Anillos y Homomorfismos

CAPITULO III
ANILLOS
Rodrigo Vargas
1. Anillos y Homomorfismos
1. (a) Sea G un grupo abeliano (aditivo). Definimos una operación de multiplicación en G por ab = 0 (para todo a, b ∈ G). Enonces G es un
anillo.
(b) Sea S el conjunto de todos los subconjuntosde algun conjunto U fijo.
Para A, B ∈ S, defina A + B = (A − B) ∪ (B − A) y AB = A ∩
B. Entonces S es un anillo. ¿Es S conmutativo? ¿Tiene elemento
unidad?
Solución:
(a) Tenemos que (ab)c = 0 · c = 0 = a · 0 = a(bc) y el producto es
asociativo, de manera similar para la ley de distribución a(b + c) =
0 = 0 + 0 = ab + ac . Por lo tanto, G es un anillo.
(b)
(i) (S, +) es grupo abeliano.
[A + B] + C = [(A − B) ∪ (B − A)] + C
=
Existe φ ∈ S tal que
A + φ = (A − φ) ∪ (φ − A) = (A ∩ S) ∪ (φ ∩ Ac ) = A ∪ φ = A
Para todo A ∈ S existe B = A ∈ S tal que
A + B = A + A = (A − A) ∪ (A − A) = φ
A + B = (A − B) ∪ (B − A) = (B − A) ∪ (A − B) = B + A luego
S es abeliano.
(ii) Asociatividad de la multiplicación
(AB)C = (A ∩ B)C = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A(B ∩ C) =
A(BC)
1
(iii) Ley de distribución
A(B + C) = A((B − C) ∪ (C − B))
= A ∩ ((B − C) ∪ (C − B))
= (A ∩ (B − C)) ∪ (A ∩ (C − B))
= (A ∩ −A ∩ C) ∪ (A ∩ C − A ∩ B)
= A∩B+A∩C
= AB + AC
2. Sea {Ri | i ∈ I} una familia
Xde anillos con unidad. Hacemos la suma
directa de grupos abelianos
Ri sobre un anillo definiendo la multiplii∈I
X
cación coordenada a coordenada. ¿Tiene
Ri unidad?
i∈I
Solución: Sean 1i la unidad del anillo Ri y xi ∈ Ri , con i ∈ I entonces
P
el elemento i∈I 1i satisface
!
!
X
X
X
X
xi
1i =
xi · 1i =
xi
i∈I
Luego,
P
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
Ri tiene unidad.
3. Un anillo R tal que a2 = a para todo a ∈ R es llamado un anillo Booleano.
Pruebe que todo anillo Booleano R es conmutativo y a + a = 0 para todo
a ∈ R.
Solución: Para cada a ∈ R se tiene que
a = a2 = aa = (−a)(−a) = (−a)2 = −a .
Sean a, b ∈ R entonces
a + b = (a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 = a + ab + ba + b
cancelando se obtiene que ab + ba = 0, es decir, ab = −ba = ba luego R
es conmutativo y además
a + a = (a + a)2 = a2 + a2 + a2 + a2 = a + a + a + a ⇒ a + a = 0 .
2
4. Sea R un anillo y S un conjunto no vacio. Entonces el grupo M(S, R)
es un anillo con la multiplicación definida como sigue: el producto de
f, g ∈ M(S, R) es la función S → R dada por s 7→ f (s)g(s).
Solución: Sabemos que M(S, R) es un grupo conmutativo. Ahora bien,
dados f, g, h ∈ M(S, R) se tiene
((f · g) · h)(s) = (f · g)(s)h(s) = (f (s)g(s))h(s)
= f (s)(g(s)h(s)) = f (s)(g · h)(s) = (f · (g · h))(s)
pues el producto en R es asociativo, entonces el producto definido en
M(S, R) es asociativo. Lo mismo ocurre con la ley de distribución.
L
5. Si A es el grupo abeliano Z Z, entonces End A es un anillo no conmutativo.
6. Un anillo finito con mas de un elemento y sin divisores de cero es un anillo
de división.
7. Sea R un anillo con mas de un elemento tal que para cada elemento no
cero a ∈ R existe un único b ∈ R tal que aba = a. Pruebe:
(a) R no tiene divisores de cero.
(b) bab = b.
(c) R tiene unidad.
(d) R es un anillo de división.
Solución:
(a) Si ax = 0 (o xa = 0) con a 6= 0 entonces axa = 0 · a = 0, sabemos
que existe un único b tal que aba = a luego
a = aba = aba + axa = a(b + x)a
por unidad de b implica que b = b + x ⇒ x = 0. Luego, R no tiene
divisores de cero.
(b) Basta notar que
0 = aba − a = b(aba − a) = baba − ba = (bab − b)a
como a 6= 0 y R no tiene divisores de cero por (a) implica que bab = b.
3
(c) Dado a ∈ R con a 6= 0 existe un único b ∈ R tal que aba = a.
Sea x ∈ R entonces xaba = xa y como R no tiene divisores de cero
entonces vale la ley de cancelación entonces xab = x y ab es unidad
izquierda. Similarmente, aba = a ⇒ abax = ax ⇒ bax = x y ba es
unidad derecha.
(d) Como la unidad derecha es igual a unidad izquierda, entonces tenemos
que ab = ba = 1 de donde b = a−1 y R es anillo de división.
8. Sea R el conjunto de todas las matrices 2 × 2 sobre el cuerpo complejo C
de la forma
!
z w
,
−w z
donde z, w son el conjugado complejo de z y w respectivamente (esto es,
√
√
c = a + b −1 ⇔ c = a − b −1). Entonces R es un anillo de división que
es isomorfo al anillo de división K de los cuaterniones reales.
9. (a) El subconjunto G = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} de el anillo de división
K de los cuaterniones reales forma un grupo bajo la multiplicación.
(b) G es isomorfo al grupo cuaternion.
(c) ¿Cuál es la diferencia entre el anillo K y el grupo anillo R(G) (R el
cuerpo de los números reales)?
n
10. Sea k, n enteros tales que 0 ≤ k ≤ n y
el coeficiente binormal
k
n!/(n − k)!k!, donde 0! = 1 y para n > 0, n! = n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1.
n
n
(a)
=
k
n−k
n
n
para k + 1 ≤ n/2.
(b)
<
k
k+1
n
n+1
n
para k < n.
=
(c)
+
k+1
k+1
k
n
(d)
es un entero.
k
n
p
(e) si p es primo y 1 ≤ k ≤ pn − 1, entonces
es divisible por p.
k
4
Solución
(a) Se tiene que
n
n!
n!
n
=
=
=
.
n−k
(n − (n − k))!(n − k)!
k!(n − k)!
k
(b) Notemos que
n
n!
n−k
n n−k
n!
=
=
·
=
,
k+1
(n − k − 1)!(k + 1)!
(n − k)!k! k + 1
k k+1
por hipótesis n/(k + 1) ≥ 2 y k/(k + 1) < 1 entonces basta observar
n−k
n
k
=
−
≥ 2−1 =1.
k+1
k+1 k+1
(c)
n
n
n!
n!
+
=
+
k
k+1
(n − k)!k! (n − k − 1)!(k + 1)!
n!(k + 1 + n − k)
=
(n − k)!(k + 1)!
(n + 1)!
n+1
=
=
(n − k)!(k + 1)!
k+1
11. Sea R un anillo conmutativo con unidad de caracteristica prima p. Si
n
n
n
a, b ∈ R, entonces (a ± b)p = ap ± bp para todo entero n ≥ 0.
Solución: Sabemos por
10.(e) que si p es primo y 1 ≤ k ≤ pn −1
nproblema
p
entonces p divide a
, como R es de caracteristica p implica que
k
n
p
= 0. Ahora bien, usando el Teorema binomial
k
p n
X
p
n
n
=
(±1)p −k ak bp −k
k
k=0
n
n
pn −1 n X p
p
p
n
pn pn
pn −k k pn −k
(±1) b +
(±1)
a b
+ n ap
=
k
p
0
k=1 | {z }
| {z }
| {z }
n
(a ± b)
pn
1
pn
= a
0
pn
±b
5
1
12. Un elemento de un anillo es nilpotente si an = 0 para algún n. Pruebe
que en un anillo conmutativo a+b es nilpotente si a y b lo son. Demuestre
que este resultado es falso si R no es conmutativo.
13. En un anillo R las siguientes condiciones son equivalentes.
(a) R no tiene elementos nilpotentes no cero.
(b) Si a ∈ R y a2 = 0, entonces a = 0.
Solución Supongamos que existe a ∈ R tal que an = 0 para algún n ∈ N,
donde n es el mı́nimo natural con esta propiedad. Si n = 2k entonces se
tiene que b = ak satisface b2 = 0 pero b 6= 0 lo que es una contradicción.
Si n = 2k − 1 entonces an+1 = 0 y b = ak satisface b2 = a2k = an+1 = 0
pero b 6= 0 lo que es una contradicción. Reciprocamente, supongamos que
existe a ∈ R con a2 = 0 y a 6= 0 entonces a ∈ R es elemento nilpotente
distinto de cero, luego R posee un elemento nilpotente distinto de cero.
14. Sea R un anillo conmutativo con unidad y de caracteristica primo p. La
aplicación R → R dada por r 7→ r p es un homomorfismo de anillos llamado el homomorfismo de Frobenius.
Solución: Sea ϕ : R → R el homomorfismo dado por ϕ(r) = r p , dados r, s ∈ R por problema 11 se tiene que
ϕ(r + s) = (r + s)p = r p + sp = ϕ(r) + ϕ(s)
y además como R es conmutativo ϕ(rs) = (rs)p = r p sp = ϕ(r)ϕ(s).
Luego ϕ es un homomorfismo.
15. (a) De un ejemplo de un homomorfismo no cero f : R → S de anillos con
unidad tal que f (1R ) 6= 1S .
(b) Si f : R → S es un epimorfismo de anillos con unidad, entonces
f (1R ) = 1S .
(c) Si f : R → S es un homomorfismo de anillos con unidad y u es una
unidad de R tal que f (u) es unidad en S, entonces f (1R ) = 1S y
f (u−1) = f (u)−1 .
6
16. Sea f : R → S un homomorfismo de anillos tal que f (r) 6= 0 para algún
r ∈ R no cero. Si R tiene una unidad y S no tiene divisores de cero,
entonces S es un anillo con unidad f (1R ).
17. (a) Si R es un anillo, entonces Rop es definido como sigue. El conjunto
base de Rop es precisamente R y la adición en Rop coincide con la
adición en R. Multiplicar en Rop , denotado por ◦, es definido por
a ◦ b = ba, donde ba es el producto en R. Rop es llamado el anillo
opositor de R.
(b) R tiene unidad si y sólo si Rop lo tiene.
(c) R es anillo de división si y sólo si Rop lo es.
(d) (Rop )op = R.
(e) Si S es un anillo, entonces R ∼
= S si y solo si Rop ∼
= S op .
18. Sea Q el cuerpo de los números racionales y R cualquier anillo. Si
f, g : Q → R son homomorfismos de anillos tal que f | Z = g| Z entonces
f = g.
Solución: Sabemos que f (n) = g(n) para todo n ∈ Z. Notemos que
n
1
1
f (1) = g(1) = g
= g(n)g
= f (n)g
n
n
n
usando esta igualdad obtenemos que
1
1
1
1
= f
f (1) = f
f (n)g
f
n
n
n
n
1
1
1
= f (1)g
= g(1)g
=g
n
n
n
Por lo tanto, para todo q =
m
n
∈ Q tenemos que
m
m
1
1
f (q) = f
= f (m)f
= g(m)g
=g
= g(q) .
n
n
n
n
7