compuesta
h = iA
B
tales
(A, &)
es
esunis6topo
[AI 42] :,quien
do empleado
e s la Iuncion
por dos biyecciones
ident ica s obre
(B,#).
de
10 u t il iz.o en la
conscientemente
[Sc 30] para los cuadro s l at inos y por Baer [Ba 39]
Si la isotopia
sobre
([, g, h)
de isotopia
A a
?
(B,#),oequivalentemente,que
EI concepto
de
y:
g(y) = Mx&y)
[(x)#
La terna de funciones
([, g, h)
ordena da de biyecciones
A,
por
para las re des,
[, g
se I1ama
A
de
iso tooia
principal.
Estas
no e s d ilic i] probar que todo isotope
morf'o al lazo dado;
des
de un lazo dado tiene
e st e re sul tado e s valido
un isot opo principal
iso-
mas general mente aun para los grupoi-
:
TEOREMA 5.1.
un isotopo principal
Prueba
tonces
senctll as son s uflc ie n te s para la teoria, pues
iso top ias particularmente
Sea
To do isbtopo
(A, &)
de
(A, .J isomorfo a
(B, #).
(A,#)
de
un rsotopo
(B,#)
un grupoide dado (B, #)
bajolaisotopia
(f,g,
ti ene
h). En-
:
f(x) # g(y) = Mx&y).
(5.1.1)
83
Como
!y
g
Son hiyecciones,
va oper ao i on
A
en
por
sus
e x ist e n y es pos ibl e definir
inverses
una nue-
:
(5.1.2)
Como
z,y = i
A
(5.1.2)
{x , y),
r-1h(x}
Porlo
tanto
(! -1h, g~ 1h,
r
1h(x}
y
Pero como
te
(A,.)
l
i ).
se puede
& g -lh(} y =i
es un isot opo principal
Pero si en (5.1.1)
A
e scri hir
g-lh(y},
obt e ne mo s
u:' = iA
gg -1
y
A
(x.y):
de
(5.1.3)
(A,&)
bajo la isotopia
re emp la z amo s los elementos
x, y
Y por (5. L2) e I lado derecho
es simplemen-
por
:
= i A'
h(x. y}, obte nemo s
h(x} # My} = h(x. y}.
Luego
(A,.)
es isomorfo
La re duccion
posible
yas
probar
pr inc ip ale s puede
dos lsot opos principales
(d. supra,
hiyec c ione s son traslaciones
5.2.
enton ce s existen
top{a principal
Si ellazo
elementos
de
(A,&)
(A,#)
a, b
a
(A,
h,
bajo e I isomor l is mo
(8,#)
de las isotopias
que entre
TEOREMA
84
a
de
#).
tales
Ilevarse
exist e siempre
aun mas lejos
: es
una is otopi a cu-
Sec cion 4).
es un is otopo
A
QED.
que
principal
(D(b),
dellazo
I(a}, i }
A
(A,&)
es una
i s o-
Prueba
Entonces
Sea
(f,g,iA)
laisotopiaprincipaldadaentre
e
laidentidaddellazo
que para to do
=
x de
como una"
b.
de
ecuacion
a=f(e}
y
b=g(e}.
Esclaro
& b.
=
x
f( x}",
de primer grado en
se sigue
(5.2.2)
b •
:
y
=
e
#
y
=
f( e]
=
a & g(y}
&
g (y)
que
= a \ y
g(y}
Comotodosloselemenlosde
a&y=c),
(5.2.1 )
Pero de la e cuac ion
f(x} = xl
De modo sem ejante
#y )
= f(x} & greY
f(x} & b
postulado
(A,&).
A:
y por definicion
considerada
A
Tcmese
= f(x}
por (5.2.1)
i [x
(A,#).
x=x#e
implica
y
:
f( x} & g(y}
Sea
(A,#)
A
sondelaforma
de la exi ste ne ia de soluciones
esposiblesustituira
(5.2.3)
x
iinicas
por
x&b
x&b
0
para ecuaciones
ya
y
por
a&y
(por
x& b = c
a&y
el
0
en
85
(5.2.1) , de spu e s de haber
reemplazado
y (5.2.3):
nes cxpl ic it as (5.2.2)
(xl
b)
la eoua e inn
& (a\
y Con las suet ituc ione s in dicadas
#
(x&b)
a&z
== (a&y)
consideradas
y)
(a:& y) == ((
(5.2.1)
#
== [x
oblenemos
Pero por la ex is tenc ia de soluciones
[(x) y
los valores
g(y)
queda
en la forma
:
I
x&b)
como "ecuaciones
I
b
==
:
v l,
b) & (a\(a&y)).
uni e as para las ecuaclones
(x&b)
por sus expre s io-
z&b
de primer grado en
y
== (x&b)
z
"
x
y
a \
(a&y)
y.
Por 10 t an to
#
(x&b)
(a&y)
== x &y,
y e sto es pre c isarn e n te :
(D(b)
Por 10 tan to
(x))
#
i (x&y).
(I(a)(y))==
(A,&) es un iSOlOPO principal
A
(A,#) ba jo la is oto pia
de
QED.
l.lt ili zan do lraslaciones
ble probar facilmenle
c ione s
Dt c ) e I(d)
sen tido de que para
86
definidas
con respeclo
que exi s ten elemenlos
e,d
a la operacion
en
son e qui val en te s a las funciones
t odo
x, y :
A
tales
!,g
#
es posi -
que las traal a-
originales,
en
el
f(x)
Utilizando
&
I(d) (y).
la ec uac ion
x#y
como una definicion
(A,&),
&
g(y) == Di«) [x)
I b)
de una nueva
es posible
& (a"
y)
operacion
#
da
5.3.
<To
Prueba
Sea
(A,&)
que el elemento
la ope rae ion
#:
x
cuasigrupo
y
#
por la mi srna razon
== b
(o.S:»)>
(xl
por la existencia
Por 10 tanto
:
el isotopo
(A,#)
definido
es en real idad la identidad
a&b
&
b)
x
a
y
==x
(a"(a&b))
de soluciones
# (a & b)
== x,
iinicas,
(xl
teorerna
muestra
de un laz o ,
Como ejemplos
cons iderar
ria
b)&b
y de la misrna rna ner a
QED.
que no todo rsot opo de un lazo es un l az o, Por eso es
conve ni en te indic ar cl arame n te en un contexte
los isotopes
:
con respecto
(a&b)#y=y,
Este
arriba
& b==x
==(xlb)
(a \ (a&b))
cualquiera
es is otopi co a un la zo,
el cuasigrupo,
Bastaprobar
pues
dado un cuasigrupo
probar el
TEOREMA
:
== [x
0
h ab lando
de to dos
solo de los la zos isotopos,
de este
el cuasigrupo
dado si se e sta
curioso
(R ~:)
COlli
portalflliento
de los reales
de los isotopos
positivos
se puede
con la division
ordina-
:
87
a & b = a: b
a'-b=a:b
b;'
E I isotopo
a :::b.
a
(Ver Seccion
(R +, #) seria
principal
x#y
= (x!b)
& (a"-.y)
=(x.b):
(a::y)
4).
:
:::(x.b.y}:a
(a: b).
:::[x, y):
a
Seleccionando
=
1 y
b=1
tenemos
como
identidadel
a&b=1:1=1,
elemento
y como nueva ope rae ion
1 = x.y
x#y=(x.y}:
Por 10 tanto d cuasigrupo
(mas aun,jal
grupo 1) de los reales
Mas curioso
cion,
nueva
(i
ny
mente
orig ina l., un cuasigrupo
es el caso
seleccionando
ope rae ion es
del grupoide
a> e (base
natural)
con la mult ipl icaciun
de los reales
y
positivos
a] lazo
ordinaria.
con la pot e nc ia
b = 1 . ' Se puede comprobar
natural
natural
de
y), y que la identidad
:
e#y:::elny:::y
x#e=xlne=x1:::
88
es is otonico
que
la
:
es el logaritmo
e , la base
positivos
sin unidad,
x •
e = a& b
es precisa-
«
Puede
comprobarse
Iaci l me nte que [a oper ac ion
(A, tI) es un mono ide, Pero au nque e x is t.an e structur as
to el isotopo
principal
asoc iat ivas
isot opicas
en la teoria
de grupos
TEOREMA
5.4:
P rueba
Este
as oc iat ivas. ,Ia asociatividad
a esLructuras
que e x pl ica por que el concepto
un te orema de gran importancia,
utiliza
tI e s asoc iau va , y que por 10 Lanno
perm ite probar
de is otopia
no
se
:
Dos grupos
t eorema
i sotopi cos son iso mor los;
se ded uce [ac il me nte de un teorema
muc
110
mas ge-
neral :
T EOR EMA 5.5. ,Si
grupo
(A,&),
Prueba
(A,tI)
es un grupoide
enton ces
(A,tI)y(A,&)
. Sea
la identidad
e
con identidad
s on is omortos
de
(A, #) y
(f,
isotopico
al s erni-
.
g, i )
A
la is otop ia,
Defi na-
se
a
=
f( e)
b = greY.
Entonces
Por
IIIOS
10
ta nto
x
=
xtle
=
f(x) & greY
=
f(x)
x
=
e tlx
=
f(e) & g(x)
=
a & g(x)
D(b)
e
lt a)
& b
son los inversos
=
D(b) [f(x)]
=
I(a) [g(x)]
y
•
de las biyecciones
f
y g,
y pode-
cscrtbir
f = D(br1
g=l(ar1.
COIIIO
D(b)(a&x)=a&x&h
y
89
= a&y&b
I(a) (y&b)
(no hacen
falta
parente s is , pues
D(br1(a&x&b)
y
l(ar1(a&y&
Si se e.studia
ahora
z de A aso cia
h
la apl icacion
h( z )
=
& es asoc ia t iva ), se deduce
la oper acion
b)
= I( a)
= a&x
(5.5.1)
=
(5.5.2)
y&b.
D(b)
a & z & b,
se puede
h(x&y)
= a& (x&y)
= (a&
que:
de
A a A
que a un e lemento
ver que
&b
& (y&b)
x)
= D(br1(a&x&b)
& l(ar1(a&y&
b)
= [[h(x) ] & g [h(y) ]
=
h(x) # h(y) ,
ut il iz an do re spe c rivam ente la asociat
[, g, h
las def intc ion es de
iva de
y la definicion
y
h
es un isomorfismo
Ahora es Iac
Il
de
migrupo.
(A,&)
90
Por 10 tan
tov
son isomorlos,
con unidad,
s i el grupo
Por 10 tanto
,
:
h(x) # h(y) ,
del Teorema
y si
(A,#)
y (5.5.2)
(5.5.1)
QED.
(A, &) a (A, #) ,
complet ar la prueba
po, lam bien es un grupoide
de isot opia,
=
h(x&y)
&, las ecuaciones
5.4, pues
si
(A,#)
es un gru-
(A, &) es un grupo, lam bien es' un se-
es Isotopico
a] grupo
(A,&) , (A,#)
y
QED.
Pero e st a prueba
y por
10
ut il iza esencialmente
tanto no es valtda
para lazos
laasociatividad
isot.opico s, En concreto,
den 5 hay cua tro is otopos
no isomorfos
lazos de orde n 6 existen
22 cl ases de isotopia
[R.H. Bruck dice en [Br63]
grupos).
lazos
de orden 6; e ste es un errordebido
cuadro s lat ino s , que serian
los d emas ; pero hay cinco
principal,
Debe subrayurse
de las
a que Fisher
que el Teorema
que se habla de grupos
no isomorfos
de isotopia
en los
publicaron
solo 17
que generan
a tod os
y Yates
de los lazos
a una isotopia,
(dos de
producen
[a diagonal
o tras cinco cla-
d emas ] ,
es un grupo, sino solo que dos grupos
sarse
que hay 17 clases
de or-
de orden 5) yen
tabl as que por tran spos ic ion sobre
operac ion 'que no corresponde
ses de iso topia distintas
con 109 lazos
las t.ahl as de Cayley
de esas
en los lazos
(udernas del grupo ciclico
ellos
&,
de la operac ion
5.4 no ajirrna que todo isotopo
isotopic os son isoniorfos;
is otop ieos , El problema
de un grupo
debe pues preci -
mas general
no e sta re suel-
to :
(, Que condiciones
cuasigrupo,
En particular
son necesarias
un lazo]
y suficientes
sea isotopico
para los lazos
para que un grupoiae
[resp.
un
a un grupo :;'
d problema general
mas importan te llamado
Problema
de lsotopia-l somoriis mo, tampoco esta resuelto
:
;,Quti condiciones
para que un lazo sea isornorfocon
todos sus lazos
Es claro
grupos
son necesarias
isotopicos
:;'
que la asociatividad
,y los grupos
y sulicientes
isotopicos
es suficiente,
pues los lazos
son isomorfos.
a soc iat ivos son
Pero la condicion
no es
los
necesaria,
91
pues existen
estructuras
no asoci auvas
[as con to dos sus is otopos ; algunos
que cumplen
resultados
la propiedad
conoe ido s son
:
EL Lazo muLtipLicativo de un anillo de divis ion alternativo
dad de ser isomor[o con todo s sus isbtopos . ,[Un sistema
propiedad
alternativa
a iz quierda
Doslazoslibres
de ser isomor-
satis face la propie-
alternativo
satisface
la
y a dere e ha, Ver Sec cion 3.] Ver [Br66] , 'p. 57.
isotopicos
son isomor[os.
Dos lazos de Mou[ang conmutativos
Ver [Ev 53] •
is o topic os son is omorjos:
Ver [Br 66] ,
y pp. 120 s s •
p.57
Dos lazos totalmente
la identiaad:
EI problema
x( xy)
=
y,
s im etricos ; es aecir, que son conmutativos
que son isotopicos , son isomorios,
de Isotopia-Isomorfismo
es equivalen
y satis[acen
Ver [Br 44] •
te al siguiente
problema
geome-
trico :
;,Que condiciones
ducidos
este
son necesarias
y suficientes
por una mis ma red triple sean isomorfos
problema
es el Iibro de Pickert
o por todos los lazos
citada
una serie
piedad
local"
en to das partes,
,que
Lareferencia
principal
entre
propiedades
siestas
suficientes
[No debe confundirse
es una propiedad
para
son satisfechas
ai sl adas y propi epor solo algunos
de una m isma c1ase de iso topia., y desarrolla
de condiciones
Isotopia-Isomorfismo.
?
[Pi 55] •
En otra direc cion, Eric Wilson distingue
dade s que se cumplen
para que to dos los laz osin-
P
del segundo
en su tesis
ya
tipo para eI problema
de
una propiedad
de un lazo infinite
aislada
con una "pro-
que satisface
la con-
dic lon
ginal
: Si lodo
una propiedad
local
conl'undirse
que se curnple
cumple
generado
aislada
0
que se cuniple
por un num ero lin i-
J •
la au se ncj a de conrnu tat ivi dad p erm ite definir
por la ec uac ion
le del'inir
en los lazos
Paralclamcnte,
a. b. [a,b]
= b. a,
los as ociadore s
0, c]
(a(bc))
[a;
((ab)c)
[a, b ; c]
=
los
de elemenlos
C = 1
conmutadores
la au se nci a de aso ci at ividad
permi-
:
[ab } c
= a ib c},
asi como la a us cnc ia de con muta ti vi dad permile
como el subconjunlo
que c onrnutan
a; [x} , ax = xa
con todos
d ef in ir el
los de mas
centro
:
1 ,
la au sen e ia de a soc iat iv id ad permi te d eti ni r no solo
t in tus
ori-
Una propiedad
tarnpo co con una propiedad
en todo sub-laze
Ver [Br 66] , p. 102
P.
del lazo
ASOCfADORES Y NUCLEOS.
As] como
[a,b]
no debe
es decir,
to de e Iernen los.
6.
por un num ero lin it o de e lcm entos
P , en tonce s el lazo original
cumple
localmenle,
sub-l azo gencrado
uno sino
cu atro
tuic leos
dis-
:
Nd = 1 a; (x) (y),
(xy)
a = x(ya)
I
Ni = 1 a; (x) (y),
(ax)
y = a(xy)
I
Nc
=1
a; {x] (y) , (xa)y
=
xray)
I
N =Nd0Ni"Nc'
93
l lam ad os re spec ti va men te : rule leo derecho,
l lam ente
rulcl eo ,
lazos
a] subconjunlo
apl lcar res ul tado s de la leoria
de grupos
mas impor tan te es que los niicleos
teorema
ce turai
yel
ultimo senci-
EI in tere.s de es tos s uhcon jun to s es que cada uno de ellos for-
ma un grupo con la operac ion reslringida
es posible
izquierdo,
respe ct ivo , y por 10 tanto
al estudio
derechos,
de los lazos.
EI
y cenlrales
de dos
izquierdos
a lir maci on de e ste parrafo
isot opico s son is omorfo s, La primera
se puede
i l us tr ar con el
TEOREMA
6.1. Ei ntlcl eo izquierdo
Prueba
Clausurativa:
z == a b.
:
Si e,d
e s tan en
zt cd l
>
z(ed)==
si
a,b
de un lazo
e stan
N i debemos
en
Ni,
es un grupo.
cons idere se el elemento
probar que
(zc}d.
{abl Lca]
== a[b( cd) ]
==a[(bc}d]
== [a(be}
] d
== [( ab) e ] d == (z c) d.
Notese
que en cada
paso se considera
un producto
como un solo elemento
el cual se haee la asoc iaci on , apro ve c hando e] hecho
niicleo
Izquierdo.
Asociativa:
es clara
rt'JOdulativa:
si
e
por definicion
es el e l em ento neutro
e Ib c ) == (be)
94
de
== {e b] e,
Ni.
del l azo ,
de que
a (0 b)
e stan
x
con
en el
10
y por
tanto
Invertiva:
e
si
definicion
10
Ni,
en
a
con sl de reae el inverso
a izquierda
a izquierda
Pero como
y por
a esta
de inverse
Multiplicando
NL
e sta en
por
a izquierda
de
a, a'". Por
:
a:
est<l en el niicleo
izquierdo
tanto
r'or unicidad
de soluciones,
xa
=-
como
e es la soluci on de
a,
en tonces
pero por definicion
de inverso
a derecha,
ad
es la sol ue ion de
ax = e ,
y por
10
tanto
por unicidad
y pod e mos escribir
simplemente
Ahora debemos
pongase
10
de soluc iones
contr ari o,
probar
a
-1
que el inver so de
Entonces
e xisten
a
elementos
t amb
ien perten ece a
b,c
N L..
en el lazo tales
Su-
que
:
95
Por unicidad
y por
10
de soluciones,
tan to
como
preserva
la desigualdad,
:
a[a-I
Pera
[a mu l t i pl ic ac ion a iz quierda
a e sta
-p a [(a-I
(be)]
en e] niicleo
iz quie rdo, el lado
«! (be)]
a[
b) e].
= (aa-I)
izquierdo
es
(be)
- e (b e)
=
Por la mi s rna razon,
be.
el lado derecho
a[(a-I
b) e]
=
es
[a(a-I
b)] e
=[(aa-I)b]e
= (e b)
e
=; be,
y lIegamos
y
a
-1
a una c ontradic
t ambien
Por
10
Las
pruebas
tanto
una inter sec cion
En cuanto
%
pertenece
el niicleo
para
cion,
l'or
a] niicleo
tanto,
iz qu ierdo,
QED.
iz qui er do es un grupo,
los niicleos
de grupos
10
y por
y central
derecho
10
al teore ma principal
tanto
es
UII
son paralelas.
EI niicleo
es
grupo.
de los niicleos,
nos limitarcmos
tambien
al ca-
so del nucl eo Izquierdo
principales,
podemos
TEOREMA
: dado que es s ulic ienre e studiar
el caso
de los isotopos
e nune iar el
6.2.
(A,
S; Los laz os
#)
r (A,
&)
son isot6picos,
entonces
sus nucLeos iz qu.ierdo s son is omorios .
Pr ueba :
a,b
de
A
Como los l azos dados
tales
= (x / b) & (a "
y).
h como la re s tric cion al nucl eo Izquierdo
una apl icaci on
&) de la co mpos ic ion de lraslaciones
operaci on
un elemenlo
exi st e n elemenlos
que
x j: y
Definase
son isotopo s principales,
n del niicleo
D(b) di a},
(re lat tvo a la
Por 10 tanto,
para
menc io nado :
hl ti) = D(b) D(a) (n) = D(b) (n&a) = (n&a)& b.
Pero como
n e sta en el niicleo
iz qui erdo,
hi n) = n&(a&b).
Debemos
probar primeramenle
(relalivo
a la op er ac ion
#),
hi n}
El un ico raso
LEMA
entonces
oscuro
6.3.
Si
0
#
sea que para tod o
[c #d)
en la prueba
n
hi n) esta en c] nue l eo Izquierdo
que el elemenlo
= [h(n)#
c,d
de
A :.
(6.2.1)
c] #d.
e sta dado por el lema siguienle
esta en el ruicleo izquierdo
reLativo a La oper ac ion
ef,
n&(c / h) = (n& c) / b.
P rueba:
EI
elemenlo
c/ b
es la solucion
(.nica
de la ecuacion
x&b
=
c.
97
�lUltiplicando
a ambos
l ados
de [a igualdad
y por
Fero
n
10
e sta en el niicleo
n:
= n&e.
n&(x&b}
Como
por
iz qui erdo ,
n&(x&b}
=
{n & x} & b
= n&e
(n&x}&b,
tan to
la s ol uc ion unica
de la e cuac ion
= n&e
y&b
es prec isam ente
(n&e}1
y por
b,
(n&x)
10
tanto
= (n& e}1
b ,
o sea
b) = (n&e}1
n&(el
Ut ill zando
este
lerna pod e mos tra n sform ar el lado
zan do la definicion
exp l ie i ta de
quierdo
&:
rel at ivo a
h(n)
#
(e#a)
# yel
hecho
i zquie rdo de (6.2.1)
de que
n
e sta en el niicleo
=
[n&(a&b}]
#
[(el
b}&(a
=
([n&(a&b)]
Ib}&(a
l(el
b}&(a"-.
I b}&(a
[(el
b}&(a'"d)]}
= ([(n&a}&b]
= (n&a}&Ja
=
l (el
\
I
b) & ( a -, d)
d}]}
b) ] & (a '" d)
=
b] &(a '"
d)
J
J
= [ n&( e I
[(n&e}1
d)]
b)& (a '" d)]}
n& la & (a [( e I b) & (a -, d) ] }
= n & [ [c
98
QEu.
b ;
(por el lerna 6.3).
utili
iz-
-
Transfonnando
ahora el [ado derecho
[h(n)
#
c]
#
a = [([
de (6.2.1)
:
#
n & (a & b))
e) / b] & (a"
= ([ ( [n & (a & b)) / b) & (a
= ([ ([(n&a)&b] / b)&(a
= ([(n&a)&(a,\e))/
d)
-, e))/ b) &(a"
d)
e))/ b)&(a'\..
d)
b)&(a"-
d)
= [(n&[a&(a,\c)))/b]&(a"
= [(n&e)
d)
/ b] &(a \.d)
que es igual a In transforma cion ultima
realizada
sobre
h(n)
#
y por 10
(c#d),
tanto
h( n )
y
h(n)
es
Ahora
tivo a
en el nucl
e sta
&.
s
ul
ie
ie
en ton ces
eo
#
izquierdo
h
#
d) = [h( ti}
relativo
mostrar que si
nte
# c] #
d,
#.
a
n,m
en el
estan
micleo
iz
quierdo
rela -
:
h(n&m)
o sea que
(c
"preserva
operaciones"
h( n & m}
(6.2.2)
=h(n)#h(m),
en el nucle o iz quierdo,
= (n & m] & ( a & b)
=[(n&m)&a]&b
= [n&(m&a))
]&b
= n&[(m&a)&b]
= n & [ a & (a -, [(
IT.,
& a) & b ] ) ]
= (n&a)&(a""[(rr.,&a)&b])
= ([(n&a)&b)/
b) &(a",-[(m&a)&b])
99
-
[ ( ti
& a) & b J # [ (rn & a) & b J
l n&(a&b)]
# [m&(a&b)
]
= liin] # h(m) .
10
Por
h
tanto
es un homomorf'i smo inyeclivo
y repit iend o la demo stracj on a partir
tra un homomorfismo
i z qu ierdos
li'
del niicleo
en la o tra direc cion,
Por
10
#,
tanto
se encuenlos nucl eos
QED.
de un lazo no debe confundirse
que es una nueva operaci on definida
:x + y=xy
Notese
que no hacen
piedad
puede
Ialta
escribirse
igual al inverso
nes,
iz qu ierdo re l at ivo
son is omorfo s,
EI nucleo
flexible,
inyecti vo
de un nuc le o iz qui erdo en el o tro,
y se deja
con la me dul a ("core")
sobre
e l Iazo por
de un lazo
:
·1 x.
p arentesf s pur la f1exibilidad,
y que por esa misma pro-
-:'.
el in verso
a derecha.
pues
en un lazo flexible
La sencilla
prueba
se basa
a iz qu i erda es
en [a unicidad
de s ol uci o-
para e n tret e n imien to de los l ectores,
,
La me dula ti en e r el ac ion con la re Ile x ion de lineas
en una red triple.
Ver
[Br 66] ,p. 120.
6.
CONCLUSION.
ESla Somera
algebraicos
introduocion
abs tracto s es suf icie n te para mostrar
la teoria,
y ojala
sistemas
no asociativos.
100
a la terminologia
para interesar
a muchos
y a la prob lemat ica de los laws
algunos
de los leclores
aspeclOs
atrayentes
por el estudio
de
de
los
Como pudo verse,
el aspecto
combinatoric
cual
es tudiar
puede
el aspccto
puramen te al gebrai co , el as pe cto geomelrico
dan gran variedad
los lazes
a los me todo s y a los modelos,
algebraicos
desde
y
y cada
el pu nt o de vis ta de su predi lec-
cion.
Para
proponerse
contr ibuir al e sparc im ie nt o en los rat o s de ocio del Congreso,
para terrninar
La tabla
siguienle
de Cayley
,un se nci l lo problema
eom hin a torio
:
cicl ico de orden 5 es el cuadro
del grupo (law)
puede
lat ino
:
1
2
3
4
5
:2
3
4
5
1
3
4
5
J
2
4
5
J
2
3
5
1
2
3
4.
Hay 48 tabl as d is t inta s de este
mera columna.
EI problema
o rde n, deja n do in var ian te s la pr im era fila y la pr i-
es e n contrar
las o tras 47.
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