Trabajo Práctico N°9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA Ejercicio 1

Facultad Regional Mendoza. UTN
Álgebra y Geometría Analítica
2013
Trabajo Práctico N°9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA
Ejercicio 1:
Halle la ecuación normal y general de la circunferencia que tiene por diámetro el segmento
de extremos ( - 1, 1) y ( 2, 5 ). Grafique.
Ejercicio 2:
Analice la deducción de las expresiones que figuran en el cuadro a partir de la gráfica dada.
L
y
EJE FOCAL
p/2V
p/2
F
●
h
DIRECTRIZ
ECUACIÓN CANÓNICA
2 p ( x – h ) = ( y – k)²
EJE FOCAL //
EJE X
VERTICE
k
FOCO
V( h; k)
F(h+p/2; k)
x
Ecuación de la
DIRECTRIZ
LADO
RECTO
x = h – p/2
LR = 2p.
R
y
EJE FOCAL
F●
L
R
ECUACIÓN CANÓNICA
2 p ( y – k ) = ( x – h)²
EJE FOCAL //
EJE Y
p/2
DIRECTRIZ
h
V
p/2
VERTICE
k
x
FOCO
V( h; k)
F(h; k+p/2)
Ecuación de la
DIRECTRIZ
LADO
RECTO
y = k – p/2
LR = 2p.
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Ejercicio 3:
Halle la ecuación normal y general de la parábola con vértice en V( 2, 1 ) y directriz y = 3.
Grafique.
Ejercicio 4:
Las torres de una línea de alta tensión están separadas 100 m y tienen una altura de 16 m.
Los cables de la línea no deben estar a menos de 6 m sobre el nivel del suelo. Halle la
ecuación de la parábola que determinan los cables. Indique la altura de un punto que está
situada a 20 m del vértice.
[Observación: Un cable que cuelga entre dos postes describe una curva llamada “catenaria”,
pero en la práctica puede calcularse aproximadamente como una parábola.]
Ejercicio 5:
Analice la deducción de las expresiones que figuran en el cuadro a partir de la gráfica dada.
EJE FOCAL //
y
L
A`
●
b
h
R
CENTRO
a
A`
C c
●
( x  h) 2 ( y  k ) 2

1
a2
b2
VERTICES
A( h + a; k )
A`( h – a; k )
B( h; k + b )
B`( h; k – b )
C( h, k)
FOCOS:
F( h + c; k )
F`( h – c; k )
FORMULA DE
CALCULO
a2 = b²+ c²
A
F
SEMIEJES
k
B`
ECUACION
CANÓNICA
EJE FOCAL
B
F`
EJE X
x
MAYOR: a
MENOR : b
DISTANCIA
FOCAL
c
EXCENTRICIDAD
e
c
a
LADO RECTO
LR 
2b2
a
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EJE FOCAL
A
y
●
EJE Y
ECUACION
CANÓNICA
( x  h)2 ( y  k )2

1
b2
a2
VERTICES
A( h; k + a )
A`( h; k – a )
B( h + b; k )
B`( h – b; k )
FOCOS:
F( h; k + c )
F`( h; k – c )
FORMULA DE
CALCULO
a2 = b²+ c²
F
a
c
CENTRO
B`
k
●
A`
C( h, k)
B
b
h
L F`
EJE FOCAL //
SEMIEJES
R
x
MAYOR: a
MENOR : b
DISTANCIA
FOCAL
c
EXCENTRICIDAD
e
c
a
LADO RECTO
LR 
2b2
a
Ejercicio 6:
Halle la ecuación normal de la elipse con centro C ( 2, - 1 ), que tiene uno de sus focos
ubicado en F ( 1, 2 ) y cuya excentricidad es 4/5. Grafique.
Ejercicio 7:
Un río es cruzado por una carretera por medio de un puente cuyo arco central tiene la
forma de media elipse. En el centro del arco la altura es de 20 m. El ancho total del arco
elíptico es de 50 m.
a) Determine la ecuación de la elipse que describe dicho puente.
b) A una distancia de 5 m de cada uno de los pilares, se encuentran estructuras de
protección para los mismos. ¿Cuál es la altura del arco del puente en correspondencia con
estos elementos?
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Ejercicio 8:
Analice la deducción de las expresiones que figuran en el cuadro a partir de la gráfica dada.
EJE FOCAL //
y
EJE FOCAL
L
●
B
R
SEMIEJES
b a
A’
F`
CENTRO
A●
F
c
h
B’ k
EJE X
C( h, k)
REAL: a
IMAGINARIO: b
DISTANCIA
FOCAL
c
EXCENTRICIDAD
e
x
c
a
ECUACIÓN ASÍNTOTAS
ECUACION
CANÓNICA
( x  h) 2 ( y  k ) 2

1
a2
b2
VERTICES
A( h + a; k )
A`( h – a; k )
B( h; k + b )
B`( h; k – b )
FOCOS:
F( h + c; k )
F`( h – c; k )
FORMULA
DE
CALCULO
LADO
RECTO
y
c2 = a²+ b²
LR 
2b2
a
b
( x  h)  k
a
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EJE FOCAL //
EJE FOCAL
CENTRO
y
F
c A
●
L
R
SEMIEJES
a b B
B’
h
A’
●
EJE Y
C( h, k)
REAL:
a
IMAGINARIO: b
DISTANCIA
FOCAL
c
EXCENTRICIDAD
e
k
F`
x
c
a
x
ECUACIÓN ASÍNTOTAS
ECUACION
CANÓNICA
( y  k ) 2 ( x  h) 2

1
a2
b2
VERTICES
A( h; k + a )
A`( h; k – a )
B( h + b; k )
B`( h – b; k )
FOCOS:
F( h; k + c )
F`( h; k – c )
FORMULA
DE
CALCULO
LADO
RECTO
y
c2 = a²+ b²
LR 
2b2
a
a
( x  h)  k
b
Ejercicio 9:
Halle la ecuación normal de la hipérbola con vértice A(0; 4) y siendo uno de sus focos
F(0;5 ). Represente gráficamente.
Ejercicio 10:
Un barco envía una señal de auxilio en el momento en el que se encuentra a 100 millas de
la costa. Dos estaciones guardacostas Q y R, ubicadas a 200 millas de distancia entre sí,
reciben la señal. A partir de la diferencia entre los tiempos de recepción de la señal, se
determina que la nave se encuentra 160 millas más cerca de la estación R que de la estación
Q. Elija un sistema de referencia apropiado e indique las coordenadas correspondientes a la
ubicación de la embarcación. Represente gráficamente.
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Ejercicio 11:
Dadas las ecuaciones de las siguientes cónicas, encuentre su ecuación normal, determine
sus elementos principales y grafique. Escriba la ecuación trasladada respecto de las
coordenadas del nuevo sistema.
a) 9 x2 + 4 y2 – 18 x – 27 = 0
b) y2 + 4 y – 4 x + 16 = 0
c) x2 – y2 + 4 x + 2 y – 1 = 0
d) x2 + 2 y – 10 x + 23 = 0
Ejercicio 12:
Dadas las siguientes ecuaciones:
i) 4 x2 + 4 x y + 4 y2 – 3 = 0
ii) 4 x y – 3 2 x +
2y–½=0
iii) x2 + 2 x y + y2 – 8 2 x + 8 = 0
iv) 2 x y – 4 = 0
a) Exprese la ecuación en forma matricial
b) Identifique la cónica a partir de los valores propios
c) Encuentre la matriz que diagonaliza ortogonalmente a la matriz de la forma cuadrática
d) Verifique que la matriz hallada representa una rotación
e) Exprese la ecuación referida al nuevo sistema rotado o rototrasladado
f) Halle el ángulo de rotación
g) Grafique
SOLUCIÓN:
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Ejercicio 13:
Analice las relaciones que existen entre las gráficas dadas y las ecuaciones indicadas.
Hiperboloide
de una hoja
Hiperboloide
de dos hojas
Elipsoide
Superficie
cónica
Paraboloide
elíptico
Paraboloide
hiperbólico
Cilindro
elíptico
x2 y2

1
a2 b2
Cilindro
hiperbólico
x2 y2

1
a2 b2
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Cilindro
parabólico
y ax
2
Cilindro
circular
x2  y2  a2
Ejercicio 14:
Halle los elementos de la siguiente cuádrica e identifique el nombre:
SOLUCIÓN:
Ejercicio 15:
Dada la siguiente ecuación:
144 x2 + 100 y2 + 81 z2 – 216 x z – 540 x – 720 z = 0
a) Exprese la ecuación en forma matricial.
b) Encuentre la matriz que diagonaliza ortogonalmente a la matriz de la forma cuadrática.
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c) Exprese la ecuación referida al nuevo sistema rotado o rototrasladado.
SOLUCIÓN:
Dada la ecuación de la cuádrica:
a x2 + b y2 + c z2 + d xy + e xz + f yz + g x + h y + i z + j = 0
expresamos dicha ecuación en forma matricial:
XT A X + K X + [ j ] = O
 a

Siendo: A   d / 2
 e / 2
e/2
f / 2 
c 
d /2
b
f /2
x
X   y 
 z 
K g h i 
a)
x
y
 144
z   0
  108
0
100
0
 144 0 108


Con A   0 100 0 
 108 0 81 
 108 
0 
81 
x
 y    540
 
 z 
y
K    540 0  720 
0
b) Buscamos los valores propios:
AI 
144  
0
 108
0
100  
0
 108
0
81  
 0
( 144 -  ) ( 100 -  ) ( 81 -  ) – 1082 . ( 100 -  ) = 0
( 100 -  ) ( ² - 225+ 11664 – 1082 ) = 0
( 100 -  ) ( ² - 225) = 0
1 = 0
1 = 0
2 = 100
 144
 0

  108
0
100
0
 108 
0 
81 
3 = 225
a  0 
b   0 
   
 c   0 
x
 720   y   0
 z 
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 144 a  108 c  0

100 b  0

  108 a  81 c  0

2 = 100
3
3 / 5 


a = 3/4 c ; b = 0 ; v1 =  0  ; vˆ1   0 
 4 
 4 / 5 
0  108   a   0 
 44
 0
0
0   b    0 

  108 0
 19   c   0 
0 
0 
 44 a  108 c  0


a = c = 0 ; b  IR; v2 = 1 ; vˆ 2   1 

 
 
  108 a  19 c  0
 0 
 0 
3 = 225
  81
 0

  108
0
 125
0
 108 
0 
 144 
a  0 
b   0 
   
 c   0 
  81a  108 c  0
4
4/5

 


 125 b  0

a = - 4/3 c ; b = 0 ; v3 =  0 ; vˆ3  0 
 108 a  144 c  0
 3 
 3/5 

3 / 5 0

1
P=  0
 4 / 5 0
 4 / 5
0 
3 / 5 
 3/5 0

1
P -1 =  0
  4 / 5 0
4 / 5
0 
3 / 5 
c) Reemplazando X por P X’
x '
y'
0
z '  0
 0
0
100
0
0
0
225




 x '
 y '    540
 
 z ' 
0
3 / 5
 720   0
 4 / 5
100 y ' 2  225 z ' 2  900 x '  0
4 y ' 2  9 z ' 2  36 x '  0
x'
2
y'
z'

9
4
2
PARABOLOIDE ELIPTICO
0
1
0
 4 / 5
0 
3 / 5 
 x '
 y '
 
 z ' 
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