interferencia_y_difraccion_de_la_luz

UNIVERSIDAD DE CARABOBO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE ESTUDIOS BÁSICOS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
CÁTEDRA LABORATORIO DE FÍSICA II
GUÍA PREPARADA POR EL PROF. O. CONTRERAS
E-MAIL: [email protected]
INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN DE LA LUZ
OBJETIVOS
Los objetivos perseguidos en la realización de esta práctica son los
siguientes:
1. Obtener conocimientos básicos de ondas electromagnéticas.
2. Estudiar fenómenos de la luz que no son explicados por la óptica
geométrica, sino suponiendo una naturaleza ondulatoria de la luz.
3. Determinar dimensiones de las fuentes de luz a partir de mediciones de
Interferencia y Difracción de la luz que llega desde ellas.
4. Conocer el funcionamiento básico del láser.
1
INTRODUCCIÓN TEÓRICA
La ecuación:
2
 2

( x, t )  A cos
x
t  0 
T
 

(1)
representa una onda armónica ( sinusoidal ) que se propaga a lo largo del eje x,
con amplitud A, longitud de onda Período T y ángulo inicial de fase  . En la
figura 1 se representa dicha onda para tres instantes de tiempo, donde
podemos apreciar su propagación:
(x,0)

t=0
x
0
(x,T/2)
Dirección de propagación
t=T/2
x
(x,T)
t=T
x
Figura 1: Onda armónica de longitud de onda  período T y fase inicial
0, que se propaga a lo largo del eje x
2
Esta onda es una idealización matemática de un fenómeno físico real, ya que
está definida para tiempos y espacios desde menos infinito hasta infinito. Sin
embargo su comportamiento se adapta bien a situaciones reales y es la base
para estudios de ondas más complicadas ( Trasformadas de Fourier ).
Se puede demostrar por sustitución directa, que la ecuación de onda (1) cumple
con la ecuación diferencial de onda:
 2
1  2
 2 2
2
x
v t
(2)
donde v es la velocidad de fase de la onda, siempre que se verifique que:
v
Esta

T
ecuación
(3)
diferencial
de
z
segundo orden es lineal, es decir: si
1(x,t) es una solución y 2(x,t) es
otra
solución,
S(x,t)=1(x,t)+2(x,t)
u
entonces
también
es
solución de la ecuación de onda. Se
r
dice así que las ondas cumplen con
el principio de superposición.
y
x
Se puede generalizar la anterior
ecuación de onda para el caso de
Figura 2.Plano definido por los vectores u y r. Para
tres dimensiones. Así, una onda
cualquier vector r del plano el producto escalar
armónica que llene todo el espacio,

u  r es igual a la distancia (mínima) entre el
origen de coordenadas y el plano.
Una derivada parcial de una función de varias variables, respecto a una de ellas,
(
denotada por el símbolo  ) es solamente una derivada “normal”, tratando a las demás
variables como constantes.
3
propagándose a lo largo de la dirección del vector unitario u, sería tal que todos
los puntos pertenecientes a un plano perpendicular a u tendrían el mismo
ángulo de fase ( Ver Figura 2 ). Es decir, si el vector r define un punto de un
plano perpendicular a u, el producto escalar u  r es constante para todo el
plano ( o sea, diferentes valores del producto escalar definen diferentes planos
paralelos entre si y perpendiculares a u ), y así, la función:
2
 2

(r, t )  A cos u  r 
t  0 
T
 

(4)
representa una onda armónica plana que se propaga a lo largo de la dirección
u.
Las cantidades: k=2u/ y =2=2/T se conocen respectivamente como
vector de propagación y frecuencia angular. Si la amplitud de la vibración
cambia con el tiempo y con la posición tendremos que la constante A de la
ecuación (4) debe ser reemplazada por una función y si adicionalmente la
vibración es perpendicular a la dirección de propagación ( Transversal ),
debemos usar una función vectorial, obteniendo el caso más general posible de
onda armónica progresiva:
(r, t)  A(r, t) cosk  r  t  0 
(5)
los vectores A y k determinan entonces el plano de vibración-propagación en
cualquier instante de tiempo.
Si la dirección de vibración no cambia con el tiempo, o sea si A no depende del
tiempo se dice que la onda esta linealmente polarizada.
En 1865 James C. Maxwell unificó y extendió las leyes de Faraday, Gauss y
Ampère, formando un conjunto de ecuaciones que relacionan las variaciones
espaciales y temporales de la Intensidad del campo Eléctrico E y el campo de
4
Inducción Magnética B, conocidas actualmente como las ecuaciones de
Maxwell. A partir de ellas puede ser demostrado que cada componente del
campo eléctrico y magnético, en el espacio libre y usando coordenadas
cartesianas obedece la siguiente ecuación diferencial de onda:
 2Ex  2Ex  2Ex
1  2Ex


 2
x 2
y 2
z2
c t 2
siendo c la velocidad de la luz en el vacío. Con similares relaciones para Ey, Ez,
Bx, By y Bz.
Consideremos ahora una onda armónica, polarizada linealmente en el plano xz, que es solución de la anterior ecuación:
E x (z, t)  E0x coskz  t  ; E y  0; E z  0.
(6)
Calculemos entonces el Campo Magnético B. Para ello usaremos la siguiente
ecuación de Maxwell:
B y
E x E z


z
x
t
sustituyendo:
E x
E z
 kE 0 x senkz  t  y
 0,
x
z
e integrando respecto al tiempo obtenemos:
B y ( z, t ) 
E 0x
coskz  t 
c
(7)
siendo c =  / k = / T.
De las otras ecuaciones de Maxwell se puede demostrar que Bx = Bz = 0.Es
decir, que el campo magnético oscila en un plano perpendicular al campo
5
eléctrico, con la misma longitud de onda y el mismo período. Por lo tanto todo el
estudio que hagamos para el campo eléctrico vale también para el campo
magnético.
La energía por unidad de área y por unidad de tiempo que fluye a lo largo del
eje z está determinada por la cantidad S, llamada vector de Poynting:
S  c 2 0 E  B
A frecuencias ópticas (  1014 Hz. ) esta cantidad oscila muy rápidamente, por
esto es más conveniente usar y/o medir su promedio durante un intervalo de
tiempo conveniente ( normalmente un múltiplo del período ). Usaremos
entonces la Irradiancia, definida por la ecuación:
  S , donde los corchetes indican promedio temporal.
Sabiendo que el promedio en un período de una función cuadrática sinusoidal
del tiempo es ½, obtenemos para las ondas (6) y (7):
  c 2 0 E0  B0 cos2 kz  t  

c 0 2
E0  c 0 E2
2
(8)
Sea f(t) una función del tiempo, se define su promedio en un intervalo 
como:
f t  
1 
 f t  dt .
 0
Aplicando esta ecuación se puede demostrar que el
promedio de una onda sinusoidal en un período es cero. También el promedio de
<sen2(at+b)> = <cos2(at+b)> = ½, con a y b constantes.
6
SUPERPOSICIÓN DE DOS ONDAS
Sean E1(r,t) y E2(r,t) dos ondas armónicas planas, linealmente polarizadas, de
la misma longitud de onda que se superponen en un punto P, como indica la
Figura 3. Supongamos para no complicar la notación que la fase inicial de cada
E (r, t )  E01 cos k1  r  t 
una es cero.
E  (r, t)  E02 cos k 2  r  t 
El campo resultante en el punto P es E = E1 + E2, y la irradiancia es el promedio
temporal del campo resultante dada por la ecuación (8):
  1  2  12 , donde 1  c 0 E12 ,  2  c 0 E22 e 12  2 c 0 E12  E22
.
este último término puede ser fácilmente calculado usando que
cos k 1  r  t  cos k 2  r  t   cos k 1  r  cos t   sen k 1  r  sen t 

cos k 2  r  cos t   sen k 2  r  sen t 
cos k 1  r  cos k 2  r  cos2 t  
sen k 1  r  sen k 2  r  sen2 t  
 sen2t  
cos k  r  sen k  r 



2


 sen2t  
sen k 1  r  cos k 2  r 

2


1
2
Al promediar en el tiempo esta expresión y usando los valores indicados en el
pie de la página 6, obtenemos finalmente que
12  c 0 E01  E02 cos  k1  k2   r 
(9)
INTERFERENCIA DE DOS FUENTES PUNTUALES.

Si la fase inicial de cada onda, , que sale del emisor es una constante que no
cambia con el tiempo se dice que el haz de luz es coherente. Similarmente, si dos
haces mantienen constante su diferencia inicial de fases se dice que las dos fuentes
son coherentes.
7
Sean dos fuentes puntuales coherentes, separadas una distancia a, las cuales
emiten ondas de igual longitud de onda, que se superponen en un punto P de
una pantalla distante [ a << z en la Figura (3) ]. Si además las dos ondas tienen
igual polarización e igual amplitud, 1  2  0 , la ecuación (9) se transforma en:
1

  4 0 cos2   k1  r  k 2  r 
2

(10)
P
k2
r2
y
r
r1

a

k1
a sen
z
Figura 3: Interferencia de dos fuentes puntuales producidas por
un par de rendijas.
De la figura 3 vemos que para ángulos pequeños, a sen   r y podemos
aproximar k1 r  k1 r1 y
onda: k1  k 2 
k2 r  k 2 r2 . Además, por tener la misma longitud de
2
.También es aparente de la figura 3 que r1  r2  a sen  , y que,

para y << z, se cumple que sen   tan  
y
. Sustituyendo estos valores en la
z
ecuación (10), obtenemos finalmente:
8
a 
  4 0 cos2 
y
z 
(11)
Cuyo patrón de interferencia resultante es graficado en la siguiente figura (4):
Interferencia
constructiva
Interferencia
destructiva
y

-3/2
-/2
/2
3/2
ay
z
Figura 4: Patrón de Interferencia en el experimento de Young.
DIFRACCIÓN PRODUCIDA POR UNA RENDIJA.
Para tratar el problema de la difracción producida por una rendija supondremos
que el espacio entre los bordes de la rendija está compuesto de una cantidad
muy grande de fuentes puntuales, cada una de ellas emitiendo una pequeña
onda ( esférica ), como indica la figura 5a, y sumaremos las contribuciones de
todas ellas ( superposición ).
Cada punto de la abertura emite una ondita esférica ( no plana ), dada por:
Er, t  
0
coskr  t  . Si el número de fuentes por unidad de longitud es n=N/a, el
r
campo producido por el elemento dy ( Figura 5b) será: E0,0  n0dy . Nótese que
n debe tender a infinito y dy a cero, manteniendo finito su producto.
9
r
+a/2
a
dy
N fuentes
R

y

o
y sen 
(a)
(b)
Figura 5. Difracción por una rendija de tamaño a. El número de
fuentes por unidad de longitud es n 
N
( N   ). Si la
a
distancia a la pantalla ( z ) es mucho mayor que la abertura
a, podemos considerar paralelos a r y R.
El campo total producido será:
E r, t   n 0
coskr  t 
dy
a / 2
r

a / 2
(12)
Si la distancia a la pantalla es mucho mayor que la abertura de la ranura
( Aproximación de Fraunhofer ), podemos considerar que el denominador en la
ecuación (12) es R - constante - y la integral nos queda como una
superposición de ondas planas, cuya diferencia de fase es debida solamente a
la diferencia de caminos ópticos entre r y R, es decir: r = R – y sen. Por lo
tanto,
E r, t  
n 0
R

a / 2
a / 2
cos  k R  y sen   t  dy
(13)
10
la cual, al evaluar la integral, conduce a:
 ka

sen  sen  
 n a 
 2
 cos kR  t 
E  R, t    0 
ka
 R 
sen 
2
(14)
y la irradiancia es entonces:
2
ka
 sen  
   c 0 E2  0 
sen  .
 , siendo  
2
  
La figura 6 muestra un gráfico de I vs. . como (sen x)/x 1 cuando x0, el
valor en el pico central del patrón de difracción es I0. El primer mínimo ocurre
cuando =a sen /2 = , o
Figura 6: Intensidad del patrón de difracción para una rendija de
tamaño a.
sen  = /a ( primer mínimo ).
Por lo tanto, midiendo el ancho del pico central y utilizando la aproximación de
ángulos pequeños ( sen   tan  = d/2z , siendo d el ancho del pico central y z
11
la distancia desde la rendija hasta la pantalla ), podemos conocer el ancho de la
rendija –a -.
INTERFERENCIA ENTRE DOS RENDIJAS.
Consideremos dos rendijas iguales y paralelas, de ancho a y separadas por una
distancia b, iluminadas ambas por un mismo frente de ondas, con lo cual las
ondas que resultan de ellas serán coherentes y por lo tanto habrá interferencia
en una pantalla distante ( Aproximación de Fraunhofer ). En este caso la
contribución de cada rendija a la ecuación (13) corresponderá con un patrón de
interferencia similar al de la figura 4, estando modulado por el patrón de
difracción propio de cada rendija como se representa en la figura 6. Así,
después de unos cálculos similares a los de la sección anterior, se llega a que
la irradiancia estará dada por:
2
 sen  
2
   4 0 
 cos  ,
  
(15)
siendo = (ka/2) sen  y = (kb/2) sen . En la siguiente figura 7, se presenta
un ejemplo de este patrón de interferencia entre dos rendijas.
Los ceros de este patrón ( Interferencia destructiva ) se producen cuando cos 
sea cero, es decir, cuando
kb

sen   n , con n=1, 2, 3,...
2
2
Si la distancia desde las rendijas hasta la pantalla es z y Dm es el ancho sobre
la pantalla de m franjas de interferencia, la anterior ecuación nos conduce a:
b
z
m
2 Dm
(16)
donde hemos usado nuevamente la aproximación de ángulos pequeños para
sen .
12
13
14
Figura 7:
Patrón de Interferencia de dos rendijas iguales de ancho a,
separadas por una distancia b, modulado por el patrón de difracción
de cada una de las rendijas.
RED DE DIFRACCIÓN.
Una red de difracción es un arreglo de N
surcos iguales grabados sobre una placa
de vidrio transparente. Se pueden construir
redes de difracción que tienen 1000 líneas
( surcos ) por milímetro, es decir que la
distancia entre líneas es de 1000 nm ( Casi
la longitud de onda del rojo ). El análisis de
la red de difracción es simplificado, sin
L
u
z
I
n
c
i
d
e
n
t
e
a
a 
x
a

Figura 8: Red
de
Difracción.
Para
interferencia
constructiva la diferencia de caminos entre
sucesivos rayos, x, debe ser un múltiplo entero
de la longitud de onda. Para difracción de
Fraunhofer podemos suponer todos los rayos
paralelos. ( x = a sen  ).
perder sus características esenciales, si suponemos que consiste de un arreglo
de N rendijas, de ancho a y separadas una distancia b, como se indica en la
figura 8:
15
Después de integrar apropiadamente la ecuación (13), obtenemos que la
Irradiancia esta dada por:
2
2
 sen    sen N 
 ,
    0 
 
    sen  
(17)
con = (ka/2) sen  y = (kb/2) sen . Esta ecuación corresponde a un patrón
2
 sen N 
 , modulado por
de interferencia de N fuentes indicado por el término 
 sen  
la difracción de una sola rendija. Los máximos principales ocurren cuando
sen N
 N , esto es, cuando  = 0, , 2, ...
sen 
(18)
o equivalentemente, cuando
b sen m = m , con m= 0, , 2, ...
Los mínimos ocurren cuando
sen N
 0 ,o cuando  = /N, 2/N,...., (N-1)/N, (N+1)/N,....
sen 
(19)
Comparando (18) con (19) vemos que hay N-1 ceros entre dos máximos
principales. Si N es un número muy grande, como en la red que usaremos, el
patrón de difracción consistirá de unos picos de interferencia constructiva y
prácticamente cero intensidad en toda la zona entre picos consecutivos, como
se indica en la siguiente figura 9.
16

(sen )2
/b
/b
Figura 9:
0
/b
/b
sen 
Patrón de una red de difracción.
Para ángulos pequeños sen   tan  = d/z, siendo z la distancia desde la red
hasta la pantalla.
Si d es la distancia que separa dos máximos consecutivos en la pantalla, el
valor de b vendrá dado por:
b =  z / d.
(20)
EL LÁSER.
De acuerdo a la teoría atómica los electrones de los átomos solo pueden tener
un conjunto discreto ( no continuo ) de energías. Usualmente los electrones se
encuentran en el nivel de menor energía posible ( estado fundamental ). Al ser
excitados por interacción con una fuente de energía externa, los electrones
pasan a poblar los estados de más energía. Sin embargo, luego de un cierto
tiempo, el cual suele ser muy corto, los electrones regresan espontáneamente
al estado fundamental, liberando una cantidad de energía igual a la diferencia
de energía correspondiente a los estados inicial y final, en forma de un fotón,
cuya energía es
Efotón=Einicial-Efinal=h, siendo  la frecuencia de la onda
17
electromagnética del fotón ( Ver guía de la práctica de Espectroscopía ). Los
fotones así emitidos no tienen ninguna relación de fase unos con otros y la luz
es incoherente. Varía en fase de punto a punto y de momento a momento.
Einstein señaló en 1917 que un átomo excitado puede volver a un estado más
bajo ( que no requiere ser necesariamente el estado fundamental ) por medio
de la emisión de un fotón a través de dos mecanismos distintos. En el primero
el fotón es emitido espontáneamente mientras que en el otro la emisión es
“disparada” por la presencia de radiación electromagnética de la misma
frecuencia . Este último proceso se conoce como emisión estimulada y es la
clave de la operación de un láser. Adicionalmente este fotón emitido está en
fase, tiene la polarización y se propaga en la misma dirección que la onda
estimuladora. Ya que normalmente la mayoría de los átomos están
ordinariamente en el estado fundamental, el proceso de absorción de fotones
que excita el átomo hacia un estado de mayor energía, es bastante más
probable que la emisión estimulada. En un láser típico, se usa energía externa
( eléctrica, óptica, química, etc. ) para producir una “inversión de población”
( más átomos en el estado energizado que en el estado de menor energía ). De
esta manera se aumenta considerablemente la probabilidad de que ocurran
emisiones estimuladas.
En la figura 10 representamos el proceso de emisión láser desde un punto de
vista de las energías involucradas. Primeramente una fuente externa da energía
al sistema de átomos, los cuales pasan del estado fundamental a uno de varios
estados excitados ( Banda de energía ), representados por la zona gris del
diagrama. Estos átomos pierden rápidamente algo de su energía en interacción
con el entorno, pasando a un estado metaestable de vida un poco más larga
que
los
anteriores.
Posteriormente,
los
átomos
excitados
regresan
espontáneamente
18
E
Banda de Energías de Absorción
n
Transición
e
Estado Metaestable
r
g
Absorción de
Transición con
í
Energía
Emisión estimulada
a
externa
( LÁSER )
( Bombeo )
0
Figura 10:
Estado Fundamental
Diagrama simplificado de niveles de energía de un Láser.
al estado fundamental. Si se aumenta la velocidad de bombeo, se produce una
inversión de población entre el estado metaestable y el fundamental, y los
primeros pocos fotones emitidos espontáneamente estimulan una reacción en
cadena de emisión estimulada. De esta forma, la ancha banda de absorción
hace la excitación inicial fácil, mientras que la larga vida del estado metaestable
facilita la inversión de población.
Adicionalmente los átomos del láser están ubicados en una cavidad resonante
que tiene dos de sus caras pulidas planas, paralelas y normales al eje de
emisión, la cara posterior esta plateada para que refleje toda la luz que llegue a
ella y la otra es semiplateada para que refleje una parte ( manteniendo la
estimulación ) y la otra parte es la luz láser que sale del aparato.
La luz del láser es coherente, extremadamente direccional y prácticamente
monocromática.
19
PARTE EXPERIMENTAL
CUIDADO: No mire directamente la luz láser ya que puede producir daños
permanentes en la retina.
1. Realice el siguiente montaje experimental:
Rendija Variable
Doble Rendija
Láser
Pantalla
Red de Difracción
Banco óptico
z
Figura 11:
Montaje experimental en el banco óptico métrico.
2. Utilice la rendija variable y observe el patrón que se forma en la pantalla al
variar el ancho de la rendija. Compare lo observado con la figura 6.
Determine a partir de un gráfico, el ancho de la rendija, con su error de
medición. Use al menos diez valores diferentes para la variable z.
3. Utilice ahora la doble rendija, verifique que el haz pasa por las dos rendijas y
compare el patrón de la pantalla con la figura 7. Determine a partir de un
gráfico, la separación entre las dos rendijas y el ancho de ellas, y sus
errores. Use al menos diez valores diferentes para la variable z.
20
4.
Cambie ahora para la red de difracción, compare el patrón observado con
la figura 9. Determine a partir de un gráfico, la constante de la red, con su error
de medición. . Use al menos diez valores diferentes para la variable z.
21
5.
BIBLIOGRAFÍA.
Hetch, Zajac.
Óptica
Ford.
Classical and Modern Physics.
Hetch.
Serie Schaum, Óptica.
Crawford F.
Waves, Berkeley Physics Course 3.
22