Visibilidad

Visibilidad
La forma clásica de medir la visibilidad de la interferencia es en la forma
I
 I min
Vclass  max
I max  I min
donde I max , I min son los máximos y mínimos de la distribución en cuestión I ( ) . Como
veremos a continuación, esta forma de medir la cantidad o calidad de la interferencia no es
idónea para distribuciones I ( ) no armónicas, las cuales son cada vez más frecuentes,
especialmente en el domino cuántico. En su lugar hemos propuesto una nueva medida que da
el mismo resultado para distribuciones armónicas pero que presenta un comportamiento mejor
frente a distribuciones no armónicas.
Podemos definir la visibilidad como la distancia del interferograma observado a una
distribución uniforme, denotada aquí como I , en la forma
V2 
1
2 I
 d I ( )  I 
2
2

1
I
2
I
2
 I
2

donde
I 
1
dI ( )
2

y
I2 
1
d I ( )2
2

Para una distribución armónica I ( )  a  b cos(   ) ambas definiciones dan resultados
proporcionales Vclass  2V .
Como ejemplo de patrones no armónicos podemos considerar los producidos en
interferómetros con reflexiones múltiples. En particular nos fijaremos en dos interferogramas
distintos: uno con un máximo brillante sobre fondo uniforme oscuro, y otro consistente en un
mínimo oscuro sobre fondo uniforme brillante. Con el fin de simplificar los cálculos podemos
describir ambas situaciones mediante Gaussianas normalizadas adecuadamente
2
2  
 2 
I ( )  2  e 
I ( ) 
1  e


2   1 
máximo brillante
mínimo oscuro
sobre fondo oscuro
sobre fondo brillante
donde  se corresponde con la inversa de la anchura de los picos (brillante u oscuro).
Siempre supondremos picos suficientemente estrechos   1 .
Para el máximo brillante sobre fondo oscuro Vclass  1 mientras que V 2  2 . Con este
ejemplo podemos demostrar que V es una medida con mejores propiedades que Vclass . Parece
intuitivamente claro que la calidad o cantidad de la interferencia en este ejemplo deben
depender de la anchura del máximo (es decir de  ), como lo demuestra la idea de poder
resolutivo. En vista de esto tenemos que por un lado Vclass es prácticamente independiente de
 , mientras que V depende claramente de  , por lo que V presenta un comportamiento
mejor que Vclass .
Por otro lado, siempre que Vclass  1 la interferencia de haces múltiples sería siempre
equivalente la interferencia producida por interferómetros de doble haz, cuando es conocido
que la superposición de haces múltiples proporciona un ejemplo mucho más eficiente de
interferencia. Esta disimilitud queda claramente reflejada por V que aumenta sin límite
cuando la anchura del pico decrece (    ), mientras que para distribuciones armónicas está
acotado superiormente.
Para el caso de mínimo oscuro sobre fondo brillante tenemos de nuevo que Vclass  1 mientras
que V da un resultado completamente opuesto V 2  1 /(2 2 ) de modo que V tiende a
cero cuando la anchura del mínimo decrece. Podemos ver que también en este caso V es la
medida adecuada. En este ejemplo, y a diferencia del ejemplo anterior, a medida que la
anchura del mínimo decrece también decrece el área relativa que ocupa el propio mínimo, con
lo que la distribución se aproxima cada vez más a una distribución uniforme. Desde un punto
de vista práctico, a medida que la anchura del mínimo decrece cada vez es más difícil detectar
la propia existencia del mínimo y distinguirlo del fondo uniforme. Este razonamiento es
especialmente claro desde una perspectiva cuántica, puesto que el área representa la
probabilidad de detectar la existencia de interferencia.
Estos ejemplos demuestran que la nueva definición es una medida de la interferencia mejor
comportada que la definición clásica y mucho más sensible a las características relevantes y
útiles de un fenómeno interferencial. También es relevante que, para el caso general V es
mucho más fácil de calcular que Vclass , puesto que para ésta última es necesario un proceso de
búsqueda de los extremos de una función no lineal de un número muchas veces elevado de
parámetros.
Por otro lado, es conocido que para interferencias localmente armónicas, la visibilidad clásica
es proporcional a la correlación de la amplitud del campo. Sin embargo esta interesante
conexión desaparece cuando aplicamos Vclass al caso general. Hemos demostrado que la
nueva definición de visibilidad V preserva este tipo de relaciones para el caso más general.
Visibility for anharmonic fringes
A. Luis, J. Phys. A: Math. Gen. 35, 8805 (2002)
Hemos extendido esta idea de visibilidad como distancia para adaptarla a la medida de la
visibilidad de la interferencia de un número arbitrario de partículas, fotones por ejemplo.
Normalmente estas interferencias son las coincidencias (con probabilidad P( ) donde 
representa todas las fases internas del interferómetro) en la detección de las partículas a la
salida del interferómetro. Para centrar el análisis en el carácter múltiple de la interferencia, se
suele definir como distribución interferométrica la diferencia entre la distribución conjunta
P( ) y las distribuciones individuales de las partículas Pj ( ) , esto es P( )  P1 ( )PN ( )
donde N es el número de partículas. La definición usual de visibilidad Vclass resulta
especialmente inadecuada para este interferograma. Por un lado, normalmente
P( )  P1 ( )PN ( ) es una función demasiado compleja para buscar sus extremos. Por otro
lado P( )  P1 ( )PN ( ) puede ser negativa, por lo que la aplicación directa de Vclass no
tiene sentido, salvo que se hagan modificaciones had-oc. Para resolver estas dificultades
hemos definido la visibilidad para una interferencia múltiple como la distancia de la
distribución conjunta al producto de las individuales
D  d P( )  P1( ) PN ( )2 .

Con esto hemos podido demostrar que para dos partículas la visibilidad de la interferencia
múltiple y las visibilidades individuales son variables complementarias (cuando una crece la
otra decrece y viceversa). También hemos demostrado que la visibilidad de P( ) y las
visibilidades individuales de Pj ( ) son también complementarias. También hemos
demostrado que para tres partículas no existe tal complementariedad y las visibilidades
conjuntas e individuales pueden crecer o decrecer simultáneamente.
Visibility for multi-particle interference
A. Luis, Phys. Lett. A 314, 197 (2003)